Analisi Matematica II Politecnico di Milano Ingegneria Industriale

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1 Analisi Matematica II Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Autovalutazione #5. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) x + x + y + x + y (x, y) R. (a) Determinare il segno di f. (b) Calcolare il gradiente e la matrice Hessiana di f. (c) Determinare la direzione di massimo accrescimento di f in corrispondenza del punto x (, ). (d) Utilizzando la definizione, calcolare la generica derivata direzionale di f nel punto x (, ). (e) Scrivere lo sviluppo di Taylor del secondo ordine di f nel punto x (, ). (f) Determinare i punti di massimo e minimo assoluti di f. (g) Determinare i punti di massimo e minimo assoluti di f sul disco D che ha centro in C (, ) e che ha raggio.. Calcolare l integrale I Ω dx dy dz (x + y + z ) 3/ dove Ω {(x, y, z) R 3 : a x + y + z b }, dove a, b R, < a < b. 3. Sia dato il campo vettoriale F (x ln(x + y ), y ln(x + y )). (a) Determinare il campo di esistenza Ω di F. (b) Mostrare che F è irrotazionale su Ω. (c) Mostrare che F è conservativo su Ω. (d) Calcolare un potenziale di F su Ω. (e) Calcolare il lavoro compiuto dal campo F per andare dal punto P (, ) al punto Q ( 3, ). 4. Sia Σ la superficie di equazioni parametriche x t cos θ y t sin θ z t θ [, π] t [, ]. (a) Riconoscere la superficie Σ e disegnarla. (b) Calcolare la massa totale e il baricentro di Σ rispetto alla densità superficiale di massa δ(x, y, z) x + y + z. 5. Sia Σ la porzione della sfera di centro O (,, ) e raggio contenuta nel semispazio y, orientata verso l esterno (della sfera). (a) Descrivere l orientazione del bordo γ Σ. In particolare, dire se, viaggiando lungo la curva a partire dal punto A (,, ), si incontra prima il punto B (,, ) o il punto C (,, ). (b) Calcolare il lavoro del campo vettoriale F (x + y, x + z, x y) lungo γ, orientata coerentemente con Σ.

2 Soluzioni. Sia f : R R la funzione definita da per ogni (x, y) R. f(x, y) x + x + y + x + y (a) Si ha f(x, y) sse x + x + y, ossia sse (x + /) + y /4. Pertanto, f si annulla lungo la circonferenza γ di centro ( /, ) e raggio /, ha segno negativo nei punti interni a γ e ha segno positivo nei punti esterni a γ. (b) Le derivate parziali prime di f sono Quindi il gradiente di f è ( f f x, f ) y Le derivate parziali seconde di f sono Quindi la matrice Hessiana di f è H ( + x + y ) 3 f x + x x + y ( + x + y ) f y ( x)y ( + x + y ). ( + x x + y ) ( + x + y ), ( x)y ( + x + y ). f x 3x 3x + y + x 3 3xy ( + x + y ) 3 f x y ( + 4x 3x + y )y ( + x + y ) 3 f y ( x)( + x 3y ) ( + x + y ) 3. [ 3x 3x + y + x 3 3xy ( + 4x 3x + y )y ( + 4x 3x + y )y ( x)( + x 3y ) (c) La direzione di massimo accrescimento di f in corrispondenza del punto x (, ) è ( ) f(, ) 3,. (d) Sia v (a, b) un generico versore (con a + b ). Allora, la derivata direzionale di f nel punto x (, ) nella direzione data da v è f(x + tv) f(x ) D v f(, ) lim t t f( + at, + bt) f(, ) lim t t [ + at + ( + at) + ( + bt) ] lim t t + ( + at) + ( + bt) a lim t + ( + at) + ( + bt) a 3. ].

