Corso di Matematica 3 o A.A. 2016/2017 Argomenti delle lezioni

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1 Corso di Matematica 3 o A.A. 2016/2017 Argomenti delle lezioni 1 lezione. Martedí 27 settembre. 2 ore. Richiami sulle applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita. Il teorema di rappresentazione. Applicazioni lineari da R in R. Richiami sulle funzioni reali di variabile reale. Derivata e retta tangente. Il differenziale. Richiami sulla topologia in R. Intervalli, intervalli aperti e chiusi. Intorno di un punto, punto interno ad un insieme. Insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati. R 2 é uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare. Proprietá del prodotto scalare e suo significato geometrico. Lunghezza, ortogonalitá. Distanza. Intorno di un punto. Punto interno ad un isieme, punto esterno, punto di frontiera. Insiemi aperti, insiemi chiusi e loro proprietá rispetto all unione e all intersezione finita e numerabile. Frontiera di un insieme, Punti di accumulazione. Punti isolati. Topologia in R 3 e in R n. Esercizi (si raccomanda di disegnare gli insiemi che compaiono nei seguenti esercizi). 1. Si dimostri che A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1} é aperto. Se ne trovi il complementare, la frontiera, l insieme dei punti di accumulazione e dei punti isolati. Si dimostri che é chiuso. Si dimostri che é chiuso. Sia C = {(x, y) : x 2 + y 2 1} F = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1} D = A {(2, 0)} se ne trovi la frontiera, l insieme dei punti di accumulazione e dei punti isolati. 1

2 2 Sia E = A {(x, u) : x 2 + y 2 = 2} se ne trovi la frontiera, l insieme dei punti di accumulazione e dei punti isolati. 2. Siano A n = {(x, y) : x 2 + y 2 < 2 1 n }, Si dimostri che n 1 A n é aperto. Siano A n = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1 n }, Si dimostri che n 1 é chiuso. Siano A n = {(x, y) : 0 < x 2 + y 2 < n }, Si dimostri che non é né aperto né chiuso. n 1 3. Si trovi una successione di chiusi (C n ) n 1, tale che n 1 A n A n é chiuso. Si trovi una successione di chiusi (C n ) n 1, tale che n 1 é aperto. Si trovi una successione di chiusi (C n ) n 1, tale che n 1 C n C n C n non é né aperto n é chiuso. 4. Sia D = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x 2 }, si dica se D é limitato, aperto, chiuso, né aperto né chiuso, se ne trovi la frontiera e l insieme dei punti di accumulazione. Sia E 1 = {(x, y) : 0 < x 1, 0 y 1 x }, si dica se E é limitato, aperto, chiuso, né aperto né chiuso, se ne trovi la frontiera e l insieme dei punti di accumulazione. Sia E 2 = {(x, y) : 1 < x 2, 0 y 1 x }, si dica se E é limitato, aperto, chiuso, né aperto né chiuso, se ne trovi la frontiera e l insieme dei punti di accumulazione.

3 3 2 lezione. Giovedí 29 settembre. 2 ore. Esercizio. Dati P = (x, y) e P 0 = (x 0, y 0 ) e ε > 0, si dimostri che se (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < ε allora e se allora max{ x x 0, y y 0 } < ε max{ x x 0, y y 0 } < ε (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < 2ε Successioni in R 2 : definizione di limite finito per una successione di punti in R 2. Teorema (con dimostrazione). Siano P n = (x n, y n ) e P 0 = (x 0, y 0 ). Allora lim n + P n = P 0 se e solo se lim x n = x 0 e lim y n = y 0 n + n + Richiami di geometria analitica. Equazioni parametriche di una retta nel piano passante per un punto P 0 (x 0, y 0 ) e avente la direzione del vettore v = (a, b). Equazioni parametriche di una retta nel piano passante per due punti. Equazioni cartesiane delle rette non parallele all asse y. Equazione di una retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore w, curve in forma implicita. Curve nel piano. Curve semplici, curve chiuse. Sostegno di una curva. Esempi ed esercizi. 1. Equazioni parametriche di una retta passante per un punto P 0 e avente la direzione di un vettore v. Equazioni parametriche della retta passante per il punto P 0 e avente la direzione del vettore v. Equazioni parametriche della retta passante per il punto P 0 e avente la direzione del vettore αv. 2. Equazioni parametriche di una circonferenza con centro P 0 = (x 0, y 0 ) e raggio r > Si disegnino i sostegni delle seguenti curve e, per ogni curva, si dica se é semplice e se é chiusa. x(t) = cos t r(t) = y(t) = sin t t [0, 2π] x(t) = cos t r(t) = y(t) = sint t [0, 4π]

