Università di Verona Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali. Corso di Laurea Triennale in Matematica Applicata

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1 Università di Verona Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea Triennale in Matematica Applicata Soluzioni degli appelli di Analisi Matematica Antonio Marigonda Anni 9-7

2 ii Soluzioni delle prove scritte di Analisi Matematica per il Corso di Laurea in Matematica Applicata Antonio Marigonda Dipartimento di Informatica - Università degli Studi di Verona Strada Le Grazie 5 - I-3734 Verona, Italy antonio.marigonda@univr.it

3 Indice Indice iii Prima parte - Testi Prova scritta v.o. mod. av. del 3 marzo 9 Prova scritta v.o. mod. av. del luglio 9 Prova scritta v.o. mod. av. del 5 luglio 9 3 Prova scritta v.o. mod. av. del 7 settembre 9 4 Prova scritta v.o. mod. av. del settembre 9 5 Prima prova parziale del dicembre 9 6 Seconda prova parziale del febbraio 7 Appello del febbraio 8 Appello v.o. del febbraio Appello del 8 febbraio Appello del 6 giugno 3 Appello del 9 luglio 5 Appello del 3 settembre 7 Appello del 7 settembre 9 Prima prova parziale del 3 dicembre Seconda prova parziale del febbraio 3 Appello del febbraio 4 Appello del 5 febbraio 6 Appello del 6 giugno 8 Appello del 7 luglio 3 Appello del settembre 3 Appello del 3 settembre 34 Prima prova parziale del dicembre 36 Seconda prova parziale del 3 febbraio 38 iii

4 iv INDICE Appello del 3 febbraio 39 Appello del 7 febbraio 4 Appello del giugno 43 Appello del luglio 45 Appello del 7 settembre 47 Prima prova parziale del 7 dicembre 49 Seconda prova parziale del 6 febbraio 3 5 Appello del 6 febbraio 3 5 Appello del 5 febbraio 3 53 Appello del 7 giugno 3 55 Appello del 8 luglio 3 56 Appello del 3 settembre 3 58 Appello del 7 settembre 3 6 Prima prova parziale del dicembre 3 6 Seconda prova parziale del 5 febbraio 4 64 Appello del 5 febbraio 4 65 Appello del febbraio 4 67 Appello del 8 giugno 4 69 Appello del 9 luglio 4 7 Appello del 4 settembre 4 7 Appello del 8 settembre 4 75 Prima prova parziale del dicembre 4 77 Seconda prova parziale del febbraio 5 79 Appello del febbraio 5 8 Appello del 6 febbraio 5 83 Appello del giugno 5 85 Appello del 3 settembre 5 87 Prima prova parziale del 3 novembre 5 89 Seconda prova parziale del febbraio 6 9 Appello del febbraio 6 93 Appello del 5 febbraio 6 95

5 INDICE v Appello del 7 giugno 6 97 Appello del settembre 6 99 Prima prova parziale del dicembre 6 Seconda prova parziale del 6 febbraio 7 3 Appello del 6 febbraio 7 5 Appello del febbraio 7 7 Appello del giugno 7 9 Appello del 4 settembre 7 Seconda parte - Soluzioni 3

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7 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 8/9 Prova scritta v.o. mod. av. di Analisi Matematica Verona, 3 marzo 9 Cognome e nome: matr. Esercizio. Si consideri in R 3 la superficie S di equazioni parametriche: ϕθ, y y + cos θ, y, y + sin θ, θ [, π], y <, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da F x, y, z x, y/, x. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la circonferenza di raggio, centrata in,, e appartenente al piano y parametrizzata da γθ cos θ,, sin θ, θ [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto,,. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 3. Esercizio. Si determini col metodo di separazione delle variabili la soluzione sotto forma di serie dell equazione del telegrafo sul segmento [, π], con ambedue le estremità libere: u tt + u t u xx, u x, t u x π, t, assumendo come dati iniziali ux, e u t x, x. Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta. Soluzione a pagina 4. Esercizio 3. Determinare la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali: { ẋ 4x y 4e 5t, ẏ 3x + y. Discutere inoltre il tipo e la stabilità delle soluzioni stazionarie del sistema omogeneo associato. Soluzione a pagina 6.

8 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 8/9 Prova scritta v.o. mod. av. di Analisi Matematica Verona, luglio 9 Cognome e nome: matr. Esercizio 4. definita da In R 3 è assegnata la superficie Σ parametrizzata dalla funzione ϕ : [, π] [, ] R 3 ϕθ, s s + cos θ, s + sin θ, s 3. Si consideri il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da F x, y, z 3x 4 + y, 5x + z, z. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva di equazioni parametriche γθ cos θ, sin θ,, θ [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ e si calcoli l elemento d area di Σ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto, 3,. 5 Si calcoli il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione ϕ. Soluzione a pagina 7. Esercizio 5. Si determini col metodo di separazione di variabili la soluzione sotto forma di serie dell equazione di reazione-diffusione-trasporto sul segmento [, π]: u t u xx u x u, x [, π], t >, con dati al contorno di Dirichlet omogenei u, t uπ, t t >, assumendo come dato iniziale ux, xπ xe x per x π. Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta. Soluzione a pagina 8. Esercizio 6. Determinare la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali: { ẋ 3x + y 3e t, ẏ x + y. Discutere inoltre il tipo e la stabilità delle soluzioni stazionarie del sistema omogeneo associato. Soluzione a pagina.

9 TESTI 3 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 8/9 Prova scritta v.o. mod. av. di Analisi Matematica Verona, 5 luglio 9 Cognome e nome: matr. Esercizio 7. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata dalla funzione ϕ : [, ] [, ] R 3 definita da ϕu, v ve u, u, v, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da F x, y, z x 4 z, z cos y, x + y. si calcolino divergenza e rotore di F si scriva la matrice Jacobiana di ϕ e si calcoli l elemento d area di Σ. 3 si calcoli la circuitazione di F lungo il bordo γ di Σ con l orientamento su esso indotto dall orientamento di Σ 4 si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto /,, /. 5 si calcoli il flusso di Hx, y, z xz, yz, attraverso Σ con l orientamento dato dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina. Esercizio 8. Si determini col metodo di separazione di variabili la soluzione sotto forma di serie dell equazione del calore sul segmento [, π], con estremità termicamente isolate: { u t 5u xx, x π, t >, u x, t u x π, t assumendo come dato iniziale ux, x. Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta. Soluzione a pagina 3. Esercizio 9. Determinare la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali x + x 3y 3t, y + 4x 6y. Discutere inoltre il tipo e la stabilità delle soluzioni stazionarie del sistema omogeneo associato. Soluzione a pagina 4.

10 4 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 8/9 Prova scritta v.o. mod. av. di Analisi Matematica Verona, 7 settembre 9 Cognome e nome: matr. Esercizio. Si consideri in R 3 la superficie S di equazioni parametriche: ϕθ, x x, e x cos θ, e x sin θ, θ [, π], x <, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da F x x, y, z y + z +, y + z, xy + z. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la circonferenza di raggio e, centrata in,, e appartenente al piano x parametrizzata da γθ, e cos θ, e sin θ, θ [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto,,. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 5. Esercizio. Si determini col metodo di separazione delle variabili la soluzione sotto forma di serie dell equazione alle derivate parziali: u t + u xx + 3u x + u, per t >, x ], π[, u, t uπ, t, ux, e 3 4 x π x π, Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta. Soluzione a pagina 6. Esercizio. Determinare la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali: { ẋ + x + 3y 3e t, ẏ + 5x + y. Discutere inoltre il tipo e la stabilità delle soluzioni stazionarie del sistema omogeneo associato. Soluzione a pagina 7.

11 TESTI 5 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 8/9 Prova scritta v.o. mod. av. di Analisi Matematica Verona, settembre 9 Cognome e nome: matr. Esercizio 3. Si consideri in R 3 la superficie S di equazioni parametriche: ϕθ, r r cos θ, r sin θ, r 4, θ [, π], r, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da F x, y, z 3y + z, 8x 3, x 6y. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la curva Γ appartenente al piano z parametrizzata da γθ 5 cos θ, sin θ,, θ [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto /,, 5/6. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Suggerimento: si ricordi che π cos 4 θ dθ 3π/4. Soluzione a pagina 8. Esercizio 4. Si determini col metodo di separazione delle variabili la soluzione sotto forma di serie dell equazione alle derivate parziali u tt + 3u xx in ], π[ ], + [ u x, t u x π, t ux, u t x, x. Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta. Soluzione a pagina 3. Esercizio 5. Determinare la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali: { 8ẋ + 4x 9y 8 sint, 4ẏ 6x + 3y. Discutere inoltre il tipo e la stabilità delle soluzioni stazionarie del sistema omogeneo associato. Soluzione a pagina 3.

12 6 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Prima prova parziale di Analisi Matematica Verona, dicembre 9 Cognome e nome: matr. Esercizio 6. Si consideri l insieme: Γ {x, y R : x + y x x + y }, detto Chiocciola di Pascal. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si provi che la curva interseca gli assi in cinque punti, di cui uno è l origine. Si determinino gli altri quattro punti P i x i, y i, i,, 3, 4, e si scrivano le equazioni delle tangenti a Γ in essi. 3 Per ogni i,, 3, 4, si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕ i x di classe C in un intorno di x i con ϕ i x i y i. 4 Si determinino massimi e minimi della funzione hx, y x + y vincolati a Γ. Si dica se Γ è compatto. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 33. Esercizio 7. Dato α R e indicata con D la regione illimitata del primo quadrante compresa tra l iperbole di equazione xy, la retta y x e l asse delle x, si calcoli dx dy. xα D Soluzione a pagina 4. Esercizio 8. Si consideri la serie di funzioni definite per t, x [, ] [, π] 5 3 n n 5 e 4t cosnx. n Si studi la convergenza puntuale, uniforme e totale della serie. Si calcoli la somma della serie per t, x,. Soluzione a pagina 4.

13 TESTI 7 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Seconda prova parziale di Analisi Matematica Verona, febbraio Cognome e nome: matr. Esercizio 9. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: ϕr, θ r + cos θ, r 3 + r, r + sin θ, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z y + z, 4x 3z, 6x + y. r, θ [, ] [, π[, Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : 5 cos t,, 5 sin t. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P 5/4, 3/8,. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzando il teorema della divergenza. Esercizio. Si consideri l equazione differenziale: Soluzione a pagina 4. dy dx y xy. x a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale; b. si scriva la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente y. c. Si dica se essa è definita su tutto R; d. si dica se essa ammette asintoti e, in caso affermativo, li si determini; e. Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo della soluzione soddisfacente y. Soluzione a pagina 46. Esercizio. Si consideri la seguente equazione alle derivate parziali con condizioni al contorno di Dirichlet: t ut, x xx ut, x per t, x ], + [ ], π[, u, x xπ x, ut, ut, π. Si utilizzi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione del problema in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 46.

14 8 TESTI Cognome e nome: Esercizio. Si consideri l insieme Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Appello di Analisi Matematica Verona, febbraio matr. Γ : {x, y R : x 6 3x 4 y 3x y 4 + 4x + 8xy y 6 + 4y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si provi che Γ interseca gli assi in cinque punti di cui uno è l origine. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nei punti di Γ {xy } diversi dall origine. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 3 Si determinino massimi e minimi della funzione hx, y x 4 + x y + y 4 vincolati a Γ. 4 Si dica se Γ è compatto. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 48. Esercizio 3. Definiamo Ω : {x, y R : < xy <, x/4 < y < x}. Si tracci il grafico di Ω e si calcoli l area di Ω. Esercizio 4. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: ϕr, θ r + cos θ, r 3 + r, r + sin θ, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z y + z, 4x 3z, 6x + y. Soluzione a pagina 49. r, θ [, ] [, π[, Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : 5 cos t,, 5 sin t. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P 5/4, 3/8,. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzando il teorema della divergenza. Esercizio 5. Si consideri l equazione differenziale: Soluzione a pagina 5. dy dx y xy. x a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale; b. si scriva la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente y. c. Si dica se essa è definita su tutto R;

15 TESTI 9 d. si dica se essa ammette asintoti e, in caso affermativo, li si determini; e. si tracci un grafico qualitativo della soluzione soddisfacente y. Soluzione a pagina 5.

16 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Appello v.o. di Analisi Matematica Verona, febbraio Cognome e nome: matr. Esercizio 6. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: ϕr, θ r + cos θ, r 3 + r, r + sin θ, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z y + z, 4x 3z, 6x + y. r, θ [, ] [, π[, Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : 5 cos t,, 5 sin t. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P 5/4, 3/8,. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzando il teorema della divergenza. Soluzione a pagina 5. Esercizio 7. Si consideri la seguente equazione alle derivate parziali con condizioni al contorno di Dirichlet: t ut, x xx ut, x per t, x ], + [ ], π[, u, x xπ x, ut, ut, π. Si utilizzi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione del problema in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 5. Esercizio 8. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine: { ẋ 3x + y e 4t, ẏ + 6x y. Si discuta la stabilità delle soluzioni stazionarie dell omogeneo associato. Soluzione a pagina 5.

17 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Appello di Analisi Matematica Verona, 8 febbraio Cognome e nome: matr. Esercizio 9. Si consideri l insieme { Γ : x y x, y R \ {, } : x + y + x4 + x y + y 4 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane, e si determini Γ, dove Γ è la chiusura di Γ in R. Si dica se Γ è compatto. Si dica se Γ è compatto. 3 Si provi che Γ interseca l insieme C definito da C {x, y : x y } in due punti. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nei punti di Γ C. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 4 Si determinino massimi e minimi della funzione hx, y y x + y vincolati a Γ. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 5. Esercizio 3. Si calcoli il volume del solido: { } Ω : x, y, z R 3 x : < x <, < z < x + y, x < y < x. Soluzione a pagina 53. Esercizio 3. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: ϕu, v u 3uv +, v 3 u + u, u + v, u, v [, ] [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z 6y, 6x 4yz + 5z, yz 4y z. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : t sin t +, t/π, 5 arctant 3 + t sin t. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli la normale indotta dalla parametrizzazione nel punto P, , non 4 è richiesta la normalizzazione. 5 Si calcoli il flusso di Gx, y, z : 6y,, attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 54.

18 TESTI Esercizio 3. Si consideri la seguente equazione alle derivate parziali con condizioni al contorno di Neumann: t ut, x xx ut, x + 4ut, x per t, x ], + [ ], π[, u, x π x, u x t, u x t, π. Si utilizzi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione del problema in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 56.

19 Cognome e nome: Esercizio 33. TESTI 3 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Appello di Analisi Matematica Verona, 6 giugno matr. Si consideri l insieme { Γ : x, y R x } \ {, } : x + y + x + y. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si determini Γ, chiusura di Γ in R. Si provi che Γ interseca gli assi in due punti. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nelle due intersezioni e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione x ϕy in un intorno di ciascuno di tali punti. 3 Si determinino massimi e minimi della funzione hx, y arctan logx + y + vincolati a Γ. 4 Si dica se Γ è compatto, si dica se Γ è compatto. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 57. Esercizio 34. Definiamo Ω : {x, y R : < x + y <, < x y < π}. Si tracci il grafico di Ω e si calcoli il seguente integrale doppio: cos x + y sin3x y dx dy. Esercizio 35. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: Ω ϕu, v u, v, u v 4, con u, v R, u + v 4, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z 9y + 3z, 8z + x, 6x. Soluzione a pagina 58. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : cos t,, sin t. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P /,, /. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzando il teorema della divergenza. Esercizio 36. Si consideri l equazione differenziale: dy dx y yx x. Soluzione a pagina 59. a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale; b. si scriva la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente y 3.

20 4 TESTI c. Si dica se essa è definita su tutto R; d. si dica se essa ammette asintoti e, in caso affermativo, li si determini; e. si tracci un grafico qualitativo della soluzione soddisfacente y 3. Soluzione a pagina 6.

21 Cognome e nome: Esercizio 37. Si consideri l insieme TESTI 5 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Appello di Analisi Matematica Verona, 9 luglio matr. Γ : { x, y R : x + y cos6xy }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si provi che Γ interseca gli assi in quattro punti. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nelle intersezioni e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 3 Si determinino i massimi della funzione hx, y e x +y + vincolati a Γ. 4 Si dica se Γ è compatto. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 6. Esercizio 38. Definiamo Ω : {x, y R : x + y <, x y < π}. Si tracci il grafico di Ω e x + y 3 si calcoli il seguente integrale doppio: sin x y dx dy. 3 Esercizio 39. Ω Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: Soluzione a pagina 6. ϕr, θ r 3 r + cos θ, r 3 r + sin θ, r, con θ [, π], r, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z y + 6z, 5z + 4x, x. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : cos t, sin t,. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzando il teorema della divergenza. Soluzione a pagina 6. Esercizio 4. Si determini col metodo di separazione delle variabili la soluzione sotto forma di serie dell equazione alle derivate parziali u t 3u xx in ], π[ ], + [ u x, t u x π, t ux, xπ x Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta.

22 6 TESTI Soluzione a pagina 64.

23 TESTI 7 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Appello di Analisi Matematica Verona, 3 settembre Cognome e nome: matr. Esercizio 4. Si consideri l insieme Γ : { x, y R : x + y 4 + x 3 y 3 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si provi che Γ interseca gli assi in quattro punti. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nelle intersezioni e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 3 Si dica se Γ è compatto. 4 Si dica se esistono massimi e minimi della funzione hx, y 4 x3 y 3 4 vincolati a Γ, in caso affermativo li si determini. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ. e 4 x3 y 3 /4 Soluzione a pagina 65. Esercizio 4. Definiamo Ω : {x, y R : x + y <, x y < π}. Si tracci il grafico di Ω e sinx y si calcoli il seguente integrale doppio: Ω + x + y dx dy. Soluzione a pagina 66. Esercizio 43. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: v ϕu, v + sinu, v 4, v + cosu, con u [, π], v, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z 3x + 4z, x 6y +, y x. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : cos t, sin t,. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 5 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P 6, 6,. 5 Si calcoli il flusso di rot F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzando il teorema di Stokes. Soluzione a pagina 67.

24 8 TESTI Esercizio 44. Si consideri l equazione differenziale dy dx xy + x y + y3 3 x + y. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. Si trovi la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. 3 Si trovi la soluzione corrispondente al dato iniziale y 3 3. Soluzione a pagina 69.

25 TESTI 9 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 9/ Appello di Analisi Matematica Verona, 7 settembre Cognome e nome: matr. Esercizio 45. Si consideri l insieme Γ : {x, y R : x + y 5/ x + y 3x + y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si provi che Γ interseca gli assi in cinque punti punti, di cui uno è l origine. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nelle intersezioni diverse dall origine e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 3 Si dica se Γ è compatto. Si dica se Γ \ {, } è compatto. 4 Si dica se esistono massimi e minimi della funzione hx, y log arctanx + y vincolati a Γ \ {, }, in caso affermativo li si determini. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 69. Esercizio 46. Definiamo Ω : {x, y R : x + y <, x y < π}. Si tracci il grafico di Ω e x ye x y si calcoli il seguente integrale doppio: + x + y dx dy. Ω Soluzione a pagina 7. Esercizio 47. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: ϕu, v v +, v sinu, v + cosu, con u [, π], v, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z 5x + y + 4z, x y + z, x + 4y. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : cost, 3 sint,. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si calcoli il flusso di rot F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzando il teorema di Stokes. Soluzione a pagina 7.

26 TESTI Esercizio 48. Si determini col metodo di separazione delle variabili la soluzione sotto forma di serie dell equazione alle derivate parziali u t u xx + u in ], π[ ], + [ u x, t u x π, t ux, χ [,π/] x, dove χ [,π/] x se x [, π/] e χ [,π/] x altrimenti. Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta. Soluzione a pagina 73.

27 Cognome e nome: TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Prima prova parziale di Analisi Matematica Verona, 3 dicembre matr. Nota: i punti a. costituiscono la versione A del compito, quelli b. ne costituiscono la versione B. Esercizio 49. Studiare la convergenza uniforme della serie di Fourier n + 5n / 3n+9 a. Sx 3 + n 7/ cos nx + n sin nx. 6 3n 4 n b. Sx 7 + n 4n+9 3 3n 4 cos nx n/ 4 8n 3 sin nx. 3n Calcolare π n Sx dx. Dire inoltre se Sx è derivabile, giustificando adeguatamente quanto asserito. Esercizio 5. Determinare la natura dei punti critici della funzione a. fx, y x 3 + y 3 3xy 3. b. fx, y x 3 y 3 3xy + 3. Soluzione a pagina 74. Soluzione a pagina 75. Esercizio 5. Determinare massimo e minimo della funzione f sull insieme V con a. fx, y, z x y z, V {x, y, z R 3 : x + y + z 9, z + y x 4}. b. fx, y, z z + x y, V {x, y, z R 3 : x + y + z 6, x + y z 4}. Esercizio 5., 3 Soluzione a pagina 76. a. La relazione x + z + y x y z definisce implicitamente una funzione y gx, z intorno al punto p 6 4, y 4,. Si determinino le formule che esprimono z e y x, e se ne calcoli il valore in p. Facoltativo: si dica intorno a quali punti non si può esplicitare y in funzione di x, z. Si dica intorno a quali punti non è possibile esplicitare nessuna delle variabili in funzione delle rimanenti due. b. La relazione y x z x + z + y definisce implicitamente una funzione x fy, z intorno al punto p x,. Si determinino le formule che esprimono z e x y, e se Esercizio 53. ne calcoli il valore in p. Facoltativo: si dica intorno a quali punti non si può esplicitare x in funzione di y, z. Si dica intorno a quali punti non è possibile esplicitare nessuna delle variabili in funzione delle rimanenti due. a. Calcolare D x y dx dy dove D : {x, y R : x + y 4, y }. Soluzione a pagina 78.

28 TESTI b. Calcolare D x dx dy dove D è il parallelogramma di vertici,,,, 3, e,. Soluzione a pagina 78.

29 TESTI 3 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Seconda prova parziale di Analisi Matematica Verona, febbraio Cognome e nome: matr. Esercizio 54. Si consideri il campo vettoriale F : R 3 R 3 dato da F x, y, z xz, yz,. Si scrivano divergenza e rotore di F. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva Γ : {x, y, z R 3 : x + y + z 5, z 3}, percorsa muovendosi in senso antiorario rispetto all asse z. 3 Si calcoli il flusso di F attraverso le superfici S : {x, y, z R 3 : x + y + z 5, z 3} S : {x, y, z R 3 : x + y + z 5, z 3} entrambe orientate con la normale rivolta verso l alto. Soluzione a pagina 78. Esercizio 55. Si risolva, per separazione di variabili, il seguente problema relativo all equazione del calore in una sbarra con estremità termicamente isolate: u t t, x u xx t, x, x, π, t > ; u x t, u x t, π, t > ; u, x π x, x, π. Si discuta poi la convergenza uniforme della serie ottenuta per stabilire se il dato iniziale è effettivamente assunto. Infine, si discuta la derivabilità termine a termine della serie e si dica se è lecito affermare che la soluzione trovata soddisfa sia l equazione differenziale che le condizioni al contorno imposte dal problema. Soluzione a pagina 8.

30 4 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, febbraio Cognome e nome: matr. Esercizio 56. Si consideri la funzione fx, y x 3 3y x y 7x. Si trovino i punti critici di f e se ne stabilisca la natura. Si dica se l insieme di livello di f passante per il punto, è esprimibile come grafico di una funzione regolare di x in un intorno di tale punto. 3 Si trovino il massimo ed il minimo assoluto di f sull insieme D : {x, y R : x + y }. Soluzione a pagina 8. Esercizio 57. Si calcoli il volume della porzione della semisfera {x, y, z R 3 : z, x + y + z } contenuta nel cilindro {x, y, z R 3 : x + y /4}. Soluzione a pagina 8. Esercizio 58. Si studi la convergenza uniforme della serie di funzioni n + n e nx sinsin nx n sulla semiretta [, + [. Si discuta poi la derivabilità della somma fx della serie sulla semiretta aperta ], + [. Quante volte è eventualmente derivabile fx? Soluzione a pagina 83. Esercizio 59. Si consideri il campo vettoriale F : R 3 R 3 dato da F x, y, z xz, yz,. Si scrivano divergenza e rotore di F. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva Γ : {x, y, z R 3 : x + y + z 5, z 3}, percorsa muovendosi in senso antiorario rispetto all asse z. 3 Si calcoli il flusso di F attraverso le superfici S : {x, y, z R 3 : x + y + z 5, z 3} S : {x, y, z R 3 : x + y + z 5, z 3} entrambe orientate con la normale rivolta verso l alto. Soluzione a pagina 83.

31 TESTI 5 Esercizio 6. Si risolva, per separazione di variabili, il seguente problema relativo all equazione del calore in una sbarra con estremità termicamente isolate: u t t, x u xx t, x, x, π, t > ; u x t, u x t, π, t > ; u, x π x, x, π. Si discuta poi la convergenza uniforme della serie ottenuta per stabilire se il dato iniziale è effettivamente assunto. Infine, si discuta la derivabilità termine a termine della serie e si dica se è lecito affermare che la soluzione trovata soddisfa sia l equazione differenziale che le condizioni al contorno imposte dal problema. Soluzione a pagina 83.

32 6 TESTI Cognome e nome: Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, 5 febbraio matr. Esercizio 6. Sia data la funzione fx, y x 3 + y 3 + 3xy. Si trovino i punti critici di f e se ne stabilisca la natura. Si consideri l insieme Γ {x, y R : x 3 + y 3 }. Si dica se si tratta di una curva regolare e se tale insieme è localmente esprimibile come grafico di una funzione regolare di x in un intorno di,. È possibile esprimere globalmente Γ come grafico di una funzione di x? 3 Si trovino, se esistono, il massimo ed il minimo assoluto di f su Γ. Soluzione a pagina 83. Esercizio 6. Si calcoli l integrale D y + z dx dy dz, ove D è il cilindro {x, y, z R 3 : z, x + y }. Soluzione a pagina 84. Esercizio 63. Si consideri il campo vettoriale F : R 3 R 3 dato da F x, y, z e x cos y, e x sin y, z. Calcolare la divergenza ed il rotore di F. Dire se F è conservativo e, in caso affermativo, trovarne un potenziale scalare. Calcolare l integrale del campo F lungo la curva γt t, sin π t, t, t [, ]. 3 Calcolare il flusso del campo F attraverso le superfici S {x, y, z R 3 : x + y z, z }, S {x, y, z R 3 : z x + y, z }, entrambe orientate con la normale rivolta verso l alto. Soluzione a pagina 84. Esercizio 64. Si risolva, per separazione di variabili, il seguente problema relativo all equazione della corda vibrante: u tt t, x u xx t, x, x ], π[, t >, ut, ut, π, t >, u, x, x ], π[, u t, x sin 3 x, x ], π[. C è qualcosa da osservare sulla convergenza della serie ottenuta? Just a joke... [Sugg.: Può essere utile l identità sin 3 x 3/4 sin x /4 sin 3x.]

33 TESTI 7 Soluzione a pagina 85.

34 8 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, 6 giugno Cognome e nome: matr. Esercizio 65. Si consideri il seguente insieme: Γ : {x, y R : 4x 4 3x 3 y + y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si dica se Γ è compatto. [Sugg. posto y mx, si ottiene x in funzione di...] 3 Si provi che Γ interseca gli assi in quattro punti distinti. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 4 Si determinino, se esistono, i massimi assoluti vincolati a Γ della funzione hx, y 4x 4 3x 3 y. Esistono minimi assoluti di h vincolati a Γ? [Sugg. si sfrutti il punto ] 5 Facoltativo. Motivando accuratamente la risposta, si determini il numero di soluzioni C distinte della relazione z, ż Γ, in un intorno del dato iniziale z /. Soluzione a pagina 86. Esercizio 66. Posto B : {x, y, z R 3 : x + y + z }, si calcoli I : B e z dx dy dz. Soluzione a pagina 87. Esercizio 67. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: ϕr, θ r + cos θ, r 3 + r, r + sin θ, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z y + z, 4x 3z, 6x + y. r, θ [, ] [, π[, Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : 5 cos t,, 5 sin t. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P 5/4, 3/8,. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzando il teorema della divergenza. Soluzione a pagina 87.

35 Esercizio 68. TESTI 9 Si consideri la seguente equazione alle derivate parziali: t ut, x xx ut, x per t, x ], + [ ], π[, u, x e x, u x t, u x t, π. Si utilizzi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione del problema in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 9.

36 3 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, 7 luglio Cognome e nome: matr. Esercizio 69. Si considerino i seguenti insiemi in R 3 Γ : {x, y, z R 3 : x 3 + 6zy 3y }, Γ : {x, y, z R 3 : 5y 4 + 6xy + z 4}. Si descrivano Γ e Γ in coordinate cilindriche. Si dica se Γ e Γ sono compatti. 3 Si provi che il piano di equazione y interseca Γ Γ in due punti distinti P e P di cui P con terza coordinata strettamente positiva. 4 Si dica se in un intorno di P P x, P y, P z e P P x, P y, P z, l insieme Γ Γ è parametrizzabile rispettivamente da una curva γ z x z, y z, z e γ z x z, y z, z. In caso affermativo, si calcolino γ P z e γ P z. 5 Si determinino i punti di Γ più vicini all origine. 6 Facoltativo: Si calcolino i vettori normali unitari ˆn P a Γ nel punto P e ˆn P a Γ sempre nel punto P. Sia θ l angolo formato da tali vettori normali. Si scelga il verso della normale ˆn P in modo che θ [, π] e si calcolino cos θ e sin θ. Soluzione a pagina 9. Esercizio 7. Si consideri l insieme: D {x, y R : x + y, x + y <, y < x, x >, y > }. Dopo aver tracciato un grafico di D, si calcoli y x dx dy. + y D Soluzione a pagina 93. Esercizio 7. Si considerino la superficie S R 3 parametrizzata da Φz, θ + sin 3z cos θ, + sin 3z sin θ, z con z [, π], θ [, π], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da F x, y, z sin x sin y, sin x cos x cos y, sin y. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è solenoidale e/o conservativo. Si calcolino l elemento d area e la normale a S. 3 Si calcoli il flusso di F attraverso S. Soluzione a pagina 94.

37 Esercizio 7. TESTI 3 Si consideri la seguente equazione alle derivate parziali: t ut, x xx ux, per t, x ], + [ ], π[, u x t, u x t, π, per t ], + [ u, x x + cos 5x per x ], π[. Si usi il metodo di separazione delle variabili per trovare una soluzione in forma di serie, e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Si calcoli, se esiste, il limite della soluzione per t +. Soluzione a pagina 94.

38 3 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, settembre Cognome e nome: matr. Esercizio 73. In R 3 si considerino: B : {x, y, z R 3 : x + y + z 4}, C : {x, y, z R 3 : x + y }, Γ : B C, π Γ : {y, z R : esiste x R tale che x, y, z Γ}. Si esprima π Γ in coordinate polari piane [Sugg.: si espliciti x + y nell equazione di C] Si dica se Γ è compatto. 3 Si provi che Γ interseca gli assi in tre punti distinti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione γt xt, t, zt in un intorno di ciascuno di tali punti, in caso affermativo si calcoli γt in tali punti. 4 Si determinino, se esistono, i punti di Γ situati alla minima e massima distanza dal punto A : 5,,. 5 Facoltativo. Si tracci un grafico qualitativo dall insieme π Γ. Soluzione a pagina 95. Esercizio 74. Posto Ω : {x, y, z R 3 : < z <, x + y <, x + y y, x < } si tracci un grafico accurato di Ω e si calcoli I : x x + y dx dy dz. Esercizio 75. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: Ω ϕr, θ x, y, / x + y, < x + y < 9, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z y + z, 4x 3z, /z 4. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt : 4, cos t +, 7 + sin t. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,, /. 5 Si calcoli il flusso di rot F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 98.

39 Esercizio 76. TESTI 33 Si consideri la seguente equazione alle derivate parziali: t ut, x xx ut, x + x ut, x per t, x ], + [ ], π[, u, x e x/ xπ x, ut, ut, π. Si utilizzi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione del problema in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina.

40 34 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, 3 settembre Cognome e nome: matr. Esercizio 77. In R si consideri l insieme: { } Γ : x, y R : e x +y x + y x. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si dica se Γ è compatto, si dica se R \ Γ è semplicemente connesso. 3 Si provi che Γ interseca gli assi nell origine e in altri due punti distinti P, P, e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione x xy in un intorno di P e P. [Sugg. non è richiesto di determinare in modo esplicito i punti di intersezione]. 4 Si consideri la funzione hx, y x/ x + y e si determinino, se esistono, i massimi e minimi di hx, y vincolati a Γ. 5 Facoltativo. Si tracci un grafico qualitativo dall insieme Γ. Soluzione a pagina. Esercizio 78. Ω e si calcoli Posto Ω : {x, y, z R 3 : < z <, x + y < } si tracci un grafico accurato di I : z y dx dy dz. Ω Soluzione a pagina 3. Esercizio 79. Si consideri la superficie S R 3 parametrizzata da: u + v ϕu, v, u v, u + v, < u < 5, < v < 5, e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z y + z, 4x 3z, x + y. Si calcolino divergenza e rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γ : [, π] R 3 di equazione γt :, cos t, sin t. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P 3,, 8. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 3.

41 Esercizio 8. TESTI 35 Si consideri la seguente equazione alle derivate parziali: tt ut, x xx ut, x per t, x ], + [ ], π[, u, x xπ x, ut, ut, π, u t, x. Si utilizzi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione del problema in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 4.

42 36 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Prima prova parziale di Analisi Matematica Verona, dicembre Cognome e nome: matr. Nota: i punti a. costituiscono la versione A del compito, quelli b. ne costituiscono la versione B. Esercizio 8. Studiare la convergenza in L, puntuale e uniforme delle seguenti serie: a. Sx π + n log n + e n n e n cos nx + cosnπ 5n+ sin nx. 63n 4 n n log n b. Sx 7 + n 3 + n + cos nx n/4 4n 6n 4 sin nx. n Calcolare π n Sx dx. Dire inoltre se Sx è continua, giustificando adeguatamente quanto asserito. Esercizio 8. Si consideri il sottoinsieme Γ di R definito da: a. Γ : {x, y R : x + y x + y } Soluzione a pagina 5. b. Γ : {x, y R : x + y x + y } Si richiede di: esprimere Γ in coordinate polari piane. dire se Γ è chiuso, e se Γ è compatto. 3 provare che Γ interseca gli assi in cinque punti distinti P, P, P 3, P 4, P 5 con P 5,. Si scrivano poi le rette tangenti r i, i,..., 4, a Γ nei punti P i, i,..., 4 e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 4 dire se esistono i massimi e minimi assoluti della funzione hx, y x + y vincolati a Γ e, in caso affermativo, determinarli. Esercizio 83. Soluzione a pagina 5. a. Per ogni α R, si determinino i punti critici della funzione g α : R R definita da g α x, y x 3 + x αxy + y e se ne stabilisca la natura. b. Per ogni α R, si determinino tutti i punti critici della funzione g α : R R definita da g α x, y 4x 3 + 6x + 3xy αy. Dopo aver verificato che O, è punto critico per ogni valore di α, si studi la natura di O, al variare di α. Esercizio 84. a. Calcolare I : b. Calcolare I : e x + y 3. D D Soluzione a pagina 8. + x + y 3/ dx dy dove D : {x, y R : x, y }. + x + y dx dy dove D è il triangolo delimitato dalle rette x, y

43 TESTI 37 Soluzione a pagina.

44 38 TESTI Cognome e nome: Esercizio 85. Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Seconda prova parziale di Analisi Matematica Verona, 3 febbraio matr. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : sin u cosv, sin u sinv, u, u [, π], v [, π], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z 5x, x + y + z, z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost, sin t, 3, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,, π. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Suggerimento: π sin 4 θ dθ 3π 4. 6 Facoltativo:Si calcoli il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 86. Si consideri l equazione differenziale dy dx y + xy + y3 3x x + y x Soluzione a pagina. con x. a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale; b. si scriva la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente y. c. si studi il segno della soluzione; d. si dica se essa è prolungabile ad una funzione C dell equazione per ogni x ; e. si dica se essa ammette asintoti e, in caso affermativo, li si determini. definita su tutto R che sia soluzione Soluzione a pagina 4. Esercizio 87. Si consideri la famiglia di funzioni: u ε x, y x ε x e y x + χ ε [ ε,ε] x. Si studi la convergenza puntuale di u ε x, y per ε +. Si calcoli F y : lim u ε x, y dx. ε + R Soluzione a pagina 6.