3 Osservazione. Se non fosse stato chiesto di utilizzare la definizione, si sarebbe potuto utilizzare la formula del gradiente (poiché f è differenziabile, essendo composta da funzioni differenziabili). In questo caso, più semplicemente, si avrebbe avuto D v f(, ) f(, ), v a 3. (e) Lo sviluppo di Taylor del secondo ordine di f nel punto x (, ) è f(x) f(x ) + f(x ), x x + (x x ) T H(x )(x x ) + o( x x ) per x x. Poiché f(, ), f(, ) (/3, ) e H(, ) [ ] [ ], si ha f(x, y) + 3 (x ) 9 (x ) 9 (x )(y ) + o(x + y ) per (x, y) (, ). (f) Iniziamo a determinare i punti critici liberi di f. Essi si ricavano risolvendo il seguente sistema ottenuto mettendo a zero il gradiente di f : { + x x + y ( x)y. Dalla seconda equazione si ha x oppure y. Se x, la prima equazione diventa + y, che non ha soluzioni reali. Se y, la prima equazione diventa x x, da cui si ricava x, ±. Si hanno così solo due punti critici, dati da P, ( ±, ). Posto α ±, si ha H( ± [ ] 3α 3α, ) H(α, ) + α 3 ( + α ) 3 ( α)( + α. ) Per valutare questa matrice, ricordiamo che ± sono le radici dell equazione x x. Questo significa che α + α. Pertanto, si ha Pertanto, si ha 3α 3α + α 3 3α 3( + α) + α( + α) 8α + α 8α + (α + ) 4α + α ( + α) ( α)( + α ) ( α ) 4α. H( ±, ) H(α, ) [ 4α ] 8( + α) 3 4α α ( + α) 3 [ ]. Se α +, allora la matrice Hessiana possiede due autovalori negativi e quindi P è un punto di massimo per f. Se α, allora la matrice Hessiana possiede due autovalori positivi e quindi P è un punto di minimo per f. Si tratta ora di dimostrare che i due punti trovati sono punti di minimo e massimo assoluti. Infatti, si ha f(α, ) α + α α( + α) + α ( + α) α. 3

4 Inoltre, per ogni (x, y) R, si ha f(x, y) + x + x + y + x + y + x + (x + y ) + + ( + )(x + y ) ( )(x + y ) + x ( + ) x + y + x + x + y ( + )x + ( + ) (x ) + y e quest ultima condizione è sempre verificata. Analogamente, per ogni (x, y) R, si ha f(x, y) + x + x + y + x + y x + (x + y ) + ( )(x + y ) ( + )(x + y ) + x ( ) x + y + x + + x + y ( )x + ( ) (x + ) + y e quest ultima condizione è sempre verificata. Abbiamo così dimostrato che f(x, y) + per ogni (x, y) R. Quindi P e P sono punti di estremo assoluti per f. (g) Poiché la funzione f è continua sul disco D e D è un insieme compatto (ossia è un insieme chiuso e limitato), per il teorema di Weierstrass la funzione f assume un valore massimo e un valore minimo assoluti su D. Poiché i due punti P e P sono esterni a D, questi due valori saranno assunti sul bordo γ di D, dove γ è la circonferenza di centro C (, ) e raggio. Pertanto γ ha equazione (x ) + y, ossia x + y x. A questo punto possiamo procedere in vari modi. Primo modo. Sui punti della circonferenza γ si ha x + y x. Quindi, quando restringiamo la funzione f su γ, si ottiene la funzione g : [, ] R definita da Poiché g(x) x + x + x 3x + x. g (x) 3 ( + x) > per ogni x R, la funzione g è sempre crescente e quindi assumerà il suo valore minimo in x ed il suo valore massimo in x. Pertanto, f assume il suo valore minimo assoluto su D nel punto A (, ) e tale valore minimo è g(). Analogamente, f assume il suo valore massimo assoluto su D nel punto A (, ) e tale valore minimo è g() 6/5. 4