4 4 x(t) = cos 2t r(t) = y(t) = sin 2t t [0, π] x(t) = t r(t) = y(t) = 1 t 2 t [ 1, 1] x(t) = 1 + cos t r(t) = y(t) = sin t t [0, 2π] 4. Si disegnino i sostegni delle seguenti curve e si dica se sono semplici, se sono chiuse. x(t) = t cos t r(t) = y(t) = t sin t t [0, 2π] x(t) = t cos t r(t) = y(t) = t sin t t 0 x(t) = e t cos t r(t) = y(t) = e t sin t t [0, π] x(t) = e t cos t r(t) = y(t) = e t sin t t 0 x(t) = e t cos t r(t) = y(t) = e t sin t t [0, π] x(t) = e t cos t y(t) = e t r(t) = sint t 0

5 5. Si disegni il sostegno della seguente curva e si dica se é semplice e se é chiusa. x(t) = cos 3 t r(t) = y(t) = sin 3 t t [0, 2π] 6. Si disegnino i sostegni delle seguenti curve e, per ogni curva, si dica se é semplice e se é chiusa. x(t) = e t t r(t) = y(t) = 2e t t t R x(t) = t sin t r(t) = y(t) = 2t sin t t R 3 lezione. Venerdí 30 settembre. 2 ore. Esempi di curve piane. Curve in forma cartesiana. Curve in forma polare. Esempi. ρ(θ) = θ, ρ(θ) = e θ, ρ(θ) = e θ con θ [0, 2π]. Esercizo. Equazioni parametriche della circonferenza di centro (1, 0) e raggio 1 x(θ) = 1 + cos(θ) r(θ) = y(θ) = sin(θ) θ [0, 2π] Forma polare della circonferenza di centro (1, 0) e raggio 1 ρ(θ) = 2 cos(θ) θ [0, 2π] da cui segue la forma parametrica x(t) = 2 cos 2 (θ) r(θ) = y(t) = 2 cos(θ) sin(θ) θ [0, 2π] Limiti e continuitá per le curve. Teoremi (con dimostrazione) che legano limiti e continuitá di una curva al limite e alla continuitá delle sue componenti. Curve derivabili in un punto. 5

6 6 Vettore derivato. Teorema (con dimostrazione) che lega la derivabilitá di una curva alla derivabitá delle sue componenti. Vettore tangente. Retta tangente il sostegno di una curva in un punto. Esempi x(t) = cos t r(t) = y(t) = sin t t [0, 2π] é derivabile in ogni punto ed é dotata di vettore tangente in ogni punto. In ogni punto il vettore tangente r (t) é ortogonale a r(t) (con dimostrazione). - x(t) = t r(t) = y(t) = 1 t 2 t [ 1, 1] é derivabile in ogni punto, tranne che in t 0 = ±1; ha retta tangente in ogni punto. - x(t) = cos 3 t r(t) = y(t) = sin 3 t t [0, 2π] é derivabile in ogni punto, ma ha retta tangente solo nei punti P (t) con t 0, π 2, π, π 2, 2π. Curve regolari. Curve regolari a tratti. Curve in forma cartesiana. Teorema (con dimostrazione ): se una curva in forma cartesiane é derivabile in un punto, allora in quel punto é anche dotata di vettore tangente. Curve in forma polare. Espressione del modulo del vettore derivato di una curva in forma polare, con dimostrazione. Curve rettificabili e lunghezza di una curva rettificabile. Curve di classe C 1. Teorema (con dimostrazione): Rettificabilitá degli archi di curva di classe C 1 e formula della loro lunghezza. Lunghezza di una curva regolare a tratti. Esempi ed esercizi. 4 lezione. Martedí 4 ottobre. 2 ore.