45 TESTI 39 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, 3 febbraio Cognome e nome: matr. Esercizio 88. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : 6x 4 y + 5x 4 + x y 4 + y 4 y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si dica se Γ è compatto. 3 Si provi che Γ interseca le bisettrici dei quadranti nell origine e in altri quattro punti distinti P i, i,, 3, 4, di cui P appartenente al primo quadrante aperto. Si determinino tali punti. Si indichi nel seguito con α l ascissa di P e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in P i, i,, 3, 4. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione x xy in un intorno di P i, i,, 3, 4. 4 Si consideri la funzione hx, y y e si determinino, se esistono, i massimi e minimi di hx, y vincolati a Γ. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo dall insieme Γ. Soluzione a pagina 6. Esercizio 89. l integrale: Si consideri l insieme Ω : {x, y R \ {, } : x, x + y y} e si calcoli I : Ω xy 4 x + y dx dy. Soluzione a pagina 7. Esercizio 9. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : sin u cosv, sin u sinv, u, u [, π], v [, π], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z 5x, x + y + z, z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost, sin t, 3, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,, π. 5 Si calcoli il flusso di F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Suggerimento: π sin 4 θ dθ 3π 4. 6 Facoltativo:Si calcoli il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 7.

46 4 TESTI Esercizio 9. Si consideri l equazione differenziale dy dx y3 + xy + 3x y, con x. x + y x a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale; b. si scriva la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente y. c. si studi il segno della soluzione; d. si dica se essa è prolungabile ad una funzione C dell equazione per ogni x ; e. si dica se essa ammette asintoti e, in caso affermativo, li si determini. definita su tutto R che sia soluzione Soluzione a pagina 8.

47 TESTI 4 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, 7 febbraio Cognome e nome: matr. Esercizio 9. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + 4x 3 + x y + y 4 y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si dica se Γ è compatto. 3 Si provi che Γ interseca le bisettrici dei quadranti nell origine e in altri quattro punti distinti P i, i,, 3, 4. Si determinino tali punti e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in P i, i,, 3, 4. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di P i, i,, 3, 4. 4 Si consideri la funzione hx, y x + y e si determinino, se esistono, i massimi e minimi di hx, y vincolati a Γ. [Suggerimento: dall espressione in coordinate polari, si usi il Teorema di Dini per studiare le derivate di ρ ρθ, studiando a parte i punti dove la funzione non è esplicitabile.] Soluzione a pagina 8. Esercizio 93. Si consideri l insieme Ω : {x, y, z, t R 4 : x, 3 y 4, z, 3 t 4} e si calcoli l integrale: I : x + y dx dy dz dt. z + t Ω Soluzione a pagina 8. Esercizio 94. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : 3u + v, u + 4v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z x + y, x + y + z, z y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost, 3 sint,, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P 3,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 9.

48 4 TESTI Esercizio 95. Si consideri l equazione alle derivate parziali t ut, x 36 xxut, x, in ], + [ ], π[, ut, ut, π, u, x e x. Si applichi il metodo di separazione delle variabili per scrivere la soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina.

49 Cognome e nome: TESTI 43 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, giugno matr. Esercizio 96. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : 3x y + x + 6y 4 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si dica se Γ è compatto. 3 Si provi che Γ interseca la retta x in quattro punti distinti P i, i,, 3, 4. Si determinino tali punti e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in P i, i,, 3, 4. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione x xy in un intorno di P i, i,, 3, 4. 4 Si consideri la funzione hx, y x + y e si determinino, se esistono, i massimi e minimi di hx, y vincolati a Γ. Soluzione a pagina. Esercizio 97. dove Sia α >. Calcolare I α : R α log x + log y dx dy, xy { R α : x, y R :x >, y >, α log x + log y α, log x + log y } log x + log y. Esercizio 98. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z x z, z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : 3 cost, 3 sint,, t [, π]. Soluzione a pagina 4. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 4. Esercizio 99. Si consideri la seguente equazione differenziale: dy dx exy xy xy x e xy y

50 44 TESTI a. Si scriva l equazione data come equazione totale. b. Si scriva la soluzione dell equazione data in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. c. Per ogni ε >, si provi che se y è una soluzione dell equazione definita in ], ε[, allora lim x + yx +. Soluzione a pagina 7.

51 TESTI 45 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, luglio Cognome e nome: matr. Esercizio. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : 4x 4 + 5x 6xy + 4y 4 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si provi che Γ interseca la retta y x nell origine e in altri due punti distinti P i, i,. Si determinino tali punti e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in P i, i,. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di P i, i,. 3 Si consideri la funzione 4x x 4 + y 4 hx, y : y 4, se y, se y, e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo vincolati a Γ. Non è richiesta la determinazione esplicita dei punti di massimo. [Sugg. Ponendo y mx nell equazione fx, y che definisce Γ si ottiene...] Soluzione a pagina 8. Esercizio. Posto R : { x, y R : x >, y >, x x + y x }, calcolare: xy dx dy I : x + y + x + y. R Soluzione a pagina 9. Esercizio. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z xyz, y, z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : 3 cost,, sint, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 3.

52 46 TESTI Esercizio 3. Si consideri il seguente problema differenziale: tt ut, x + t ut, x xx ut, x, se t >, < x < π, ut, ut, π, se t >, t u, x, se < x < π, u, x x, se < x < π. Si applichi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie. Si discuta la convergenza della serie ottenuta, stabilendo se essa effettivamente è una soluzione del problema. Soluzione a pagina 3.

53 TESTI 47 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. / Appello di Analisi Matematica Verona, 7 settembre Cognome e nome: matr. Esercizio 4. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 3 3x y + xy 6 6 Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. In caso negativo, si determini se ammette asintoti. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : xy e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. }. Soluzione a pagina 34. Esercizio 5. Posto { Ω : x, y R : x, y >, < x + y < 9, si tracci il grafico del dominio Ω e si calcoli y x I : + y x logy + x dx dy. Ω 3 3 < y x < } 3, Soluzione a pagina 36. Esercizio 6. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z xz, y + z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : cost, t + 3 sint,, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 36.

54 48 TESTI Esercizio 7. Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari del primo ordine: ẋ x 7y 3e t ẏ 6x + y + e t. Si scriva la soluzione generale del sistema, precisandone l intervallo massimale di esistenza. Si scriva la soluzione γ P t xt, yt passante per il punto P, al tempo t. 3 Si dica se γ P t è limitata per t >. Esistono soluzioni limitate per t >? Soluzione a pagina 39.

55 Cognome e nome: TESTI 49 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. /3 Prima prova parziale di Analisi Matematica Verona, 7 dicembre matr. Nota: i punti a. costituiscono la versione A del compito, quelli b. ne costituiscono la versione B. Esercizio 8. Si considerino le seguenti serie: a. Sx : 5 + e n + n log n n 5 + e n + cosnx. n b. Sx : 5 + arctan n + n log 6n n 6 + e 5n cosnx. + 3 n Giustificando adeguatamente le risposte, si chiede di: studiare la convergenza puntuale, uniforme, totale e in L π, π della serie data. calcolare 3π π π Sx dx. 3 dire se S è continua, se è pari oppure dispari e se è di classe C. 4 provare che Esercizio 9. π Sx dx > 5π/. a., b. Si consideri il sottoinsieme Γ di R definito da: Γ : {x, y R : x + y 4 + xy x + y }. Soluzione a pagina 4. Si richiede di: esprimere Γ in coordinate polari piane. dire se Γ è chiuso, e se Γ è compatto. 3 provare che Γ interseca gli assi in cinque punti distinti P, P, P 3, P 4, P 5 con P 5,. Si scrivano poi le rette tangenti r i, i,..., 4, a Γ nei punti P i, i,..., 4 e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 4 dimostrare che la funzione hx, y x + y ammette massimo e minimo assoluti vincolati a Γ, e che i punti di massimo e minimo assoluti sono date dalle intersezioni di Γ con la retta y x [Nota: non si richiede la determinazione esatta dei massimi e dei minimi vincolati.] Soluzione a pagina 4. Esercizio. Al variare del parametro α R, si consideri la funzione g α : R R definita da a. g α x, y + αx + 4xy + α 3y + x + y 3. b. g α x, y + αy + 4xy + α 3x + y + x 3. Dopo aver determinato tutti i punti critici di g α e aver provato che l origine è punto critico di g α per ogni α R, si stabilisca se l origine è punto di massimo relativo, di minimo relativo o sella. Soluzione a pagina 43. Esercizio. integrali: Dopo aver tracciato un grafico accurato del dominio Ω, si calcolino i seguenti

56 5 TESTI a. I : b. I : Ω Ω xy 4 x + y dx dy, dove Ω : {x, y R \ {, } : x, x + y y}. x ye x y + x + y dx dy, dove Ω : {x, y R : x + y <, x y < π}. Soluzione a pagina 45.

57 TESTI 5 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. /3 Seconda prova parziale di Analisi Matematica Verona, 6 febbraio 3 Cognome e nome: matr. Esercizio. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, u + v +, v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z xyz, y z, x. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost,, sint +, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si calcoli il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 46. Esercizio 3. Si consideri il seguente problema differenziale: 4 t ut, x xxut, x, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t >, u, x x, per x ], π[. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 48. Esercizio 4. Al variare di ε > si considerino le funzioni: x f ε x, y : ε tan cos y x, per x επ/4, ε, altrimenti. Si calcoli il limite puntuale di f ε x, y per ε +, si calcoli F y : lim f ε x, y dx, ε + R e si dica se vale il passaggio al limite sotto al segno di integrale. Soluzione a pagina 5.

58 5 TESTI Cognome e nome: Esercizio 5. Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. /3 Si consideri l insieme Appello di Analisi Matematica Verona, 6 febbraio 3 matr. Γ : {x, y R : x 6 3x 4 y 3x y 4 + 4x + 8xy y 6 + 4y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si provi che Γ interseca gli assi in cinque punti di cui uno è l origine. Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nei punti di Γ {xy } diversi dall origine. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 3 Si determinino massimi e minimi della funzione hx, y x 4 + x y + y 4 vincolati a Γ. 4 Si dica se Γ è compatto. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 5. Esercizio 6. Si calcoli il volume del solido V intersezione della sfera B : {x, y, z : x +y +z } con il cono C : {x, y, z : z x + y }. Esercizio 7. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, u + v +, v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z xyz, y z, x. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost,, sint +, t [, π]. Soluzione a pagina 5. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si calcoli il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 8. Si consideri il seguente problema differenziale: 4 t ut, x xxut, x, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t >, u, x x, per x ], π[. Soluzione a pagina 5. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 5.

59 Cognome e nome: TESTI 53 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. /3 Appello di Analisi Matematica Verona, 5 febbraio 3 matr. Esercizio 9. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + y + 4y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 5. Esercizio. Si determini l area della porzione del paraboloide P di equazione zx, y 4 x y che giace nel semispazio z >. Esercizio. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : v u, v u, u, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z y + z, x 3 + z, x + y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : sint,, t, t [, π]. Soluzione a pagina 5. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio. Si consideri la seguente equazione differenziale: dy dx y y x y 3 6. Si richiede di: a. scrivere tale equazione come equazione totale ωx, y. b. risolvere l equazione totale ωx, y. Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y. c. si dica se tale funzione è definita su tutto R e se ammette asintoti. d. si dica se tale soluzione è strettamente monotona nel suo intervallo di esistenza. Soluzione a pagina 5.

60 54 TESTI Soluzione a pagina 56.

61 Cognome e nome: TESTI 55 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. /3 Appello di Analisi Matematica Verona, 7 giugno 3 matr. Esercizio 3. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + x 3 x + y 4 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx o x xy in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x 4 + y 4 e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 57. Esercizio 4. Dopo aver tracciato un grafico accurato di Ω : {x, y R : x + y x y}, si calcoli l integrale: x + y I : Ω x y dx dy. Soluzione a pagina 58. Esercizio 5. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : uu + v, vu v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : y z, x, x y + z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : t cost,, sint, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 58. Esercizio 6. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine: ẋt t + xt + 3yt, ẏt xt + yt. Soluzione a pagina 6.

62 56 TESTI Cognome e nome: Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. /3 Appello di Analisi Matematica Verona, 8 luglio 3 matr. Esercizio 7. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + x + y 4 6 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 6. Esercizio 8. Definiamo Ω : {x, y R : x + 6y < 4, x y < π }. Si tracci il grafico di x + 6y 3 Ω e si calcoli il seguente integrale doppio: I : arctan x y dx dy. 3 Esercizio 9. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u v, u v, u 3 + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : yz,, x + y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : t cos t, 3 sin t, t, t [, π]. Ω Soluzione a pagina 6. [Suggerimento: si utilizzi la relazione cost cos t sin t. Si presti particolare attenzione agli estremi di integrazione.] 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 3. Si consideri il seguente problema differenziale: t ut, x + 4 xxut, x + ut, x, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t > u, x x, per x ], π[. Soluzione a pagina 6. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta.

63 TESTI 57 Soluzione a pagina 64.

64 58 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. /3 Appello di Analisi Matematica Verona, 3 settembre 3 Cognome e nome: matr. { Esercizio 3. In R si consideri l insieme Γ : x, y R : x + y + y } x y. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Esercizio 3. Posto { Ω : x, y [, + [ [, + [: x + y, 3 3 x < y < } 3x, dopo aver tracciato un grafico accurato di Ω, si calcoli il seguente integrale: x dx dy I : y cos x + y. Esercizio 33. Ω In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, u 4 + v 4, u v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x z, z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : cost, 3 sint,, t [, π]. Soluzione a pagina 66. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 34. Si consideri la seguente equazione differenziale: y x y5xy x y 3. a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. Soluzione a pagina 67.

65 TESTI 59 b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. c. Si determini una forma implicita per la soluzione soddisfacente a y. Soluzione a pagina 7.

66 6 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. /3 Appello di Analisi Matematica Verona, 7 settembre 3 Cognome e nome: matr. Esercizio 35. In R si consideri l insieme Γ : {x, y R : x + y } 3 xy. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con le bisettrici, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Esercizio 36. Posto Ω : { x, y R : x + y, y x }, dopo aver tracciato un grafico accurato di Ω si calcoli il seguente integrale: x + y 3 cosx + y y I : x sin dx dy. x Esercizio 37. Ω In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, u, v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x + y + z, x + z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : cost, sint,, t [, π]. Soluzione a pagina 7. Soluzione a pagina 7. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 7. Esercizio 38. Si scriva la soluzione generale del seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti: { x t 4xt + yt + t y t xt + 3yt. Si determini poi la soluzione soddisfacente a x, y,.

67 TESTI 6 Soluzione a pagina 73.

68 6 TESTI Cognome e nome: n Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 3/4 Prima prova parziale di Analisi Matematica Verona, dicembre 3 matr. Esercizio 39. Studiare la convergenza in L, puntuale e uniforme delle seguenti serie: cosnπ + tan/n a. Sx 6 + n cos nx + n cosnπ 9 5n sin nx. Calcolare b. Sx π + π Esercizio 4. n n log n n 5 + n + cos nx n 4n 6n 4 n sin nx. Sx dx. Dire inoltre se Sx è continua, giustificando adeguatamente quanto asserito. Si consideri il sottoinsieme Γ di R definito da: Γ : {x, y R : x 6 x y 4 + y 8 }. Soluzione a pagina 75. Si richiede di: esprimere Γ in coordinate polari piane. dire se Γ è chiuso, e se Γ è compatto. 3 provare che Γ interseca le bisettrici in cinque punti distinti P, P, P 3, P 4, P 5 con P 5,. Si scrivano poi le rette tangenti r i, i,..., 4, a Γ nei punti P i, i,..., 4 e si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 4 dire se esistono i massimi e minimi assoluti della funzione hx, y x vincolati a Γ e, in caso affermativo, determinarli. Esercizio 4. a. Per ogni α R, si consideri la funzione g α : R R definita da g α x, y α αx 4αxy + α xy + 4αy 4 α y Soluzione a pagina 75. Dopo aver verificato che O, è punto critico per ogni valore di α, si studi la natura di O, al variare di α. b. Si determinino i punti critici della funzione f : R R definita da Esercizio 4. e se ne stabilisca la natura. a. I : D fx, y x 4 + 4x y y x 5, Soluzione a pagina 77. Dopo aver tracciato un grafico accurato del dominio di integrazione, calcolare: x + y dx dy dove D : {x, y R : x + y x, y },

69 b. J : E TESTI 63 e x+y x y dx dy dove E è il trapezio di vertici,,,,, e,. Soluzione a pagina 78.

70 64 TESTI Cognome e nome: Esercizio 43. Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 3/4 Seconda prova parziale di Analisi Matematica Verona, 5 febbraio 4 matr. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : v 3 + cosu, v 3 + sinu, v, u [ π, π], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x + y, z y, z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : cost, sint, t, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 44. Si consideri la seguente equazione differenziale: Soluzione a pagina 79. y x x y 3 6y 4 + 5y 6xy 3. + x a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y 5/6 /3. c. Si dica se è definita su tutto R, in caso negativo se ne determini l intervallo massimale di esistenza. d. Si dica se ammette asintoti e di che tipo. e. Se ne tracci un grafico qualitativo. Esercizio 45. Per ogni n N \ {} si consideri g n t : n sin nt χ π [ π/n,π/n] t, dove χ A t se t / A e χ A t se t A. Si ponga f n y : g n t arctany + t dt. Si studi la convergenza puntuale e uniforme della successione {g n } n N e si calcoli fy : Vale il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale? R Soluzione a pagina 8. lim f ny. n + Soluzione a pagina 83.

71 Cognome e nome: TESTI 65 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 3/4 Appello di Analisi Matematica Verona, 5 febbraio 4 matr. Esercizio 46. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + xy + y 4 + y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 83. Esercizio 47. Sia Ω la regione finita di piano delimitata dalle rette x+y, x+y, x y, x y 3. Dopo aver tracciato un grafico accurato di Ω si calcoli I : x + y dx dy. Esercizio 48. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: Ω Soluzione a pagina 84. ϕu, v : v 3 + cosu, v 3 + sinu, v, u [ π, π], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x + y, z y, z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : cost, sint, t, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 49. Si consideri il seguente problema differenziale: t ux, t + 6 xxux, t + ux, t, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t > u, x x +, per x ], π[. Soluzione a pagina 85. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta.

72 66 TESTI Soluzione a pagina 85.

73 Cognome e nome: TESTI 67 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 3/4 Appello di Analisi Matematica Verona, febbraio 4 matr. Esercizio 5. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + x y + x y + y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 87. Esercizio 5. Sia D la regione finita del primo quadrante delimitata da xy, xy 9, y x, y 4x. Dopo aver tracciato un grafico accurato di D si calcoli y I : x + xy dx dy. Esercizio 5. D In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u v, u + 4v, u 3 v 3, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : z 4x, x + y, x + y + z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt :, 3 sint, 3 cost, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 53. Si consideri la seguente equazione differenziale: Soluzione a pagina 89. y x xy 3 y 3. a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y.

74 68 TESTI c. Si dica se è definita su tutto R, in caso negativo se ne determini l intervallo massimale di esistenza. d. Si dica se ammette asintoti e di che tipo. e. Se ne tracci un grafico qualitativo. Soluzione a pagina 9.

75 Cognome e nome: TESTI 69 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 3/4 Appello di Analisi Matematica Verona, 8 giugno 4 matr. Esercizio 54. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + 5x y + 6y 3 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 9. Esercizio 55. l integrale: Si consideri l insieme Ω : {x, y R \ {, } : x, x + y y} e si calcoli I : Ω xy 4 x + y dx dy. Soluzione a pagina 93. Esercizio 56. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : 4u 5v, u + v +, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x z, z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 3 cost, sint, 3 sint, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 93. Esercizio 57. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine: ẋt t + xt + 3yt, ẏt xt + yt. Soluzione a pagina 96.

76 7 TESTI Cognome e nome: Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 3/4 Appello di Analisi Matematica Verona, 9 luglio 4 matr. Esercizio 58. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 x 3 y xy 3 + y 4 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Esercizio 59. Indicato con D il triangolo di vertici,,, e,, si calcoli I : x sin y x dx dy. Si tracci un grafico accurato del dominio prima di iniziare lo svolgimento. Esercizio 6. D In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u, v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : xyz, y + z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : t cost, sint,, t [, π]. Soluzione a pagina 98. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 6. Si consideri il seguente problema differenziale: t ux, t + 3 xxux, t, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t > u, x 4x, per x ], π[. Soluzione a pagina 99. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta.

77 TESTI 7 Soluzione a pagina 3.

78 7 TESTI Cognome e nome: Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 3/4 Appello di Analisi Matematica Verona, 4 settembre 4 matr. Esercizio 6. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 3 + 3xy + y 3 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Esercizio 63. Si calcoli il seguente integrale: I : arcsinx + y dx dy, D dove D è il dominio delimitato dalla curva di equazione polare ρ sin θ per θ [, π]. Esercizio 64. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u v, u + v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : y z, x, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : t, 3 sin t, cos t, t [, π]. Soluzione a pagina 34. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 65. Si consideri la seguente equazione differenziale: Soluzione a pagina 35. y x 4x3 y 3 + 6x 4 y. a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y.

79 TESTI 73 c. Si dica se è definita su tutto R, in caso negativo se ne determini l intervallo massimale di esistenza. d. Si dica se ammette asintoti e di che tipo. e. Se ne tracci un grafico qualitativo. Soluzione a pagina 37.

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81 Cognome e nome: TESTI 75 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 3/4 Appello di Analisi Matematica Verona, 8 settembre 4 matr. Esercizio 66. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 3 + x + e y y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x 3 e si dica se esistono punti di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ non è necessario determinarli esplicitamente. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 38. Esercizio 67. Posto Ω : {x, y, z R 3 : < z <, x + y <, x + y y, x < } si tracci un grafico accurato di Ω e si calcoli I : x x + y dx dy dz. Esercizio 68. Ω In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : xz, z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : cost, sint,, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 39. Esercizio 69. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine: ẋt t + xt + yt, ẏt 3xt + yt. Soluzione a pagina 3.

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83 TESTI 77 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 4/5 Prima prova parziale di Analisi Matematica Verona, dicembre 4 Cognome e nome: matr. Esercizio 7. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4x + y } x + y. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 33. Esercizio 7. Si consideri la seguente serie di funzioni: sinnπ/ e n t cosnx, nπ n dove t >, x [ π, π]. Si studi la convergenza puntuale, uniforme e totale della serie e si dica se tale serie risolve l equazione t u xxu + u in t >, x ] π, π[. Soluzione a pagina 36. Esercizio 7. Si calcoli il volume del solido di R 3 ottenuto sezionando il cilindro x + y 9 con i piani y + z 5 e z. Soluzione a pagina 37. Esercizio 73. Si consideri la funzione f α x, y αx 9x + 4αxy 6xy + α y + 8αy 9y, al variare di α R. Si determinino massimi e minimi relativi di f α al variare di α R. Soluzione a pagina 37.

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85 TESTI 79 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 4/5 Seconda prova parziale di Analisi Matematica Verona, febbraio 5 Cognome e nome: matr. Esercizio 74. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x z, yz, x yz. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 3 cost, 3 sint,, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 37. Esercizio 75. Si consideri la seguente equazione differenziale: y x y3 x 5y 5xy a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y. c. Si dica se è definita su tutto R, in caso negativo se ne determini l intervallo massimale di esistenza. d. Si dica se ammette asintoti e di che tipo. e. Se ne tracci un grafico qualitativo. Soluzione a pagina 39. Esercizio 76. Risolvere il sistema: { ẋ t x t + 3x t + t +, ẋ t x t x t. con le condizioni x, x. Soluzione a pagina 3.

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87 TESTI 8 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 4/5 Appello di Analisi Matematica Verona, febbraio 5 Cognome e nome: matr. { Esercizio 77. In R si consideri l insieme Γ : x, y R : 3x 4 + 4x y x x + y + y 4 + }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 33. Esercizio 78. Calcolare l area della porzione della superficie di equazione z arctany/x soddisfacente a x y e x + y 6. [Suggerimento: per calcolare una primitiva di + u si ponga u et e t sinh t da cui t logu + + u, du cosh t dt...] Soluzione a pagina 34. Esercizio 79. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x z, yz, x yz. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 3 cost, 3 sint,, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 8. Si consideri il seguente problema differenziale: t ux, t 4 xxux, t + ux, t, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t > u, x 3x, per x ], π[. Soluzione a pagina 35. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 35.

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89 Cognome e nome: TESTI 83 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 4/5 Appello di Analisi Matematica Verona, 6 febbraio 5 matr. Esercizio 8. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 x y + x + 4xy y 4 + y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Esercizio 8. Data la curva C di equazione cartesiana 4x y + 4x x y x y, Soluzione a pagina 37. calcolare l area della regione limitata dall arco di curva C che ha per estremi i punti,, 4,, 3 dall asse delle x, e dalla retta x. [Suggerimento: nel calcolo di alcuni degli integrali può essere 4 conveniente la sostituzione t x.] Esercizio 83. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + 3v, u v, 4u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : z y, x + z, x. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 3 cost, 3 sint,, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 84. Si consideri la seguente equazione differenziale: y x 36x3 8x y 3. a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. Soluzione a pagina 39.

90 84 TESTI b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y. c. Si dica se è definita su tutto R. d. Si dica se ammette asintoti e di che tipo. e. Se ne tracci un grafico qualitativo. Soluzione a pagina 33.

91 Cognome e nome: TESTI 85 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 4/5 Appello di Analisi Matematica Verona, giugno 5 matr. Esercizio 85. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 4x y + 3y 4 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x y x 3 e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 33. Esercizio 86. Definiamo Ω : {x, y R : < xy <, x/4 < y < x}. Si tracci il grafico di Ω e si calcoli l area di Ω. Esercizio 87. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, u 3v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : xz, yz, x + y +. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 3 cost, 3 sint, t, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 333. Esercizio 88. del primo ordine: Si trovi la soluzione generale del seguente sistema di equazioni differenziali lineari ẋt t + xt + yt, ẏt 4xt + yt + 4. Soluzione a pagina 336.

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93 Cognome e nome: TESTI 87 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 4/5 Appello di Analisi Matematica Verona, 3 settembre 5 matr. Esercizio 89. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + 8y + 8y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Esercizio 9. dove dσ è l elemento d area di Σ. Esercizio 9. Sia Σ {x, y, z R 3 : z, z x y }. Si calcoli I : x + y dσ, In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: Σ ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x yz, xz, y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 4 cost, sint, t, t [, π]. Soluzione a pagina 337. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 9. Si consideri il seguente problema differenziale: t ux, t + xxux, t + x ux, t + 6ux, t, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t > u, x 5x, per x ], π[. Soluzione a pagina 338. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 34.

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95 TESTI 89 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 5/6 Prima prova parziale di Analisi Matematica Verona, 3 novembre 5 Cognome e nome: matr. Esercizio 93. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + 4x + y 3 + y + 4y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si considerino le funzioni hx, y : x 4 e kx, y : y e si dica se esistono punti di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. [In caso affermativo, non è necessaria l esatta determinazione di tali punti.] 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 34. Esercizio 94. Data la curva γ nel piano xz definita da { xt sin t, γt : zt log cos t, t [, π [, si calcoli il volume della regione illimitata di spazio che si ottiene ruotando la curva intorno all asse z. Mostrare inoltre che la superficie che delimita questa regione ha area finita. Soluzione a pagina 34. Esercizio 95. Al variare di α R, si determinino il dominio e i massimi e minimi relativi e assoluti della funzione { } f α x, y : arcsin max, e x +y x+αy+. Soluzione a pagina 344. Esercizio 96. Data la curva γ definita da { x + y + 4z 4, x + y z x. Si determini il punto di γ dove la terza componente assume il suo valore massimo. Soluzione a pagina 344.

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97 TESTI 9 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 5/6 Seconda prova parziale di Analisi Matematica Verona, febbraio 6 Cognome e nome: matr. Esercizio 97. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x z, z, x + x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 3 cost, sint, t, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 346. Esercizio 98. Si consideri il seguente problema differenziale: 3 t ux, t 4 xxux, t + ux, t, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t > u, x 7x, per x ], π[. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 349. Esercizio 99. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine: ẋt xt + yt + sint, ẏt 3xt + 4yt. Soluzione a pagina 35.

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99 Cognome e nome: TESTI 93 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 5/6 Appello di Analisi Matematica Verona, febbraio 6 matr. Esercizio. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + 3xy + 3y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y x e si determinino, se esistono, i massimi e minimi di hx, y vincolati a Γ. 4 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo dall insieme Γ. Soluzione a pagina 35. Esercizio. Calcolare il volume del solido delimitato dalle superfici di equazione z x + y e z 3 x + y. Esercizio. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x z, z, x + x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 3 cost, sint, t, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 354. Esercizio 3. Si consideri la seguente equazione differenziale: y x xy 6 5y x y a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y3. c. Si dica se è definita su tutto R, in caso negativo se ne determini l intervallo massimale di esistenza. d. Si dica se ammette asintoti e di che tipo.

100 94 TESTI e. Se ne tracci un grafico qualitativo. Soluzione a pagina 354.

101 TESTI 95 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 5/6 Appello di Analisi Matematica Verona, 5 febbraio 6 Cognome e nome: matr. Esercizio 4. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : 6x 4 y + 5x 4 + x y 4 + y 4 y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane. Si dica se Γ è compatto. 3 Si provi che Γ interseca le bisettrici dei quadranti nell origine e in altri quattro punti distinti P i, i,, 3, 4, di cui P appartenente al primo quadrante aperto. Si determinino tali punti. Si indichi nel seguito con α l ascissa di P e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in P i, i,, 3, 4. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione x xy in un intorno di P i, i,, 3, 4. 4 Si consideri la funzione hx, y y e si determinino, se esistono, i massimi e minimi di hx, y vincolati a Γ. 5 Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo dall insieme Γ. Soluzione a pagina 355. Esercizio 5. Dopo averne tracciato un grafico accurato, si trovi il volume limitato dal paraboloide di equazione z x + y e dalla superficie di equazione z 4 y. Esercizio 6. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x y, z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : 3t, 3 sint,, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 7. Si consideri il seguente problema differenziale: 3 t ux, t 4 xxux, t + ux, t, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t > u, x 7x, per x ], π[. Soluzione a pagina 356. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 359.

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103 TESTI 97 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 5/6 Appello di Analisi Matematica Verona, 7 giugno 6 Cognome e nome: matr. { Esercizio 8. In R si consideri l insieme Γ : x, y R : x 4x + y } x + y. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 36. Esercizio 9. Sia A la porzione di piano contenuta nel primo quadrante e racchiusa fra le curve di equazione x y e x 3 + y 3 xy con x y. Calcolare il volume del cilindroide di base A delimitato dal grafico della funzione fx, y y/x. [Suggerimento: utilizzare le formule di Gauss-Green]. Esercizio. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : 4u + v, v u, u 3v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : 3x z, y + z, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : cost, 3 sint, 3 sint, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,, 3. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 36. Esercizio. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine: ẋt 5xt + 4yt + t, ẏt xt + 3yt. Soluzione a pagina 364.

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105 Cognome e nome: Esercizio. In R si consideri l insieme Γ : TESTI 99 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 5/6 Appello di Analisi Matematica Verona, settembre 6 matr. { x, y R \ {, } : x y + y 4 + } x + y. x + y Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 366. Esercizio 3. Posto D {x, y R : x + y, x + y + y, y 3x, x } si calcoli I : x + y 3/ dx dy. D Esercizio 4. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u + v, v u, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x y, z, x z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : sint, sin t,, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 5. Si consideri la seguente equazione differenziale: Soluzione a pagina 367. y x x4 3y 3 3x 5. y a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita.

106 TESTI Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y. c. Si dica se è definita su tutto R, in caso negativo se ne determini l intervallo massimale di esistenza. d. Si dica se ammette asintoti e di che tipo. e. Se ne tracci un grafico qualitativo. Soluzione a pagina 37.

107 TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 6/7 Prima prova parziale di Analisi Matematica Verona, dicembre 6 Cognome e nome: matr. Esercizio 6. In R si consideri l insieme { Γ : x, y R : x + y 5/ x + y } 3/ + 6x 6y. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con le bisettrici dei quadranti, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 37. Esercizio 7. Si consideri il seguente insieme E : {x, y, z R 3 : x, y, arctanx + y z π/4}. Si disegni E e se ne calcoli il volume. Soluzione a pagina 373. Esercizio 8. Si consideri in R 3 l insieme definito da { z 3 + z + y x, x + y. Si provi che tale insieme è una curva γ di classe C in R 3, e si determini il punto di γ con terza componente massima. Soluzione a pagina 373. Esercizio 9. Dire se esistono massimi e minimi assoluti della funzione f e, in caso affermativo, determinarli. π sin fx, y : xy4 + x y. 4 [Suggerimento: utilizzare metodi indiretti] Soluzione a pagina 374.

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109 TESTI 3 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 6/7 Seconda prova parziale di Analisi Matematica Verona, 6 febbraio 7 Cognome e nome: matr. Esercizio. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u v, u v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : y z, x 3, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost, sint,, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 374. Esercizio. Si consideri il seguente problema differenziale: t ut, x xxut, x + ut, x, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t >, u, x x, per x ], π[. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 378. Esercizio. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine: ẋt 4xt + yt + 4t, ẏt 6yt xt. Soluzione a pagina 379.

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111 TESTI 5 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 6/7 Appello di Analisi Matematica Verona, 6 febbraio 7 Cognome e nome: matr. Esercizio 3. In R si consideri l insieme { Γ : x, y R : x + y 5/ 4 x + y 3/ } + x + y y. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 38. Esercizio 4. Sia D : { x, y R : x + y 3, x + y x, x + y y, x, y }. Dopo aver tracciato un grafico accurato di D, si calcoli x + y I : x dx dy. + y D Soluzione a pagina 38. Esercizio 5. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : u v, u v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : y z, x 3, x y. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost, sint,, t [, π]. 3 Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 38.

112 6 TESTI Esercizio 6. Si consideri il seguente problema differenziale: t ut, x xxut, x + ut, x, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t >, u, x x, per x ], π[. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 38.

113 Cognome e nome: TESTI 7 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 6/7 Appello di Analisi Matematica Verona, febbraio 7 matr. Esercizio 7. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 + x 3 3x + y 3 + y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Soluzione a pagina 38. Esercizio 8. Posto D : {x, y R : x + y, x + y, y }, dopo aver tracciato un grafico accurato di D si calcoli I : x y + x 4 y 3 dx dy. Esercizio 9. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : uu + v, vu v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : x z, x + y z, x y + z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost,, sint, t [, π]. D Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 3. Si consideri la seguente equazione differenziale: Soluzione a pagina 38. y x 8x y 4 y 6 xy a. Si scriva tale equazione come equazione differenziale totale. b. Si risolva l equazione trovando la soluzione generale in forma implicita e, se possibile, in forma esplicita. Si consideri ora la soluzione soddisfacente a y. c. Si dica se è definita su tutto R, in caso negativo se ne determini l intervallo massimale di esistenza.

114 8 TESTI d. Si dica se ammette asintoti e di che tipo. e. Se ne tracci un grafico qualitativo. Suggerimento: per c., d., e., utilizzare una parametrizzazione opportuna della forma implicita della soluzione. Soluzione a pagina 385.

115 TESTI 9 Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 6/7 Appello di Analisi Matematica Verona, giugno 7 Cognome e nome: matr. Esercizio 3. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x 4 x y + x + 4xy y 4 + y }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e, ove possibile, si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Esercizio 3. Esercizio 33. Calcolare il volume e la superficie della regione dello spazio D : { x, y, z R 3 : x + y + z 4 e x + y + z + 9 }. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : uu + v, vu v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : yz, y + z, z x. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli l integrale di linea di F lungo la curva γt : cost, t, sint, t [, π]. Soluzione a pagina 387. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Soluzione a pagina 387. Esercizio 34. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine: ẋt xt + yt + 8t, ẏt 3xt + yt. Soluzione a pagina 39.

