Analisi Matematica II, Anno Accademico Ingegneria Edile e Architettura Vincenzo M. Tortorelli FOGLIO DI ESERCIZI n.

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1 Analisi Matematica II, Anno Accademico Ingegneria Edile e Architettura Vincenzo M. Tortorelli FOGLIO DI ESERCIZI n. CAMMINI ESERCIZIO 1 Un cammino soddisfa le relazioni y = x z, z = y + x 3, essendo la componente verticale della velocità z costante eguale ad 1. Qual è la sua velocità nel punto 1, 1,? ESERCIZIO Si consideri il cammino γt = t + t, t 4 + t. a- È regolare? È semplice? b- Per quale dei seguenti intervalli il sostegno della sua restrizione è una 1-varietà: [; 1], 1; 1, ; 1, ; ], ; +? c- Per quali a, b l unione tra il sostegno della sua restrizione per t ]; 1], e {x, y : y a x + b = } è una 1-varietà sostegno di un unica curva? ESERCIZIO 3 Si consideri il sottoinsieme E di R 3 definito da yz + x = 1 e xz x = 1. a È limitato? È chiuso? b È una 1-varietà? c Si determinino le sue proiezioni sugli assi coordinati. Si può trovare un cammino che abbia E come sostegno? ESERCIZIO 4 a- Si scriva l equazione del piano ortogonale nel punto,, 1 al sostegno del cammino t, sin t, cos t. b- Si calcolino le lunghezze del cammino e del suo sostegno per t [ ; 1] ESERCIZIO 5 Siano a R, A = 1 1, Mt il cammino a valori matrici a 1 a M t = AMt 3 3 per cui. Ovvero le colonne M 1 t, M t, M 3 t, sono cammini M = Id x t = xt yt + zt xt t xt, yt, zt che verificano il sistema y t = xt yt + zt =: A yt, zt z t = axt + yt + azt ed inoltre M 1 = t 1,,,M = t, 1,, M 3 = t,, 1. Per quali a R il volume del tetraedro di spigoli M 1, M, M 3 è infinitesimo per t +?

2 ESERCIZIO 6 [Co-anomalia] Dato un cammino piano γt = xt, yt, t [a; b derivabile con continuità, e non nullo non passante per l origine, si consideri il sistema di riferimento dipendente da t [a; b: di origine γt, ed assi il versore posizione ˆrt = ˆrγt e il suo ortogonale ˆθt in modo che detˆr, ˆθ = 1. a- Si calcoli la derivata di γt. b- [Impegnativo] Si trovi, in termini di γ e γ, una funzione Θt per cui ˆr = cos Θ, sin Θ. c - Che relazione essa ha con le coordinate polari? d- Quando γ è equivalente ad un cammino γϑ =: fϑ cos ϑ, fϑ sin ϑ, ϑ ImΘ? e- Nel casi si esprima la lunghezza di γ come integrale in ϑ. ESERCIZIO 7 a- Per a R sia dato un cammino γϑ = ρ cos ϑ, ρ sin ϑ, in termini della seguente relazione tra raggio e co-anomalia ϑ a ρ = 1, ϑ >. Si fissi θ >. - Per quali a R il cammino ha lunghezza finita per ϑ θ? - Per quali a R il cammino interseca infinite volte il segmento [; 1] sull asse delle ascisse? - Per quali a R il cammino ha lunghezza finita per ϑ θ? b- Si calcoli la lunghezza del cammino definito tramite la relazione tra raggio e co-anomalia e ϑ ρ = 1, ϑ π 4. ESERCIZIO 8 a- Calcolare la lunghezza dell elica con parametrizzazione regolare semplice cos t, sin t, t, t [; π]. b- Se la densità di massa lungo il sostegno è data da fx, y, z = 4 z xy si calcoli la massa e il centro di massa. ESERCIZIO 9 Si consideri l intersezione dei sottoinsimei di R 3 definite da z = x + y, x + y + z = 1. Si mostri che è il sostegno di un cammino γ trovando una parametrizzazione regolare. Quindi si calcoli l integrale x + 1 y + 1 ds γ y ESERCIZIO 1 Si consideri in R il campo vettoriale V = x + y, x, ovvero considerando ˆrx, y il versore posizione, ˆθx, y quello ortogonale per cui detˆr, ˆθ = 1 e ρx, y x + y la distanza dall origine, V = ˆθ ρ. -Si calcoli V nei seguenti casi: E la circonferenza di centro l origine e raggio R orientata E,T in senso antiorario da T x, y = 1 y, x, E il quadrato max{ x, y } = 1 orientato a R tratti in senso antiorario dai versori dei suoi lati. - Si calcoli V per: γt = cos t, sin t, t [1π; 38π]. γ ESERCIZIO 11 Calcolare il lavoro del campo di forze x F = 1 + x + y + z, y 1 + x + y + z, z 1 + x + y + z su una particella che si muova con legge oraria γt = e t cos t, e t sin t, 1 e t, t.