7 7 Esercizi. Si calcoli la lunghezza delle seguenti curve x(t) = cos t + t sin t r(t) = y(t) = sin t t cos t t [ π, π] ρ(θ) = sin 2 ( θ ) θ [0, 2π] 2 y = 1 x 2 x 1 x(t) = cos 3 t r(t) = y(t) = sin 3 t t [0, 2π] Operazioni con le derivate: - linearitá della derivata, - derivata del prodotto scalare, - derivata della composizione r(φ(τ)) di due funzioni derivabili: φ : [α, β] [a, b] r : [a, b] R 2 (r(φ(τ))) = φ (τ)r (φ(τ)) (r(φ(τ))) = φ (τ) r (φ(τ)) Esempi ed esercizi: Si scrivano le curve r 1 ((τ) = r(φ(τ)) si dica se sono derivabili e si scrivano r 1 ((τ) e r 1 ((τ), quando 1 φ : [0, π] [0, 2π] r : [0, 2π] R 2 x(t) = cos t φ(τ) = 2τ r(t) = y(t) = sin t t [0, 2π] e quando 2 φ : [ 1, 1i] [0, π] r : [0, π] R 2 x(t) = cos t φ(τ) = arccos(τ) r(t) = y(t) = sin t t [0, π] Rappresentazioni equivalenti. Richiami sull integrazione definita per sostituzione. 5 lezione. Giovedí 6 ottobre. 2 ore.

8 8 Teorema (con dimostrazione). La lunghezza di una curva non dipende dalla rappresentazione parametrica. Le rappresentazioni parametriche in funzione del parametro arco: definizione, come si trovano. Esercizi. 1) Si trovi la rappresentazione in funzione del parametro arco, equivalente alla curva x(t) = cos 2t r(t) = y(t) = sin 2t t [0, π] 2) Si trovi la rappresentazione in funzione del parametro arco, equivalente alla curva in forma cartesiana y(x) = 1 x 2 x [ 1, 1] 6 lezione. Venerdí 7 ottobre. 2 ore. Funzioni di due variabili reali a valori reali, dominio, immagine, grafico. Integrali di linea di prima specie. Definizione, proprietá: linearitá, addittivitá, indipendenza dalla rappresentazione parametrica. Esercizi. Si calcoli γ f ds dove x + y 3 e γ é il segmento di estremi (0, 0) e (1, 1). dove x 2 y e γ é la semicirconferena di centro (0, 0) e raggio 1, contenuta nel semipiano {(x, y) : y 0} dove y e γ é il grafico della funzione y = x, x [1, 2] Applicazioni fisiche: densitá, massa, centroide, e baricentro di una curva. Esercizi. - Calcolare il centroide della semicirconferena di centro (0, 0) e raggio 1, contenuta nel semipiano {(x, y) : y 0}. - Calcolare la massa totale della spirale di Archimede: ρ(θ) = θ θ [0, 4π], che ha densitá δ(θ) = θ 3. 7 lezione. Martedí 11 ottobre. 2 ore. Funzioni a valori reali di due variabili reali. Dominio, immagine, grafico, curve di livello k, con k Immagine di f. Funzioni radiali.. Esercizi. Per le seguenti funzioni: x + y

9 x + y log xy x 2 + y 2 x 2 + y 2 log(x 2 + y 2 ) 1 (x 2 + y 2 ) x 2 sin y se ne trovi il dominio e si dica se é chiuso, aperto, limitato, connesso. Per le seguenti funzioni: x + y x + y log xy x 2 + y 2 x 2 + y 2 1 (x 2 + y 2 ) x 2 sin y se ne trovi l immagine e se ne trovino (se esistono!) le curve di livello per k = 1, 0, 1, 4 Definizione di limite per funzioni a valori reali di due variabili reali. Operazioni con i limiti. Esercizi. Verificare lim x + y = 0 (x,y) (0,0) lasciando la forma cartesiana e poi passando in coordinate polari. Verificare lim x + y = 2 (x,y) (1,1) Verificare x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 = 0 Dimostrare che i seguenti limiti non esistono lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2 x 2 y x 4 + y 2 9