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117 Cognome e nome: TESTI Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata a.a. 6/7 Appello di Analisi Matematica Verona, 4 settembre 7 matr. Esercizio 35. In R si consideri l insieme Γ : { x, y R : x + y 4 + x + y 3 x + y + y 4 }. Si esprima Γ in coordinate polari piane e si dica se è compatto. Si determinino i punti di intersezione di Γ con gli assi, e si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ in tali punti. Si dica se Γ definisce implicitamente una funzione y yx in un intorno di essi. 3 Si consideri la funzione hx, y : x + y 4 + y 4 e se ne determinino, se esistono, i valori di massimo e minimo assoluti vincolati a Γ. 4 Facoltativo: si tracci un grafico qualitativo di Γ. Esercizio 36. Esercizio 37. Calcolare il volume del solido Soluzione a pagina 39. D : {x, y, z R 3 : x + 3y + z, 6y + z x, y + z /4}. In R 3 sia assegnata la superficie Σ parametrizzata da: ϕu, v : uu + v, v u v, u + v, u [, ], v [, ], e il campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da: F x, y, z : y, x + y, x 3y + 3z. Si calcolino la divergenza e il rotore di F. Si dica se il campo F è conservativo. Si calcoli la circuitazione di F lungo la curva γt : cost, t, sint, t [, π]. Soluzione a pagina Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l elemento di superficie -dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. 4 Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto P 4,,. 5 Si scriva il flusso di F e di rot F attraverso Σ con l orientamento indotto dalla parametrizzazione. Esercizio 38. Si consideri il seguente problema differenziale: 3 t ut, x xxut, x + ut, x, per t >, x ], π[, ut, ut, π, per t >, u, x x +, per x ], π[. Soluzione a pagina 393. Si usi il metodo di separazione delle variabili per ottenere una soluzione in forma di serie e si discuta la convergenza della serie ottenuta. Soluzione a pagina 397.

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119 SOLUZIONI 3 Svolgimento Esercizio. Poniamo ϕθ, y ϕ, ϕ, ϕ 3 e F F, F, F 3. Si ha divf x, y, z x F + y F + z F 3 x + /, rot F det e x x e y y/ e 3 z x,,. Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo. Dal teorema di Stokes, la circuitazione è il flusso del rotore attraverso la superficie D {x,, z : x + z } con normale,,, infatti la normale,, su D induce per la regola della mano destra l orientamento richiesto su γ. Il flusso è: rot F ˆn dσ dσ AreaD π. D Verifichiamo il risultato: π F dγ F cos θ,, sin θ sin θ,, cos θ dθ γ π D 3/ cos θ sin θ + cos θ dθ π Quindi la circuitazione non è nulla, il che conferma come F non sia conservativo. 3 La matrice Jacobiana è y + sin θ y cos θ y + Jac ϕθ, y. y y sin θ + cos θ y + Per la formula di Binet, l elemento d area è: ω det B + det B + det B 3, dove y + sin θ y cos θ B y +, det B y + sin θ. B y y cos θ + sin θ y + y y sin θ, det B y, + cos θ B 3 y + cos θ y + y sin θ y +, det B 3 y + cos θ. da cui ω y +. 4 Una base dello spazio tangente è data dalle colonne della matrice Jacobiana di ϕ. In particolare, nel punto,, ϕ, si ha,, e,,. La normale deve essere ortogonale a questi due vettori, e avere norma uno, per cui è della forma ±,,. Verifichiamo quale di questi due è la normale indotta dalla parametrizzazione: det ±. Il determinante deve essere positivo, per cui la normale indotta nel punto,, è,,.

120 4 SOLUZIONI 5 Il flusso richiesto vale: π F ϕ y + sin θ y cos θ ΦS, F y + det F ϕ F 3 ϕ dy dθ y y sin θ + cos θ y + π y + cos θ y + sin θ y cos θ y + det y/ y + cos θ y y sin θ + cos θ y + π y/det y + sin θ y cos θ y + y y sin θ dy dθ+ + cos θ y + π y + det + cos θ y + sin θ y + cos θ y dy dθ + cos θ π 3 π. y / dy dθ + π Nell ultimo passaggio è sfruttato il fatto che: π cos θ sin θ dθ π cos 3 θ dθ π 3π/ π/ π/ π/ sinθ dθ 4 cos 3 θ dθ dy dθ y + 3/ cos 3 θ + y + sin θ cos θ dθ dy 4π 3π/ π/ sin θ cos θ dθ + w dw + sin w dw. sin θ cos θ dθ 3/π π/ w dw. sin θ cos θ dθ Svolgimento Esercizio. Sostituendo nell equazione si ha: e dividendo per UtXx si ottiene: pertanto si ha: Cerchiamo soluzioni non nulle nella forma ux, t UtXx. ÜtXx + UtXx UtẌx, Üt + Ut Ut Ẍx Xx, {Ẍx λxx, Üt + Ut λut. Dai dati iniziali si ricava u x, t UtẊ e u xπ, t UtẊπ da cui Ẋ Ẋπ. Cerchiamo quindi soluzioni non nulle di: {Ẍx λxx Ẋ Ẋπ,

121 al variare di λ R. L equazione caratteristica è µ λ. Se λ > la soluzione è: SOLUZIONI 5 Xx c e λ x + c e λ x, c, c R, Ẋx c λe λ x c λe λ x, c, c R. Sostituendo le condizioni iniziali e finali si ha Ẋ c c λ da cui c c, e Ẋπ c λe λπ e λπ il che implica c, quindi l unica soluzione è quella identicamente nulla, non accettabile. Se λ la soluzione è Xx c + c x al variare di c, c R. Poiché Ẋx c, si ottiene c e si ha la soluzione accettabile Xx c R \ {}. Se λ <, posto ω λ, la soluzione è Xx c cosωx + c sinωx al variare di c, c R. Si ottiene Ẋx c ω sinωx + c ω cosωx, e sostituendo si ha Ẋ c ω da cui c e Ẋπ c ω sinωx da cui ω Z, pertanto λ n, n N, n. Quindi l equazione per Xx ammette soluzioni accettabili per λ n, n N e si ha X n x c n cosnx, il che comprende anche il caso λ n. L equazione per Ut risulta: {Üt + Ut + n Ut, U. L equazione caratteristica è µ + µ + n, il cui discriminante è 4 n. Studiamo i vari casi in base al segno del discriminante, tenendo presente che n N. Se n si ha > e le radici sono µ e µ, pertanto le soluzioni sono Ut d + d e t al variare di d, d R. Sostituendo la condizione iniziale U si ottiene d d e quindi U t d e t. Se n si ha e l unica radice doppia è µ, pertanto le soluzioni sono Ut d e t +d te t al variare di d, d R. Sostituendo la condizione iniziale U si ottiene d e quindi U t d te t. Se n > si ha < e si hanno le due radici complesse coniugate µ + i n, µ i n, pertanto le soluzioni sono Ut d e t cos n t + d e t sin n t. Sostituendo la condizione iniziale U si ottiene d e quindi U n t d n e t sin n t. Definiamo u n x, t U n tx n x, si ha: u x, t d e t c a e t u x, t d te t c cos x a te t cos x u n x, t d n e t sin n t c n cosnx a n e t sin n t cosnx. Derivando in t e valutando in : Cerchiamo soluzioni del tipo ux, t x t ux, n t u x, a t u x, a cos x t u n x, a n n cosnx. u n x, t, derivando in t e valutando per t si deve avere: n t u n x, a + a cos x + a n n cosnx. n

122 6 SOLUZIONI Pertanto è necessario calcolare lo sviluppo in serie di Fourier della funzione fx x definita in [, π] estesa per parità in [ π, π] e per π-periodicità a tutto R. Se n > si ha: π π x dx π π x cosnx dx π π Pertanto si ha per x π x π π da confrontare con n n n [ x sinnx ] π π sinnx dx n n nπ πn x a + a cos x + cosnx π 4 π cos x π n cosnx, n a n n cosnx. n Ne segue che a π 4, a 4 π, e a k e a k+ 4 π Pertanto si ottiene: ux, t π 4 e t 4 π te t cos x π k n 4k + kk + e t sin 4k + k t 4k + kk + per k N, k. cosk + x, il termine generale della serie è maggiorato uniformemente rispetto a t, x in modulo da /k + che è termine generale di una serie convergente, quindi la serie converge totalmente, dunque uniformemente. Svolgimento Esercizio 3. Il sistema può essere scritto nella forma: x 4 4e 5t ż Az + Bt con z, A, Bt y 3 Si ha deta quindi Az se e solo se z. Pertanto le soluzioni stazionarie dell omogeneo associato sono xt e yt. Calcoliamo autovalori e autovettori di A: gli autovalori risolvono l equazione λ tr A λ + det A, ovvero λ 3λ le cui soluzioni sono λ e λ 5. Tali valori sono reali di segno discorde, per cui le soluzioni stazionarie dell omogeneo associato sono nodi instabili. Calcoliamo gli autovettori relativi agli autovalori: v x A λ Id R 6 v x v y 3 v y, da cui si ottiene 3v x + vy, e possiamo scegliere v, 3. v x A λ Id R v y 3 6 v x v y da cui si ottiene v x + vy, e possiamo scegliere v,. Sia P la matrice le cui colonne sono gli autovettori e P la sua inversa det P 7. P, P 3 /7 /7. 3/7 /7 Posto w P z, e ricordando che P AP è la matrice che ha sulla diagonale gli autovalori di A e tutti gli altri valori pari a, si ottiene ẇ P ż P Az + P Bt P AP w + P 4e Bt w + 5t /7 5 e 5t. /7,.

123 SOLUZIONI 7 Risolviamo quindi le due equazioni: ẇ x w x e5t, ẇ y 5w y + 7 e5t. La soluzione generale dell omogenea associata all equazione per w x è c e t. Per trovare una soluzione particolare utilizziamo il metodo dei coefficienti indeterminati: dato che il temine noto è del tipo e αt con α, cerchiamo una soluzione della forma Ae 5t. Sostituendo nell equazione si ottiene 5Ae 5t + Ae 5t 4e 5t /7 da cui A 4/49. Quindi si ha w x t c e t + 4e 5t /49. La soluzione generale dell omogenea associata all equazione per w y è c e 5t. Per trovare una soluzione particolare utilizziamo il metodo dei coefficienti indeterminati: dato che il temine noto è del tipo e αt con α 5, cerchiamo una soluzione della forma Cte 5t. Sostituendo nell equazione si ottiene Ce 5t + 5Ce 5t t 5Ce 5t e 5t /7 da cui C /7. Quindi si ha w y t c e 5t + e 5t t/7. Si ha z P w, per cui: xt c e t + 4e 5t /49 yt 3 c e 5t + e 5t. t/7 La soluzione è allora: Svolgimento Esercizio 4. xt c e t e5t + c e 5t e5t t, yt 3c e t 49 e5t + c e 5t + 7 e5t t. Si ha div F x x 3 + z e rot F x,, 4. Si ha: π F ds F γθ γθ dθ γ Infatti si ha: π π 8π. π 3 cos 4 θ + sin θ, 5 cos θ, sin θ, cos θ, dθ 3 cos 4 θ sin θ sin θ + cos θ dθ cos 4 θ sin θ dθ π π cos 4 θ sin θ dθ, perché l integranda è π-periodica, dispari e nell ultimo integrale si ha che l intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all origine; inoltre per periodicità si ottiene π cos θ dθ π sin θ + π/ dθ 5/π π/ sin σ dσ π che permette di calcolare: π π π cos θ + sin θ dθ cos θ dθ. Si può anche osservare che la curva assegnata è il bordo della superficie C : {x, y, z : z, x + y /4 }, sin σ dσ,

124 8 SOLUZIONI orientata con normale,,. Dal teorema di Stokes si ricava allora che: F ds rot F ˆn dσ 4AreaC 8π, γ che conferma il calcolo precedente. 3 La matrice Jacobiana della parametrizzazione è: Jacϕ sin θs + s cos θ s + cos θ sin θ. 3s Posti: C sin θs B + s cos θ, s + cos θ sin θ sin θs B + s cos θ 3s, s + cos θ sin θ B 3 3s, per il teorema di Binet l elemento d area risulta quindi: dσ det B + det B + det B 3 dθ ds 9s + cos ts s + sin ts 4 + ss + cos t + s + sin t dθ ds. 4 Si ha ϕπ/,, 3, e la normale indotta dalla parametrizzazione in tale punto vale: î θ ϕπ/, s ϕπ/, det ĵ Jacϕ î det ĵ, 6,. ˆk ˆk 3 θ,sπ/, Si ha quindi ˆn, 3,,6,,6,, 6,. 5 Il flusso richiesto è: π rot F ˆn dσ det sin θs + s cos θ s + cos θ sin θ Σ 4 3s π ds dθ 3s s + cos θ + 4 s + sin θ ss + cos θ ds dθ 4π 3s + 4s + ds 6π. Svolgimento Esercizio 5. Cerchiamo soluzioni ut, x UtXx, sostituendo nell equazione si ha: UtXx UtẌx UtẊx UtXx, e supponendo che ut, x UtXx per ogni t, x si ottiene dividendo per tale espressione: ovvero: Ut Ut Ẍx Xx Ẋx Xx, Ut Ẍx + Ẋx + λ R, Ut Xx

125 Consideriamo a questo punto le equazioni: { Ut λut Ẍx + Ẋx + λxx. SOLUZIONI 9 Dalle condizioni al contorno u, t uπ, t per ogni t >, si ricava che X Xπ, pertanto cerchiamo i λ R tali per cui vi sia soluzione non identicamente nulla per: {Ẍx + Ẋx + λxx X Xπ. L equazione caratteristica dell equazione è µ + µ + λ, da cui si ricavano µ λ λ, µ + λ. Quindi per λ > si ottiene che l equazione ammette al variare di c, c R le soluzioni Xx c e µ t + c e µ t. Verifichiamo la compatibilità con i dati iniziali. Da X si ricava che c + c, e da Xπ si ha: c e µ π e µ π. Poiché µ µ si ottiene che l unica possibilità è avere c c, quindi se λ > l unica soluzione compatibile è la soluzione identicamente nulla, non accettabile. Se λ, si ha µ µ. L equazione ammette al variare di c, c R le soluzioni Xx c e t + c te t. Verifichiamo la compatibilità con i dati iniziali. Da X si ricava che c e da Xπ si ottiene c πe π, quindi c e si ottiene solo la soluzione identicamente nulla, non accettabile. Studiamo ora il caso λ < e poniamo ω λ. Per λ < si ottiene che le radici dell equazione caratteristica sono µ iω e µ + iω, e quindi l equazione ammette al variare di c, c C, d, d R le soluzioni Xx c e t e iωx + c e x e iωx e x c e iωx + c e iωx e x d cos ωx + d sin ωx. Verifichiamo la compatibilità con i dati iniziali: da X si ottiene d e da Xπ si ottiene d sin πω. Poiché si cercano soluzioni non identicamente nulle, si ottiene d e quindi ω n N \ {}. In definitiva, si ottiene che λ n al variare di n N \ {}, e le soluzioni di: {Ẍn x + Ẋnx + n X n x X n Xπ, sono tutte della forma X n x d n e x sin nx al variare di d n R. L equazione U n t n Ut ammette come soluzione U n t U n e nt. Poniamo u n t, x U n tx n x. Per ogni n, essa è una soluzione dell equazione data soddisfacente u n, t u n π, t per ogni t >. Posto b n U n d n R si ottiene per ogni n N \ {} u n t, x b n e nt e x sin nx. Cerchiamo di soddisfare il dato iniziale con una serie di tali funzioni. Cerchiamo i coefficienti b n in modo che u n x, ux, ovvero b n e x sin nx xπ xe x, quindi xπ x b n sin nx. Se ne n n deduce che i coefficienti b n sono i coefficienti di Fourier della funzione ottenuta prolungando xπ x n

126 SOLUZIONI a tutto [ π, π] per disparità, e poi a tutto R per π-periodicità. π π b n xπ x sin nx dx x + πx sin nx dx π π [ cos nx ] π π n x + πx + π cos nx x + π dx πn πn [ ] sin nx π x + π + 4 π πn n πn sin nx dx 4 π πn sin nx dx 4 πn [ cos nx n ] π 4 πn 3 n Quindi b k e b k+ 8/πk + 3 per k N. Si ha allora: ut, x 8 t x π k + 3 e k+ sin k + x. k Studiamo la convergenza della serie così ottenuta. Per ogni t e x [, π] t x k + 3 e k+ sin k + x k + 3, quindi sup t> k x [,π] t x k + 3 e k+ sin k + x k π cos nx x + π dx k + 3 < +, infatti il termine generale della serie di sinistra k+ 3 < 3 k 3 < /8k, termine generale di una serie convergente. Pertanto la serie che definisce ut, x converge totalmente, quindi uniformemente. 3 Svolgimento Esercizio 6. Posto z T x, y, A e bt T e 3t, dove il segno T indica il trasposto si ha ż Az + bt. Cerchiamo autovalori e autovettori di A. L equazione degli autovalori è λ traλ + deta, ossia λ λ, quindi λ e λ. Poiché deta, si ha che Az se e solo se z T,. Pertanto l unica soluzione stazionaria del sistema omogeneo associato è xt, yt, e poiché gli autovalori sono reali di segno discorde, si che ha tale punto è una sella, quindi un equilibrio instabile. v 4 Gli autovettori di A sono le soluzioni v, v R di A λ i Idv i, i,, ossia 4 da cui v T,, e cambiamento di base le cui colonne sono i vettori v, v e la sua inversa: P. v da cui v T,. Definiamo quindi la matrice del, P 3 Moltiplicando il sistema per P e posto P z w, si ottiene: quindi ẇ ẇ d dt w P ż P AP w + P bt, λ w + P λ w bt w w + /3e 3t /3e 3t. Si ottengono quindi le equazioni ẇ w +/3e 3t e ẇ w /3e 3t. Le omogenee associate hanno soluzione c e t e c e t al variare di c, c R. Per cercare le soluzioni particolari, applichiamo il metodo dei coefficienti indeterminati osservando che e 3t non è soluzione delle omogenee associate. Cerchiamo

127 SOLUZIONI quindi soluzioni particolari nella forma C e 3t per la prima e C e 3t per la seconda. Sostituendo, si ha 3C C +/3 da cui C /3 e 3C C /3 da cui C /. Pertanto w t c e t +/3e 3t e w t c e t e 3t /. Si ha infine: zt xt yt P wt c e t + /3e 3t c e t e 3t / e pertanto la soluzione generale del sistema risulta: xt c e t + 5/4e 3t + c e t, yt c e t + /e 3t + c e t, al variare di c, c R. Svolgimento Esercizio 7. Posto F F, F, F 3, si ha: div F F x + F y + F 3 z 4x3 z z sin y rot F det î x F ĵ y F ˆk z F 3 det î x x 4 z ĵ y z cos y ˆk z x + y y cos y, xx 3 z, La matrice Jacobiana di ϕ ϕ, ϕ, ϕ 3 è: Jac ϕu, v uϕ v ϕ u ϕ v ϕ u ϕ 3 v ϕ 3 veu e u u Indicate con B, B, B 3 le tre sottomatrici quadrate di Jac ϕu, v, si ha: B u ve u e, B u ve u e, B 3 u u. e l elemento d area risulta dσ det B + det B + det B 3 du dv u + ve u + ue u du dv 4u + v e u + 4u e u du dv.

128 SOLUZIONI 3 Per il teorema di Stokes si ha che tale circuitazione è il flusso del rotore di F attraverso Σ. Posto rot F G, G, G 3, si ha: F ds rot F ˆn dσ det G ϕ G ϕ Jac ϕ du dv γ Σ G 3 ϕ det u cos u ve u e u ve u v 4 e 3u + u du dv uu cos u v e u v 4 e 3u + du dv e 5u v 6 e u v 4u 3 + u cosu du dv e 5u v 6 e u v du dv. perché il termine 4u 3 + u cosu è dispari e integrato in un intervallo simmetrico rispetto all origine. Sviluppando l integrale si ha: F ds e 5u v 6 e u v dv du 47 e5u 43 eu du γ 4 35 e5 e 5 3 e e 8 sinh sinh. 3 Si poteva procedere anche nel modo seguente: il bordo di Γ è costituito dalla curva formata dalla giustapposizione delle quattro curve: γ t ϕ, t t/e,, t, γ t e,, γ t ϕt, e t, t,, γ t e t, t, γ 3 t ϕ, t te,, t, γ 3 t e,, γ 4 t ϕ t, e t, t, γ 4 t e t, t,, γ F ds per t. Si ha quindi ricordando che F x, y, z x 4 z, z cos y, x + y : 4 i + γ i F γi t γ i t dt t 6 /e 4, t cos, t /e + e,, dt + t 6 e 4, t cos, t e + e,, dt + e 4t, cos t, e t + t 4 e t, t, dt+ e 4t, cos t, e t + t 4 e t, t, dt t 6 e 5 t e + e 5t t cos t + t 6 e 5 + t e + + e 5t + t cos t e 5t + e 5t t 6 e 5 + t e t e + t6 e 5 dt 4 35 e5 e e e + 8 sinh sinh. 3 dt

129 SOLUZIONI 3 Per determinare se l orientamento scelto per il bordo sia quello corretto, ovvero quello indotto dalla parametrizzazione, osserviamo come nello spazio dei parametri u, v in bordo del quadrato [, ] [, ] venga percorso in senso orario, quindi negativo. Pertanto è necessario invertire il segno del risultato, che conferma così il risultato ottenuto con il Teorema di Stokes. 4 si ha ϕ, / /,, /. La normale indotta in tale punto è: u ϕ, / v ϕ, / da cui î u ϕ v ϕ ĵ u ϕ v ϕ ˆk u ϕ 3 v ϕ 3,/ î / ĵ ˆk ˆn/,, / uϕ, / v ϕ, /, /,,,. u ϕ, / v ϕ, / / 5 posto H H, H, H 3, il flusso di H attraverso Σ è dato da: H ˆn dσ det H ϕ H ϕ Jac ϕ du dv Σ H 3 ϕ det v e u ve u e u v u u du dv uv e u + v 3 u e u du dv, /,, Il termine con potenza dispari di v si annulla per disparità nell integrazione su un intervallo simmetrico, e quindi H ˆn dσ uv e u dv du 4 ue u du 8 Σ 3 3e. Svolgimento Esercizio 8. Cerchiamo soluzioni non nulle nella forma ut, x UtXx. Sostituendo nell equazione si ottiene UtXx 5UtẌx, da cui dividendo per 5UtXx si ha Ut 5Ut Ẍx Xx λ R. Si ottengono quindi le equazioni: { Ut 5λUt, Ẍx λxx, da accoppiare con le condizioni iniziali u x, t UtẊ e u xπ, t UtẊπ che porgono Ẋ Ẋπ. Studiamo quindi: {Ẍx λxx, Ẋ Ẋπ. L equazione caratteristica è µ λ. Distinguiamo quindi i vari casi in base al segno del discriminante dell equazione. Se λ > abbiamo come radici µ ± λ e le soluzioni dell equazione data sono Xx c e λ x + c e λ x,

130 4 SOLUZIONI al variare di c, c R. Derivando si ottiene: Ẋx c λe λ x c λe λ x, Valutando la derivata in e ponendola pari a zero si ottiene c c, sostituendo questo fatto e valutando la derivata in π si ottiene che per soddisfare Ẋπ si deve avere c c, ma la soluzione nulla non è accettabile. Se λ l equazione ha per soluzioni Xx c + c x al variare di c, c R, la cui derivata Ẋx c. Si deve avere quindi c e la soluzione risulta essere Xx c. Affinché tale soluzione sia accettabile, è necessario richiedere c. Se λ <, posto ω λ l equazione ha per soluzioni Xx c cosωx + c sinωx, la cui derivata è Ẋx ωc sinωx + ωc cosωx. Valutando tale derivata in e in π e ponendola pari a zero si ricava c e sinωπ da cui ω λ Z. Il sistema pertanto ammette soluzioni accettabili solo per λ n, con n N e detta X n la soluzione corrispondente a λ n, tali soluzioni sono date da X n x c cos nx. Tale scrittura comprende anche il caso n. L equazione per U, ovvero U n t 5n U n t ha per soluzione U n t U n e 5nt, si ha quindi al variare di n N: u n t, x U n tx n x a n e 5nt cos nx, dove si è posto a n Uc, quindi a n R \ {}. Cerchiamo di raggiungere il dato iniziale con una serie di queste soluzioni: u, x x u n, x a + cos nx, j quindi i coefficienti a n sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di soli coseni della funzione fx x, mentre a è il doppio del coefficiente di ordine dello sviluppo in serie di Fourier di f. Prolunghiamo quindi f per parità a tutto [ π, π] e poi per π-periodicità a tutto R. Si ha: a π a n π π π x dx π x cos nx dx 4 π [ x 4 n π [cosnx]π 4 n n π n ] sin nx π 4 π sinnx dx n nπ Quindi a π, a k e a k 8/πk per k N, k. La soluzione risulta quindi: ut, x π 8 e 5k t cos k x π k. La serie converge totalmente quindi uniformemente, infatti si ha: e 5k t cos k x sup k k < +, k ad esempio per confronto con la serie di termine generale /k. k Svolgimento Esercizio 9. Moltiplicando la prima equazione per e sottraendo la seconda si ottiene x y 6t, da cui xt yt t 3 + c. Sostituendo, si ha y + y + t 3 + c 6y ossia y 4y 4t 3 c. L omogenea associata è y 4y che ha per soluzione yt c e 4t, per trovare la soluzione della non omogenea cerchiamo una soluzione particolare con il metodo dei k

131 coefficienti indeterminati nella forma At 3 + Bt + Ct + D. A, B 3/4, C 3/8, D c. Pertanto si ha: SOLUZIONI 5 yt c e 4t + t t t c, Sostituendo nell equazione, si ottiene: xt c e4t + 3 t t t c. 3 Il sistema omogeneo associato, posto z x, y è ż Az con A. Essendo la seconda 4 6 riga il doppio della prima, tale matrice ha determinante nullo. Le soluzioni stazionarie sono date da tutti i punti della retta x + 3y. Gli autovalori risolvono l equazione λ tra λ + deta, ovvero λ 4λ ovvero λ e λ 4. Pertanto si tratta di equilibri instabili. Per la determinazione della soluzione, si poteva anche procedere nel modo seguente. Derivando la prima equazione si ottiene ẍ + ẋ 3ẏ 6t. Dalla seconda equazione si ha ẏ 6y 4x, per cui sostituendo nella prima si ha ẍ + ẋ 8y + x 6t. Dalla prima equazione si ha 3y ẋ + x 3t, sostituendo si ha quindi ẍ + ẋ 6ẋ x 8t + x 6t, quindi l equazione per la funzione xt risulta essere ẍ 4ẋ 8t + 6t. L omogenea associata è ẍ 4ẋ, l equazione caratteristica è λ 4λ che ha come soluzioni λ e λ 4, pertanto le soluzioni dell omogenea associata sono d + d e 4t al variare di d, d R. Per risolvere l equazione, utilizziamo il metodo dei coefficienti indeterminati e cerchiamo quindi una soluzione particolare nella forma At 3 +Bt +Ct+D. Sostituendo nell equazione si ottiene 6At+B 43At +Bt+C 8t +6t, da cui A 3/, B 3/8, C 3/6. Il valore della costante D è aribitrario, possiamo scegliere D. Quindi si ottiene xt d + d e 4t + 3 t t t, yt 3 ẋ + x 3t t 3 + 3t 4 + 3t 8 + d e 4t + d Le soluzioni ottenute con i due differenti procedimenti sono equivalenti: basta infatti porre d c e d 3/64 + 3/4c, infatti in questo modo si ha d c / e /3d + /6 /3 + /c + /6 3/3 + c /, il che mostra l equivalenza delle soluzioni. Svolgimento Esercizio. Poniamo ϕθ, x ϕ θ, x, ϕ θ, x, ϕ 3 θ, x e F x, y, z F x, y, z, F x, y, z, F 3 x, y, z. Si ha: div F x F + y F + z F 3 rot F det e x F e y F e 3 z F 3 x y + z + y + xz, + x z xy z, y + z + y z, x y y + z +. Poiché rot F, il campo non è conservativo. La circuitazione richiesta è: π π F ds F γθ γθ dθ e +, e, e, e sin θ, e cos θ dθ. γ

132 6 SOLUZIONI 3 La matrice Jacobiana è: Jacϕ e x sin θ xe x cos θ. e x cos θ xe x sin θ Per la formula di Binet, l elemento di superficie -dimensionale è dato dalla somma dei quadrati dei determinanti delle sottomatrici ovvero: dσ 4x e 4x + e x dθ dx e x 4x e x + dθ dx. 4 Si ha ϕπ/,,,, in questo punto si ha Jacϕπ/,, Dette v e v le colonne di tale matrice, si ha: 5 Il flusso richiesto è: Φ F, S π π ˆn,, v v,, v v 5 det Svolgimento Esercizio. sostituendo si ottiene e dividendo per UtXx si ha: x e x + 5 5,, e x e x sin θ xe x cos θ xe x e x cos θ xe x sin θ 5. 5 dx dθ e x +x x sint + e x +x cost ex x 3 e x + dx dθ. Cerchiamo soluzioni non nulle nella forma ux, t UtXx, UtXx + UtẌx + 3UtẊx + UtXx, Ut + Ut Ut Ẍx + 3Ẋx. Xx Si ottengono quindi le due equazioni λ R: { Ut + λut, Ẍx + 3Ẋx + λxx. al variare di λ R. Studiamo l equazione per Xx, la sua equazione caratteristica al variare di λ R è µ + 3µ + λ, il cui discriminante è 9 8λ. Dalle condizioni al contorno, si ricava u, t UtX per ogni t e uπ, t UtXπ per ogni t, il che implica X Xπ. Se >, l equazione caratteristica ammette le radici reali distinte λ e λ, e l equazione per Xx ammette come soluzione generale Xx c e λx + c e λx. Sostituendo, si ottiene c + c dalla prima e quindi Xx c e λx e λx. Sostituendo Xπ, si ha c e λπ e λπ, ed essendo λ λ, si ottiene c c, soluzione non accettabile. Se, l equazione caratteristica ammette la radice reale doppia λ, e l equazione per Xx ammette come soluzione generale Xx c e λx + c xe λx. Sostituendo le condizioni al contorno si ha c e c πe λπ, il che implica c e anche questa soluzione non è accettabile. Supponiamo <, in tal caso l equazione caratteristica ammette le radici complesse coniugate λ α + iω e λ α iω dove α 3/4 e ω /4. La soluzione generale dell equazione è Xx

133 SOLUZIONI 7 e αx c cos ωx + c sin ωx, sostituendo le condizioni al contorno si ha c e c e απ sin ωπ. Ciò implica ω Z \ {}. In particolare, poiché 4ω si deve avere ω n N \ {} e quindi 6n perché <, pertanto si ha 6n 9 + 8λ n e λ n n 9/8. Pertanto al variare di n N la soluzione relativa a λ n è X n x c n e 3/4x sin nx. Studiamo ora l equazione per Ut, essa è U λ U, la cui soluzione generale è Ut Ue λ t. Sostituendo i valori di λ accettabili, ovvero i valori λ n si ottengono soluzioni U n t U n e n +/8t. Poniamo b n U n c n e costruiamo le soluzioni elementari Per coprire il dato iniziale si deve avere da cui u n x, t b n e n +/8t e 3/4x sin nx. fx u n x,, n π x π b n sin nx. pertanto i coefficienti b n sono i coefficienti dello sviluppo in serie di soli seni della funzione x π x π definita su [, π] e prolungata per disparità a [ π, π] e poi per π-periodicità a tutto R. Pertanto i coefficienti b n sono dati da: b n π π x π π sin nx dx π/ x sin nx dx + π x sin nx dx π π/ 4 n πn sin π. Quindi la soluzione risulta essere: ux, t 4 sin n π π n e n +/8t e 3/4x sinnx. n Essa converge uniformemente, infatti si ha: sin n π sup e n +/8t e 3/4x sinnx n x,t [,π] [,+ [ n n π che prova la convergenza totale e quindi uniforme della serie. n n <, Svolgimento Esercizio. Posto z x, y, il sistema si riscrive nella forma ż Az + Bt con 3 3e A, Bt. 5 Si ha T tra 3 e D deta 3. L equazione degli autovalori è λ T λ + D ovvero λ + 3λ 3, che ammette come soluzioni i due autovalori reali λ 3 6, λ Poiché D, l unico punto di equilibrio per l omogeneo associato è,, e poiché gli autovalori sono di segno discorde tale punto è una sella.

134 8 SOLUZIONI Riscrivendo il sistema dato, si ha: { 3y ẋ + x 3e t, ẏ 5x y. Derivando la prima equazione, si ottiene 3ẏ ẍ + ẋ + 6e t. Sostituiamo l espressione di ẏ ottenuta dalla seconda equazione: 3 5x y ẍ + ẋ + 6e t. Riscrivendo tale espressione si ha ẍ + ẋ 5x 3y + 6e t. Sostituiamo l espressione di y ottenuta dalla prima equazione: ẍ + ẋ 5x + ẋ + x 3e t + 6e t. Otteniamo quindi l equazione nella sola variabile x: Tale equazione si riscrive come: ẍ + ẋ 5x + ẋ + x 3e t + 6e t. ẍ ẋ + 5x 3e t + 6e t. In notazione compatta, si ha ẍ T ẋ + D x 3e t. L omogenea associata ha soluzione generale c e λ t + c e λ t Cerchiamo una soluzione particolare di tale equazione con il metodo dei coefficienti indeterminati. Poiché non è soluzione dell equazione caratteristica, cerchiamo una soluzione nella forma qe t con q R. Sostituendo e semplificando e t, si ottiene 4q 6q 3q 3 da cui q /5, quindi si ottiene Derivando, si ha: Si ha perciò: yt 3 xt c e λ t + c e λ t + 5 e t. ẋt c λ e λ t + c λ e λ t 5 e t. c λ e λt + c λ e λt 5 e t + c e λt + c e λt + 5 e t 3e t 6 e 3+ 6t + 6 c 6t e + 6 c + 6e 6 t. La soluzione del sistema è quindi: xt c e 3 6t + c e 3+ 6t + e t 5 yt 6 e 3+ 6t + 6 c e 6t + 6 c + 6e 6 t con c, c R. Svolgimento Esercizio 3. Poniamo ϕθ, y ϕ, ϕ, ϕ 3 e F F, F, F 3. Si ha: div F x F + y F + z F 3, rot F det e x 3y + z e y 8x 3 y,, 4x 6y. e 3 z x 6y Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo.