3 ESERCIZIO 1 Si consideri la curva Γ data da x = sin t sin t y = sin t cos t t [, π]. z = t, i Si calcoli l integrale Γ 5 + 3x + y ds. ii Si calcoli il lavoro compiuto lungo Γ, orientata nel verso delle t crescenti, dal campo y Vx, y, z = x + y, x x + y,. ESERCIZIO 13 Si consideri la curva Γ data da x = sin t cos t y = sin t sin t t [, π]. z = cos t, - Si calcoli l integrale Γ 1 + 4x + y ds. - Si calcoli il lavoro compiuto lungo Γ, orientata nel verso delle t crescenti, dal campo Vx, y, z = y x + y, x x + y,. ESERCIZIO 14 Sia Γ il cammino piano descritto in coordinate polari, r, ϑ, dall equazione: r = 61 + cos ϑ, π ϑ π. - Si scriva l equazione della retta tangente a Γ nel punto 3 + 1, Si determini la lunghezza di Γ. Esercizio 15 Sia Γ la curva descritta, in coordinate polari, dall equazione orientata nel verso delle ϑ crescenti. i Si determini la lunghezza di Γ. r = ϑ, ϑ π, ii Si calcoli il lavoro compiuto lungo Γ dal campo vettoriale y Fx, y = x + y, x. x + y

4 ESERCIZIO 16 Si integri il campo V = x 3 + y 4, x 4 + y 3 sul cammino chiuso definito dall equazione x + 4y = 4 e percorso in senso antiorario. ESERCIZIO 17 Per x = x, y, z R 3 con x + y, si consideri il sistema ortonormale centrato in x: ˆrx versore posizione, ˆφx tangente al parallelo in senso antiorario, ˆθx tangente al meridiano verso nord. Rispettivamente, in coordinate sferiche r, ϕ, ϑ R + [; π π; π: ˆr = cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ, ˆφ = sin ϕ, cos ϕ,, ˆθ = sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ. Dato β ; π si assume che vi è un unico cammino definito su un opportuno intervallo aperto I = L ; L per cui: γ t = cos β ˆφγt + ˆθγt, t I γ = 1,,, lim t ± L γt =,, ±1 a- Si mostri che γt sta sulla sfera unitaria di R 3 tranne i poli z 1: t I γt = 1; - si interpreti cinematicamente l equazione lossodromia. b - Trovate le relazioni tra ϑ, ϕ, ϑ, ϕ, β, supponendo di usare la latitudine ϑ come parametro, calcolare la lunghezza del cammino, e quindi determinare l intervallo I. dw 1 + sin w - Parametrizzare rispetto alla latitudine. [Può servire: = log cos w 1 sin w + c] c - Integrare il campo piano solenoidale V x, y, z = y, x, x + y lungo γt, per t >. - Si integri V anche sui cammini cos t, sin t, t, cos 3t, sin 3t, t,... per t [; π]. - Quanti giri fa la lossodromia attorno all asse verticale per t >? ESERCIZIO 18 Dato n N, n 1, si consideri il cammino regolare, π-periodico, nello spazio γ n t = cos t cos nt, cos t sin nt, sin t, t R. a- Si integri il campo solenoidale V x, y, z = y, x, x + y lungo il cammino γ n su [ ; π ]. - Lo si integri sui cammini: cos t, sin t, t [;π], cos t, sin t, t [;π] cos t,, t [π;π] e 1 + cos t, sin t, t [ [;π]. - Quanti giri fa attorno all asse verticale γ n t per ; π ]? b - Provare che: per n N dispari vi è simmetria rispetto al piano orizzontale definito da z =, per n N pari simmetria centrale.[in entrmbi i casi è utile osservare che cambia il segno della terza componente] - Al variare di n N si esplicitino le velocità di passaggio al polo nord,, 1, - si determinino quindi i piani di simmetria verticali, della traiettoria del cammino, riferendosi al periodo π ; 3 π. c - Mostrare che i punti di intersezione nel periodo π ; 3 π sono sui piani di simmetria verticale. Per n = 1,, 3, 4, 5 quanti sono i punti di autointersezione su π ; 3 π? - Per n = 1,, 3, 4, 5 si disegnino approssimativamente le proiezioni ortogonali delle traiettorie dei cammini γ n su piano coordinato definito da z =.