10 10 Definizione di continuitá in un punto e in un insieme. Teorema: - Se g(x) e g(x) é continua in x 0, allora f(x, y) é continua in ogni punto (x 0, y). - Se g(y) e g(y) é continua in y 0, allora f(x, y) é continua in ogni punto (x, y 0 ). 8 lezione. Giovedí 13 ottobre. 2 ore. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Studio del segno di una funzione. Esercizio. Studio del segno di z = y 2 x 2 Derivate parziali, gradiente e derivabilitá Definizione di f x (x, y), f y (x, y), di vettore gradiente f(x, y) e di derivabilitá in un punto e in un insieme. Esercizi. 1- Si calcolino f(1, 2) e f(0, 0) per x 2 y Si calcolino f(1, 2) e f(0, 0) per { xy (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) Osservazioni. Equazioni parametriche delle curve in R 3. Vettore derivato, curve regolari, vettore tangente, equazione della retta tangente il sostegno di una curva regolare in R 3. Equazioni parametriche delle curve intersezione di un piano parallelo all asse z con il grafico di una funzione z = f(x, y). La curva intersezione della superficie di equazione z = f(x, y) con il piano y = y 0 ha equazioni parametriche x = x r 1 (x) = y = y 0 z = f(x,, y 0 )

11 Se nel punto (x 0, y 0 ) esiste f x (x, y), la curva é derivabile nel punto x 0 e la retta tangente il grafico nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) ha equazioni parametriche x = x 0 + t T 1 (t) = y = y 0 z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )t e quindi direzione w 1 = (1, 0, f x (x 0, y 0 )). La curva intersezione della superficie di equazione z = f(x, y) con il piano x = x 0 ha equazioni parametriche x = x 0 r 2 (y) = y = y z = f(x 0, y) Se nel punto (x 0, y 0 ) esiste f y (x, y), la curva é derivabile nel punto (y 0 e la retta tangente il grafico nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) ha equazioni parametriche x = x 0 T 2 (t) = y = y 0 + t z = f(x 0, y 0 ) + f y (x 0, y 0 )t e quindi direzione w 2 = (0, 1, f y (x 0, y 0 )). Il piano per il punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) che contiene le rette T 1 (t) e T 2 (t) ha vettore normale e quindi equazione n = w 1 w 2 = ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1) z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) z = f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 )(x x 0, y y 0 ) Esercizi. Si scriva le equazion del piano 1. Se e (x 0, y 0 ) = (1, 2). 2. Se z = f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 )(x x 0, y y 0 ) x 2 y 3 x 2 y 3 11

12 12 e (x 0, y 0 ) = (0, 0). 3. Se e (x 0, y 0 ) = (1, 2). 4. Se { xy x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) { xy x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) e (x 0, y 0 ) = (0, 0). Derivate direzionali. Dato un versore v = (v 1.v 2 ), la curva intersezione della superficie di equazione z = f(x, y) con il piano x = x 0 + v 1 t y = y 0 + v 2 t z R ha equazioni parametriche x = x 0 + v 1 t r v (t) = y = y 0 + v 2 t z = F (t) = f(x 0 + v 1 t, y 0 + v 2 t) Se F (t) é derivabile in t = 0, la curva é derivabile nel punto t = 0 e la retta tangente il grafico nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) ha equazioni parametriche x = x 0 + v 1 t T v (t) = y = y 0 + v 2 t z = f(x 0, y 0 ) + F (t) t=0 t e quindi direzione w v = (v 1, v 2, D v f(x 0, y 0 )), dove D v f(x 0, y 0 ) = F (t) t=0 Esercizi. 1 Sia x 2 y 3 e v = ( 1 2, 3 2 ). Si calcolino D vf(1, 2) e D v f(0, 0) 2 - Sia { xy (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) e v = ( 1 2, 3 2 ). Si calcoli D vf(1, 2) e si dimostri che non esiste D v f(0, 0)