135 Γ SOLUZIONI 9 Utilizziamo il teorema di Stokes: Γ è bordo di un ellisse E appartenente al piano z. La normale unitaria a tale ellisse sarà quindi,, ±. Parametrizziamo tale ellisse con ψr, θ 5r cos θ, r sin θ,, r, θ [, π]. Lo Jacobiano di tale parametrizzazione è Jacψ 5 cos θ 5r sin θ sin θ r cos θ, e l elemento d area risulta dσ r sin θ + r cos θ r. Si ha poi che la normale alla superficie in ogni punto concorde con l orientamento di questa parametrizzazione dell ellisse è ˆnθ, dσ det e 5 cos θ 5 sin θ e sin θ cos θ,,. e 3 Questa parametrizzazione dell ellisse per la regola della mano destra induce lo stesso orientamento su Γ della parametrizzazione assegnata. Dal teorema di Stokes si ricava sfruttando la simmetria del dominio: F ds rot F ˆn dσ 4x 6y dσ Γ E 4 Per calcolo diretto si ha: F ds π π π E F γθ γθ dθ x dσ 4 E π 5r cos θ r dr dθ 5π. 3 sin θ +, 85 cos θ 3, 5 cos θ 6 sin θ 5 sin θ, cos θ, dθ π 6 sin 3 θ sin θ + cos θ cos 4 θ dθ cos 4 θ dθ 5π che conferma il calcolo precedente. Nell ultimo passaggio si è sfruttato il fatto che: π π cos 4 θ [sin θ cos 3 θ] π + 3 cos 4 θ π π sin θ cos θ dθ π sin θ cos θ dθ 3 π π sin θ cos θ dθ, sin θ cos θ dθ pertanto: da cui e quindi π π π π sin θ cos θ dθ 3 sin θ cos θ dθ, cos 4 θ 3 4 π. π sin θ cos θ dθ π 4,

136 3 SOLUZIONI 3 La matrice Jacobiana è r sin θ Jac ϕθ, r cos θ r cos θ sin θ. 4r 3 Il prodotto vettoriale delle colonne di tale matrice è det e r sin θ cos θ e r cos θ sin θ 4r 4 cos θ, 4r 4 sin θ, r. e 3 4r 3 L elemento d area è il modulo di tale prodotto vettoriale, quindi dσ r 6r si ha φ, / /,, 5/6. La normale è ˆn /4,, / 5 /6+/4 5,,. 5 Consideriamo la superficie ausiliaria C {x, y, : x +y }. Si ha che S C è superficie chiusa che racchiude il volume V. Per il teorema della divergenza si ha che, orientando S C con la normale esterna a V : divf dv F ˆndσ F ˆndσ + F ˆndσ. V S C S C Pertanto, orientando S e C con la normale esterna a V si ottiene: F ˆndσ F ˆndσ. S C La normale a C è,,. Dal punto precedente, si è visto come tale orientamento sia l opposto di quello definito dalla parametrizzazione assegnata su S, infatti il vettore ˆn è normale unitaria interna a V. Pertanto si ha, passando in coordinate polari piane: ΦS, F F,, dσ x 6y dxdy 6 y dxdy 6 C π Procedendo per calcolo diretto, si ha: ΦS, F π π + C r 3 sin θ drdθ 3 π. det F ϕ r sin θ cos θ F ϕ r cos θ sin θ F 3 ϕ 4r 3 3r sin θ + r 4 π π C dr dθ 4r 4 cos θ dr dθ+ 8r cos θ 3 4r 4 sin θ dr dθ+ r r cos θ 6r sin θ dr dθ Il primo integrale è nullo perché π sin θ cos θ dθ π sin θ cos θ dθ t dt si ponga t cos θ, il secondo perché l integranda come funzione di θ è dispari e π-periodica. ΦS, F π che conferma il risultato precedente. 6r 3 sin θ dr dθ 3 π,

137 SOLUZIONI 3 Svolgimento Esercizio 4. Applichiamo il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni non nulle nella forma ux, t UtXx. Dalle condizioni iniziali si ricava Ẋ Ẋπ Sostituendo, si ottiene al variare di λ R: e dividendo per UtXx si ha: Si ha dunque il seguente sistema: ÜtXx + 3UtẌx, Üt Ut 3Ẍx Xx λ. { Üt λut, 3Ẍx + λxx. Risolviamo l equazione in Xx accoppiata con i dati X Xπ. L equazione caratteristica è 3µ + λ, il cui discriminante è λ. Se > allora necessariamente λ <, l equazione caratteristica ammette due radici reali, distinte e non nulle. La soluzione generale è Xx c e µ x + c e µ x la cui derivata è Ẋx c µ e µ x + c µ e µ x. Sostituendo i dati Ẋ e Ẋπ si otterrebbe il sistema nelle incognite c e c : { c µ + c µ c µ e µ π + c µ e µ π Il determinante di tale sistema è µ µ e µ π e µ π, pertanto l unica soluzione è c c non accettabile. Se allora necessariamente λ e µ è l unica radice dell equazione caratteristica. Si ha Xx c + c x come soluzione generale, derivando si ha Ẋx c e sostituendo le condizioni date si ottiene c, pertanto si ottiene la soluzione accettabile Xx c, c R \ {}. Se < allora necessariamente λ > e si ottengono le radici complesse coniugate ±iω dove ω λ/3. La soluzione generale è Xx c cosωx+c sinωx, derivando si ha Ẋx ωc sinωx+ ωc cosωx e sostituendo Ẋ si ha c, pertanto Xx c cosωx. Affinché sia Ẋπ si deve avere ω N e per avere < si deve avere ω, quindi λ 3n, n. Si ha dunque X n x c n cosnx, n N che comprende le soluzioni accettabili per. Risolviamo l equazione per U corrispondente a λ 3n, n N, ovvero Üt + 3n Ut con la condizione iniziale U. Se n si ha la soluzione Ut c + c t e sostituendo la condizione iniziale, si ottiene Ut c t Se n, si ha che l equazione caratteristica è µ + 3n, le cui soluzioni sono µ in 3 e la complessa coniugata µ in 3, la soluzione generale pertanto è Ut c cosn 3t + c sinn 3t e poiché U si ha c, quindi U n t d n sinn 3t. Si ha quindi, posto k n c n d n, da cui u x, t UtXx k t, u n x, t UtXx k n sinn 3t cosnx, t u x, k, Sviluppiamo il dato iniziale in serie di coseni a π a n π π π x π x cosnx dx π t u n x, n 3k n cosnx. [ x sinnx n ] xπ x π sinnx dx nπ n π n,

138 3 SOLUZIONI da cui Per confronto, si ha: x π π n cosnx. n t ux, k + n n n n 3k n cosnx, da cui si ottiene k π/ e n 3k n π, quindi k n n 3 3π ux, t π t 3 n 3π n 3 sinn 3t cosnx π t 4 3 3π n k k + 3 sink + 3t cosk + x. n. La soluzione è quindi: n 3 Il termine generale della serie è maggiorato da /n 3, termine generale di una serie convergente. Pertanto la serie converge totalmente, quindi uniformemente. Svolgimento Esercizio 5. Poniamo zt xt, yt, A sint 3 3, B. 4 Il sistema diviene ż Az + B. Calcoliamo gli autovalori di A, essi sono soluzioni di λ traλ + deta, ossia λ +5λ+4. Quindi λ e λ 4. Poiché deta 4 l unica soluzione stazionaria dell omogeneo associato è xt yt per ogni t R, ed essendo gli autovalori con parte reale strettamente negativa l origine è un nodo proprio stabile per l omogeneo associato. Calcoliamo gli autovettori v v x, vy e v v x, vy : 3/4 9/8 v x A λ Id R v da cui 3 4 vx vy, A λ Id R v 3/ 9/4 9/4 9/8 3/ 3/4 v y v x v y da cui 9 4 vx vy. Possiamo quindi prendere v 3, e v,. Pertanto si ha: 3 P, P /4 /8 8 3 /4 3/8 Si ha quindi, posto wt P zt, wt w x t, w y t: ẇ d dt P z P ż P Az + B P AP w + B P AP w + P B Dw + P B, dove D è la matrice diagonale degli autovalori. Ciò equivale al seguente sistema: 4 ẇ x w x + 4 sint ẇ y 4w y 4 sint Risolviamo la prima equazione: l omogenea è ẇ x + w x, il polinomio caratteristico è µ λ, pertanto la soluzione generale dell omogenea è w x t c e t. Per trovare una soluzione particolare applichiamo il metodo dei coefficienti indeterminati, essendo il termine noto della forma sinαt. Poiché.

139 SOLUZIONI 33 α λ, cerchiamo una soluzione nella forma A cosαt+b sinαt. Sostituendo e ricordando che α si ottiene: A sint + B cost + A cost + B sint 4 sint, che implica A + B e B A /4, quindi A B e B + 4B /4 per cui B /, A /. Pertanto: w x t c e t cost + sint. Risolviamo la seconda equazione: l omogenea è ẇ y + 4w y, il polinomio caratteristico è µ λ, pertanto la soluzione generale dell omogenea è w y t c e 4t. Per trovare una soluzione particolare applichiamo il metodo dei coefficienti indeterminati, essendo il termine noto della forma sinαt. Poiché α λ 4, cerchiamo una soluzione nella forma A cosαt+b sinαt. Sostituendo e ricordando che α si ottiene: A sint + B cost + 4A cost + 4B sint 4 sint, che implica B + 4A e A + 4B /4, quindi B A e B + 4B /4 per cui B /, A /4. Pertanto: w y t c e 4t + 4 cost sint. Poiché zt P wt, si ottiene: xt 3w x t w y t 3c e t c e 4t 3 4 cost + 5 sint yt w x t + w y t c e t + c e 4t 3 cost. Svolgimento Esercizio 6. Poniamo: fx, y x + y x x + y È utile osservare come fx, y fx, y pertanto l insieme è simmetrico rispetto all asse delle ascisse. In coordinate polari si ha: fρ cos θ, ρ sin θ ρ ρ cos θ ρ ρ ρ cos θ Quindi Γ Γ Γ dove: ρ ρ cos θ ρ cos θ + Γ {ρ cos θ, ρ sin θ : ρ cos θ, ρ, θ [, π]}, Γ {ρ cos θ, ρ sin θ : ρ cos θ +, ρ, θ [, π]}, e questa scrittura comprende anche l origine,. Poiché f, si ha, Γ. Studiamo le intersezioni con l asse delle y ponendo x : f, y y 4 y quindi le intersezioni sono O,, P,, P,. Analogamente, studiamo le intersezioni con l asse delle x ponendo y : fx, x x x x x xx x + x x x 3x, quindi le intersezioni sono P 3,, P 4 3, e O,. Era importante osservare come Γ in coordinate polari fosse espresso da due rami differenti ovvero da ρ cos θ. In generale non è lecito passare da ρ cos θ a ρ cos θ, perché in questo modo si sta escludendo uno dei due rami. Ricordiamo che a a per ogni a R. Inoltre è necessario aggiungere la condizione ρ, come risulterà evidente nel calcolo del massimo e minimo vincolato.

140 34 SOLUZIONI Calcoliamo il differenziale di f: dfx, y x fx, y dx + y fx, y dy 4x + y xx x dx + 4x + y xy y dy. Si ha quindi dfp 4 dx + dy, pertanto esiste q R tale per cui la retta 4x + y q sia tangente a Γ in P. Sostituendo si ha q e la retta tangente è y x +. Poiché Γ è simmetrico rispetto alle ascisse, e P è il simmetrico rispetto a tale asse di P, si ha che la retta tangente a Γ in P è la simmetrica rispetto all asse delle ascisse di quella tangente in P, ovvero y x. Si ha poi dfp 3 dx, pertanto la tangente a Γ in questo punto è la retta verticale x, e analogamente si ha dfp 4 8 dx, pertanto la tangente a Γ in questo punto è la retta verticale x 3. 3 Osserviamo che y fp 3 y fp 4, quindi in questi punti il Teorema di Dini non è applicabile la tangente a Γ è verticale. Invece si ha y fp y fp e quindi per il Teorema di Dini esistono ϕ e ϕ con le proprietà richieste. Si ha che ϕ e ϕ sono i coefficienti angolari delle tangenti a Γ rispettivamente in P e P, ovvero ϕ ϕ. 4 Si ha hx, y e l uguaglianza vale solo nell origine. Quindi l origine è l unico minimo assoluto per h. Inoltre essa appartiene a Γ, quindi è l unico minimo assoluto vincolato e h,. Studiamo i massimi e minimi vincolati di h su Γ e su Γ separatamente. In coordinate polari si ha che hρ cos θ, ρ sin θ ρ, Γ è dato da ρ θ cos θ +, ρ e Γ è dato da ρ θ cos θ, ρ. Individuiamo il dominio in cui sono definite ρ e ρ alla luce della condizione ρ. Si ha che ρ è definito per cos θ > /, quindi θ domρ : [, π/3] [4π/3, π], mentre ρ è definita per cos θ > /, quindi domρ : θ [, π/3] [5/3π, π]. Se si sceglie di parametrizzare θ tra π e π è assolutamente la stessa cosa, si ottiene domρ : [ π/3, π/3] e domρ : [ π/3, π/3]. Questa scelta che, ribadiamo, è perfettamente equivalente al parametrizzare θ tra e π, presenta il vantaggio permettere una scrittura più semplice. Si tratta di studiare i massimi e minimi delle funzioni ρ e ρ sotto i vincoli ρ, ρ, ovvero rispettivamente in domρ e in domρ. Cominciamo con lo studiare tale funzioni nell interno dei domini in cui sono definite. Si ha ρ θ ρ θ sin θ. Si ha ρ θ ρ θ per < θ < π e l uguaglianza vale per θ {, π}. Osserviamo che π / domρ e π / domρ, quindi π non è un valore accettabile: infatti si ha ρ π e ρ π 3 non accettabile alla luce della condizione ρ e ρ. Per quanto riguarda, calcoliamo ρ θ ρ θ cos θ e ρ ρ <, quindi si ha che ρ 3 accettabile e massimo relativo, ρ accettabile massimo relativo. Rimangono da studiare i punti sulla frontiera dei domini: si ha ρ ±π/3 ρ 4π/3 ρ ±π/3 ρ 5π/3. Tutti questi punti corrispondono quindi in coordinate cartesiane all origine ρ caratterizza l origine pertanto si ottiene nuovamente che l origine è minimo assoluto. Il massimo assoluto è raggiunto nel punto corrispondente a ρ M ρ e θ M, quindi è ρ M cos θ M, ρ M sin θ M 3, e vale h3, 3, l altro massimo relativo è raggiunto nel punto corrispondente a ρ m ρ e θ m, quindi è ρ m cos θ m, ρ m sin θ m, e vale h,. L insieme Γ è chiuso perché f è continua e si è appena visto che è limitato perché contenuto nella palla chiusa centrata nell origine e di raggio 3, quindi è compatto. 5 Vogliamo ora dare un idea dell andamento qualitativo. Qui risulta fondamentale l aver correttamente individuato i due rami e il richiedere comunque ρ.

141 SOLUZIONI 35. Ecco la situazione iniziale con i punti e le tangenti finora trovate.. Vi è una simmetria rispetto all asse x. Inoltre osserviamo che 3, è max. ass. per la distanza dall origine. Non vi sono punti di Γ a dx della retta x 3. Attorno a tale punto non si ha un esplicitazione y yx, però si ha un esplicitazione x xy. Analogamente, è massimo relativo per la distanza dall origine, pertanto vicino a tale punto non vi sono punti a dx della retta x, non si ha un esplicitazione y yx, però si ha un esplicitazione x xy. 3. Ricordiamo che il ramo corrispondente in coordinate polari a ρ θ raggiunge la sua massima distanza dall origine proprio in, e poi agli estremi del dominio, ovvero per θ ±π/3 tale ramo ritorna in. Inoltre si ha sempre che ρ ρ. In figura sono riportate anche le due rette corripondenti ad un angolo di ±π/3 con l asse delle ascisse. Sfruttando la simmetria rispetto all asse delle ascisse ci si porta nella situazione indicata.

142 36 SOLUZIONI 4. Studiamo ora il ramo corrispondente a ρ. Poiché ±π/ domρ, si ha che tale ramo congiunge il punto 3, massima distanza dall origine con i punti, ± che sono le uniche due intersezioni di Γ con l asse delle ascisse. Tale ramo deve inoltre essere tangente alle due rette passanti per, ± Inoltre non può intersercare il ramo di ρ. 5. Partendo dai punti, ±, sappiamo che il ramo ρ deve ritornare nell origine perché agli estremi del dominio di ρ si ha ρ. Quindi si ha un cappio nell origine, come ci si poteva attendere da f,,. Questo concludeva lo studio qualitativo richiesto dall esercizio. Con ulteriori calcoli, un po lunghi ma non particolarmente complicati, si può essere ancora più precisi ed arrivare a tracciare un grafico più dettagliato. Ribadiamo che comunque, questa parte, esulava dalle richieste dell esercizio, la riportiamo solo per completezza. Studiamo i punti critici di x vincolati a Γ, ovvero i punti a tangente verticale diversi dall origine. Essi risolvono il sistema: { y fx, y, fx, y., x y ± + 4x +, oppure y fx, y., da cui y oppure x + x + x + 4x + x + x 4x, perciò x /8. Da y si ottengono i punti O, non accettabile e A 3,, mentre da x /8 si ha B ± 5 8, ±. 8

143 SOLUZIONI 37 Studiamo i punti critici di y vincolati a Γ, ovvero i punti a tangente orizzontale diversi dall origine. Essi risolvono il sistema: { x fx, y, x 3 + 6x 3x y ±,, x, fx, y. fx, y. da cui x 8x 5x + 6 4x, perciò x e x 6 5 ± 33. Per x si ottiene, non accettabile. Per x si ottengono i punti: C ± , ± , 8 per x , si ottengono i punti: D ± , ± Confrontando questi valori con l origine che viene studiata a parte, e ricordando la compattezza di Γ, osserviamo che il punto A è di massimo assoluto per x vincolata a Γ, i punti B ± sono di minimo assoluto per x vincolata a Γ, il punto D + è di massimo assoluto per y vincolata a Γ e il punto D è di minimo assoluto vincolato a Γ. Consideriamo una retta x k, e studiamo il numero di soluzioni y dell equazione fk, y. Si ha fk, y k + y k k + y y 4 + k 4k y + k k k y 4 + k 4k y + k k 3k Posto t y, cerchiamo soluzioni non negative di p k t t +k 4k t+k k 3k. Si ha lim t ± p k t + e p k k k 3k. Si ha p k > per k < o k > 3. a se < k < 3 l equazione p k t ammette due soluzioni distinte t e t + di segno discorde perché p k < e lim t ± p k t +. Sia t + >, allora si ottiene y t + e y t. Dato < x < 3 esistono quindi ϕ x e ϕ 4 x, distinti, ϕ x < < ϕ 4 x tali che x, y Γ se e solo se y {ϕ x, ϕ 4 x}. b se k < o k > 3 ma k, allora p k >, quindi le soluzioni reali di p k y, se esistono, sono entrambe strettamente positive o entrambe strettamente negative: se l ascissa del vertice delle parabola z p k t è positiva, allora se esistono sono entrambe strettamente positive, altrimenti o non esistono oppure sono entrambe strettamente negative. Le radici negative non sono accettabili. Tale ascissa è z k k 4k /. Si ha z k > per 6 < k < 6 < < < + 6. Poiché + 6 < 3,

144 38 SOLUZIONI si ottiene che se p k y ammette radici reali, esse sono due radici strettamente positive per 6 < k < e per < k <.Il discriminante di pk t è k 4k 4k k 3k + 8k. Per < k < e /8 < k < tale discriminante è positivo, quindi si hanno due soluzioni strettamente positive. Pertanto per k ], [ ] /8, [, la retta x k interseca Γ in quattro punti distinti, due a due simmetrici rispetto all asse delle ascisse. Dato 6 < x < esistono quindi ϕ x, ϕ x, ϕ 3 x, ϕ 4 x, distinti, ϕ x < ϕ x < < ϕ 3 x < ϕ 4 x tali che x, y Γ se e solo se y {ϕ i x : i,, 3, 4}. c per k, si hanno le intersezioni con l asse y, quindi O,, P,, P. Poniamo ϕ, ϕ 4 e ϕ 3 ϕ. dfx, y 4x + y xx x dx + 4x + y xy y dy. Si ha i df,, quindi in un intorno di, non è possibile applicare il Teorema di Dini. ii df, 4 dx+ dy quindi in un intorno di, è possibile applicare il Teorema di Dini. In un intorno di tale punto ϕ 4 è di classe C e ϕ 4 / > iii df, 4 dx dy quindi in un intorno di, è possibile applicare il Teorema di Dini. In un intorno di tale punto ϕ è di classe C e ϕ / < d per k, si ha p y y y 3 da cui si ottengono le intersezioni,,, 3 e, 3. Poniamo ϕ 3 ϕ, ϕ, ϕ 4. e per k 3, si ha p 3 y y y + da cui si ottiene la sola intersezione 3,. Poniamo ϕ 3 ϕ 4 3 f per k /8 si ha p /8 y /64 y + 7/64 + y da cui si ottengono le due intersezioni /8, 5/8 e /8, + 5/8. Poniamo ϕ 4 /8 ϕ 3 /8 /8, + 5/8 e ϕ /8 ϕ /8 /8, 5/8 Le quattro funzioni ϕ i, i,, 3, 4 sono due a due simmetriche rispetto all asse delle ascisse. Inoltre la tangente a Γ nei punti x, y con x,, 3 non è mai verticale. Per il teorema di Dini, queste funzioni sono quindi C negli intervalli aperti che non contengano x,, 3 e in cui siano definite. Per quanto visto al punto precedente, si ha che ϕ e ϕ 4 sono C all interno di tutto il loro dominio. Studiamo ora i massimi e minimi relativi di y ρ sin θ vincolati a Γ, ovvero i massimi e minimi delle funzioni g θ sin θ cos θ + sin θ sin θ + sin θ con θ [, π/3] [4π/3, π] e la funzione g θ sin θ cos θ sin θ sin θ sin θ con θ [, π/3] [5/3π, π]. Se h è nulla anche g e g sono nulle, quindi g π/3 g 4π/3 g π/3 g 5π/3. Si ha quindi che si annulla per cos θ 8 g θ cos θ + cos θ 4 cos θ + cos θ, + 33, cos θ Si ha cos θ > /, quindi θ è accettabile, cos θ < / non accettabile. Analogamente: che si annulla per cos θ 3 8 g θ cos θ cos θ 4 cos θ cos θ, + 33, cos θ

145 SOLUZIONI 39 Si ha cos θ3 > /, quindi θ 3 è accettabile, cos θ < / non accettabile. Posto ρ cos θ + e ρ 3 cos θ 3, si ottengono quindi gli unici punti critici: x ρ cos θ x 3 ρ 3 cos θ Vogliamo ora stabilire una corrispondenza tra le curve ρ θ e ρ θ e le curve ϕ i x, i,, 3, 4. A tal proposito ricordiamo che ϕ 4 x è sempre maggiore di ϕ 3 x >, e che ϕ e ϕ sono le simmetriche di ϕ 4 e ϕ 3 rispetto all asse delle asccisse. Quindi, nel primo quadrante laddove esistono entrambe le curve in coordinate polari ρ θ e ρ θ, la curva tra le due che in coordinate cartesiane ha l ordinata maggiore rappresenterà ϕ 4 e l altra rappresenterà ϕ 3. Ricordo che l ordinata è data da ρ θ sin θ e ρ θ sin θ. Osserviamo che se θ [, π] domρ domρ, si ha ρ θ sin θ > ρ θ sin θ. Quindi nei punti del primo quadrante la curva ρ θ descrive ϕ 4 e la curva ρ descrive ϕ 3. Per cui x è punto critico di ϕ 4, e quindi anche della sua simmetrica ϕ, e x 3 è punto critico di ϕ 3, e quindi anche della sua simmetrica ϕ. Si ha che ϕ 3 ϕ 3 3, ϕ 3 x > in ], [, e ϕ 3 ha un solo punto critico, tale punto deve essere di massimo relativo per ϕ 3 e quindi di minimo relativo per ϕ. Poiché x > e ϕ 4 > si ha che x, unico punto critico per < x < 3, deve essere un massimo assoluto per ϕ 4 e simmetricamente un minimo assoluto per ϕ. Determiniamo esattamente i valori di x e y : a Sostituendo nell equazione per determinare i valori del massimo, si ha: fx, y y + 89y 4, 89 che ha come soluzioni reali si pone y t e si sceglie l unica soluzione t positiva. Allora y ± t ϕ x , ϕ 4 x b Sostituendo il valore di x, si ha: fx, y 89y y Con la sostituzione y t si ottiene un equazione di secondo grado in t che ha due radici positive. I valori di ϕ x e ϕ 3x 3 sono i valori dati da ± t dove t è la radice di modulo minimo dell equazione: infatti l altra radice dà luogo ai valori di ϕ x e ϕ 4x che infatti in modulo sono strettamente maggiori dei precedenti , ϕ 3 x ϕ x 3 8 In figura le rette verticali da sinistra a destra sono: a la retta x /8, tangente a Γ nei punti /8, ± 5/8. Non vi sono punti di Γ con ascissa strettamente minore di /8; b la retta x, che interseca Γ nei punti,,, ±; c la retta x che interseca Γ in quattro punti, i due punti più vicini all asse delle ascisse sono estremali per le funzioni implicitamente definite da γ passanti per essi, tali 5 33 punti sono 6, ± ;

146 4 SOLUZIONI Figura. La Chiocciola di Pascal e alcune rette significative d la retta x che interseca Γ in due punti, esso sono i punti di ordinata massima e minima appartenenti a Γ, e sono 6, ± e la retta x 3, tangente a Γ nell unico punto 3,. Non vi sono punti di Γ con ascissa strettamente maggiore di 3. La Chiocciola di Pascal è quindi inscritta nel rettangolo R [ /8, 3] [ , ]. Osservazione. Nella seconda versione del compito, l insieme era dato da Γ {x, y R : x + y + x x + y }.

147 SOLUZIONI 4 Pertanto tale insieme è il simmetrico rispetto all asse delle ordinate di quello studiato nell esercizio precedente, quindi tutti i risultati dell esercizio precedente valgono in questo caso qualora si mandi x in x, y rimanga invariato, e in coordinate polari si mandi θ in π θ quindi cosπ θ cos θ e sinπ θ sin θ. Svolgimento Esercizio 7. La retta y x e l iperbole xy si incontrano nel primo quadrante solo nel punto,, inoltre per x ], [ si ha /x > x. Il dominio D è normale rispetto all asse x, decomponiamolo nelle due parti D {x, y : < x < } e D {x, y : x > }. Si ha: x + /x Iα dx dy xα x α dy dx + x α dy dx D x α dx + + dx x +α. Se α il secondo integrale vale +, mentre il primo è sempre maggiorato da perché l integranda è minore o uguale a e l intervallo di integrazione ha lunghezza, quindi Iα + se α. Se α il primo integrale vale +, mentre il secondo è finito quindi Iα + se α. Per < α < entrambi gli integrali sono convergenti, inoltre se < α < non si ha mai α oppure + α, e quindi Iα α + α. Altro modo per procedere, consideriamo il dominio D normale rispetto all asse delle y. Fissiamo y [, ]. Allora x varia tra y e /y, quindi: Si ha allora I /y y x dx dy Iα + lim log y y < +. y +y Supponiamo ora α, si ha: /y Iα α y Se α e α, α si ottiene /y y x α dx dy. log/y logy dy x α dx dy α + y α y α+ dy α lim ε Iα α lim ε + Se α < o α > il limite risulta +. Inoltre: /y I dx dy I y [x α+ ] x/y xy [ α yα ] α y α+. ε y y dy + ε logy dy [y log y y] y α y α dy y y dy +,

148 4 SOLUZIONI Per < α < si ottiene invece: Iα α che conferma il risultato precedente. α α α + α, Osservazione. Nella seconda versione del compito, si aveva come D la regione illimitata del primo quadrante compresa tra l iperbole di equazione xy, la retta y x e l asse delle y e si calcolava dx dy. D yα Rispetto alla versione dell esercizio precedente si è applicata una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Il risultato e il procedimento sono gli stessi: si scambi semplicemente x con y. Svolgimento Esercizio 8. Maggioriamo il termine generale della serie in modo appropriato. Si ha: 5 3 n n 5 e 4t cosnx 5 3 n n 5 n n. 5 Poiché 5 3/ <, la serie geometrica di ragione 5 3/ è convergente 3 e si ha n < +. n 5 3 Pertanto l estremo superiore del termine generale è in modulo maggiorato dal termine generale di una serie convergente, quindi la serie converge totalmente e di conseguenza uniformemente e puntualmente su [, ] [, π], e la sua somma per t, x, è proprio Osservazione 3. Nella seconda versione del compito, la serie era data da 7 3 n n 5 e t cosnx. n Esattamente come prima si riconosce che 7 3/ <, e vale la maggiorazione 7 3 n n 5 e t cosnx 7 3 n n 5 n Ancora come prima si ottiene n 7 3 n < +. 9 Si ha ancora convergenza totale, uniforme e puntuale e la somma per t, x, vale Svolgimento Esercizio 9. Poniamo F x, y, z F, F, F 3. 3 Ricordiamo che se q C, q < si ha q n, tuttavia nell esercizio la somma non parte da ma da, q n quindi q q n q + q n + q n da cui q n q. n n n n

149 SOLUZIONI 43 Figura. La superficie S. Si ha: div F x, y, z x F + y F + z F 3, rot F x, y, z det e x F e y F e y F 3 z F + e z F x F 3 + e 3 x F y F e 3 z F y, x + z, + 8x. Il rotore non è nullo, per cui il campo non è conservativo. La curva γ è il bordo del cerchio D centrato in,, di raggio 5 contenuto nel piano y. La normale unitaria a D è costante e vale ˆnD, ±,. Determiniamo il verso positivo dell orientamento della normale indotta dalla parametrizzazione: si deve avere per la regola della mano destra ˆnD,,. Altro modo: un osservatore con i piedi su D vede il bordo γt percorso in senso antiorario solo se il vettore che va dai suoi piedi alla testa è parallelo e concorde a ˆnD. Per il teorema di Stokes si ha: γ F dl nel nostro caso si ha che tali integrali sono: D F ˆn dσ D D F ˆn dσ, x z dσ, perché D è simmetrico rispetto alla sostituzione x x, y y e z z e l integranda è dispari rispetto alla medesima sostituzione.

150 44 SOLUZIONI 3 γ Verifichiamo il risultato ottenuto per calcolo diretto: F dl π π π F γt γt dt + 5 sin t, cos t 5 sin t, 5 cos t sin t,, 5 cos t dt sin t 5 sin 3 t + 75 cos 3 t + cos t dt, per le simmetrie di seno e coseno e la periodicità. 3 Si ha r cosθ Jac ϕr, θ r + sinθ 3r + r r sinθ r +. cosθ Posto: r cosθ r A + sinθ 3r, det A + r r 3r 3 + r + 3r + sinθ, r cosθ r A + sinθ r sinθ r +, det A cosθ r + r, 3r A 3 + r r sinθ r +, det A cosθ 3 r 3r 3 + r + 3r + cosθ, Per il Teorema di Binet si ha: dσ det A + det A + det A 3 dr dθ rr + 9r + r Dobbiamo trovare r, θ ], [ ], π[ tali per cui ϕr, θ 5/4, 3/8, ossia: r + cos θ 5/4, r 3 + r 3/8, r + sin θ. Dall ultima relazione si ha θ oppure θ π. Sostituendo nella prima, si ha che θ e r + 5/4, quindi r /. Dette r ϕ e θ ϕ le colonne di Jac ϕ, si ha r ϕ/,, 7/4, e θ ϕ,, 5/4. Il prodotto vettoriale di questi vettori porge: r ϕ/, θ ϕ/, per cui e e 7/4 e 3 5/4 35 6, 5 4, ,,, ˆn5/4, 3/8, rϕ/, θ ϕ/, r ϕ/, θ ϕ/, ,,. 5 Utilizziamo il teorema della divergenza. Poniamo: D {x, y, z R 3 : y, x + z } D {x, y, z R 3 : y, x + z 4}. La superficie formata dall unione di D, D e S è una superficie chiusa che racchiude il volume V. Per il teorema della divergenza, se la normale è orientata in modo da essere uscente da V, si ha: F ˆn dσ div F x, y, z dx dy dz. D D S V

151 SOLUZIONI 45 Poiché la divergenza è nulla, si ottiene: F ˆn dσ F ˆn dσ F ˆn dσ F ˆn dσ. S D D S D D La normale uscente a V in D è costante e vale,,, mentre in D vale,,. Quindi ricordando che D e D sono simmetrici rispetto alla sostituzione z z: π F ˆn dσ 4x 3z dσ 4 x dσ 4 ρ cos θ ρ dρ dθ π. D D D π F ˆn dσ 4x 3z dσ 4 x dσ 4 ρ cos θ ρ dρ dθ 6π. D D D Orientando pertanto ˆn in modo da essere uscenti da V, si ottiene: F ˆn dσ 5π. S L orientamento uscente da V è effettivamente quello indotto dalla parametrizzazione: per verificarlo osserviamo che ˆn5/4, 3/8, ,,. Sezionando S con il piano y 3/8 si ottiene la circonferenza 5/4 cos θ, 3/8, 5/4 sin θ e se proiettiamo la normale sul piano xz si 4 ottiene 65 7/4,,. Tale proiezione nel punto 5/4, 3/8, è uscente dal cerchio racchiuso dal tale circonferenza. Verifichiamo il risultato per calcolo diretto: π ΦS, F det F ϕ r cosθ r + sinθ F ϕ 3r + r F 3 ϕ r sinθ r + dr dθ cosθ π det r 3 + r + r + sin θ r cosθ r + sinθ 4r + cos θ 3r + sin θ 3r + r 6r + cos θ + r 3 + r r sinθ r + cosθ dr dθ Sviluppiamo il determinante D che compare nell integranda secondo l ultima colonna: D r + 3r cosθ + r r 3 + r + sin θ + r + r cosθ 4 r + cos θ 3 r + sinθ + + r sinθ r sinθ 4 r + cos θ 3 r + sinθ + 3r + r 6 r + cos θ + r 3 + r Nell integrazione, i termini che contengono potenze dispari di seno e coseno si cancellano, quindi resta solo: π π D dr dθ 8r r + 3 cos 4 θ 8r r + 3 sin θ cos θ dr dθ π 8 che conferma il calcolo precedente. 8r r + 3 cos 4 θ + sin θ cos θ dr dθ r + 3r 3 + 3r 5 + r 7 π dr cos θ dθ 5π,

152 46 SOLUZIONI Svolgimento Esercizio. La forma ω non è esatta, tuttavia si ha: In forma di equazione totale si ha ωx, y px, y dx + qx, y dy y xy dx x dy. y px, y x qx, y xy + xy px, y, y pertanto l equazione ammette il fattore integrante ky e y dy e log y e log y y. Si ha: ky ωx, y y x dx x x x y dy d d y Pertanto le soluzioni in forma implicita sono date da: ovvero ridefinendo la costante c Sostituendo le condizioni y si ottiene: x y x yx c, c R, x c + x. x d y x. yx x + x, che è prolungabile per continuità su tutto R inizialmente il problema è posto in R\{} e per x ± ammette asintoto orizzontale y. Essa è simmetrica rispetto all origine. La sua derivata è nulla per x ±, cui corrispondono y e y. Il punto con ascissa positiva è di massimo assoluto e l altro è di minimo assoluto. Altro metodo per trovare la soluzione: riscriviamo l equazione y y x y. L equazione data è della forma y + pxy qxy n con n, n,, pertanto essa è un equazione di Bernoulli, e poiché n > essa ammette la soluzione identicamente nulla. Procediamo con la sostituzione z y n /y, si ha allora ż y y xy z x. L equazione si riduce quindi all equazione lineare z + z/x, la cui soluzione generale è data da: zx e [ ] [ ] dx dx x e x dx dx + c e log x x dx + c sgnxx / + c x + d x x dove si è posto d sgnxc, c R da cui d R. Poiché y /z, si ottiene ancora yx x x + d, d R, che conferma il risultato precedente. Svolgimento Esercizio. Cerchiamo una soluzione del problema nella forma ut, x UtXx con Ut, Xx. Si ottiene UtXx UtẌt. Dividendo per UtXx e separando le variabili si ha Ut Ut Ẍx Xx λ R.