5 SOLUZIONE ESERCIZIO 17. a- Poichè γ = 1 basta mostrare che γt ha derivata nulla. Si ha d γt = γt γ t = poichè γt = γt ˆrγt dt ˆθγt, ˆφγt. - La velocità del cammino fa un angolo, in senso antiorario, costante β ; π, con il parellelo della posizione, orientato da occidente ad oriente : λoξóς obliquo, δρóµoς cammino. b - La posizione γt espressa in termine di coordinate sferiche, 1, ϕt, ϑt, è quindi: γt = cos ϑt cos ϕt, cos ϑt sin ϕt, sin ϑt, derivando si ha γ t = ϕ t cos ϑt sin ϕt, cos ϕt, + ϑ t sin ϑt cos ϕt, sin ϑt sin ϕt, cos ϑt = = ϕ t cos ϑt ˆφγt + ϑ t ˆθγt ϕ cos θ = cos β usando γ t = cos β ˆφγt+ ˆθγt e le condizioni estreme: pertanto ϑt = t >, quindi per la condizione limite L = parametro di lunghezza d arco γt = 1, è la lunghezza cercata. t 1 - Per quanto sopra si ha ϕt = cos β coss ds = cot β = cot β log 1 + sin ϑ : in coordinate sferiche, si esplicita γϑ =: γ 1 sin ϑ ϑ = ϕ = ϑ = ϑt ± π, t ± L π, ed essendo t il ϑt 1 cos ϑ dϑ =. ϑ c - Usando le coordinate sferiche sul dominio V γ = 1 cos ϑ ˆφ γ. Poichè γ ϑ = 1 ϑ γ e γ = cos β ˆφγ + ˆθγ, si ha V γ γ = cot β cos ϑ. Passando all integrale π π dϑ V = cot β γ; π cos ϑ = cot β dϑ dz sinϑ π = cot β sin z = + - Integrando V sui cammini κ n tcos nt, sin nt, gt,... per t [; π], che hanno velocità π n sin nt, cos nt, g t : V = n dt = π n, n κ n - Quindi intuitivamente la lossodromia fa infiniti giri attorno all asse verticale, per t ; π, partendo da 1,, e tendendo a,, 1. NOTA: in generale se λt = x, y, z, è un cammino nello spazio cartesiano, che non passi per l asse verticale, considerando la sua proiezione ortogonale su tale cilindro ˆλ = x x + y, y x + y, z si ha V = V. λ ˆλ π