13 Piano tangente, differenziabilitá. Un piano per il punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) ha equazione z = f(x 0, y 0 ) + a(x x 0 ) + b(y y 0 ) Si dice che il piano é tangente al grafico della funzione z = f(x, y), se f(x, y) (f(x 0, y 0 ) + a(x x 0 ) + b(y y 0 )) lim = 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 o, equivalentemente f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) + ah + bk lim = 0 (h,k) (0,0) (h) 2 + (k) 2 Se una funzione ha piano tangente in un punto, si dice differenziabile in quel punto e l applicazione lineare L : R 2 R L(h, k) = ah + bk si dice differenziale. Il differenziale é perció caratterizzato da f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) = L(h, k) + o( (h) 2 + (k) 2 ). Ossevazioni. Se il piano é tangente, le curve intersezione dellla superficie grafico con i piani y = y 0 e x = x 0 devono essere derivabili e il piano deve contenere le rette T 1 (t) e T 2 (t) e quindi deve essere il piano di equazione z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Esercizi. Si dica se il piano z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) é tangente al grafico di f(x, y), nei seguenti casi: - x 2 y 3, e (x 0, y 0 ) = (1, 2), - x 2 y 3, e (x 0, y 0 ) = (0, 0), - { xy (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) e (x 0, y 0 ) = (0, 0), - e (x 0, y 0 ) = (0, 0), { x 2 y x 4 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 13

14 14 9 lezione. Venerdí 14 ottobre. 2 ore. Se f((x, y) é differenziabile, anche la curva intersezione del grafico con il piano x = x 0 + v 1 t y = y 0 + v 2 t z R deve essere derivabile e il piano deve contenere la retta T v (t). I vettori. w v devono quindi essere ortogonale al vettore normale al piano n. Deve quindi risultare (v 1, v 2, D v f(x 0, y 0 )) (f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1) = 0 Da qui segue Teorema. Regola del gradiente. Se z = f(x, y) é differenziabile in (x 0, y 0 ) allora Esercizi. 1 Siano D v f(x 0, y 0 ) = v 1 f x (x 0, y 0 ) + v 2 f y (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) v x 2 y 3 e v = ( 1 2, 3 2 ). Si ri calcolino D vf(1, 2) e D v f(0, 0) utilizzando la regola del gradiente. 2 - Sia { x 2 y (x, y) (0, 0) x 4 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) i) Si calcoli f(0, 0) ii) Si dimostri che f(x, y) non é differenziabile in (0, 0) iii) Si calcoli, usando la definizione, D v f(0, 0) dove v = ( 1 1 2, 2 ) iv) Si dimostri che D v f(0, 0) f(x 0, y 0 ) v Teorema (con dimostrazione), Se z = f(x, y) é differenziabile in (x 0, y 0 ) allora é anche continua in (x 0, y 0 ), Riassumendo tutto quanto si é detto: Teorema, Se z = f(x, y) é differenziabile in (x 0, y 0 ) allora - é continua in (x 0, y 0 ), - é derivabile in (x 0, y 0 ), - é derivabile lungo ogni drezione in (x 0, y 0 ) e vale la regola del gradiente, Invece se z = f(x, y) é solo derivabile in (x 0, y 0 ) non é detto chi in (x 0, y 0 ) sia continua, differenziabile, che dia derivabile lungo tutte le direzioni.. Esempio { xy (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0)

15 (x 0, y 0 ) = (0, 0). Se anche esistono le derivate lungo tutte le direzioni, non é detto che si possano calcolare usando la regola del gradiente. Esempio. { x 2 y (x, y) (0, 0) x 4 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) (x 0, y 0 ) = (0, 0) Comportamento di derivate e gradiente rispetto alle operazoni. La derivata della funzione composta. Gradiente di h(f(x, y)), derivata di f(r(t)). 10 lezione. Martedí 18 ottobre. 2 ore. Esercizi. Si calcoli la derivata della funzione f r(t) 1)nei punti in cui é definita, x(t) = 1 + t x 2 + y 2, r(t) = y(t) = 1 t t R 2) nei punti in cui é definita, e, in particolare, si dica se esiste e quanto vale in (0, 0) { x 2 y (x, y) (0, 0) x(t) = t x 4 +y 2, r(t) = y(t) = t 0 (x, y) = (0, 0) t R 3) nei punti in cui é definita, x(t) = 1 + t 2 log(x 2 y 2 ), r(t) = y(t) = t t R Teorema. Se f(x, y) é differenziabile e una sua curva di livello é una curva regolare, il gradiente di f é ortogonale alla curva in ogni punto della curva. Esercizio: Si trovino le curve di livello della funzione log(x 2 y 2 ), - si verifichi il teorema precedente, - si giustifichi il risultato dell esercizio 3). Esercizi. 1) Data la funzione - se ne trovi il dominio, - se ne studi il segno, arctan(x2 xy) x 2 (x 2 y 2 ) 15