153 SOLUZIONI Figura 3. La soluzione di dy dx y xy x con y. Si ottengono quindi le due equazioni Ut λut, da cui Ut Ue λt e Ẍx λxx, quest ultima da accoppiarsi con le condizioni iniziali X Xπ. Le soluzioni dell equazione per Xx sono date da c e λx + c e λx se λ > Xx c + c x se λ c cos λx + c sin λx se λ < Se λ > si ha X c +c da cui c c quindi Xx c e λx e λx. Sostituendo x π si ha allora Xπ c e λπ e λπ ed essendo λ si conclude che deve essere c c, soluzione non accettabile. Se λ, si ha X c, quindi Xx c x e sostituendo Xπ c π si conclude che deve essere c c, soluzione non accettabile. Se λ <, si ha X c, quindi Xx c sin λx e sostituendo Xπ c sin λx, per avere soluzioni non nulle si deve avere λ n. Si ottengono quindi le soluzioni X n x c n sinnx, n N, c n R. Le soluzioni dell equazione in U corrispondenti a tali valori di λ sono U n t d n e nt, pertanto le soluzioni elementari sono u n t, x b n e nt sinnx, ove si è posto b n c n d n R. Cerchiamo di coprire il dato iniziale mediante una serie di soluzioni elementari: u, x xπ x b n sinnx, pertanto i b n sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di soli seni del dato iniziale: ciò vuol dire prolungare per disparità la funzione xπ x da [, π] a [ π, π] e poi per π-periodicità a tutto n

154 48 SOLUZIONI R. Si ha, integrando per parti: b n π nπ π π [ xπ x cosnx n xπ x sin nx dx π x cosnx dx [ x sinnx nπ n 4 n 3 π [cosnx]xπ x 4 π n n 3. ] xπ x ] xπ x + 4 n π + nπ π π sin nx dx π x cosnx dx 8 In particolare se n k, k N si ha b k e se n k +, k N si ha b k+. Pertanto πk+ 3 la soluzione è data da: ut, x 8 + e k+t sink + x π k + 3. k Il termine generale della serie è maggiorato in modulo da /k + 3, termine generale di una serie numerica convergente. Quindi la serie converge totalmente, uniformemente e puntualmente. Svolgimento Esercizio. Poniamo fx, y x 6 3x 4 y 3x y 4 + 4x + 8xy y 6 + 4y. Osserviamo che fx, y fy, x e fx, y f x, y quindi l insieme è simmetrico rispetto all origine e alla bisettrice y x. In coordinate polari piane si ha: fρ cos θ, ρ sin θ ρ 6 sin 6 θ ρ 6 cos 6 θ 3ρ 6 sin θ cos 4 θ 3ρ 6 sin 4 θ cos θ+ pertanto si ha: + 4ρ sin θ + 4ρ cos θ + 8ρ sin θ cos θ ρ 6 sin 6 θ + cos 6 θ + 3 sin θ cos 4 θ + 3 sin 4 θ cos θ + 4ρ + 8ρ sin θ cos θ ρ 6 sin θ + cos θ 3 + 4ρ + 8ρ sin θ cosθ ρ sin θ cos θ ρ 4 ρ sin θ ρ 4 Γ {ρ cos θ, ρ sin θ : ρ sin θ}, e questa scrittura comprende anche l origine. Si osservi che sin θ per ogni θ, pertanto rθ ha dominio [, π[. Si ha fx, x 6 + 4x, nullo per x ± e x. Per simmetria, si ricava che Γ {xy } {,, ±,,, ± }. Calcoliamo: dfx, y 6x 5 x 3 y 6xy 4 + 8x + 8y dx + 6x 4 y x y 3 + 8x 6y 5 + 8y dy, e pertanto df, 6 dx + 8 dy. Quindi la retta tangente in P, ha equazione 6 x + 8 y c, da cui, sostituendo, si ha c 3 e quindi la tangente in P, ha equazione x + y. Ricaviamo per simmetria rispetto all origine e alla bisettrice le altre tangenti: la tangente in P, ha equazione x + y, la tangente in P 3, ha equazione x y e la tangente in P 4, ha equazione y x. Poiché nessuna di queste tangenti è verticale, il teorema di Dini è applicabile in tutti questi punti, fornendo localmente la funzione implicita richiesta. 3 In coordinate polari, si ha hρ, θ hρ cos θ, ρ sin θ ρ 4, pertanto il problema si riconduce allo studio dei massimi e minimi di ρ 4 θ 4 + sin θ, θ [, π[. Il massimo di ρ 4 è 8, raggiunto nei punti con θ π/ + kπ, k Z, quindi θ π/4, 5/4π. Tali punti di massimo corrispondono a ± /4, /4, mentre il minimo è raggiunto nell origine ovvero θ 3/4π, 7/4π. 4 L insieme è limitato perché inscritto nella circonferenza centrata nell origine di raggio 4 8, inoltre è chiuso perché f è continua. Pertanto è compatto.

155 SOLUZIONI 49 5 Per tracciare il grafico di Γ, osserviamo che è sufficiente stabilire il grafico per θ [ π/4, 3/4π] e poi sfruttare le simmetrie. In tale intervallo, ρ cresce strettamente fino a raggiungere il suo massimo per θ π/4 e poi decresce strettamente a zero. Ne segue che Γ ha l aspetto di un otto ruotato di π/4 in senso orario. Questo conclude il grafico qualitativo richiesto, possiamo però essere più precisi: Consideriamo la funzione fx, mx m 6 x 6 3m 4 x 6 3m x 6 + 4m x + 8mx x 6 + 4x, raccogliendo e semplificando x, si ottiene fx, mx se vale da cui si ottiene m 6 x 4 3m 4 x 4 m 3x m x 4 + 4, x 4 4m + m + 4m + m 6 + 3m 4 + 3m + + m 3. La derivata di tale espressione è d dm x4 m 8 m 3 + 5m + m m + 4, che si annulla nei punti m, m 3 7/4, m 3 + 7/4. corrispondono i punti: O xm, m xm, A B xm, m xm /4, / C D xm, m xm /4, /4 3 7 Ad essi, e tali punti sono i massimi e minimi di x, per simmetria rispetto alla bisettrice si ricavano i punti A, B, C, D massimi e minimi di y. Svolgimento Esercizio 3. Poniamo u xy e v y /x, da cui y 3 uv u /3 v /3, x 3 u /v u /3 v /3 e quindi ϕu, v u /3 v /3, u /3 v /3, ϕ x, y xy, y /x. Si ha Ω {ϕu, v : u [, ], v [/4, ]}. Calcoliamo la matrice Jacobiana della parametrizzazione ϕ: Jac ϕu, v 3 u /3 v /3 3 u/3 v /3 3 u /3 v /3 3 u/3 v 4/3, il cui modulo del determinante è / 3v. Si può anche calcolare la matrice Jacobiana di ϕ Jac ϕ y x x, y y /x, y/x il cui modulo del determinante vale 3y /x 3v e osservare che det Jac ϕu, v det Jac ϕ x, y / 3v. Pertanto l integrale vale: dxdy det Jac ϕu, v dv du Ω /4 /4 dv 3v du [ log ] v log. 3 v v/4 3 Altro modo: il dominio Ω è contenuto nel primo quadrante, calcoliamo i punti di intersezione delle quattro curve che delimitano il dominio Ω: l intersezione di xy con x y porge A,,

156 5 SOLUZIONI.5 P 3 C A B.5 C P.5.5P.5 O D.5 A B P 4 D.5 Figura 4. L insieme x 6 3x 4 y 3x y 4 + 4x + 8xy y 6 + 4y e alcune rette significative. l intersezione di xy con x/4 y porge D /3, /3, l intersezione di xy con x y porge B /3, 3 e l intersezione di xy con x/4 y porge C 4/3, /3. Si ha quindi: Ω dxdy /3 x /3 che conferma il risultato precedente. /x 4/3 dy dx + /x dydx /3 x/ 4/3 x x dx + x /3 x dydx ] x /3 + [ log x 3 ] x 4/3 x3/ [ 3 x3/ log x x x / log log log + 3 log, 3 Svolgimento Esercizio 4. Si veda la soluzione dell Esercizio 9. Svolgimento Esercizio 5. Si veda la soluzione dell Esercizio. Svolgimento Esercizio 6. Si veda la soluzione dell Esercizio 9. Svolgimento Esercizio 7. Si veda la soluzione dell Esercizio. Svolgimento Esercizio 8. Riscrivendo il sistema dato, si ha: { y ẋ 3x e 4t ẏ 6x + y Derivando la prima equazione, si ottiene ẏ ẍ 3ẋ 4e 4t..

157 SOLUZIONI 5.5 xy.5 xy y x B A Ω C.5 D y x/ Figura 5. L insieme Ω {x, y R : < xy <, x/4 < y < x}. Sostituiamo l espressione di ẏ ottenuta dalla seconda equazione: 6x + y ẍ 3ẋ 4e 4t. Riscrivendo tale espressione si ha ẍ 3ẋ x + 4e 4t. Sostituiamo l espressione di y ottenuta dalla prima equazione: ẍ 3ẋ x ẋ 3x e 4t 4e 4t. Otteniamo quindi l equazione nella sola variabile x: ẍ 3ẋ x ẋ + 3x + e 4t 4e 4t. Tale equazione si riscrive come: ẍ 4ẋ 9x 3e 4t. L equazione caratteristica dell omogenea associata è λ 4λ 9 le cui soluzioni sono λ 3, λ + 3. Tali valori sono gli autovalori della matrice del sistema omogeneo associato: essi sono reali non nulli di segno discorde, quindi si ha una sella e l unica soluzione stazionaria è l origine. La soluzione generale dell omogenea associata è Φc, c, t c e λt +c e λt al variare di c, c R. Per trovare la soluzione t xt, è necessario sommare a Φc, c, t una soluzione particolare x p t dell equazione ẍ 4ẋ 9 x 3e 4t. Poiché 4 non è radice dell equazione caratteristica, cerchiamo x p t Ae 4t : si ha 6Ae 4t 6Ae 4t 9Ae 4t 3e 4t da cui A /3 e quindi Dalla prima equazione si ha: xt c e 3t + c e + 3t e4t 3, ẋt c 3e 3t + c + 3e + 3t 4 3 e4t. yt ẋ 3xt e4t /3 6 e 3 t 3 3 c e 3t c + 4e + 3t.

158 5 SOLUZIONI Svolgimento Esercizio 9. Poniamo x y fx, y : x + y + x4 + x y + y 4. Poiché fx, y f x, y si ha che l insieme è simmetrico rispetto all asse y. In coordinate polari x ρ cos θ, y ρ sin θ si ha, ricordando che ρ : fρ cos θ, ρ sin θ ρ 4 sin 4 θ + ρ 4 cos 4 θ + ρ 4 sin θ cos θ ρ 4 sin 4 θ + cos 4 θ + sin θ cos θ ρ sin θ cos θ ρ 4 sin θ + cos θ ρ sin θ cos θ ρ ρ sin θ cos θ. ρ 3 sin θ cos θ ρ sin θ + ρ cos θ Poiché ρ > possiamo dividere per ρ ottenendo ρ sin θ cos θ accoppiato con le condizioni ρ, ρ. Si ha quindi che il dominio di θ è ], π[\{π/} ovvero Γ {ρθ cos θ, ρθ sin θ : ρθ sin θ cos θ : θ ], π[\{π/}}. L insieme Γ non è chiuso: si prenda una successione {θ n } n N tale che θ n +. Se r n : sin θ n cos θ n si ha che x n, y n : ρ n cos θ n, ρ n sin θ n è una successione in Γ convergente a, R \ Γ. Poiché Γ non è chiuso, non può essere compatto. D altra parte, la funzione ρθ può essere estesa per continuità all intervallo compatto [, π], e quindi l insieme Γ {ρθ cos θ, ρθ sin θ : ρθ sin θ cos θ : θ [, π]}, è immagine continua di un compatto, quindi compatto. L insieme C Γ è contenuto nel semipiano y >, per cui da x y si ottiene x y e quindi y x, da cui y ±x. Dobbiamo quindi risolvere F x, ±x, x, da cui x ± 5/4 e y 5/4. Il differenziale di f è dato da dfx, y 4x 3 xy x + y + x 3 y + x + y 4xy dx+ 3/ x y + x + y 3/ x x + y + 4x y + 4y 3 dy. Sostituendo, si ottiene df 5/4, 5/4 /4 dx+3 /4 dy /4 dx+3dy, pertanto la retta tangente avrà equazione x+3y c. Imponendo il passaggio per 5/4, 5/4 si ottiene x+3y 3/4. Simmetricamente, la tangente in 5/4, 5/4 è x + 3y 3/4. Entrambe le tangenti non sono verticali, il teorema di Dini fornisce le applicazioni implicitamente definite richieste. Si ha che hρ cos θ, ρ sin θ ρ sin θ. Se cerchiamo massimi e minimi vincolati a Γ il problema si riduce a determinare massimi e minimi di ρ θ sin θ sin θ cos θ 4 sin θ vincolati a θ [, π]. Il minimo è assunto in θ, π/, π e vale, il punto corrispondente è l origine. Il massimo è assunto in θ π/4, 3/4π, cui corrisponde il punto ± 5/4, 5/4, e il valore massimo di h è /4. Per quanto riguarda il grafico qualitativo, poniamo gθ ρ θ e studiamo per θ [, π]. Si ha g gπ, e g θ cos 3 θ sin θ cos θ cos θcos θ sin θ cos θ 3 sin θ. Tale derivata per θ ], π[ è nulla nel punto θ m π/, e gπ/, punto di minimo, oppure nei punti corrispondenti a θ M per cui vale sin θ M /3 e quindi cos θ M /3. Si ha ρθ M 3/9. I punti corrispondenti in coordinate cartesiane sono ± /9, /9 e sono i punti di Γ più lontani dall origine.

159 SOLUZIONI 53 x y Figura 6. L insieme x + y + x4 + x y + y 4 e alcune rette significative. Per disegnare l insieme, quindi, partiamo dall angolo θ e dall origine, la distanza cresce con l angolo fino al suo valore massimo e poi decresce fino a per θ π/. Si ricostruisce il grafico per simmetria nel secondo quadrante. L aspetto è quello di un quadrifoglio tagliato a metà. Questo conclude lo studio qualitativo richiesto. Per completezza forniamo ulteriori dati. Studiamo il massimo di y θ : ρ θ sin θ sin 3 θ cos θ. Si ha d dθ y θ cos θ sin 4 θ + 3 sin θ cos θ sin θ3 cos θ sin θ sin θ5 cos θ. Tale derivata per θ ], π[ è nulla se cos θ /5, cui corrisponde sin θ 3/5 e ρ θ 6/5. I punti di ordinata massima sono quindi ± /5 4 6/5, 3/5 4 6/5. Studiamo il massimo di x θ : ρ θ cos θ sin θ cos 4 θ d dθ x θ cos 5 θ 4 cos 3 θ sin θ cos 3 θcos θ 4 sin θ cos 3 θ 5 sin θ. Tale derivata se θ ], π[\{π/} si annulla per sin θ /5 cui corrisponde cos θ 4/5 e ρ θ 4 5 3/ I punti di ascissa di modulo massimo sono quindi ±4 5 5/4, 5 5/4. L insieme è inscritto nel rettangolo con lati paralleli agli assi Q : [ 4 5 5/4, 4 5 5/4 ] [, 3/5 4 6/5].

160 54 SOLUZIONI Svolgimento Esercizio 3. Si ha ponendo t y/x: VolΩ Ω x x x x dx dy dz x x + x t x x dt dx dt dx + t x x +y per parti [xarctanx arctan x] x x dz dy dx arctan 4 arctan arctan + π 4 4 x x arctanx arctan x dx x + 4x x + x dx 8x + 4x dx + x x dy dx + y arctan 4 3 arctan + π 4 4 [log + 4x ] x x + [log + x ] x x arctan 4 3 arctan + π 4 4 [log + 4x ] x x + [log + x ] x x arctan 4 3 arctan + π 4 4 log7/5 log/5 arctan 4 3 arctan + π 4 4 log7/5 4 log4/5 arctan 4 3 arctan + π log5/68. x + x dx Svolgimento Esercizio 3. Si ha: Poniamo F x, y, z F x, y, z, F x, y, z, F 3 x, y, z. div F x, y, z xf x, y, z + yf x, y, z + zf x, y, z 4y + y 4z, rot F x, y, z det e x F x, y, z e y F x, y, z det e x 6y e y 6x 4yz + 5z e 3 z F 3 x, y, z e 3 z yz 4y z z 8yz 8yz + z,, 6 6,,. Poiché il rotore è nullo, il campo è conservativo. Poiché il campo è conservativo, l integrale di linea non dipende dal cammino, ma solo dagli estremi: γ,, e γπ,,. Possiamo quindi integrare sul segmento γ : [, ] R 3, γt, t,. Si ottiene quindi: γ F dl F γt γ t dt 6t, 6,,, dt 6. 3 Si ha: Jac ϕu, v u 3v v 3 + 3u 3uv. u v

161 SOLUZIONI 55 Determiniamo l elemento d area con la regola di Binet: formiamo le tre sottomatrici quadrate: u 3v 3u B : v 3 + 3uv, det B 6u v 6uv 3 + 3u; u 3v 3u B :, det B u v 6u + 4uv 6v ; v B 3 : 3 + 3uv, det B u v 3 6u v + v 4 + v. Per Binet: dσ det B + det B + det B 3 du dv 6u + 4uv 6v + 6u v + v 4 + v + 6u v 6uv 3 + 3u du dv. 4 È necessario trovare u P, v P [, ] [, ] tali per cui P ϕu P, v P, ovvero risolvere il sistema: u 3uv +, uv 3 + u 3/6 + 3/, u + v /4. Dalla prima equazione si ottiene u 3uv, quindi uu 3v per cui u o u 3v. Se u la seconda non può essere risolta. Quindi u 3v. Dalla terza si ottiene v ±/, per cui u ±3/. La seconda equazione è soddisfatta prendendo i segni positivi u P 3/, v P /. Si ha quindi: Jac ϕu P, v P det La normale indotta è quindi: e e Jac ϕu P, v P e 3 det 3 e 9 e e 3 3 4, 3, Il versore normale è ˆnP , 3,

162 56 SOLUZIONI 5 Posto G G, G, G 3, il flusso richiesto è: Φ G, S : det G ϕu, v G ϕu, v Jac ϕu P, v P du dv G 3 ϕu, v det 6 uv 3 + u u 3v 3u v 3 + 3uv u v + 6 uv 3 + u vv 3 + 6u v dv du + u 3v3uv + 3uv 3 + du dv vu 3v + 6u du dv+ Tutti i termini nello sviluppo che contengono potenze dispari di u o v sono nulli perché tali termini sono funzioni dispari di u o di v integrate su un intervallo simmetrico. Si ha quindi che il primo integrale è nullo e: Φ F, S : 6v 6u + 6u v du dv 6 v 6 u + 6 u v du dv 6 u v du dv 8/3. Svolgimento Esercizio 3. Applichiamo il metodo di separazione delle variabili, cerchiamo soluzioni non nulle nella forma ut, x UtXx. Si ottiene: UtXx UtẌx+4UtXx. Dividendo per ut, x UtXx si ottiene allora: Si ottiene quindi il sistema: Ut + 4 Ut Ẍx Xx λ R. { Ut λ 4Ut Ẍx λxx Consideriamo l equazione per Xx accoppiata con le condizioni Ẋ Ẋπ. L equazione caratteristica è µ λ, il cui discriminante è 4λ. Se λ > allora > e l equazione ammette due radici reali distinte non nulle µ, µ, la soluzione generale diviene Xx c e µ x +c e µ x. Derivando, si ha Ẋx c µ e µ x + c µ e µ x da cui il sistema nelle incognite c e c. {Ẋ c µ + c µ Ẋπ c e µ π µ + c e µ π µ. Poiché µ µ, le due equazioni sono indipendenti e quindi l unica soluzione è c c non accettabile. Se λ, si ha µ µ, quindi la soluzione generale dell equazione è Xx c +c x. Derivando, e sostituendo le condizioni al contorno si ottiene c. Quindi si ha la soluzione accettabile X x c, c R \ {}. Se λ <, si ottengono due radici complesse coniugate µ i λ, µ i λ, quindi la soluzione generale è Xx c cos λx + c sin λx, la cui derivata risulta Ẋx λ c sin λx + c cos λx. Sostituendo la condizioni al contorno Ẋ si ha c, da cui Ẋx c λ sin λx, e dato che Ẋπ e c, si deve avere λ N e perciò λ n n, n N. La soluzione corrispondente

163 SOLUZIONI 57 risulta quindi X n x c n cosnx, n N, che include anche il caso precedente. L equazione per Ut con i valori λ n ha soluzione U n t d n e n +4t, pertanto le soluzioni elementari sono del tipo Cerchiamo soluzioni in forma di serie, quindi: in particolare: u n t, x U n tx n x a n e n +4t cosnx. ut, x n u n t, x, n u, x π x u n t, x a + a n cosnx. Per confronto, si ricava che i coefficienti a n, n > sono i coefficienti dello sviluppo di Fourier della funzione u, x prolungata per parità in [ π, π] e per π-periodicità a tutto R, mentre a è metà del coefficiente corrispondente di tale sviluppo. a π π π π x dx π 4 a n π π x cosnx dx π [ sinnx π ] xπ/ π n x + x nπ + [ sinnx x π ] xπ π n n è l area di un triangolo moltiplicata per un coefficiente. π/ xπ/ π x cosnx dx + π π/ nπ sin nx dx+ π π/ sin nx dx π π/ x π cosnx dx + n cosnπ/ n, π dove si è integrato per parti e osservato che i termini tra quadre sono nulli. La soluzione è quindi: ut, x e 4t π 4 + e n t + n cosnπ/ π n cosnx. π n Il termine generale delle serie è maggiorato in modulo da 4/n, termine generale di serie convergente. La serie converge totalmente, quindi uniformemente e puntualmente. Si può anche fare la seguente osservazione: per n dispari si ha a n. Per n > pari e multiplo di 4, ovvero n 4k, k > si ha ancora a 4k. Per n > pari ma non multiplo di 4, ovvero n 4k, k >, si ha a 4k, πk quindi la soluzione diviene: ut, x e 4t π 4 + π k e 4k t cosk x. k Svolgimento Esercizio 33. Osserviamo che F x, y F x, y, F x, y F x, y quindi l insieme Γ è simmetrico rispetto agli assi. In coordinate polari piane si ha F ρ cos θ, ρ sin θ ρ cos θ ρ, ρ, Γ {ρ cos θ, ρ sin θ : ρ 4 cos θ, ρ } Γ non è chiuso perché data {ρ n } n N ], + [, ρ n +, per n sufficientemente grande è possibile determinare θ n : arccos ρ in modo da avere ρ n cos θ n, ρ n sin θ n Γ. Tuttavia tale successione di punti di Γ converge a, / Γ. La chiusura di Γ è Γ Γ {, }.

164 58 SOLUZIONI Figura 7. L insieme x + y + x + y. x Si ha F x, x /x che si annulla per x ±, da cui i punti ±,, invece F, y y che si annulla in y, però il punto, / Γ. Pertanto Γ interseca gli assi in ±,. Si ha: x F x, y x + 4x3 + x, x +y x +y 3 y F x, y 4x y + y x +y 3 Nella fattispecie y F ±, e x F ±, ±4, pertanto è possibile applicare il teorema di Dini e concludere l esistenza di funzioni x φ + y e x φ y definite in un intorno di tali per cui φ ± ±. Poiché F C tali funzioni sono C. Si ha dφ ± dy yf ±, x F ±,. Le tangenti a Γ in tali punti sono verticali e quindi sono x ±. 3 Osserviamo che h è una funzione strettamente monotona di ρ, pertanto massimi e minimi di h sono raggiunti nei massimi e minimi di ρ. In particolare vi è un minimo in, che vale h,. ρ raggiunge il suo massimo per cos θ, pertanto i massimi sono in ±, e h±, arctan log. 4 Γ non è compatto perché non è chiuso. Dall espressione in coordinate polari sua chiusura Γ si ricava che ρ è limitato, quindi Γ è compatto. 5 Oltre alle già citate simmetrie rispetto agli assi, osserviamo che la funzione θ cos θ è π- periodica, pertanto l insieme è invariante per rotazioni di angolo π. I massimi di x coincidono con i massimi di ρ in quanto questi ultimi sono assunti su punti dell asse x. La funzione θ cos θ è strettamente monotona decrescente da a π/, e in π/ vale. Per simmetria è possibile ricostruire da questo il grafico di Γ. Svolgimento Esercizio 34. Definiamo la seguente mappa ϕ : Ω [, ] [, π], ϕx, y x + y, x y. Tale mappa è invertibile: Jacϕx, y

165 SOLUZIONI 59 il cui determinante è. La sua funzione inversa ψ : [, ] [, ] Ω ha determinante Jacobiano pari a Jacψu, v Jacϕψu, v. Si ha allora: cos x + y sin3x y dx dy Ω cos u sin 3v detjacψu, v du dv ϕω π π Svolgimento Esercizio 35. Poniamo F F, F, F 3 Si ha cos u sin 3v du dv sin 3v dv cos u du. γ div F x, y, z x F + y F + z F 3, rot F x, y, z det e x F x, y, z e y F x, y, z 6z, 3 x, 8y. e 3 z F 3 x, y, z Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo. Posto C {x,, y : x + y }, si ha γ C. Il bordo di C è γ, e la normale indotta positivamente è,,. Per il teorema di Stokes, la circuitazione su γ è il flusso del rotore attraverso C, quindi: F d l rot F ˆn dσ 6z, 3 x, 8y,, dσ x 3 dx dy 3π. C C dove si è sfruttata nell ultimo passaggio la simmetria del dominio C. Verifichiamo il risultato per calcolo diretto: π π F d l F γt γt dt 3 sin t, cos t, 6 cos t sin t,, cos t dt 3 Si ha: γ π 3 sin t + 6 cos 3 t dt 3 Jac ϕu, v π u 4v 3 sin t 3π. Dalla regola di Binet si ricava dσ + 6v 6 + 4u du dv. 4 Il punto P ϕ/,, pertanto la normale è data dal prodotto vettoriale delle colonne dello Jacobiano della parametrizzazione. Dividendo per il modulo di tale vettore ossia per dσp si ottiene il versore normale richiesto: ˆnP,, 3.. C 5 Consideriamo la superficie Σ : {u, v, : u + v 4 }. Si ha che Σ S è superficie chiusa, inoltre la normale uscente da S indotta dalla parametrizzazione è la normale esterna

166 6 SOLUZIONI al volume V racchiuso da Σ S. Se orientiamo Σ con la normale verso il basso, dal Teorema S della divergenza si ha: Pertanto F ˆn dσ 4 Σ Σ F ˆn dσ S Σ F ˆn dσ 9y + 3z, 8z + x, 6x,, 6 y 4 3 dy 8 V y 4 3/ dy. div F dx dy dz. Σ y 4 x dx dy 6 x dx dy y 4 Svolgimento Esercizio 36. La forma ω non è esatta, tuttavia si ha: In forma di equazione totale si ha ωx, y px, y dx + qx, y dy y dx + x xy dy. y px, y x qx, y xy qx, y, x pertanto l equazione ammette il fattore integrante kx exp fx dx e /x dx x. Si ha: kx, yωx, y y x dx + xy dy. x Moltiplicando l equazione data per x, si ottiene: y x dx + x dy y dy d y x y Pertanto in forma implicita le soluzioni sono descritte da y x y Si ricavano le due soluzioni al variare di c R Se y 3, si ha c, c R. yx ± cx. x yx + + 3x. x Tale soluzione è definita in ], + [ e ammette un asintoto orizzontale y 3 e verticale per x, il limite a + è + ed è strettamente decrescente. Svolgimento Esercizio 37. Poniamo F x, y x + y cos6xy. Si ha che l insieme è simmetrico rispetto agli assi e alle bisettrici perché F x, y F y, x F x, y F x, y..

167 In coordinate polari, si ha Quindi: SOLUZIONI 6 F ρ cos θ, ρ sin θ ρ cos6ρ cos θ sin θ ρ cos3ρ sin θ. Γ {ρ cos θ, ρ sin θ : ρ cos3ρ sin θ, ρ >, θ [, π]}. Si ha F x, x da cui, sfruttando anche le simmetrie, le quattro intersezioni con gli assi sono ±,,, ±. Il differenziale di F è df x, y F F x, y dx + x, y dy x + 6y sin6xy dx + y + 6x sin6xy dy. x y Nei punti ±, si ha F x ±,, quindi le tangenti sono verticali e sono x ±. Per simmetria, nei punti, le tangenti sono orizzontali e sono y ±. Nei punti, il teorema di Dini è applicabile per ottenere una funzione implicita y ϕx che esplicita Γ. Nei punti ±, invece no. 3 Dall espressione in coordinate polari si ha ρ cos3ρ sin θ +, e l uguaglianza vale per 3ρ sin θ o in generale per 3ρ sin θ kπ, k Z. Si ha che F,, quindi ρ. Allora dalla prima deve essere sin θ da cui θ, π/, π, 3π/. D altra parte se 3ρ sin θ kπ, si ottiene ρ quindi 6 sin θ kπ quindi sin θ kπ/3. Ma se k, si ha kπ/3 > quindi non ci sono soluzioni. Allora ρ raggiunge il suo massimo nei punti di intersezione con gli assi e tale massimo vale. Essendo h composizione di funzioni strettamente monotone, il massimo di h è raggiunto nelle intersezioni con gli assi e vale e +. Sebbene non richiesto, osserviamo che d altra parte la derivata rispetto a θ di gρ, θ ρ cos3ρ sin θ è g θ 6ρ cosθ sin3ρ sinθ, che si annulla per ρ non accettabile, sinθ già discusso, cos θ il che implica θ π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4. In tali punti, si ha ρ cos3ρ + e tali punti sono punti di minimo per ρ. 4 Si ha ρ quindi l insieme è limitato, poiché F è continua, l insieme è chiuso quindi è compatto. 5 l insieme è invariante per rotazioni di periodo π/ dall equazione in coordinate polari e inoltre è simmetrico rispetto alle bisettrici del primo quadrante. Svolgimento Esercizio 38. y : u, v. Si ha: Consideriamo la mappa ϕ : R R definita da ϕx, y x + y, x Jac ϕx, y Il determinante di tale matrice è, Quindi la trasformazione è globalmente invertibile. Sia ψ ϕ. Si ha Ω ψd con D : {u, v : u <, v < π}. L elemento d area è dato dal modulo del determinante dello Jacobiano di ψ, ovvero l inverso del medesimo di ϕ, quindi /. Pertanto l integrale richiesto vale: π u 3 π 7 sin v du dv. in quanto funzione dispari di u estesa ad un intervallo simmetrico rispetto all origine. Svolgimento Esercizio 39. Poniamo F F, F, F 3..

168 6 SOLUZIONI Figura 8. L insieme x + y cos6xy. Si ha: div F x, y, z x F + y F + z F 3. rot F x, y, z det e x F x, y, z e y F x, y, z z, 6 4x, 4 4y. e 3 z F 3 x, y, z Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo. La curva γ è bordo del cerchio C centrato nell origine, di raggio e appartenente al piano z. Per ottenere l orientamento dato, è necessario orientare il cerchio con la normale verso l alto, ovvero,,. A questo punto per il teorema di Stokes si ha: γ F d l C rot F ˆn dσ C 4 4y dσ 4π. Verifichiamo il risultato per calcolo diretto: 3 Si ha: γ F d l π π F γ γdθ π sin 3 θ + 4 cos θ dθ 4π. Jac ϕr, θ sin, 4 cos θ, cos sin θ, cos θ, dθ 3r r cos θ r 3 r + sinθ 3r r sin θ r 3 r + cosθ

169 SOLUZIONI 63 L elemento d area dσ, per la formula di Binet, è dato dalla radice della somma dei quadrati dei determinanti delle sottomatrici di ordine : 3r B : r cos θ r 3 r + sinθ 3r r sin θ r 3 r + cosθ 3r B : r cos θ r 3 r + sinθ 3r B 3 : r sin θ r 3 r + cosθ dσ det B + det B + det B 3 r 3 r + 9r 4 r 3 + 4r +. 4 si ha,, ϕ,. La normale è quindi il prodotto vettoriale delle colonne di Jac ϕ,, ovvero il prodotto vettoriale di,, e,, quindi,,. La normale unitaria si ottiene dividendo tale prodotto per il modulo: ˆn,,,,. 5 Il campo assegnato ha divergenza nulla. La superficie S non è una superficie chiusa, e il suo bordo è dato dalle circonferenze θ [, π]: S S γ t cos t, sin t,, γ t 5 cos θ, 5 sin θ,. Consideriamo quindi i due cerchi ausiliari C e C, di cui γ e γ sono i bordi. Orientiamo C con la normale,,, C con la normale,, e S con la normale uscente a C C S. Per il teorema della divergenza si ha: F ˆn dσ C F ˆn dσ + C F ˆn dσ y, 4x, x,, dx dy + C x dx dy x dx dy C C π π 3π. ρ cos θ ρ dρ dθ cos θ dθ ρ 3 dρ π 5 π y +, + 4x, x,, dx dy C ρ cos θ ρ dρ dθ cos θ dθ 5 ρ 3 dρ Se sezioniamo S con il piano z, otteniamo il cerchio di raggio. La normale esterna a tale cerchio nel punto, è,, mentre la proiezione della normale indotta dalla parametrizzazione è,. Pertanto il flusso richiesto è l opposto di quello calcolato, ossia 3π. Verifichiamo il risultato per calcolo diretto: π F ˆn dσ det F ϕ F ϕ Jac ϕ dρ dθ F 3 ϕ π det r 3 r + sin t + 6r 3r r cost r 3 + r sint 5r + 4 r 3 r + cost 3r r sint r 3 r + cost r 3 r + dr dt cos t 3π, che conferma il risultato precedente.

170 64 SOLUZIONI Svolgimento Esercizio 4. Per applicare il metodo di separazione delle variabili cerchiamo soluzioni non nulle ux, t UtXx. Sostituendo nell equazione e dividendo per UtXx si ha: le equazioni divengono allora: Ut λut, Ut Ut 3Ẍx Xx λ R, 3Ẍx λxx, e dalle condizioni al contorno si ricava Ẋ Ẋπ. L equazione caratteristica per Xx è 3µ λ. Se λ > si ottiene la soluzione Xx c e λ/3x + c e λ/3x. Derivando: Ẋx c λ/3e λ/3x c λ/3e λ/3x. Valutando in e ricordando le condizioni al contorno si ha c c perché λ, da cui: Ẋx c λ/3e λ/3x e λ/3x, che valutata in π si annulla solo per c c, quindi non è accettabile. Se λ si ottiene la soluzione X x c + c x, derivando e sostituendo le condizioni in, π si ottiene c, quindi la soluzione X c R è accettabile. Se λ < si ottiene Xx c cos λ /3x + c sin λ /3x. Derivando: Ẋx c λ /3 sin λ /3x + c λ /3 cos λ /3x. Sostituendo la condizione in si ottiene c da cui: Ẋx c λ /3 sin λ /3x. e sostituendo la condizione in π e richiedendo c si ha λ /3 n da cui λ 3n si ricordi che λ <. Si ottiene quindi la soluzione accettabile X n x c n cosnx relativa a λ 3n, e questa scrittura comprende anche il caso n. La soluzione per Ut relativa a questo dato è U n t d n e 3nt. Pertanto rimangono definite le soluzioni elementari: u n x, t U n tx n x a n e 3nt cosnx. Cerchiamo di realizzare il dato iniziale con una sovrapposizione di soluzioni elementari. A tal proposito, consideriamo lo sviluppo in serie di Fourier di soli coseni di xπ x. Prolunghiamo tale funzione per parità in [ π, π] e poi per π-periodicità: a n π a π π π π π x π x cosnx dx π x π x dx π π π xπ x cos nx dx n + n xπ x dx π 6 I coefficienti dispari sono nulli. Si ricava ponendo n k: La soluzione risulta allora: x x π 6 ux, t π 6 k k coskx k. e kt coskx k. Il termine generale della serie è maggiorato in modulo da /k, quindi la serie converge totalmente e quindi assolutamente e uniformemente. Derivando due volte in x o una volta in t per t > si ottiene

171 SOLUZIONI 65 che il termine generale è maggiorato da una costante moltiplicata per k e kt termine generale di serie geometrica convergente, quindi la serie delle derivata prima in t e seconda in x convergono per t >, fornendo quindi una soluzione del problema. Svolgimento Esercizio 4. Poniamo F x, y x + y 4 + x 3 y 3. L insieme è simmetrico rispetto all origine perché F x, y F x, y e alla bisettrice del primo e terzo quadrante perché F x, y F y, x. In coordinate polari si ha: Γ {ρ cos θ, ρ sin θ R : ρ 4 ρ 6 sin 3 θ/8}. Si ha F x, x 4 nullo in x ±. Pertanto i punti cercati sono ±, e i simmetrici rispetto alla bisettrice, ±. Calcoliamo il differenziale di F ricordando che x F x, y y F y, x per le simmetrie: df x, y x F x, y dx + y F x, y dy 3x y 3 + x dx + 3y x 3 + y dy. In particolare df, 4 dx, quindi la retta tangente in, è verticale ed ha equazione x. Per simmetria, la tangente in, ha equazione x e le tangenti in, ± hanno equazione y ±. Per il teorema di Dini, si ha la definizione di una funzione implicita y ϕx in un intorno dei punti, ±, in quanto ivi y F, ±, mentre y F ±,. 3 Γ è chiuso perché F è continua. Osserviamo che 8 ρ 4 ρ 6 sin 3 θ. Per ρ > sufficientemente grande, il membro di sinistra è più piccolo di, ed è positivo, quindi la sua radice cubica è più piccola di e quindi si ha sinθ 3 8 ρ 4 ρ 6. che è risolubile in θ. Pertanto per ogni valore di ρ > sufficientemente grande si ha che esiste un valore di θ tale per cui il punto ρ cos θ, ρ sin θ Γ, quindi Γ non è limitato, perciò non è compatto. 4 In Γ si ha ρ 4 ρ 6 sin 3 θ/8, da cui hρ cos θ, ρ sin θ Γ ρ 4 e ρ /4. Studiamo la funzione hr r 4 e r /4 per r > : essa ammette un unico punto di minimo assoluto in r e si ha h, inoltre per r + si ha hr +. La derivata è h r 8 e r 4 r r 4, che si annulla in r. Ivi la funzione raggiunge il suo massimo e vale /e. Si ha che, Γ, quindi ρ non è accettabile. Osserviamo che poiché Γ non è limitato, esiste una successione di punti in Γ lungo cui h tende a zero, pertanto non esistono punti di minimo. L estremo inferiore di h è che non è assunto. Invece esistono punti in Γ tali per cui ρ. Infatti tali punti soddisfano 4 sin 3 θ/8 da cui sin θ quindi θ, π/, π, 3π/. I punti di massimo vincolato sono quindi ±, e, ±. 5 Studiamo i segni di x F e y F. Si ha x F x, y > per 3x y 3 +x > da cui x3xy 3 + >. Consideriamo le curve x, 3xy 3 + da cui x /3y 3 e le simmetriche y, y /3x 3 dividono il piano in varie regioni. Le curve x /3y 3 e y /3x 3 si incontrano nel punto della bisettrice y x dato da x 4 /3 ossia x ± 4 /3. Il piano risulta quindi diviso in varie regioni a seconda del segno delle derivate parziali di F. In particolare, sappiamo che attorno al punto, è possibile esplicitare Γ come funzione

172 66 SOLUZIONI Figura 9. L insieme x + y 4 + x 3 y 3 e alcune curve significative. y ϕx, il che vuol dire che attorno a, vi sono punti di Γ del primo quadrante ossia con x >, y >. In tutto il primo quadrante si ha x F x, y > e y F x, y > quindi yf x, y x F x, y <, quindi se x, y Γ appartiene a questa regione, localmente Γ attorno a tale punto è grafico di una funzione strettamente decrescente. Pertanto da, parte una curva y ψx nel primo quadrante strettamente decrescente e simmetrica rispetto a y x che raggiunge l unica intersezione con l asse delle x ovvero,. Poiché F x, y in tutto il quadrante, non si hanno altri rami di Γ nel primo quadrante. Per x < sufficientemente piccolo, e y vicino a, si ha che y F x, y > in quanto y F, 4 >, mentre x F x, y < in quanto per x piccolo tale derivata è x + εx < x + x y 3 < x + + εx < se x < è sufficientemente piccolo. Pertanto il punto x è un massimo locale per la curva y ϕx che esplicita localmente Γ. Osserviamo ora i seguenti fatti: nel punto x /3, sostituendo nella curva 3y 3 x + si ottiene y 3 e si ha F /3, 3 <, mentre per x si ha y + e F x, y + per x, y vincolato a 3y 3 x +. Quindi la curva che esplicita Γ incontra la curva 3y 3 x + in un punto compreso tra x /3 e, entrando così in una regione di crescita, da cui non esce più. Per simmetria, si ricostruisce il grafico completo. Svolgimento Esercizio 4. Consideriamo la mappa ϕ : Ω R data da ϕx, y x y, x + y.

173 Lo Jacobiano di tale mappa è Jac ϕx, y SOLUZIONI 67 il cui determinante è. Poiché esso è diverso da zero, la trasformazione è invertibile, sia ψ ϕ. Poniamo D ϕω. Si ha D [ π, π] [, ] dalla definizione di Ω e di ϕ, inoltre Ω ψd e da cui detjac ψu, v /, pertanto fx, y dx dy Nel nostro caso si ha: Ω Ω, Jac ψu, v [Jac ϕ] ϕu, v, D f ψu, v Jac ψu, v du dv. sinx y + x + y dx dy π sin u du dv. π + v Svolgimento Esercizio 43. Poniamo ϕθ, y ϕ, ϕ, ϕ 3 e F F, F, F 3. Si ha divf x, y, z x F + y F + z F 3 3, rot F det e x F e y F, x + 8z,. e 3 z F 3 Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo. Per calcolo diretto si ha: π F dγ F cos t, sin t, sin t, cos t, dt γ π π 3 cost, 6 sint cost +, sint cos t sin t, cos t, dθ cos t + cos t + 9 sin t dt π cos t dt π Quindi la circuitazione non è nulla, il che conferma come F non sia conservativo. 3 La matrice Jacobiana è v + cosu 4v v + sinu Jac ϕθ, y 4v 3 v + sinu 4v v + cosu Per la formula di Binet, l elemento d area è: ω det B + det B + det B 3, dove 4v 3 B v + sinu 4v v +, cosu v B + cosu 4v v + sinu v + sinu 4v v +, cosu v B 3 + cosu 4v v + sinu 4v 3,

174 68 SOLUZIONI da cui ω 4 v v + 4 v 4 + v + 4v v + v 4 + v +, ove si può omettere il modulo su v perché v. 4 Una base dello spazio tangente è data dalle colonne della matrice Jacobiana di ϕ. In particolare, nel punto 5 6, 6, ϕπ/, / si ha,, 5/6 e 5/, /,. La normale non unitaria è data dal prodotto vettoriale di tali vettori ed è pari a e 5/ e / e 3 5/6 5 3, 5 3,. Pertanto ˆnP , 5 3,, 5, Per il teorema di Stokes, il flusso del rotore è pari alla circuitazione del campo sul bordo della superficie con l orientamento indotto. L immagine della frontiera con tale orientamento è data dall unione delle quattro curve: γ u ϕu, sinu,, cosu, u [, π] γ v ϕπ, v, v 4, v +, v [, ] γ 3 u ϕπ u, 4 sinu,, 4 cosu, u [, π] γ 4 v ϕ, v, v 4, v +, v [, ], le cui derivate sono: γ u cosu,, sinu, u [, π] γ v, 4v 3, 4v v +, v [, ] γ 3 u 4 cosu,, 4 sinu, u [, π] γ 4 v, 4 v 3, 4 v + v, v [, ], Si ha quindi: I : F d l γ π π, 3 sinu + 4 cos u, sinu, sin u cosu,, sinu du sin 3 u + cosu 3 sinu + 4 cos u du I : F d l γ 6, 4 v + 4, 6v 4, v 4, 4v 3, 4v v + dv 4 v + v v 4 v 3 dv

175 SOLUZIONI 69 I 3 : F d l γ 3 π π, 64 cos u sinu, 4 sinu 4, 6 sin u 4 cosu,, 4 sinu du 4 sinu 6 sin u 4 cosu 64 cos u sinu du I 4 : F d l γ 4 Si ha 6, 4 v + 4, 6 v 4, v 4, 4 v 3, 4 v + v dv 4 v + v v 4 v 3 dv Sommando i quattro contributi si ottiene: I + I + I 3 + I 4, che conferma il risultato precedente. Si osserva che il contributo dato da γ e γ 3 deve essere complessivamente nullo, in quanto si tratta della stessa curva percorsa nei due sensi opposti. Svolgimento Esercizio 44. In forma di equazione totale si ha ωx, y px, y dx + qx, y dy xy + x y + y3 dx + x + y dy. 3 y p x q x + y qx, y, quindi si ha un fattore integrante della forma hx e dx e x. Pertanto l equazione totale e x xy + x y + y3 dx + e x x + y dy 3 è esatta. Per trovare una primitiva, integriamo la forma lungo una spezzata con i lati paralleli agli assi congiungente, al generico punto x, y : y ω e x x + y dy e x y x + y/3. γ Pertanto V x, y ye x x +y /3 e la soluzione in forma implicita è V x, y C, C R. La soluzione corrispondente alle condizioni iniziali si ottiene ponenedo C V, 3, ossia: ye x x + y /3. Svolgimento Esercizio 45. Poniamo F x, y x + y 5/ x + y 3x + y. L insieme è simmetrico rispetto agli assi e origine: F ±x, ±y F x, y per ogni scelta possibile dei segni.

176 7 SOLUZIONI In coordinate polari si ha: Γ {ρ cos θ, ρ sin θ R : ρ 4 cos θ + + ρ } {ρ cos θ, ρ sin θ R : ρ + cos θ + } {, } Per θ, π, si ottiene ρ e per ρ π/, 3π/ si ha ρ. Quindi i punti cercati sono ±,,, ±,,. Calcoliamo il differenziale di F : df x, y x F x, y dx + y F x, y dy x 5 x + y 3/ 4x 6y dx+ + y 5 x + y 3/ 6x 8y dy. In particolare y F ±,, quindi le retta tangenti in ±, sono verticali ed hanno equazione x ±. Analogamente, x F, ± e le tangenti in, ± hanno equazione y ± rette orizzontali. Per il teorema di Dini, si ha la definizione di una funzione implicita y ϕx in un intorno dei punti, ±, in quanto ivi y F, ±, mentre y F ±,. 3 Γ è chiuso perché F è continua. Dall equazione in coordinate polari, abbiamo che ρ è limitato, quindi Γ è compatto. Sempre dall equazione in coordinate polari, osserviamo che se ρ cos θ, ρ sin θ Γ allora o ρ oppure ρ, quindi l origine è un punto isolato. Pertanto Γ \ {, } e chiuso e limitato perché Γ lo è quindi compatto. 4 Osserviamo che hρ cos θ, ρ sin θ log arctan ρ è una funzione strettamente crescente di ρ, quindi i suoi massimi e minimi sono raggiunti in corrispondenza dei massimi e minimi di ρ vincolati a Γ \ {, }. Tali massimi sono raggiunti per ρ, θ {, π}, quindi nei punti ±, e il valore massimo è log arctan, mentre i minimi sono raggiunti per ρ quindi nei punti con cos θ, ovvero θ π/, 3π/, ossia, ±, e il valore minimo è log arctan 4. 5 Osserviamo che per < θ < π/ si ha che ρ è strettamente decrescente dal suo massimo al suo minimo. Si ricostruisce grazie alle simmetrie il grafico completo. Svolgimento Esercizio 46. Lo Jacobiano di tale mappa è Consideriamo la mappa ϕ : Ω R data da ϕx, y x y, x + y. Jac ϕx, y il cui determinante è. Poiché esso è diverso da zero, la trasformazione è invertibile, sia ψ ϕ. Poniamo D ϕω. Si ha D [ π, π] [, ] dalla definizione di Ω e di ϕ, inoltre Ω ψd e da cui detjac ψu, v /, pertanto fx, y dx dy Nel nostro caso si ha: Ω Ω, Jac ψu, v [Jac ϕ] ϕu, v, D f ψu, v Jac ψu, v du dv. x ye x y + x + y dx dy π ue u du dv. π + v Svolgimento Esercizio 47. Poniamo ϕθ, y ϕ, ϕ, ϕ 3 e F F, F, F 3.

177 SOLUZIONI 7 Figura. L insieme x + y 5/ x + y 3x + y. Si ha divf x, y, z x F + y F + z F 3 4, rot F det e x F e y F 3, x + 8z, 4. e 3 z F 3 Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo. Per calcolo diretto si ha: π F dγ F cos t, sin t, sin t, 3 cos t, dt γ π π 6 sint + 5 cost, 3 sint cost, sint cos t sin t, cos t, dθ 6 7 sin t dt π. Quindi la circuitazione non è nulla, il che conferma come F non sia conservativo. Più brevemente: la curva γ è il bordo di un ellisse E nel piano z centrata nell origine e di semiassi e 3. Dalla regola della mano destra, per indurre l orientamento richiesto sul bordo, è necessario che la normale a tale ellisse sia rivolta verso l alto, ossia ˆn,,. Per il teorema di Stokes, la circuitazione è il flusso del rotore, quindi F dγ rot F ˆn dσ 4 dσ 4 AreaE π, γ E essendo l area di un ellisse pari a π moltiplicato per il prodotto dei semiassi. 3 La matrice Jacobiana è v Jac ϕθ, y v cosu v sinu v +. sinu v cosu E

178 7 SOLUZIONI dove da cui Per la formula di Binet, l elemento d area è: ω det B + det B + det B 3, ω B B B 3 v cosu v sinu v +, sinu v cosu v v +, sinu v cosu, v v cosu v sinu 4v 6 cos u + v cosu + v 3 + v + 4 v + v sin u. Allo stesso risultato si ottiene calcolando il prodotto esterno delle colonne della matrice Jacobiana della parametrizzazione. 4 Una base dello spazio tangente è data dalle colonne della matrice Jacobiana di ϕ. In particolare, nel punto P,, ϕπ/, si ha,, e,,. La normale non unitaria è data dal prodotto vettoriale di tali vettori ed è pari a Pertanto e e e 3 4, 4,. ˆnP,,. 5 Per il teorema di Stokes, il flusso del rotore è pari alla circuitazione del campo sul bordo della superficie con l orientamento indotto. Tale bordo è contenuto nell insieme parametrizzato dalle curve γ, γ 3 : [, π] R 3 e γ, γ 4 : [, ] R 3 che descrivono l immagine tramite ϕ della frontiera dello spazio dei parametri percorsa in senso antiorario, ossia γ t ϕt,,, cost, γ t ϕπ, t t +,, t +, γ 3 t ϕπ t,, sint, cost, γ 4 t ϕ, t t +,, t +. Il contributo dato da γ e γ 4 deve essere complessivamente nullo, in quanto si tratta della stessa curva percorsa nei due sensi opposti. Per il teorema di Stokes: ΦS, rot F F dl + F dl + F dl + F dl γ γ γ 3 π π 4 cos t + 5, cost,,, sint dt+ γ 4 4 t t +, t t + +, t + t,, t dt+ sint + 6 cos t +, sint + cost 4, 4 sint 4, cost, sint dt+ 4 t t +, t t + +, t + t,, t dt.

179 SOLUZIONI 73 Gli integrali estesi da a sono l uno opposto dell altro si usi il cambio di variabile y t Risulta quindi: π π ΦS, rot F sin t dt + 4 sint 4 sint costsint + cost 4 dt π 8 sin t + 8 sint cos t + 4 cost sint cost dt 6π Per calcolo diretto si ha: π ΦS,rot F 3 v det 8 cosu v + + v + v cosu v sinu 4 v + du dv sinu v cosu π π v cosu6v cosu + 8v+ + v + sinu 6v 3 cosu + 6v sinu 6v cosu 4v 3 4v du dv 4v 5 sinu 6v 5 sinu cosu + 6v 3 sin u 8v 3 sinu + 6v 3 cos u + +8v 3 cosu 3v 3 sinu cosu + 6v sin u 4v sinu 6v sinu cosu du dv 6π, ricordando che i termini in cui compaiono potenze dispari di seno e coseno si annullano nell integrazione che conferma il risultato precedente. Svolgimento Esercizio 48. Applichiamo il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni non identicamente nulle della forma ut, x UtXx. Sostituendo e dividendo per UtXx, si ottiene: UtXt UtXx UtẌx UtXx +, da cui: pertanto si ottiene il sistema: Ut Ut Ẍx Xx λ R, { Ut λut, Ẍx λ + Xx. L equazione per U ha soluzione Ut de λt. Le condizioni al contorno u x, t u x π, t porgono Ẋ Ẋπ. L equazione caratteristica per Xx è µ λ +. Se λ > si ottengono due soluzioni reali distinte µ, µ, di cui almeno una diversa da zero e di segno opposto. e la soluzione è Xx c e µ x + c e µ x. Derivando, Ẋx c µ e µ x + c µ e µ x Imponendo le condizioni al contorno in si ha c + c, quindi Ẋx c µ e µ x µ e µ x Le condizioni in π impongono o c oppure µ e µ π µ e µ π. La seconda eventualità va esclusa, perché le soluzioni hanno segno opposto e non nulle. Quindi c c, ma questo non è accettabile. Se λ si ha la soluzione doppia µ, la soluzione generale è Xx c + c x, la cui derivata è identicamente c, che quindi deve essere nulla. Allora si ha la soluzione costante Xx c, c. Se λ < si hanno due soluzioni puramente immaginarie di segno opposto: µ i λ + /, µ i λ + /. La soluzione generale ha forma Xx c cos λ / x + c sin λ + / x, la cui derivata è Ẋx λ + / c sin λ + / x + c cos λ + / x. La condizione in x porge c, e la condizione in π porge c non accettabile oppure λ + / n, n Z. Quindi λ n tenendo conto del fatto che λ + <. Si ottiene quindi la soluzione X n x c n cos nx relativa a λ n. Questa scrittura comprende anche il caso λ.

180 74 SOLUZIONI Sostituendo i valori di λ accettabili, si ottiene U n t d n e n t. elementari, posto a n c n d n : u n t, x U n tx n x a n e n t cos nx. Quindi si hanno le soluzioni Per determinare i coefficienti a n, sviluppiamo in serie di Fourier di soli coseni il dato iniziale, ovvero prolunghiamo il dato iniziale ad una funzione pari definita in [ π, π] e poi per π-periodicità a tutto R. Quindi: π χ π [,π/] x dx π/ π π π χ π [,π/] x cos nx dx π π La soluzione è pertanto: π/ χ [,π/] x + ut, x e t + n dx, cos nx dx [sin nx]xπ/ x sinnπ/. nπ nπ n sinnπ/ nπ cosnx. sinnπ/ e n t cosnx. nπ Si ha per t >, x ], π[: N N u n t, x sinnπ/ e n t cosnx nπ N e n t, π n n n N N t u n t, x sinnπ/ n e n t cosnx nπ N n + e n t, π n n n n N N xx u n t, x n sinnπ/ e n t cosnx nπ N ne n t. π n n Se t > è fissato, per n sufficientemente grande e t > t, si ha che n + n e n t < n + n e n t, ne n t < ne n t e e n t /n < e n t /n, e tutti e tre sono minori di /n, quindi le serie convergono puntualmente e uniformemente su ogni sottinsieme [ε, + [ ], π[ con ε >, e pertanto ut, x è soluzione del problema. Svolgimento Esercizio 49. a. Osserviamo che raccogliendo n al numeratore e n 3 al denominatore si ha per n sufficientemente grande n + 5n / n 7/ n n n / 6 n 5/, n 3 Quindi n + 5n / n 7/ 6 n 3 n+9 3n n 3 n 4 8 n n+9 cos nx + n sin nx 3n 4 n n. 8

181 SOLUZIONI 75 I termini di destra sono il termine generale rispettivamente della serie armonica generalizzata di esponente > e della serie geometrica di ragione 3/8 <. Entrambe tali serie sono a termini positivi e convergono, quindi la serie costituita dalla somma dei termini generali converge e pertanto la serie in S converge totalmente, quindi uniformemente. Se deriviamo il termine generale della serie, compare un fattore n a numeratore, tuttavia n n + 5n/ n 7/ 6 n 3/, n 3n+9 3n n 4 8 n 39 6n 3 8 n 3 n 6 n n. 4 Per quanto riguarda il primo termine, a destra abbiamo il termine generale della serie armonica generalizzata di esponente 3/ > e nel secondo abbiamo la serie geometrica di ragione 3/4 <, quindi anche la serie derivata converge totalmente. Per il teorema di derivazione per serie, S è derivabile. Poiché l intervallo di integrazione è compatto e la serie converge uniformemente, è possibile integrare termine a termine. I termini contenenti coseni e seni hanno integrale nullo per periodicità, quindi π Sx dx b. Procediamo in modo analogo al precedente: n / 4 8n 3 3n 8n 5/, π 3 dx 6π. 4n+9 3 3n n n n 7 La conclusione su convergenza e derivabilità è analoga al punto precedente per gli stessi motivi. Poiché l intervallo di integrazione è compatto e la serie converge uniformemente, è possibile integrare termine a termine. I termini contenenti coseni e seni hanno integrale nullo per periodicità, quindi Svolgimento Esercizio 5. π Sx dx π 7 dx 4π. a. Se fx, y x 3 + y 3 3xy 3, si ha grad fx, y 3x y, y x. I punti critici sono quelli ove tale gradiente è nullo. Sostituendo, si ottiene y 4 y che ammette come radici reali y, y. Pertanto i punti critici sono, e,. La matrice Hessiana è 6x 3 Hess fx, y 3 6y, Hess f, 3 3, Hess f, Gli autovalori si possono calcolare come radici di λ λtraccia Hess f + det Hess f. Nel caso del punto,, la traccia è nulla e il determinante è 9, quindi gli autovalori sono le soluzioni di λ 9 ovvero ±9. Essendo di segno discorde, questo è un punto di sella. Nel caso del punto,, la traccia è e il determinante è 7, quindi gli autovalori sono le soluzioni di λ λ + 7, quindi λ 6 ± ± 3 >, pertanto questo è un punto di minimo. b. Se fx, y x 3 y 3 3xy + 3, si ha grad fx, y 3x y, y x. I punti critici sono quelli ove tale gradiente è nullo. Sostituendo, si ottiene y 4 y che ammette come radici.

182 76 SOLUZIONI reali y, y. Pertanto i punti critici sono, e,. La matrice Hessiana è 6x 3 Hess fx, y 3 6y 3 Hess f, 3 6 3, Hess f, 3 6 Gli autovalori si possono calcolare come radici di λ λtraccia Hess f + det Hess f. Nel caso del punto,, la traccia è nulla e il determinante è 9, quindi gli autovalori sono le soluzioni di λ 9 ovvero ±9. Essendo di segno discorde, questo è un punto di sella. Nel caso del punto,, la traccia è e il determinante è 7, quindi gli autovalori sono le soluzioni di λ + λ 7, quindi λ 6 ± ± 3 <. Essendo negativi, questo è un punto di massimo. Svolgimento Esercizio 5. a. Sia fx, y, z x y z, V {x, y, z R 3 : x +y +z 9, z +y x 4}. Riscriviamo le equazioni del vincolo: y + z 9 x, z + y 4 + x, da cui si ricava 9 x 4 + x quindi x ± 5/. Pertanto il vincolo si riduce a V {x, y, z R 3 : x ± 5/, y + z 3/} {x, ρ cos θ, ρ sin θ R 3 : x ± 5/, ρ 3/, θ [ π, π[}, quindi il vincolo è parametrizzato da γ ± θ ± 5/, 3/ cos θ, 3/ sin θ perciò gθ : f γ ± θ cos θ sin θ sin θ sin 3 θ. La funzione è continua sul compatto V, quindi ammette massimo e minimo assoluto. Derivando, si ha d dθ f γ± θ 3 6 cos θ cos θ 3 sin θ cos θ 3 6 cos θ cos θ + 3 cos 3 θ. 4 Tale derivata si annulla nell intervallo della parametrizzazione per cos θ, ovvero θ ±π/, e cos θ /3, quindi θ ± arccos± /3. Derivando ancora, si ottiene d dθ f γ± θ 3 6 sin θ 9 cos θ sin θ. Valutando nei punti in questione, si ottiene che il punto corrispondente a θ π/ è di massimo relativo, quello corrispondente a θ π/ è di minimo relativo. Nei punti θ corrispondenti a cos θ /3 si ha d dθ f γ± θ 3 6 sin θ. Pertanto i minimi relativi sono per θ arccos /3 e arccos /3 e i massimi relativi sono per arccos± /3 e arccos /3. Per quanto riguarda il valore di massimi e

183 minimi, si ottiene: SOLUZIONI 77 g±π/ 5/, garccos± /3 5/ < 5/, 8 g arccos± /3 5/ quindi i punti ±, ± 3, 6 sono di massimo assoluto e i punti ±, ± 3, 6 > 5/, sono di minimo assoluto. b. Se fx, y, z z + x y, V {x, y, z R 3 : x + y + z 6, x + y z 4}, con passaggi analoghi al punto precedente si ottiene V {x, y, z R 3 : z ± 6 x + y } {ρ cos θ, ρ sin θ, z R 3 : z ± 6 ρ, θ [ π, π[}, quindi il vincolo è parametrizzato da γ ± θ cos θ, ± 6 perciò gθ : f γ ± θ 6 + cos θ sin θ. La funzione è continua sul compatto V, quindi ammette massimo e minimo assoluto. Trascurando le costanti inessenziali, la funzione è la stessa del punto precedente. Tenendo conto della differenza di segno del secondo addendo rispetto al punto precedente, si ha quindi che i punti corrispondenti a θ π/, arccos± /3 e arccos /3 sono di minimo relativo, quelli corrispondenti a θ π/, θ arccos /3 e arccos /3 sono di massimo relativo, Per quanto riguarda il valore di massimi e minimi, si ottiene: g±π/ 6, garccos± /3 6 + g arccos± /3 6 In definitiva, i punti 5 ± 3, 3, ± sono di massimo assoluto, e i punti 5 ± 3, 3, ± 6 3 > 6, < 6,

184 78 SOLUZIONI sono di minimo assoluto Svolgimento Esercizio 5. Poniamo F x, y, z x + z + y x y z. a. Si ha grad F x, y, z 4x x + y + z x, 4y x + y + z + y, 4z x + y + z + z. Effettivamente, F p, inoltre grad F p,,, pertanto y F p e per il teorema di Dini F definisce implicitamente una funzione y gx, z intorno al punto p 6 4, 4,. Si ha grad gx, z xf x, y, z, z F x, y, z y F x, y, z. ygx,z Sostituendo, si ha che in p tali derivate sono entrambe nulle. I punti intorno cui non si può esplicitare y in funzione di x, z sono quelli dove y F x, y, z, ovvero il piano y. I punti intorno cui non è possibile esplicitare nessuna delle variabili in funzione delle rimanenti due sono quelli dove grad F x, y, z. Da y F x, y, z z F x, y, z ricaviamo z y. Sostituendo nell espressione di x F otteniamo x oppure x ±, pertanto i punti in questione sono,, e ±,,. b. Poniamo F x, y, z y x z x + z + y. Si ha grad F x, y, z 4x x + y + z x, y 4y x + y + z, 4z x + y + z z. Effettivamente, F p, inoltre grad F p,,, pertanto x F p e per il teorema di Dini F definisce implicitamente una funzione x fy, z intorno al punto p, 3,. Si ha grad fy, z yf x, y, z, z F x, y, z y F x, y, z. yfy,z Sostituendo, si ha che in p tali derivate sono entrambe nulle. I punti intorno cui non si può esplicitare x in funzione di y, z sono quelli dove x F x, y, z, ovvero il piano x. I punti intorno cui non è possibile esplicitare nessuna delle variabili in funzione delle rimanenti due sono quelli dove grad F x, y, z. Da x F x, y, z z F x, y, z ricaviamo z x. Sostituendo nell espressione di y F otteniamo y oppure y ±, pertanto i punti in questione sono,, e, ±,. Svolgimento Esercizio 53. I : : a. Il dominio D è l intersezione del cerchio centrato nell origine e di raggio con il semipiano y, in particolare esso è simmetrico rispetto all asse x. Poiché si ha fx, y f x, y, si ottiene che l integrale è nullo. b. L integrale richiesto è x x 3 dx + x dy dx x 3 xx dx + x dy dx + x 3 dx + 3 Svolgimento Esercizio 54. Poniamo F F, F, F 3. x dy x dx + 3 xx dx 6. 3 x dy x 3 dx

185 Si ha SOLUZIONI 79 div F x, y, z x F + y F + z F 3 z, rot F det e x F e y F e 3 z F 3 y, x,. Anche se non richiesto, osserviamo che poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo. La curva Γ è una circonferenza giacente nel piano z 3, centrata in,, 3 di raggio 4. parametrizziamo la circonferenza in modo opportuno definendo γ : [, π] R 3, γt 4 cos t, 4 sin t, 3, e osserviamo che l orientamento richiesto è rispettato. La circuitazione è quindi: π F d l πf γt γ dt cos t, sin t, 4 sin t, 4 cos t, dt, γ ricordando che l integrale esteso da a π di sin x cos x è nullo. Si poteva anche procedere nel modo seguente: la curva Γ è bordo della superficie S. Se orientiamo S con la normale costante verso l alto ˆn,,, abbiamo che il bordo ha l orientamento antiorario richiesto dall esercizio. A questo punto possiamo applicare il Teorema di Stokes: F d l γ rot F ˆn dσ S y, z,,, dσ, S che conferma il risultato precedente. 3 Parametrizziamo S in coordinate cilindriche ϕ θ, z 5 z cos θ, 5 z sin θ, z, θ [, π[, 3 z 5. Lo Jacobiano della parametrizzazione è 5 z sin θ z cos θ 5 z Jac ϕ θ, z 5 z cos θ z sin θ 5 z. La normale è data dal prodotto vettoriale delle colonne della matrice Jac ϕ θ, z, diviso per la sua norma, quindi: ˆnθ, z θϕ z ϕ θ ϕ z ϕ 5 z 5 cos θ, 5 z sin θ, z. L elemento d area è dato dalla norma del prodotto vettoriale delle colonne della matrice Jac ϕ θ, z, pertanto esso è dσ θ ϕ z ϕ dθ dz 5 dθ dz. Osserviamo che poiché z > si ha che la normale è rivolta verso l alto, quindi la parametrizzazione è concorde con quella richiesta dall esercizio.

186 8 SOLUZIONI Il flusso è ΦS, F : det π F ϕ F ϕ Jac ϕ dz dθ F 3 ϕ z 5 z cosθ 5 z sinθ z cosθ 5 z 5 det 3 z 5 z sinθ 5 z cosθ z sinθ 5 z π 5 3 z 6 + z dz dθ 44π. Per quanto riguarda la superficie S, essa è parametrizzata da ϕ ρ, θ ρ cos θ, ρ sin θ, 3, ρ 4. dz dθ L elemento d area è semplicemente dσ ρ dρ dθ, la normale unitaria è costante e vale ˆnρ, θ,,, quindi il flusso è π 4 ΦS, F F ˆn dσ 3ρ cos θ, 3ρ sin θ,,, ρ dρ dθ 6π. S Si poteva procedere anche nel modo seguente: le superfici S e S costituiscono rispettivamente la superficie curva e la base di una calotta sferica C di raggio 4 e altezza con base costituita dal circolo giacente nel piano z 3 e centrato in,, 3. Per il teorema della divergenza, si ha: div F dv ΦS, F ΦS, F, C dove il segno negativo è dovuto al fatto che, nell applicazione del teorema della divergenza, la normale deve essere esterna a C, quindi la normale a S deve essere rivolta verso il basso. Quindi, parametrizzando in coordinate cilindriche 5 π div F 5 z dv zρ dρ dθ dz 8π. C 3 Il valore di ΦS, F è facile da calcolare, e quindi si ha ΦS, F 8π + 6π 44π, che conferma il risultato precedente. Svolgimento Esercizio 55. Applichiamo il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni non identicamente nulle della forma ut, x T txx. Sostituendo e dividendo per T txx, si ottiene T t T t Ẍx Xx λ R. Si ottengono così: Le condizioni al contorno si scrivono da µ λ. Distinguiamo tre casi: { T t λt t Ẍx λxx. Ẋ Ẋπ. L equazione caratteristica per Xx è data

187 SOLUZIONI 8 Se λ > le radici sono ± λ si ottiene Xx c e λx + c e λx da cui Ẋx λc e λx c e λx Dovendo soddisfare Ẋ si ha c c, da cui Ẋx c λe λx e λx e poiché Ẋπ si ottiene c c, quindi il caso λ > non è accettabile. Se λ, la soluzione è Xx c + c x, sostituendo le condizioni al contorno si ha Xx c R \ {}. 3 Se λ < le radici sono complesse coniugate e si ha Xx c cos λ x+c sin λ x da cui Ẋx λ c sin λ x + c cos λ x Sostituendo Ẋ, si ottiene c, da cui Ẋx c λ sin λ x e sostituendo Ẋπ si ha λ n Z da cui λ n <. Pertanto si ottengono le soluzioni X n x c n cosnx, n N, c n R \ {}, che comprende anche il caso n. Le soluzioni T n relative ai valori accettabili di λ sono quindi T n t d n e nt. Posto a n c n d n, si ottengono le soluzioni elementari Cerchiamo una soluzione nella forma da cui u n t, x T n tx n x a n e nt cosnx. u, x ut, x n a n e nt cosnx, n a n cosnx a + a n cosnx. Per determinare i coefficienti a n, prolunghiamo per parità il dato iniziale ad una funzione definita in [ π, π] e per π-periodicità a tutto R. I coefficienti sono dati da: a n π π ππ x cosnx dx π π n x cosnx dx π n n, in particolare per n k +, k N, cioè n pari non nullo, si ha a n, e per n k +, k N si 4 ha a k+. Si ha poi: πk + Quindi: Poniamo a π ut, x π + 4 π π k π π x dx π. e k+ t cosk + x. k + g k t, x e k+ t cosk + x, k + e osserviamo che la serie che definisce u converge totalmente, infatti: sup g k t, x t x [,π] k +, dove a sinistra abbiamo il termine generale di una serie geometrica convergente, pertanto la serie converge uniformemente. Inoltre si ha e k+ t sup x g k t, x sink + x t k +. x [,π]

188 8 SOLUZIONI Sia m N. Se t >, per k sufficientemente grande si ha k + m e k+t < /k +, da cui si ottiene x g k t, x < /k +, xx g k t, x < /k +, t g k t, x < /k +. Quindi le derivate prima e seconda di u rispetto alla x e la derivata prima rispetto a u convergono totalmente e uniformemente se t >, x ], π[. In tale insieme, la serie è derivabile termine a termine. La funzione u pertanto risolve l equazione. Le derivate rispetto alla x non convergono in t Per t, il dato è assunto in quanto la serie converge uniformemente in t, x [ π, π] Per t >, la derivata rispetto a x converge uniformemente per x [ π, π], quindi anche i dati di tipo Neumann sono assunti. Svolgimento Esercizio 56. Osserviamo preliminarmente la simmetria fx, y f x, y. Si ha grad fx, y 3x 3y 7, 6xy. Il gradiente si annulla se { x y 9 xy. Sostituendo la seconda equazione nella prima si ha y /x da cui x 4/x 9 quindi x 4 9x 4. Le soluzioni reali sono x ±5. Si ottengono quindi i punti critici P + 5, 4 e P 5, 4. La matrice Hessiana di f è 6x 6y Hess fx, y. 6y 6x da cui Hess f 5, Gli autovalori di questa matrice sono le soluzioni dell equazione. λ λtracciahess f 5, 4 + dethess f 5, 4. ossia λ 476 e perciò λ ±6 4. Sono di segno discorde, quindi il punto è di sella. Per simmetria, anche l altro punto sarà di sella. Si ha y f, 44, quindi localmente è possibile esprimere la curva di livello di f passante per questo punto come funzione y ϕx. 3 Parametrizziamo il vincolo: x y da cui y e x ± y quindi < x <. Studiamo separatamente i vari casi. Si ha che x solo se y ± e y solo se x ± Se < x <, < y < si ha f y, y 3y y + y 3 7 y y. La derivata di tale espressione è 3y 3 y 6y y y + y 3 <. Se < x <, < y < si ha f + y, y 3y y + + y + 3 7y + y. La derivata di tale espressione è 3y 6y + y + 3y y + 4 <. Quindi in D {x, y : < x < } non vi sono estremali. Per simmetria di f e D, non ve ne sono nemmeno in D {x, y : < x < }. Studiamo i punti, ± e ±,. Si ha f±, 6 e f, ±. Quindi, è di minimo assoluto vincolato e, è di massimo assoluto vincolato. Osserviamo che in un intorno di, escluso il vincolo è parametrizzato rispettivamente da + y, y se y < e y, y se y > Sia per y < che per y > in tale intorno la funzione composta con la parametrizzazione è strettamente decrescente, perché ha derivata negativa, quindi, non è di massimo o minimo relativo. Ragionamento analogo per,. Svolgimento Esercizio 57. Parametrizziamo il volume dato K in coordinate cilindriche: ϕρ, θ, z ρ cos θ, ρ sin θ, z, ρ, θ [, π], z ρ.