16 16 - si calcolino lim f(x, y) lim (x,y) (0,0) 2) Data la funzione f(x, y) lim (x,y) (1,1) xy x 2 + 3y 2 f(x, y) (x,y) (1, 1) - si dica se é prolungabile per continuitá in (0, 0) - in caso affermativo, si dica se la prolungata é derivabile e differenziabile in (0, 0) 3) Data la funzione 2x3 + x 2 y 2 + 2xy 2 + 4y 5 x 2 + y 2 - si dica se é prolungabile per continuitá in (0, 0) - in caso affermativo, si dica se la prolungata é derivabile e differenziabile in (0, 0) 4) Data la funzione 2x + y x - si dica se é differenziabile in (0, 0) e, in caso affermativo, si scriva l equazione del piano tangente il suo grafico nel punto (0, 0, f(0, 0)) - si dica in quali punti esiste f(x, y) Massimi e minimi locali ed assoluti. Ricerca dei punti interni in cui cadono estremi locali. Teorema di Fermat. Punti critici. Esercizi. Trovare i punti critici delle funzioni x 2 2x + y 4 + y 2 x 3 3xy 2 + 2y 3 11 lezione. Giovedí 20 ottobre. 2 ore. Richiami sulle forme quadratiche. Espressione matriciale. Segno. Forme quadratiche definite, semidefinite, indefinite. Esempi di forme quadratiche in due variabili. Richiami sulle proprietá delle matrici simmetriche. Dimostrazione della loro diagonalizzabilitá. Teorema. Classificazione delle forme quadratiche attraverso il segno degli autovalori delle matrici simmetriche associate. Derivate seconde. Il teorema di Schwarz. Esercizi. 12 lezione. Venerdí 21 ottobre. 2 ore. La formula di Taylor di ordine 2 per le funzioni di classe C 2. La forma quadratica differenziale secondo in un punto. Matrice Hessiana.

17 17 Classificazione dei punti critici. Esercizi. Si trovino i punti critici delle seguenti funzioni e li si classifichino. xy3 3 x2 4xy x 2 + y 2 x 2 y 2 x 4 + y 4 x 4 y 4 x3 y x2 y y2 13 lezione. Martedí 25 ottobre. 2 ore. Classificazione delle forme quadratiche attraverso il segno del determinante delle matrici simmetriche associate. Esercizi. Si trovino i punti critici delle seguenti funzioni e li si classifichino. e (x2 +y 2 ) (x 2 + y 2 )(1 y) xy 3 3x 2 12xy Caratterizzazione degli insiemi aperti e degli insiemi chiusi. Esercizio. Si dimostri che il seguente insieme é chiuso e limitato D = {(x, y) : x 2 + y 2 9, y 2} Massimo e minimo assoluto. Teorema di Weierstrass. Ricerca dei punti di estremo assoluto. Studio nell interno e studio sul bordo. Esercizi. Si dica se esistono e, in caso affermativo, si trovino, il massimo ed il minimo assoluto della seguente funzione x 2 + 2x 2 y y 3 ristretta al triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1). 14 lezione. Giovedí 27 ottobre. 2 ore. Esercizi. 1) Si trovino massimo e minimo di f D1 dove (x 2 + y 2 )(1 y) D 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 9, } f D2 dove (x 2 + y 2 )(1 y) D 2 = {(x, y) : x 2 + y 2 9, y 2} 2) ) Si trovino massimo e minimo di e {x2 +y 2 } ristretta al disco chiuso di centro (1, 0) e raggio 1.