189 Lo Jacobiano della parametrizzazione è Jac ϕρ, θ, z SOLUZIONI 83 cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ L elemento di volume è dv det Jac ϕρ, θ, z dρ dθ dz ρ dρ dθ dz. Quindi: π / ρ / dv ρ dz dρ dθ π ρ /4 3 ρ dρ π t dt 3 π. 4 K Svolgimento Esercizio 58. Poniamo f n x n + n e nx sinsin nx. Si ha f n x n 3/ per x, e poichè la serie n 3/ è convergente, si ha che la serie converge totalmente e uniformemente in [, + [. Osservando poi che f nx n 3/ ne nx sinsin nx + cos sin nx cos nx n 3/ ne nx, si ha che in ogni compatto di ], + [ le derivate convergono totalmente, quindi uniformemente infatti sia K compatto di ], + [ e x inf K >. Si ha per x K f nx n 3/ ne nx e per n sufficientemente grande si ha ne nx <. Quindi la serie è derivabile termine a termine. Per le derivate successive, osserviamo che in modulo la derivata d-esima di f n è limitata da n 3/ dn d e nx e quindi, ragionando come prima sia K compatto di ], + [ e x inf K >. Per x K, n sufficientemente grande si ha dne nx < e perciò xf d n n 3/. Quindi la somma è C. Svolgimento Esercizio 59. Si veda la soluzione dell Esercizio 54. Svolgimento Esercizio 6. Si veda la soluzione dell Esercizio 55. Svolgimento Esercizio 6.. Osserviamo preliminarmente la simmetria fx, y fy, x. Calcoliamo grad fx, y 3x + 3y, 3y + 3x. Il gradiente è nullo se si ha x + y e y + x. Si ricava quindi y 4 + y da cui x, y,, x, y,. La matrice Hessiana di f è Hess fx, y 6x 3 3 6y 3, Hess f, 3 6 3, Hess f, 3 6 Gli autovalori sono le radici dell equazione λ λtraccia Hess f + Det Hess f. Nel punto, si ha λ 9 da cui λ ±3. Gli autovalori sono di segno discorde, quindi, è punto di sella. Nel punto, si ha λ λ + 7 da cui λ 3 e λ 9. Gli autovalori sono negativi, quindi, è punto di massimo locale. Poniamo F x, y x 3 + y 3. La funzione F C R e inoltre F x, y 3x, y. Nei punti di Γ si ha sempre F, quindi per il teorema di Dini Γ è localmente grafico di una funzione y ϕx di classe C oppure x ψy di classe C, pertanto è una curva regolare. In, si ha y F, 3, quindi il Teorema di Dini è applicabile e quindi in un intorno di, l insieme Γ può essere espresso come grafico di una funzione regolare di x. In generale, si ha y F x, y se y, cui corrisponde il punto, di Γ. Attorno a tali punti il Teorema di Dini non è applicabile per ottenere Γ come grafico di una funzione di x. Ciò non basta a concludere che sia impossibile farlo, perché il Teorema di Dini porge condizioni sufficienti. Tuttavia è sufficiente notare come per ogni x fissato, l equazione y 3 x 3 ammetta una sola soluzione reale, quindi Γ si può esprimere come grafico di una funzione della sola x, tuttavia tale funzione non è regolare: infatti la tangente al grafico in, è grad f, x, y ossia x, verticale. Tale funzione è y sign x 3 3 x 3.

190 84 SOLUZIONI 3 Per ogni x, y Γ si ha fx, y gx + 3x sign x 3 3 x 3. Osserviamo che lim gx x + e questo esclude la presenza di minimi assoluti. Per x > si ha: gx 3x 3 x 3 g x 3 3 x 3 3x 3 x3 /3 3x < pertanto per x > si ha che g è strettamente decrescente. Per x < si ha: gx + 3x 3 x 3 g x 3 3 x 3 3x 3 x3 /3 3x 3 x 3 /3 x 3 x 3 3 x 3 /3 x 3 Tale derivata è nulla per x /3, negativa per /3 < x < e positiva per x < /3. Quindi esiste un unico estremale relativo e assoluto, esso è un massimo assoluto e viene raggiunto nel punto /3, /3 e vale + 3 /3. Svolgimento Esercizio 6. Parametrizziamo D in coordinate cilindriche: ϕr, θ, z r cos θ, r sin θ, z, r, θ [, π[, z [, ]. Lo Jacobiano della parametrizzazione è Jac ϕr, θ, z cos θ r sin θ sin θ r cos θ L elemento di volume è il modulo del determinante Jacobiano di tale matrice, cioé det Jac ϕr, θ, z r. L integrale è: π π y + z dx dy dz r sin θ + z r dz dr dθ r sin θ + z r dz dr dθ D π r sin θ + 3 r dr dθ. πr 3 + πr 3 dr 7π 6. Svolgimento Esercizio 63. La divergenza è: Poniamo F x, y, z F x, y, z, F x, y, z, F 3 x, y, z. Il rotore è: div F x, y, z x F x, y, z + y F x, y, z + z F 3 x, y, z. rot F x, y, z e x F e y F e 3 z F 3 Il campo è definito su R 3 che è convesso, quindi semplicemente connesso, e pertanto, essendo irrotazionale, è conservativo. Il potenziale scalare V deve soddisfare grad V F. Si può procedere o osservando direttamente la struttura del campo è un campo molto semplice, in tal caso posto V x, y, z e x cos y + z,

191 SOLUZIONI 85 si ha la funzione V è un potenziale scalare per F, oppure integrando F lungo la curva congiungente,, a x, y, z formata dalle spezzate γ t t,, da,, a x,,, γ t x, t, da x,, a x, y, e infine γ 3 t x, y, t da x, y, a x, y, z. Ṽ x, y, z + x x z F γ t γ t dt + e t,,,, dt + y y e x cos y, e x sin y, z,, dt F γ t γ t dt + z e x cos t, e x sin t,,, dt+ e x + e x cos y e x + z / V x, y, z, F γ 3 t γ 3 t dt che conferma il risultato precedente due potenziali differiscono per una costante. Dato che il campo è conservativo, si ha F dl V γ V γ V,, V,, e cos. γ 3 Le superfici S e S sono rispettivamente la base e la superficie laterale di un paraboloide retto a sezione circolare la cui base è il cerchio centrato in,, di raggio e giacente nel piano z e il vertice è nell origine. La normale alla superficie S è costante e, dovendo essere orientata verso l alto, è semplicemente,,. La superficie S è parametrizzata in coordinate polari da ϕr, θ ρ cos θ, ρ sin θ,, da cui dσ ρ dρ dθ. Si ha quindi π Φ F, S F ˆn dσ F 3 r cos θ, r sin θ, r dr dθ π. S La superficie S S è una superficie chiusa che racchiude il volume C. Se dotiamo S della normale verso il basso ovvero uscente da C il Teorema della Divergenza porge: div F dx dy dz Φ F, S + Φ F, S. C Il termine di destra è il volume del paraboloide. In coordinate cilindriche si ha x ρ cos θ, y ρ sin θ, z z con < z <, θ [, π] e < ρ < z. L elemento di volume il determinante dello Jacobiano della parametrizzazione, ovvero ρ. Quindi il volume è: π z ρ dρ dθ dz π z dz π. Esso è π/, da cui Φ F, S π/, e quindi il flusso richiesto dove la normale S è verso il basso è Φ F, S π/. Svolgimento Esercizio 64. Cerchiamo soluzioni non nulle della forma ut, x T txx. Sostituendo nell equazione si ha T txx T tẍx. Dividendo per T txx e separando le variabili si ottiene T t T t Ẍx Xx λ R. Imponendo a T tx T txπ si ottiene X Xπ, e inoltre imponendo T Xx si ha T da cui: { T t λt t, t >, {Ẍx λxx, x ] π, π[, T ; X Xπ. Studiamo l equazione per la funzione X. Il polinomio caratteristico è µ λ.

192 86 SOLUZIONI i. Se λ > si ottiene µ ± λ e la soluzione generale è Xx c e λx + c e λx. Sostituendo le condizioni al contorno, si ha X c +c da cui c c e Xx c e λx e λx. Sostituendo Xπ c e λπ e λπ il che implica c c perché λ, ma la soluzione identicamente nulla non è accettabile. ii. Se λ si ottiene come soluzione generale Xx c + c x. Dovendo essere X si ha c e dovendo essere Xπ si ottiene che anche c, quindi anche questo caso non è accettabile. iii. Se λ < si ottiene come soluzione generale Xx c cos λ x + c sin λ x. Si ha X se c e Xπ se λ n, n N \ {}. Quindi, poiché λ <, si ha λ n con n N, n. Si ottiene quindi X n x c n sinnx, n N \ {}, c n R \ {}. Consideriamo ora l equazione per T t subordinata ai valori accettabili di λ n <. Si ottiene T n t d n cosnt + e n sinnt e sostituendo la condizione T si ha d n. Posto b n e n c n, si costruiscono così le soluzioni elementari u n t, x b n sinnx sinnt. Cercheremo una soluzione in forma di serie ut, x u n t, x b n sinnx sinnt. n Per determinare i coefficienti b n, calcoliamo t u n t, x nb n sinnx cosnt e quindi t u n, x nb n sinnx. Cerchiamo di raggiungere il dato t u, x sin 3 x con una sovrapposizione di tali funzioni: t u, x sin 3 x t u n, x nb n sinnx n n D altra parte, dall identità trigonometrica suggerita si ha: pertanto si ha b n se n, 3, e quindi: n sin 3 x 3 4 sin x 4 sin 3x nb n sinnx, 3 4 sin x 4 sin 3x b sinx + 3b 3 sin3x, da cui b 3/4 e b 3 /. Quindi la soluzione è data da ut, x 3 4 sin x sin t sin 3x sin 3t. La serie è in realtà una somma finita, quindi converge in tutti i sensi, la soluzione è C, assume il dato al bordo e soddisfa l equazione. Pur non essendo richiesto dall esercizio, dimostriamo l identità trigonometrica data grazie alle formule di Eulero: e sin 3 ix e ix 3 x e3ix e 3ix + 3e ix e ix 3e ix e ix 8 e 3ix e 3ix + 3 3e ix 3e ix sin 3x 3 sin x Svolgimento Esercizio 65. Poniamo fx, y 4x 4 3x 3 y + y. Poiché fx, y f x, y si ha che l insieme è simmetrico rispetto all origine. Si ha fr cos t, r sin t 4r 4 cos 4 t 3r 4 sin t cos 3 t + r sin t, da cui Γ {r cos t, r sin t R : 4r 4 cos 4 t 3r 4 sin t cos 3 t + r sin t, t [, π]}. n

193 ha SOLUZIONI 87 Studiamo fx, mx m x + 4 3mx 4. Escludendo il caso x, per soddisfare l equazione si deve avere x m m 4 m + 6, oppure x m + m 4 m + 6 6m 8 6m 8 Per m 4/3 + si ha nella seconda espressione x +, quindi Γ non è compatto. 3 Si ha fx, 4x 4, che si annulla per x ± /. Pertanto le intersezioni con l asse x sono P /, e P P. e f, y y che si annulla per y ±. Pertanto si hanno le intersezioni con l asse y sono P 3, e P 4 P 3. Il differenziale di f è dfx, y x fx, y dx + y fx, y dy 6x 3 9x y dx + y 3x 3 dy. Le rette tangenti in x, y Γ sono date da x fx, y x x + y fx, y y y. Nel nostro caso, la tangente in P è 4 x / 3 y/4, la tangente in P è 4 x + / + 3 y/4, la tangente in P 3 è y, la tangente in P 4 è y. In tutti i punti considerati si ha y f, quindi per il teorema di Dini Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di ciascuno di tali punti. 4 Dall equazione fx, y, si ottiene che massimizzare hx, y vuol dire trovare il massimo di y vincolato a Γ, ovvero il minimo di y vincolato a Γ. Tale minimo è ed è raggiunto nei punti P e P. Non esistono invece minimi assoluti vincolati di h: per il punto per ogni K > esistono punti di x, mx Γ tali per cui m > 4/3, x > K, y > 4K/3, pertanto y è illimitato superiormente in Γ e quindi h è illimitata inferiormente. 5 Si ha z, ż Γ se e solo se fz, ż. In particolare, se z / si ha f/, ż se e solo se ż 3ż Tale equazione ha due soluzioni distinte 6 3 ±. Osserviamo che y f/, t se t 3/6, quindi l equazione differenziale fz, ż in un intorno delle condizioni iniziali si scrive come ż ϕz con ϕ di classe C. Pertanto, per Cauchy-Lipschitz, l equazione ammette esattamente due soluzioni di classe C attorno a z /, corrispondenti a ż 6 3 ±. Svolgimento Esercizio 66. I D e z dx dy dz z π[e z ] π Osserviamo che z. Posto Dr : {x, y : x + y r}, si e z AreaD z dz e z z dz πe /e π[e z z ] + π πe + /e πe /e 4π/e. Svolgimento Esercizio 67. Poniamo F x, y, z F, F, F 3. Si ha: e z π z dz e z z dz π[e z z] π div F x, y, z x F + y F + z F 3, rot F x, y, z det e x F e y F e y F 3 z F + e z F x F 3 + e 3 x F y F e 3 z F y, x + z, + 8x. Il rotore non è nullo, per cui il campo non è conservativo. e z dz

194 88 SOLUZIONI La curva γ è il bordo del cerchio D centrato in,, di raggio 5 contenuto nel piano y. La normale unitaria a D è costante e vale ˆnD, ±,. Determiniamo il verso positivo dell orientamento della normale indotta dalla parametrizzazione: si deve avere per la regola della mano destra ˆnD,,. Altro modo: un osservatore con i piedi su D vede il bordo γt percorso in senso antiorario solo se il vettore che va dai suoi piedi alla testa è parallelo e concorde a ˆnD. Per il teorema di Stokes si ha: F dl F ˆn dσ, nel nostro caso si ha che tali integrali sono: F ˆn dσ x z dσ D γ D D perché D è simmetrico rispetto alla sostituzione x x, y y e z z e l integranda è dispari rispetto alla medesima sostituzione. Verifichiamo il risultato ottenuto per calcolo diretto: π F dl F γt γt dt γ π π + 5 sin t, cos t 5 sin t, 5 cos t sin t,, 5 cos t dt sin t 5 sin 3 t + 75 cos 3 t + cos t dt, per le simmetrie di seno e coseno e la periodicità. 3 Si ha r cosθ Jac ϕr, θ r + sinθ 3r + r r sinθ r +. cosθ Posto: r cosθ r A + sinθ 3r, det A + r r 3r 3 + r + 3r + sinθ, r cosθ r A + sinθ r sinθ r +, det A cosθ r + r, 3r A 3 + r r sinθ r +, det A cosθ 3 r 3r 3 + r + 3r + cosθ, Per il Teorema di Binet si ha: dσ det A + det A + det A 3 dr dθ rr + 9r + r Dobbiamo trovare r, θ ], [ ], π[ tali per cui ϕr, θ 5/4, 3/8, ossia: r + cos θ 5/4, r 3 + r 3/8, r + sin θ Dall ultima relazione si ha θ oppure θ π. Sostituendo nella prima, si ha che θ e r + 5/4, quindi r /. Dette r ϕ e θ ϕ le colonne di Jac ϕ, si ha r ϕ/,

195 SOLUZIONI 89, 7/4, e θ ϕ,, 5/4. Il prodotto vettoriale di questi vettori porge: r ϕ/, θ ϕ/, e e 7/4 35 e 3 5/4 6, 5 4, ,,, per cui ˆn5/4, 3/8, rϕ/, θ ϕ/, r ϕ/, θ ϕ/, ,,. 5 Utilizziamo il teorema della divergenza. Poniamo: D {x, y, z R 3 : y, x + y } D {x, y, z R 3 : y, x + y 4}. La superficie formata dall unione di D, D e S è una superficie chiusa che racchiude il volume V. Per il teorema della divergenza, se la normale è orientata in modo da essere uscente da V, si ha: F ˆn dσ div F x, y, z dx dy dz D D S Poiché la divergenza è nulla, si ottiene: F ˆn dσ F ˆn dσ F ˆn dσ F ˆn dσ S D D S D D V La normale uscente a V in D è costante e vale,,, mentre in D vale,,. Quindi ricordando che D e D sono simmetrici rispetto alla sostituzione z z: π F ˆn dσ 4x 3z dσ 4 x dσ 4 ρ cos θ ρ dρ dθ π. D D D π F ˆn dσ 4x 3z dσ 4 x dσ 4 ρ cos θ ρ dρ dθ 6π. D D D Orientando pertanto ˆn in modo da essere uscenti da V, si ottiene: F ˆn dσ 5π. S L orientamento uscente da V è effettivamente quello indotto dalla parametrizzazione: per verificarlo osserviamo che ˆn5/4, 3/8, ,,. Sezionando S con il piano y 3/8 si ottiene la circonferenza 5/4 cos θ, 3/8, 5/4 sin θ e se proiettiamo la normale sul piano xz si 4 ottiene 65 7/4,,. Tale proiezione nel punto 5/4, 3/8, è uscente dal cerchio racchiuso dal tale circonferenza. Verifichiamo il risultato per calcolo diretto: π ΦS, F det F ϕ r cosθ r + sinθ F ϕ 3r + r F 3 ϕ r sinθ r + dr dθ cosθ π det r 3 + r + r + sin θ r cosθ r + sinθ 4r + cos θ 3r + sin θ 3r + r 6r + cos θ + r 3 + r r sinθ r + dr dθ cosθ

196 9 SOLUZIONI Sviluppiamo il determinante D che compare nell integranda secondo l ultima colonna: D r + 3r cosθ + r r 3 + r + sin θ + r + r cosθ 4 r + cos θ 3 r + sinθ + + r sinθ r sinθ 4 r + cos θ 3 r + sinθ + 3r + r 6 r + cos θ + r 3 + r Nell integrazione, i termini che contengono potenze dispari di seno e coseno si cancellano, quindi resta solo: π π D dr dθ 8r r + 3 cos 4 θ 8r r + 3 sin θ cos θ dr dθ π 8 che conferma il calcolo precedente. 8r r + 3 cos 4 θ + sin θ cos θ dr dθ r + 3r 3 + 3r 5 + r 7 π dr cos θ dθ 5π, Svolgimento Esercizio 68. Applichiamo il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni non identicamente nulle della forma ut, x T txx. Sostituendo e dividendo per T txx, si ottiene T t T t Ẍx Xx λ R. Si ottengono così: { T t λt t Ẍx λxx. Le condizioni al contorno si scrivono da µ λ/. Distinguiamo tre casi: Ẋ Ẋπ. L equazione caratteristica per Xx è data Se λ > le radici sono ± λ/ si ottiene Xx c e λx + c e λ/x da cui Ẋx λ/c e λ/x c e λ/x Dovendo soddisfare Ẋ si ha c c, da cui Ẋx c λ/e λ/x e λ/x e poiché Ẋπ si ottiene c c, quindi il caso λ > non è accettabile. Se λ, la soluzione è Xx c + c x, sostituendo le condizioni al contorno si ha Xx c R \ {}. 3 Se λ < le radici sono complesse coniugate e si ha Xx c cos λ/ x+c sin λ/ x da cui Ẋx λ/ c sin λ/ x+c cos λ/ x Sostituendo Ẋ, si ottiene c, da cui Ẋx c λ/ sin λ/ x e sostituendo Ẋπ si ha λ/ n Z da cui λ n <. Pertanto si ottengono le soluzioni X n x c n cosnx, n N, c n R \ {}, che comprende anche il caso n. Le soluzioni T n relative ai valori accettabili di λ sono quindi T n t d n e nt. Posto a n c n d n, si ottengono le soluzioni elementari Cerchiamo una soluzione nella forma u n t, x T n tx n x a n e nt cosnx. ut, x a n e nt cosnx, n

197 da cui u, x n SOLUZIONI 9 a n cosnx a + a n cosnx Per determinare i coefficienti a n, prolunghiamo per parità il dato iniziale ad una funzione definita in [ π, π] e per π-periodicità a tutto R. I coefficienti sono dati da: a n π e x dx π e x cosnx dx π π e x+inx dx + e x inx dx π π π π [ ] e x+inx xπ π + in + ex inx [ ine x+inx in π + n + + ine x inx] xπ x Si ha poi: Quindi: x π + n [ex cos nx + ne x sin nx] xπ x π a π π π ut, x eπ π e x dx π + π n π n n e π + n e x dx eπ π n e π + n e nt cosnx. Discutiamo ora la convergenza della serie. La serie converge uniformemente per t, x [, π] in quanto il termine generale è maggiorato in modulo da e 4 / + n. Derivando una volta in t oppure due volte in x, il termine generale è maggiorato in modulo per t > da e4 n e n t < e 4 e nt. Quindi n + la serie delle derivate in t e in x converge uniformemente in ] t, + [ per ogni t >. Perciò u è una soluzione del problema. Svolgimento Esercizio 69. Poniamo f x, y, z : x 3 + 6zy 3y e f x, y, z : 5y 4 + 6xy + z 4. In coordinate cilindriche si ha x ρ cos θ, y ρ sin θ, z z, quindi e f ρ cos θ, ρ sin θ, z ρ 3 cos 3 θ 3ρ sin θ + 6ρz sinθ, f ρ cos θ, ρ sin θ, z 5ρ 4 sin 4 θ + 6ρ sinθ cosθ + z 4. Γ {ρ cos θ, ρ sin θ, z : ρ 3 cos 3 θ 3ρ sin θ + 6ρz sinθ }, Γ {ρ cos θ, ρ sin θ, z : 5ρ 4 sin 4 θ + 6ρ sinθ cosθ + z 4}. I due insiemi sono chiusi perché f e f sono funzioni continue. Consideriamo la curva σ y 3 + 3y, y, Si ha f σ y per ogni y R, quindi σ y Γ, però σ y + per y + quindi la curva σ non è limitata, e pertanto nemmeno Γ che la contiene può esserlo. Perciò Γ non è compatto. In modo del tutto analogo, per y > consideriamo la curva σ y 4 5y 4 /6y, y,. Si ha f σ y per ogni y >, quindi σ y Γ, però σ y + per y + quindi la curva σ non è limitata, e pertanto nemmeno Γ lo è. Perciò Γ non è compatto. 3 È necessario risolvere il sistema: x 3 + 6zy 3y 5y 4 + 6xy + z 4 y. Sostituendo la terza nelle altre due si ha x 3 e z 4, ovvero x e z ±. Quindi P,, e P,,.

198 9 SOLUZIONI 4 Posto F x, y, z : f x, y, z, f x, y, z, l intersezione Γ Γ è data da F x, y, z,. Il problema richiede di descrivere il luogo degli zeri di F attorno ai punti P e P, esplicitando le prime due variabili in funzione della terza in F x, y, z,. Calcoliamo quindi la matrice Jacobiana di F : f x, y, z 3x 6z 6y 6y DF x, y, z f x, y, z x,y F x, y, z z F x, y, z 6y y 3 + 6x 4z Si ha pertanto: DF P DF,, DF P DF,,, Per poter applicare il Teorema di Dini è necessario che il minore x,y F formato dalle prime due colonne di DF abbia rango massimo in P e P. Il suo determinante è non nullo in entrambi i casi, per cui è possibile esplicitare in un intorno di P e P il luogo Γ Γ come grafico di una funzione della variabile z. Per quanto riguarda la derivata, dal Teorema di Dini si ha γz [ x,y F x, y, z] z F x, y, da valutarsi nei punti P e P. Si ha quindi: γ γ Il problema richiede di determinare i minimi di x +y +z vincolati a f x, y, z. Poniamo Lx, y, z, λ : x + y + z + λf x, y, z e studiamo il sistema Lx, y, z. 3λx + x λ6z 6y + y 6λy + z x 3 3y + 6yz. Se λ si ottiene x y z dalle prime tre, ma la quarta non è soddisfatta, quindi λ. Studiamo la seconda e la terza equazione. Dato che λ, dalla terza si ricava y z/3λ e sostituendo nella seconda, si ottiene z +6λz z/3λ, da cui +3λ /3λz. A questo punto, se z, poiché λ, si ha y dalla terza e pertanto si ricava dalla quarta x e dalla prima λ /3. Si ottiene quindi il punto Q,,. Se invece z, si deve avere + 3λ /3λ, da cui λ 6 ± 5. Sostituendo dalla terza y z/3λ, si ottiene x 3 z 3λ z λ. dove, dalla prima equazione, si ha x oppure x /3λ. Pertanto se scegliamo λ 6 5 >, gli addendi sono tutti negativi e uno è strettamente negativo, pertanto l equazione non può essere soddisfatta. Quindi necessariamente si ha λ 6 5. Se x, z e λ 6 5, si ottiene nella quarta equazione: z 3λ + z λ +..

199 da cui z ± 3λ + 6λ ± , e y z/3λ. Si ottengono quindi i punti: Q, 5 SOLUZIONI 93 5, e Q 3 Q. Se invece x /3λ, z e λ 6 5, si ottiene nella quarta equazione ossia 8 7λ 3 + z 3λ + z λ +, z + 6λz 8 9λ 3λ quindi + 6λz 8 9λ 3λ ovvero z 5 8 9λ + 3λ Si ha che /3 < λ < /, pertanto 6/9 < 8/9λ < 4/3, mentre 3/4 < 3λ < 4/3. Pertanto il termine di sinistra è negativo e l equazione non ha soluzioni reali. A questo punto determiniamo la distanza dei punti Q, Q, Q 3 dall origine. La distanza di Q dall origine è. La distanza al quadrato di Q e Q 3 dall origine, ricordando che /λ < 4, è λ 4 + 4/9 <, 3 quindi Q e Q 3 realizzano la minima distanza dall origine. 6 Le normali non unitarie sono date dalle righe della matrice DF P, pertanto si ha ˆn 3, 6, 3, 6, 3, 3,, ˆn, 6, 4, 6, 4 3,,. 7 7 Il coseno dell angolo compreso tra questi vettori unitari è pari al loro prodotto scalare. Quindi si ha cos θ 7 e sin θ 3 7. Osservando che tali valori non distano molto da /, si deduce che θ non è molto lontano da π/4. Svolgimento Esercizio 7. In coordinate polari x r cos θ, y r sin θ si ha { } D r cos θ, r sin θ : θ [, π/4], ρ. cos θ + sin θ L elemento d area della trasformazione di coordinate è ρ, pertanto y π/4 cos θ+sin θ I : x dx dy + y D π/4 π/4 cos θ+sin θ sin θ dρ dθ π/4 tan θ dθ + [cos θ]π/4 + tan θ ρ sin θ ρ ρ dρ dθ sin θ dθ cos θ + sin θ t dt + t + t + π/4 sin θ dθ

200 94 SOLUZIONI ove si è posto t tan x. Si ha da cui t + t + t A + t + Bt + C + t t A + At + Bt + C + t A + Bt + B + Ct + A + C pertanto A B C e B + C. Perciò B C / A e si ha dt I + t + t + + t dt + log + log + arctan + log + π Svolgimento Esercizio 7. Si ha div F x, y, z e t dt + arctan + + t rot F x, y, z cos y,, cos x cos y 3 sin x cos y. Il campo è solenoidale, ma non conservativo. Lo Jabiano della parametrizzazione è: 3 cos3z cost sin3z + sint Jac Φz, t 3 cos3z sint sin3z + cost. Il modulo del prodotto esterno delle colonne di tale matrice è l elemento d area: dσ sin3z + 9 cos6z + dz dt. La normale è il prodotto esterno delle colonne diviso per il suo modulo: cost, sint, 3 cos3z ˆn 9 cos6z + La superficie è originata dalla rotazione completa della curva x + sin 3z giacente nel piano xz attorno all asse z. Se consideriamo il solido V formato dalla superficie S e dai due cerchi C e C centrati in,, e,, π di raggio giacenti rispettivamente nei piani z e z π, si ha che il flusso uscente da V è nullo, pertanto il flusso uscente da S è l opposto di quello uscente da C e C. Tuttavia la normale indotta dalla parametrizzazione è entrante in V lo si verifica osservando che è rivolta sempre verso l asse z. Pertanto il flusso richiesto è pari alla somma del flusso uscente da C e C. Quindi: ΦS, F F x, y,,, dx dy + F x, y,,, dx dy sin y + sin y. C C C C Si poteva anche osservare, senza fare alcun calcolo, che il campo non dipende da z e che C e C hanno la stessa superficie, pertanto ΦC, F ΦC, F, e pertanto ΦS, F. Svolgimento Esercizio 7. Presentiamo un procedimento alternativo di soluzione. Le condizioni al bordo di tipo Neumann suggeriscono di cercare una soluzione in serie di coseni. Moltiplicando l equazione data per π cos nx e integrando in x tra e π si ottiene: π π t ut, x cosnx dx π π xx ut, x cosnx dx da cui, integrando il secondo membro per parti utilizzando i dati al bordo, e osservando che la derivata del primo può essere portata fuori dal segno di integrale: t π π ut, x cosnx dx n π π ut, x cosnx dx

201 SOLUZIONI 95 Posto u n t π π ut cosnx dx si ha che u nt è il coefficiente di Fourier di ordine n rispetto a x della soluzione al tempo t, e quindi la sua evoluzione è d dt u nt n u n t quindi u n t, x e nt u n, x. L evoluzione del termine di grado si ha moltiplicando l equazione data per π cos nx e integrando in x tra l equazione data. Si ottiene d dt u t π π u xx dx π u xt, π u x t, π Pertanto u t u per ogni x. Calcoliamo ora i coefficienti di Fourier del dato x+cos 5x sviluppato in serie di soli coseni. Per linearità possiamo calcolare la serie di Fourier di x e sommare il termine cos 5x che coincide con la sua serie di Fourier. Si ha π x dx π π. π x cosnx dx [x sin nx]xπ x π nπ nπ Si ha dunque ut, x π + e 5t cos 5x + π π + e 5t cos 5x 4 π n k π sin nx dx πn n. e n t n n cos nx e k+ t cosk + x. k + La serie e tutte le sue derivate di ogni ordine rispetto ad ogni variabile convergono uniformemente sugli insiemi della forma [t, + [ [, π] per ogni t > quindi la serie trovata è soluzione del problema. Si ha poi per t > n e n t πn n cos nx 4 4 n n n 4e t e n t πn e n t πn e n t n n cos nx 4 n e n t πn 4 e n t πn 4e t e n t n t πn n e t n e n t πn πn Ce t, con C > costante opportuna non dipendente da t. Quindi il limite della serie è per t + ed è uniforme in x. Pertanto: lim t ut, x π, e tale limite è uniforme in x. Svolgimento Esercizio 73. Dall equazione che definisce C si ottiene x x + y. Sostituendo nell equazione che definisce B, si ha x+z 4 e quindi x z /. Si ricava quindi dall equazione che definisce C, z + y. Perciò: { π Γ : y, z R : z + y }.

202 96 SOLUZIONI In coordinate polari piane y ρ cos θ, z ρ sin θ, si ottiene { π Γ : ρ cos θ, ρ sin θ R : ρ sin θ + ρ cos θ }. C è B sono ambedue chiusi, perché si scrivono come g i, i, con g x, y, z x + y e g x, y, z x + y + z 4 e g, g sono continue in R 3. L intersezione di chiusi è chiusa, quindi Γ è chiuso. Γ B e B è limitato, quindi Γ stesso è limitato. Ma allora essendo chiuso e limitato in R 3 è compatto. 3 Osserviamo che B interseca gli assi nei punti ±,,,, ±, e,, ±. Verifichiamo quali di questi punti appartengono anche a C. Se y si ha x o x dall equazione che definisce C. Quindi il punto,, appartiene a B C. Se x, si ha necessariamente y dall equazione che definisce C. Quindi i punti,, ± appartengono a B C. In definitiva, le intersezioni di Γ con gli assi sono i tre punti P,,, P P,,. Studiamo il sistema { g x, y, z, g x, y, z. Posto Gx, y, z g x, y, z, g x, y, z, il problema richiede di esplicitare x, y in funzione di z dall equazione Gx, y, z. Per applicare il teorema di Dini dobbiamo calcolare la matrice Jacobiana di G e verificare che il minore x,z G formato dalle colonne corrispondenti a x, y di tale matrice abbia determinante non nullo. x g Gx, y, z x, y, z y g x, y, z z g x, y, z x g x, y, z y g x, y, z z g 3 x, y, z x g det x,z Gx, y, z det x, y, z z g x, y, z 4zx x g x, y, z z g 3 x, y, z x y x y z Nel punto P, il teorema di Dini non è applicabile perché il determinante det, x,z GP. Nei punti P, P tale determinante è diverso da zero, quindi il teorema di Dini è applicabile in un intorno e fornisce la curva γ richiesta. Per calcolare γ, si ha: γt [ x,z Gxt, t, zt] y Gxt, t, zt. Nel nostro caso, x,z G,, ± ±4 y G,, ±,, [ x,z G,, ±] / ±/4 e quindi in P e P si ha γt. 4 La distanza di x, y, z da A è d A x, y, z x 5 + y + z. Calcolare i massimi e i minimi vincolati di d A è lo stesso di calcolare i massimi e i minimi vincolati di h d A in quanto p p è strettamente monotona su [, + [. Applichiamo quindi il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, definendo Lx, y, z, λ, µ hx, y, z + λg x, y, z + µg x, y, z

203 e imponendo L. Si ottiene il sistema: SOLUZIONI 97 x hx, y, z + λ x g x, y, z + µ x g x, y, z x 5 + λx + µx y hx, y, z + λ x g x, y, z + µ x g x, y, z y + λy + µy z hx, y, z + λ x g x, y, z + µ x g x, y, z z + µz g x, y, z x + y g x, y, z x + y + z 4 Dalla terza equazione si ottiene z oppure µ. Se z, si ottiene dalle ultime due equazioni y 4 x e y x da cui 4 x x da cui x, z e y, ovvero il punto P. Si ha d A P 3. Supponiamo invece µ. Dalla seconda equazione si ottiene λ oppure y. Nel caso in cui y, dalla quarta equazione si ottiene x oppure x. Se x e y necessariamente z ± mentre se y, x, necessariamente si ottiene z. Si ottengono quindi i punti P, P e P e d A P d A P Se invece λ e µ la prima equazione è impossibile. Quindi P è di minimo assoluto vincolato e la sua distanza da A è 3, mentre P e P sono di max assoluto vincolato e la loro distanza da A vale 9. 5 L insieme π Γ è simmetrico rispetto agli assi e all origine, pertanto studiamo solo il caso y > e z >, gli altri vengono ricostruiti per simmetria. Si ottiene quindi y gz : z. definita per z > e z <, ovvero per < z <. Si ha che g g e g possiede un unico massimo in ], [ ottenuto per z, ovvero z. Posto pz z, si ha dg dz dg dp dp dz zp p Quindi g è strettamente crescente per p < e strettamente decrescente per p >, ovvero strettamente crescente per < z < e strettamente decrescente per < z <. Per z si ha g z e per z + si ha g z. Questi dati permettono di ricostruire il grafico di π Γ: è simile ad un 8 centrato nell origine e ruotato di π/. Svolgimento Esercizio 74. In coordinate cilindriche x ρ cos θ, y ρ sin θ, z z, si ha: Ω : {ρ cos θ, ρ sin θ, z : < z <, < ρ <, ρ < sin θ, π/ < θ < 3π/}. Osserviamo che per avere ρ < sin θ si deve avere < θ < π, quindi in definitiva π < θ < π/. In questo intervallo, si ha sin θ < per 5π/6 < θ < π. Quindi poniamo: Ω : {ρ cos θ, ρ sin θ, z : < z <, < ρ < sin θ, 5π/6 < θ < π}, Ω : {ρ cos θ, ρ sin θ, z : < z <, < ρ <, π/ < θ < 5π/6}.