18 18 Ricerca dei punti di estremo vincolato. Massimo e minimo di f(x, y), di classe C 1, ristretta a una curva di livello g(x, y) = k di una funzione g(x, y) di classe C 1. 1) Se la curva di livello é il sostegno di una curva regolare r(t) definita in un intervallo I = [a, b], allora, per ogni t I Quindi in ogni punto della curva g(r(t)) r (t) = 0 g(r(t)) é ortogonale a r (t) Infatti G(t) = g(r(t)) k e la sua derivata, che, per la regolaritá delle funzioni, si puó calcolare con il metodo della derivata della funzione composta, é identicamente nulla. 2) Se r(t) é un punto di estremo per f(x, y) ristretta alla curva, e se t ]a, b[, e quindi un quel punto f(r(t))) r(t)) = 0 f(r(t)) é ortogonale a r (t) Infatti, nei punti di estremo interni, la derivata funzione F (t) = f r(t) é nulla, e, per la regolaritá delle funzioni coinvolte, la derivata si puó calcolare con il metodo della derivata della funzione composta. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange, con dimostrazione! Funzione Lagrangiana. Esercizi. Si dica se esistono e, in caso affermativo, si calcolino, utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, il massimo e il minimo della funzione (x 2 + y 2 )(1 y) ristretta a D = {(x, y) : x 2 + y 2 9} e della stessa funzione, ristretta a D = {(x, y) : x [ 5, 5] y = 2} 15 lezione. Venerdí 28 ottobre. 2 ore. Teorema di Dini. Esercizio. Si verifiche che l equazione e xy + x y 1 = 0 definisce implicitamente in un intorno di (0, 0) una funzione y = φ(x). Si scriva l equazione della retta tangente al grafico di y = φ(x) in x 0 = 0. Esercizio. i) Si dimostri che l equazione x 2 xy + y 2 1 = 0 ha soluzioni. Ponendo per esempio x = 0 si ottengono le due soluzioni (0, ±1). ii) Si dimostri che l insieme D = {(x, y) : x 2 xy + y 2 1 = 0} é chiuso. La funzione g(x, y) = x 2 xy + y 2 1 é continua. La teoria dice che l insieme delle

19 soluzioni dell equazione é chiuso. iii) Si dimostri che l insieme D é anche limitato. - Si puó procedere nel seguente modo: (infatti é equivalente a 2 xy x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2xy x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 0 x 2 + y 2 Da qui segue 1 2 (x2 + y 2 ) 1 xy + x 2 + y 2 1 L insieme delle soluzioni dell equazione x 2 xy + y 2 1 = 0 é quindi contenuto nell insieme delle soluzioni della disequazione 1 2 (x2 + y 2 ) 1 0 che é il disco di centro (0, 0) e raggio 2, che é un insieme limitato. - Si puó anche osservare, ricavando y, che dall equazione segue y = x ± 4 3x 2 2 da cui segue x 2 3 e y limitata, perché le due funzioni y = x± 4 3x 2 continue nell intervallo chiuso e limitato [ 2 3, 2 3 ] sono iv) Posto g(x, y) = x 2 xy + y 2, si dimostri che se g(x, y) = (0, 0), allora (x, y) non é soluzione dell equazione x 2 xy + y 2 = 0 g(x, y) = (2x y, 2y x) = (0, 0) se e solo se (x, y) = (0, 0). Questo punto non é soluzione dell equazione. v) Si dimostri che l equazione x 2 xy + y 2 = 0 definisce implicitamente in ogni inorno di una sua soluzione (x 0, y 0 ) una funzione y = φ(x) oppure una funzione x = ψ(y) In ogni punto soluzione dell equazione una delle due derivate parziali di g é diversa da 0 e perció si puó applicare il teorema di Dini. vi) Si dica se la funzione xy ristretta all insieme D = {(x, y) : x 2 xy + y 2 = 0} ammette massimo e minimo, Si utilizzino i risultati dei punti precedenti. vii) in caso affermativo, si dica se si puó utilizzare esclusivamente il metodo dei

20 20 moltiplicatori di Lagrange per la loro ricerca. viii) Si calcolino massimo e minimi.