204 98 SOLUZIONI ottenendo Ω Ω Ω. Il determinante Jacobiano della trasformazione è ρ, quindi dx dy dz ρ dρ dθ dz. Pertanto: I π sin θ 5π/6 π sin θ 8 π 5π/6 π dz 5π/6 / 5π/6 ρ cos θ ρ ρ dρ dθ dz + ρ 3 cos θ dρ dθ dz + sin θ 4 sin 4 θ cos θ dθ + t 4 dt 5 8 [ t 5 ρ 3 cos θ dρ dθ + 5 ] / 5π/6 π/ 5π/6 π/ 4 dz 5π/6 π/ 5 5/ 3. ρ cos θ ρ ρ dρ dθ dz ρ 3 cos θ dρ dθ dz cos θ dθ ρ 3 dρ Svolgimento Esercizio 75. Poniamo F x, y, z F x, y, z, F x, y, z, F 3 x, y, z. Si ha div F x, y, z x F + y F + z F 3 4/z 5 e rot F x, y, z det e x F e y F 3, z, 8x. e 3 z F 3 γ Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo. Si ha γt, sin t, cos t, da cui la circuitazione: F dl π π π F γt γt dt sin t cos t +, 64 3 sin t + 7, sin t 86 sin t + cos t sin t dt π, sin t + 7 4, sin t, cos t dt dove si è sfruttata la periodicità di seno e coseno. Altro modo: la curva γ è il bordo della circonferenza D centrata in 4,, 7 di raggio e contenuta nel piano x 4. Affinché l orientamento su D induca il corretto orientamento della normale, si deve avere ˆn,, per la regola della mano destra. Dal teorema di Stokes si ha: F dl rot F x, y, z ˆn dσ 3, z, 8x,, dσ 3 dσ π γ D D D essendo l area di D pari a 4π. Questo calcolo conferma il risultato precedente. 3 Si ha: Jac ϕx, y. x y x +y 3/ x +y 3/

205 SOLUZIONI 99 Calcoliamo l elemento d area utilizzando la regola di Binet: consideriamo la radice della somma dei quadrati dei determinanti delle sottomatrici di ordine di Jac ϕ: dσ det + det + x + y dx dy x y x +y 3/ x +y 3/ + det x y x +y 3/ x +y 3/ dx dy Altro modo: il prodotto vettoriale delle colonne di Jac ϕ porge la normale non unitaria. Il modulo di tale prodotto vettoriale è l elemento d area. Dividendo il prodotto vettoriale per il suo modulo si ottiene la normale unitaria ˆn xϕ y ϕ x ϕ y ϕ. Calcoliamo il prodotto vettoriale delle due colonne di Jac ϕ: e x ϕ y ϕ det e x e 3 y x +y 3/ x +y 3/ x x + y 3/, y x + y 3/,. Il modulo di tale vettore è effettivamente + x + y, che conferma il risultato precedente. La normale unitaria pertanto risulta: ˆn x, y, x + y x, x +y 3/ y, x +y 3/ + x +y 4 Sostituendo, si ha ˆnP 34, 34, Calcoliamo il flusso di rot F attraverso la superficie S: ΦS, rot F : {x,y: <x +y <9} {x,y: <x +y <9} {x,y: <x +y <9} det rot F γ det Jac ϕ dx dy 3 x +y 8x x y x +y 3/ x +y 3/ 3x x + y 3/ + y x + y + 8x dx dy dx dy

206 SOLUZIONI Passiamo in coordinate polari x ρ cos θ, y ρ sin θ, dx dy ρ dρ dθ: π 3 ΦS, rot F 3ρ cos θ ρ sin θ ρ 3 + ρ 4 + 8ρ cos θ ρ dρ dθ π 3 3 cos θ ρ + sin θ ρ 3 + 8ρ cos θ ρ dρ dθ π 3 ρ dρ dθ 8π, dove si è sfruttato il fatto che i termini con potenze dispari di seno e coseno si annullano per periodicità. Altro modo: Per il teorema di Stokes, il flusso del rotore è pari alla circuitazione sul bordo. Determiniamo il bordo di S: è dato dall immagine γ e γ 3 secondo la parametrizzazione delle due circonferenze centrate nell origine e di raggio rispettivamente e 3. Per rispettare l orientamento, la circonferenza di raggio maggiore deve essere percorsa nello spazio dei parametri in senso antoriario, mentre l altra deve essere percorsa in senso orario. Poniamo quindi γ 3 t : ϕ3 cos θ, 3 sin θ 3 cos θ, 3 sin θ, /3, γ t : ϕcos θ, sin θ cos θ, sin θ,. Si ha γ 3 t 3 sin θ, 3 cos θ,, γ t sin θ, cos θ,. Calcoliamo: π F l F γ 3 θ γ 3 θ dθ γ 3 Quindi γ F l π π π π π 3 sin θ + /9, 4 9 cos θ, sin θ, 3 cos θ, dθ 9 sin θ 3 sin θ + 36 cos3 θ 3 cos θ dθ 9π. F γ θ γ θ dθ che conferma il risultato precedente. sin θ +, 4 cos θ 3, sin θ, cos θ, dθ sin θ sin θ 4 cos 3 θ + 3 cos θ dθ π. ΦS, rot F F l + γ 3 F l 8π, γ Svolgimento Esercizio 76. Cerchiamo soluzioni non nulle nella forma ut, x T txx. Sostituendo nell equazione, dividendo per ut, x e separando le variabili si ottiene: T t Ẍx Ẋx λ R. T t Xx

207 da cui SOLUZIONI T t λt t Ẍx Ẋx λxx X Xπ. L equazione per Xx ha polinomio caratteristico µ µ λ. Se tale polinomio ammettesse due radici reali distinte µ, µ, si avrebbe come soluzione generale Xx c e µ x + c e µ x Sostituendo X si ha c c, quindi Xx c e µ x e µ x. Sostituendo anche Xπ e considerando che µ µ si ottiene c c, non accettabile. Se il polinomio caratteristo ammettesse la radice doppia reale µ, si avrebbe come soluzione generale Xx c e µx + c xe µx, da cui sostituendo X si ha c e cioé Xx c xe µ x. Sostituendo Xπ si ha c, non accettabile. Pertanto le radici del polinomio caratteristico debbono essere complesse coniugate, ovvero + 4λ < da cui λ < /4. In tal caso, le radici sono Posto ω λ : µ + i + 4λ, +4λ, si ha che i + 4λ Xx c e x/ cos ω λ x + c e x/ sin ω λ x. Sostituendo X si ottiene c e quindi Xx c e x/ sin ω λ x, e sostituendo Xπ, per avere soluzioni non nulle si deve avere ω λ Z \ ossia 4n + 4λ, quindi λ n /4, n Z \. Quindi poniamo X n x c n e x/ sin nx. Risolviamo l equazione per T t con λ n /4 ottenendo T n t d n e n +/4t. Posto b n d n c n, si ottengono le soluzioni elementari u n t, x b n e n +/4t e x/ sinnx, n N \ {}. Cerchiamo di coprire il dato iniziale con una serie di soluzioni elementari: u, x e x/ xπ x u n, x b n e x/ sinnx e x/ Si ricava: n xπ x n b n sinnx n n b n sinnx. Quindi prolunghiamo per disparità xπ x su [ π, π] e per π-periodicità a tutto R. Consideriamo lo sviluppo in serie di soli seni di questa funzione: In definitiva: b n : π π ut, x 4 π xπ x sinnx dx 4 πn 3 n. n e n +/4t+x/ sinnx. n n 3 La serie converge uniformemente in [, + [ [, π] in quanto l integrando è maggiorato in modulo da /n 3, termine generale di serie convergente. Inoltre dato t > la derivata prima e seconda in x e prima in t sono dominate in [t, + [ [, π] da un termine della forma Ct e n t pn dove p è polinomio in n e Ct è una costante che dipende solo da p n, quindi per n suff. grande dipendente da t, tale termine è minore di /n e la serie converge ancora uniformemente. Quindi la serie trovata effettivamente risolve il problema.

208 SOLUZIONI Svolgimento Esercizio 77. Si ponga fx, y : e x +y x + y x. Osserviamo che fx, y f x, y, quindi l insieme è simmetrico rispetto all asse y, inoltre fx, y fx, y quindi l insieme è simmetrico anche rispetto all asse x, inoltre è simmetrico rispetto all origine. In coordinate polari x ρ cos θ, y ρ sin θ si ha: { } Γ : ρ cos θ, ρ sin θ R : ρ e ρ ρ cos θ { } ρ cos θ, ρ sin θ R : ρe ρ cos θ { } ρ cos θ, ρ sin θ R : ρ e ρ cos θ, dove nel secondo passaggio si è osservato che il caso ρ è ottenuto anche per θ π/. Γ f è chiuso perché f è continua, inoltre si osservi che per r > vale e r > r, quindi ρ 3 Γ [ρeρ ] Γ cos θ Γ pertanto la funzione ρ Γ è limitata, quindi Γ è limitato. Essendo chiuso, è anche compatto. Si ha che R \ Γ R \ {, } e quest ultimo insieme non è semplicemente connesso, quindi nemmeno R \ Γ lo può essere. 3 Si ha che f, y e y y e l equazione f, y è risolta solo per y, quindi Γ {x } {, }. L intersezione con l asse x, oltre che nell origine è data da fx, ossia x e x x, quindi x ancora l origine oppure xe x ±. Studiamo il caso x, il caso x < si otterrà per simmetria. In questo caso si ha xe x. Poniamo gx xe x per x. Si ottiene g, g x + x e x >, lim x + gx +. Pertanto la funzione g : [, + [ [, + [ è strettamente crescente e suriettiva, ma allora è biiettiva ed esiste uno ed un solo x + > tale che f x +. Quindi P x +, e P P per simmetria. Calcoliamo dfx, y nel semipiano x > : dfx, y x fx, y dx + y fx, y dy x,y, x,y Γ xe x +y x + y + dx + ye x +y x + y + dy Si ha y fp y fp, invece x fp x e x + + x + +. Ricordando che x e x + +, si ha x fp x + + > >. Quindi x fp. Per simmetria, x fp, quindi è possibile applicare il Teorema di Dini e ottenere la funzione implicita richiesta in un intorno di P e P. 4 La funzione h non è continua in R, quindi la ricerca di massimi e minimi richiede una certa attenzione. Studiamo dapprima il caso x >. Si ha hρ cos θ, ρ sin θ cos θ. Dall espressione in coordinate polari si ottiene che h Γ {x>} e che h raggiunga il suo valore massimo in Γ {x > } in P. Simmetricamente, il valore minimo di h su Γ {x < } è raggiunto in P. Si ha hp hp. Studiamo il limite di hx, y al tendere di x, y verso l origine in Γ. Si ha: lim hx, y lim ρ + ρeρ. Pertanto il massimo di h su Γ è raggiunto in P e vale, il minimo su Γ è raggiunto in P e vale. 5 Consideriamo l espressione in coordinate polari, limitandoci a < θ < π/. Per θ si ha il punto P. Successivamente il valore del coseno decresce strettamente fino a zero in θ π/. Per la stretta monotonia di g, anche il valore di ρ decresce strettamente fino a in θ π/. Quindi il grafico somiglia al simbolo.

209 SOLUZIONI 3 Svolgimento Esercizio 78. L insieme Ω è un cilindro circolare retto con asse coincidente con l asse z e raggio di base pari a. I z y dx dy dz z y dx dy dz Ω {x +y <} z y dx dy dz y dx dy z dz {x +y <} y y y dx dy y dy 4 3 Svolgimento Esercizio 79. Poniamo F F, F, F 3. Si ha: {x +y <} y y dx dy div F x, y, z x F + y F + z F 3 rot F x, y, z det e x F e y F det e x y + z e y 4x 3z 4, + z, + 8x e 3 z F 3 e 3 z x + y Poiché il rotore è non nullo, il campo non è conservativo. Si ha F d l πf γt γt dt γ 3 Si ha: π 4 sin t + cost, 6 sint, cost, sint, cost dt 6π Jac ϕu, v u v Calcoliamo il prodotto vettoriale delle colonne di Jac ϕu, v: u ϕ v ϕ e e v + u, v u, / e 3 u v L elemento d area è pari alla norma u ϕ v ϕ, ovvero: dσ u + v + du dv. 4 4 Si deve avere u + v/ 3, u v/, u + v 8. Dalla seconda, si ha u v, quindi dalla prima u 3, v 3. Si ha quindi ˆnP uϕ v ϕ3, 3 u ϕ v ϕ3, 3 45,,.

210 4 SOLUZIONI 5 Si ha: Φ F, S : S F ˆn dσ det u + v + u v u + v 3 u + v du dv u v + u + v u v u 5 + u 4 v + u 3 v u 3 + u v 3 + 4u v + u + uv4 4uv u + v5 + v 3 v du dv Svolgimento Esercizio 8. Cerchiamo soluzioni non nulle nella forma ut, x T txx. Sostituendo e dividendo per ut, x si ottiene: T t T t Ẍx Xx λ R, e quindi Ẍx λxx con condizioni X Xπ. Il polinomio caratteristico è µ λ. Se λ > le radici del polinomio caratteristico sono µ ± λ, e la soluzione generale è Xx c e xλ + c e xλ. Tale soluzione soddisfa le condizioni al contorno solo per c c quindi non è accettabile. Se λ si ha come radice doppia, e la soluzione generale è XX c + c x. Tale soluzione soddisfa le condizioni al contorno solo per c c quindi non è accettabile. Se λ < si hanno le radici complesse coniugate ±i λ. La soluzione generale è Xx c cosx λ + c sinx λ. Tale soluzione soddisfa le condizioni al contorno per c e λ n, n N \ {}. Definiamo quindi X n x c n sinnx, relativa al valore λ n. Per tali valori di λ, l equazione per T t porge T n t a n cosnt + b n sinnt con la condizione T n, da cui T n t a n cosnt. Si ottengono così le soluzioni elementari posto d n a n c n : u n t, x T n tx n x d n cosnt sinnx. Le soluzioni elementari soddisfano tt u n t, x xx u n t, x, u n t, u n t, π e t u n, x. Cerchiamo di coprire il dato iniziale con una serie di soluzioni elementari. u, x u n, x. Si ricava: xπ x n d n sinnx n Quindi prolunghiamo per disparità xπ x su [ π, π] e per π-periodicità a tutto R. Consideriamo lo sviluppo in serie di soli seni di questa funzione: Si ottiene quindi la serie d n : π π ut, x xπ x sinnx dx 4 πn 3 n. n 4 πn 3 n cosnt sinnx.

211 SOLUZIONI 5 La serie converge uniformemente e le serie delle derivate seconde in t e in x convergono in L. Svolgimento Esercizio 8. Osserviamo che: a. Il termine generale della serie è in modulo maggiorato da: n log n + e n n e n cos nx + cosnπ 5n+ sin nx 63n 4 n log n + e n n e n + 5n+ n log n + e n e n n n + e n ne n n 4 5 n n log n + e n 6 3 n e n ne n n n n 5 n 6 3 dove si è usato il fatto che per n vale n > log n, 5/6 3 < / e per n sufficientemente grande si ha e n > n + n 3, <. Quindi il termine generale è maggiorato in modulo ne n dal termine generale di una serie numerica convergente. La serie converge totalmente quindi uniformemente, puntualmente e in L. Poiché converge totalmente, essendo le somme parziali funzioni continue, converge ad una funzione continua. Essa è integrabile termine a termine. Nell integrazione tra e π, tutti i termini che contengono seni o coseni si annullano per periodicità, pertanto π π π Sx dx π. b. Poiché per n sufficientemente grande si ha log n < n, il termine generale della serie è in modulo maggiorato da: n log n n 3 + n + cos nx n/4 4n n 6n 4 sin nx n n n 3/4 6n 3 n 5/ + 4 5n 3 + n 3 n 5/ Quindi il termine generale è maggiorato in modulo dal termine generale di una serie numerica convergente. La serie converge totalmente quindi uniformemente, puntualmente e in L. Poiché converge totalmente, essendo le somme parziali funzioni continue, converge ad una funzione continua. Essa è integrabile termine a termine. Nell integrazione tra e π, tutti i termini che contengono seni o coseni si annullano per periodicità, pertanto Svolgimento Esercizio 8. π Sx π 7 dx 4π. a. Poniamo fx, y x + y x y. In coordinate polari piane x ρ cos θ, y ρ sin θ si ha fρ cos θ, ρ sin θ ρ 4 + sin θ ρ L origine appartiene all insieme f. Nei punti diversi dall origine è possibile dividere per ρ, quindi { } Γ : ρ cos θ, ρ sin θ : ρ + sin, θ [, π[ {, }. θ osserviamo che la condizione ρ è sempre rispettata. Si hanno le simmetrie rispetto agli assi e all origine: fx, y f x, y f x, y fx, y. n 3.

212 6 SOLUZIONI Poiché Γ f e f è continua, si ha che Γ è chiuso. Dall espressione in coordinate polari si ricava che il massimo di ρ sull insieme vale ed è assunto quando θ, π, quindi Γ B,,. Pertanto è anche limitato. Essendo chiuso e limitato, è compatto. Calcoliamo le intersezioni con gli assi: fx, x 4 x nullo per x o x ±, quindi P,, P, ; f, y 4y 4 y nullo per y e y ±/, quindi P 3, / e P 4, /. Calcoliamo il differenziale di f: dfx, y x fx, y dx + y fx, y dy 4x x + y x dx + 8y x + y y dy Pertanto, la tangente all insieme nel generico punto x, y Γ è data da: fx, y x x, y y dfx, y x x, y y 4x x + y xx x + 8y x + y yy y Valutando si ha x fp 3 x fp 4 y fp y fp mentre y fp 3, y fp 4, x fp, y fp. Quindi le rette tangenti in P 3 e P 4 sono orizzontali, mentre in P e P sono verticali. Si ha r : x, r : x, r 3 : y, r 4 : y. Per il Teorema di Dini, Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di P 3 e P 4. Nei punti P e P, il Teorema di Dini non è applicabile. Si ha che Γ non può essere scritto come grafico y ϕx a causa della simmetria rispetto all asse x. Si ha hx, y > se x, y, e h, con, Γ, che pertanto è punto di minimo assoluto. Si ha poi hρ cos θ, ρ sin θ Γ ρ Γ + sin θ che raggiunge il suo massimo assoluto in [, π] per sin θ, quindi θ, θ π. Il valore del massimo è. I punti di massimo corrispondenti sono P e P. I punti corrispondenti a sin θ, ovvero θ π/ e θ 3π/ sono punti di minimo relativo e in questi punti si ha ρ /4, quindi ρ. Seppure non richiesto dall esercizio, raccogliamo ulteriori dati per costruire un grafico qualitativo dell insieme Γ. L insieme Γ è inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell origine ed è ad essa tangente nei punti ±,. L origine è un punto isolato di Γ e Γ \ {, } è circoscritto alla circonferenza di raggio / centrata nell origine ed è ad essa tangente nei punti, ±/. Il massimo di x vincolato all insieme è raggiunto nei punti ±,, mentre il massimo di y, e quindi di y vincolato all insieme è raggiunto nei punti che massimizzano Si ha: p θ y Γ [ρ sin θ] Γ sin θ + sin : pθ. θ sin θ cos θ sin θ + 4 sin3 θ cos θ sin θ + 3 sin θ cos3 θ sin θ + 3 che si annulla per θ, π/, π, 3π/. Tali punti corrispondono a ±, minimi per y,, ±/ massimi per y. L insieme ha l aspetto di un ovale allungato lungo l asse delle ascisse, cui va aggiunta l orgine punto isolato. b. Poniamo fx, y x + y x y. In coordinate polari piane x ρ cos θ, y ρ sin θ si ha fρ cos θ, ρ sin θ ρ 4 ρ + sin θ

213 SOLUZIONI 7 Figura. La curva di equazione x + y x + y con le circonferenze inscritta e circoscritta. L origine è punto isolato. L origine appartiene all insieme f. Nei punti diversi dall origine è possibile dividere per ρ, quindi { } Γ : ρ cos θ, ρ sin θ : ρ + sin θ, θ [, π[ {, }, osservando che la condizione ρ è sempre rispettata. Si hanno le simmetrie rispetto agli assi e all origine: fx, y f x, y f x, y fx, y. Poiché Γ f e f è continua, si ha che Γ è chiuso. Dall espressione in coordinate polari si ricava che il massimo di ρ sull insieme vale, quindi Γ B,,. Pertanto è anche limitato. Essendo chiuso e limitato, è compatto. Calcoliamo le intersezioni con gli assi: fx, x 4 x nullo per x o x ±, quindi P,, P, ; f, y y 4 y nullo per y e y ±, quindi P 3, e P 4,. Calcoliamo il differenziale di f: dfx, y x fx, y dx + y fx, y dy 4x x + y x dx + 4y x + y 4y dy Pertanto, la tangente all insieme nel generico punto x, y Γ è data da: fx, y x x, y y dfx, y x x, y y 4x x + y xx x + 4y x + y 4yy y Valutando si ha x fp 3 x fp 4 y fp y fp mentre y fp 3, y fp 4, x fp, y fp. Quindi le rette tangenti in P 3 e P 4 sono orizzontali, mentre in P e P sono verticali. Si ha r : x, r : x, r 3 : y /, r 4 : y /. Per il Teorema di Dini, Γ definisce implicitamente una funzione y ϕx in un intorno di P 3 e P 4. Nei punti P e P il teorema di Dini non è applicabile, ma le simmetrie rispetto agli assi escludono la possibilità di esplicitare Γ come grafico y fx in tali punti.

214 8 SOLUZIONI Si ha hx, y > se x, y, e h, con, Γ, che pertanto è punto di minimo assoluto. Si ha poi hρ cos θ, ρ sin θ Γ ρ Γ + sin θ che raggiunge il suo massimo assoluto in [, π] per sin θ, quindi θ π/, θ 3π/. Il valore del massimo è. I punti di massimo corrispondenti sono P 3 e P 4. I punti con sin θ, ovvero θ, π corrispondenti a P e P sono di minimo relativo. Seppure non richiesto dall esercizio, raccogliamo ulteriori dati per costruire un grafico qualitativo dell insieme Γ. L insieme Γ è inscritto nella circonferenza di raggio centrata nell origine ed è ad essa tangente nei punti, ±. L origine è un punto isolato di Γ e Γ \ {, } è circoscritto alla circonferenza di raggio centrata nell origine ed è ad essa tangente nei punti ±,. Il massimo di y vincolato all insieme è raggiunto nei punti, ±, mentre il massimo di x, e quindi di x vincolato all insieme è raggiunto nei punti che massimizzano x Γ [ρ cos θ] Γ + sin θ cos θ + sin θ sin θ sin 4 θ : qθ. Tali punti corrispondono a θ, π, ovvero ±,. L insieme ha l aspetto di un ovale allungato lungo l asse delle ordinate, cui va aggiunta l orgine punto isolato. Figura. La curva di equazione x + y x + y con le circonferenze inscritta e circoscritta. L origine è punto isolato. Svolgimento Esercizio 83. a. Calcoliamo gx, y 3x + 4x αy, y αx e poniamo gx, y, per trovare i punti critici. Si ricava y αx/ dalla seconda componente. Sostituendo nella prima si ha 3x + 4 α / x,

215 SOLUZIONI 9 nulla per x, cui corrisponde y e per x α 8, cui corrisponde y α3 8α. 6 α 8 Pertanto i punti critici sono O, e P α, α3 8α. Tali punti sono distinti 6 se α 8, ovvero se α. Calcoliamo la matrice Hessiana di g in questi punti: D 6x + 4 α fx, y, D α 4 α f,, D α α fp α 4 α. α Il determinante è il prodotto degli autovalori, quindi se il determinante è strettamente negativo i due autovalori sono di segno discorde, pertanto il punto critico è di sella. Nella fattispecie, detd f, 8 α che è strettamente minore di zero se α >. Pertanto per α >, l origine è punto di sella. Per studiare il caso α <, osserviamo che xxg, 4 > e detd f, >, quindi per il criterio dei minori principali 4 concludiamo che in questo caso l origine è un minimo. Nel caso particolare α ±, si ha P ± O, e gx, y x 3 + x xy + y x 3 + x y Si ha che gx, ± x x 3 che in un intorno di x assume valori di ambo i segni, quindi anche per α ± si ha un punto di sella nell origine. Procediamo in modo analogo per P α, ricordando che nel caso α ± tale punto coincide con O, ed è di sella. Si ha detd fp α α 8 che è strettamente minore di zero se α <. Pertanto per α <, il punto P α è punto di sella. Per studiare il caso α >, osserviamo che xxgp α α 4 > e detd fp α > quindi per il criterio dei minori principali concludiamo che in questo caso P α è un minimo. Seppure in modo più laborioso, per risolvere l esercizio si poteva procedere con il calcolo degli autovalori utilizzando il fatto che gli autovalori di una matrice quadrata A di ordine risolvono l equazione λ tr A λ + det A. Pertanto gli autovalori di D f, risolvono l equazione λ 6λ + 8 α, quindi si ha λ 3 ± + λ. Uno degli autovalori è sempre positivo. L altro è positivo solo se + α < 3, quindi α <. Pertanto per α < l origine è un punto di minimo mentre per α > si trova che è un punto di sella. Gli autovalori di D fp α sono le soluzioni di λ α λ + α 8 ossia λ α + α 4 8α + 36, λ α α 4 8α Si ha sempre λ λ. Distinguiamo vari casi: i. Se λ > allora entrambi gli autovalori sono strettamente positivi, quindi P α è di minimo. Questo caso si verifica se α > α 4 8α + 36 α 4 +, si deve avere α >, elevando al quadrato si ottiene α α 4 > da cui < α α 4α + α 4 α 6 4 Criterio dei minori principali: Se, preso un elemento della diagonale, esso e tutti i minori principali ottenuti orlando via via con nuove righe e colonne di uguale indice, sono strettamente positivi, allora la forma quadratica associata alla matrice è definita positiva. Se invece fra questi minori quelli di ordine dispari sono strettamente negativi e quelli di ordine pari strettamente positivi, allora la forma quadratica associata alla matrice è definita negativa.

216 SOLUZIONI e quindi α > 8 che è accettabile. Pertanto P α è di minimo se α >. ii. Se λ < allora entrambi gli autovalori sono strettamente negativi, quindi P α è di massimo. Questo caso si verifica se α < α 4 8α + 36, si deve necessariamente avere α <, quindi moltiplicando per α > α 4 8α + 36, con entrambi i termini a questo punto strettamente positivi. Elevando al quadrato, si ottiene una disequazione è identica alla precedente, che era soddisfatta per α > 8, quindi questo caso non si verifica mai e λ > per ogni α. iii. Se α < gli autovalori hanno segni discordi, quindi P α è un punto di sella. iv. Se α ± si ottiene P α,. Questo caso va studiato a parte e, come si è visto, gx, ± x x 3, che in un intorno di assume valori di entrambi i segni, quindi è di sella. b. Calcoliamo gx, y x + x + 3y, 3x αy e poniamo gx, y per trovare i punti critici. Se α, dalla seconda relazione si ha x e sostituendo nella prima si ottiene y. Altrimenti, dalla seconda relazione si ricava y 3x/α e quindi O, oppure 8α 3 38α + 3 P α, 8α 6α. Pertanto i punti critici sono l origine O per ogni valore di α e il punto P α solo per α. È richiesto lo studio della sola origine, calcoliamo quindi la matrice Hessiana di g: D fx, y 4x α, D 3 f, 3 α Il determinante è il prodotto degli autovalori, quindi se il determinante è strettamente negativo i due autovalori sono di segno discorde, pertanto il punto critico è di sella. Si ha detd f, 4α 9 che è strettamente minore di zero per α > 3/8. Quindi per α > 3/8 l origine è un punto di sella. Per studiare il caso α < 3/8, osserviamo che xxg, > e detd f, >, quindi per il criterio dei minori principali 5 concludiamo che in questo caso l origine è un minimo. Se α 3/8 si ottiene gx, y x 3 + 6x + y/4, da cui gx, 4x x 3 che assume valori discordi in un intorno di, quindi anche per questo caso l origine è di sella. Seppure in modo più laborioso, per risolvere l esercizio si poteva procedere con il calcolo degli autovalori utilizzando il fatto che gli autovalori di una matrice quadrata A di ordine risolvono l equazione λ tr A λ + det A. Pertanto gli autovalori di D f, risolvono l equazione λ 6 α 9 + 4α da cui λ 6 α + α + α + 45, λ 6 α α + α Si ha λ λ. Distinguiamo i vari casi: 5 Criterio dei minori principali: Se, preso un elemento della diagonale, esso e tutti i minori principali ottenuti orlando via via con nuove righe e colonne di uguale indice, sono strettamente positivi, allora la forma quadratica associata alla matrice è definita positiva. Se invece fra questi minori quelli di ordine dispari sono strettamente negativi e quelli di ordine pari strettamente positivi, allora la forma quadratica associata alla matrice è definita negativa..

217 SOLUZIONI a Se λ > entrambi gli autovalori sono strattamente positivi e quindi O è di minimo. Questo avviene se 6 α > α + α Necessariamente si deve avere α < 6, elevando al quadrato si ha 36 α + α > α + α + 45, da cui α < 3/8, che è accettabile. Pertanto per α < 3/8 l origine è di minimo. b Se λ < entrambi gli autovalori sono strettamente negativi e quindi è di massimo. Questo avviene se 6 α < α + α Necessariamente si deve avere α > 6, da cui moltiplicando per si ha α 6 > α + α I membri sono positivi, elevando al quadrato si ottiene 36 α + α > α + α + 45, da cui α < 3/8, che non è accettabile. Quindi questo caso non si verifica mai e λ > per ogni α. c Se α > 3/8 si ha quindi che gli autovalori sono di segno discorde, pertanto l origine è di sella. d Se α 3/8 si ottiene gx, y x 3 + 6x + y/4, da cui gx, 4x x 3 che assume valori discordi in un intorno di, quindi anche per questo caso l origine è di sella. Svolgimento Esercizio 84. I : π 4 a. Si ha utilizzando le coordinate polari x ρ cos θ, y ρ sin θ, ρ >, θ [, π/], e ponendo poi t + ρ da cui dt ρ dρ D + + x + y dx dy 3/ t 3/ dt π. π/ + π/ + ρ ρ dρ dθ dθ + 3/ ρ + ρ dρ 3/ b. Si ha y 3 x che si annulla per x 3. Pertanto D : {x, y : x [, 3], y 3 x} da cui 3 3 x [ ] y3 x 3 + x + y 3/ I : + x + y dx dy + x + y dx dy dx 3/ D 3 [8 + x 3/ ] dx x 3/ dx [ + x5/ ] x3 x y Svolgimento Esercizio 85. Poniamo F x, y, z F x, y, z, F x, y, z, F 3 x, y, z.

218 SOLUZIONI La divergenza e il rotore del campo F sono dati da divf x, y, z x F x, y, z + y F x, y, z + z F 3 x, y, z x + 4y + x + 4y +. rot F x, y, z det e x F e y F e 3 z F 3 det e x 5x e y x + y + z z,,. e 3 z z Poiché rot F, il campo non è conservativo. Si ha γt sint, sint cost, da cui la circuitazione: π F dl F γt γt dt γ π π. cos t, sin 4 t + cost + 9, 3 sint, sint cost, dt sint cost sin 4 t 8 cost + 9 dt Lo Jacobiano della parametrizzazione è dato da: Jac ϕu, v ϕ u, v ϕ u, v u ϕu, v v ϕu, v ϕ 3 u, v cosu cosv sinu sin u sinv cosu sinu sinv cosv sin u. Indicate con u ϕu, v e v ϕu, v le colonne di Jac ϕu, v, l elemento d area -dimensionale dσ riferito alla parametrizzazione ϕ è dato da: dσ u ϕu, v v ϕu, v det e u ϕ v ϕ e u ϕ v ϕ e 3 u ϕ 3 v ϕ 3 sin 4 u sin v + sin 4 u cos v + sin 3 u cosu cos v + sin 3 u cosu sin v du dv. sin 4 u 4 sin u cos u + du dv sin u sin u + du dv. Per la regola di Binet, indicate con B, B, B 3 le tre sottomatrici quadrate di ordine di Jac ϕu, v ottenute sopprimendo rispettivamente la prima, la seconda e la terza riga, l elemento d area può essere ottenuto anche come: dσ det B + det B + det B 3. Si ha che P,, π ϕu, v solo se u π, v. La matrice Jacobiana di ϕ in P è: Jac ϕp.

219 La normale unitaria in P è data da: SOLUZIONI 3 ˆnP uϕp v ϕp,,. u ϕp v ϕp Il flusso di F attraverso la superficie Σ è dato da: Φ F, Σ F ˆn dσ : Σ π π det F ϕu, v F ϕu, v Jac ϕu, v F 3 ϕu, v du dv π π 5 cos v sin 4 u cosu cosv sinu sin u sinv det sin v sin 4 u + cosv sin u + u cosu sinu sinv cosv sin u u π π u sin u sinv sin 6 u sin 3 v 5 sin 6 u cos 3 v+ π π + u sin 3 u cosu cos v du dv sin 4 u sinv cosv+ π π + u sin 3 u cosu sin v du dv π π π u sin 3 u cosu du dv 4π u sin 3 u cosu du [ ] uπ 4π u sin4 u π π e π sin 4 iu e iu 4 u du π du 4 i u π π e iu + e iu du π π e 4iu + e 4iu e iu 4e iu du 6 6 π π 6 du 3π 6 4. du dv Il flusso di G rot F G, G, G 3 attraverso la superficie Σ è dato da: π π Φ G, Σ G ˆn dσ : det G ϕu, v G ϕu, v Jac ϕu, v du dv Σ G 3 ϕu, v π π det u cosu cosv sinu sin u sinv cosu sinu sinv cosv sin u du dv π π. sin 3 u cosu cos v + u sin u cosv + sin 3 u cosu sin v du dv Calcoliamo il flusso di rot F attraverso Σ tramite il teorema di Stokes. Detto Σ il bordo di Σ con l orientamento indotto da Σ si ha: rot F ˆn dσ F l. Σ Il bordo Σ della superficie Σ è contenuto nell immagine tramite la parametrizzazione ϕ della frontiera dello spazio dei parametri, ovvero della frontiera del quadrato [, π] [, π]. Affinché il bordo risulti orientato con l orientamento indotto dalla parametrizzazione, la frontiera del quadrato nello spazio dei parametri deve essere percorsa in senso antiorario. L immagine della frontiera con tale orientamento è data dall unione delle quattro curve: Σ γ u : ϕ u, sin u,, u, u [, π], γ v : ϕ π, v,, π, v [, π], γ 3 u : ϕ π u, π sin u,, π u, u [, π], γ 4 v : ϕ, π v,,, v [, π].

220 4 SOLUZIONI Le derivate sono date da: γ u : sinu,,, u ], π[, γ v :,,, v ], π[, γ 3 u : sinu,,, u ], π[, γ 4 v :,,, v ], π[. Si ha quindi: I : F dγ γ π π F γ u γ u du u + sin 5 u cosu du π. π 5 sin 4 u, u + sin u, u sinu,, du I : F dγ γ π du. π F γ v γ v dv π, 4π, π,, du I 3 : F dγ3 γ 3 π π π F γ 3 u γ 3 u du 5 sin 4 u, u π + sin u, π u sinu,, du u π + sin u sinu sinv + sin 5 u cosu cosv + u π du π. I 4 : F dγ4 γ 4 π Sommando i quattro contributi si ottiene: che conferma il risultato precedente. F γ 4 v γ 4 v dv π I + I + I 3 + I 4,,,,, du π du. Svolgimento Esercizio 86. Il problema è posto in Ω R \ {, y : y R}. In forma di equazione totale si ha: ωx, y y + xy + y3 dx + x + y dy : px, y dx + qx, y dy. 3x x Poiché y px, y x qx, y qx, y + : fx, x l equazione data non è esatta, ma essendo il secondo membro una funzione della sola x, essa ammette il fattore integrante λx, y e fx dx e x+log x x e x.

221 SOLUZIONI 5 Figura 3. La superficie ϕu, v sin u cosv, sin u sinv, u, con u, v [, π]. Pertanto la forma x e x ωx, y e x x y + x xy + x 3x y3 dx + e x x x + x x y dy è chiusa su Ω quindi poiché Ω è semplicemente connesso, ivi è esatta. Questo significa che il campo vettoriale: Gx, y : e x x y + x xy + x, e x x x + x 3x y3 x y è conservativo. Posto Ω + : {x, y Ω : x > } e Ω : {x, y Ω : x < }, si ha Gx, y : G x, y e xy x + x y + y3, e x x + y, 3 per ogni x, y Ω +. Per trovare un potenziale in Ω + integriamo il campo lungo la spezzata γ t : t,, t [, x ] e γ t : x, t, t [, y ]: x y V x, y : G dl + G dl Gt,, dt + Gx, t, dt γ γ y : e x x + t dt e x x y + y3. 3