5 Secondo modo. Possiamo parametrizzare γ ponendo x + cos θ e y sin θ, con θ π. In questo modo, restringendo f alla curva γ si ottiene la funzione F : [, π] R definita da Poiché F (θ) + cos θ + ( + cos θ) + sin θ + ( + cos θ) + sin θ F (θ) 3 sin θ (3 + cos θ), 3 + cos θ 3 + cos θ. si ha F (θ) sse sin θ. Quindi F ha un massimo in θ e un minimo in θ π. Per θ si ha il punto A (, ), mentre per θ π si ha il punto A (, ). Terzo modo. Possiamo utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Consideriamo la Lagrangiana L(x, y, λ) x + x + y + x + y λ(x + y x). I punti critici liberi di L si ottengono risolvendo il seguente sistema L x + x x + y ( + x + y ) λ(x ) + x x + y ( + x + y ) λ( x) L y ( x)y ( + x + y ) λy ossia ( x)y ( + x L λ + y ) λy (x + y x) x + y x Dalle prime due equazioni si ricava da cui si ha ossia Eliminata λ, si ha pertanto il sistema { (3 x + x + y )y x + y x ( + x x + y )y ( + x + y ) ( x) y ( + x + y ) ( + x x + y )y + ( x) y (3 x + x + y )y. ossia { 3y x + y x da cui si hanno le due soluzioni x y e x e y. Si ritrovano così i due punti A e A. Poiché f(, ) e f(, ) 6/5, in A si ha il minimo assoluto e in A si ha il massimo assoluto. Quarto modo. Possiamo usare il metodo grafico delle curve di livello. Infatti, i punti di estremo vincolato di f vanno cercati tra i punti in cui le curve di livello di f sono tangenti al vincolo γ. Le curve di livello di f sono le curve γ k di equazione f(x, y) k, ossia ossia x + x + y k( + x + y ) (k )(x + y ) x + k. Si tratta quindi di circonferenze che hanno il centro sull asse x. Pertanto γ k è tangente a γ se e solo se passa per i punti di γ sull asse x, ossia per (, ) o per (, ). Si ha che γ k passa per (, ) quando k, mentre passa per (, ) quando k 6/5. Si ritrovano così i due punti trovati precedentemente. 5

6 . L insieme Ω è la corona sferica con centro nell origine e raggi a e b. In coordinate sferiche, Ω è definito dalle condizioni a ρ b, ϕ π e θ π. Pertanto, si ha I b a ρ sin ϕ b dρ ρ 3 dρ dϕ dθ a ρ sin ϕ dϕ 3. Sia dato il campo vettoriale F (x ln(x + y ), y ln(x + y )). dθ 4π ln b a. (a) Il campo F è definito per x +y >, ossia per (x, y) (, ). Pertanto Ω R \{(, )}. (b) Poiché F x xy (x + y ) e il campo F è irrotazionale su Ω. F y xy (x + y ), (c) Poiché l insieme Ω non è semplicemente connesso, l irrotazionalità di F non implica la conservatività di F. Tuttavia, se mostriamo che il lavoro di F è nullo lungo ogni curva chiusa, possiamo concludere che F è conservativo. Consideriamo una curva chiusa γ. Se γ non contiene l origine (dove il campo F non è definito), allora può essere racchiusa in una regione semplicemente connessa. Su questa regione il campo F è conservativo (essendo irrotazionale) e quindi il suo lavoro lungo γ è nullo. Se γ contiene l origine, possiamo utilizzare l invarianza del lavoro di un campo irrotazionale lungo curve omotope e calcolare il lavoro di F lungo una particolare curva chiusa omotopa alla curva di partenza. Pertanto, possiamo scegliere γ come una qualunque circonferenza che ha centro nell origine e raggio r >. Quindi, se γ ha equazioni parametriche x r cos θ e y r sin θ, allora il lavoro di F lungo γ è L F, ds γ r ln r. (F (r cos θ, r sin θ)( r sin θ) + F (r cos θ, r sin θ)r cos θ) dθ (r cos θ ln r ( r sin θ) + r sin θ ln r (r cos θ)) dθ Pertanto, il campo F è conservativo su Ω. ( cos θ sin θ + sin θ cos θ) dθ (d) Scelto il punto X (, ), un potenziale di F su Ω è dato da U(x, y) x Consideriamo l integrale F (t, ) dt + y F (x, t) dt x I t ln(x + t ) dt. t ln t dt + y t ln(x + t ) dt, 6

7 Integrando per parti, si ha I t t ln(x + t t ) x + t dt t (x ln(x + t + t )t x t ) x + t dt ) t ln(x + t ) (t x t x + t dt ( ) t t ln(x + t ) x ln(x + t ) Pertanto, si ha U(x, y) [ t (x + t ) ln(x + t ) t. ln t t (e) Poiché F è conservativo, si ha ] x [ ] y + (x + t ) ln(x + t ) t x ln x x + + (x + y ) ln(x + y ) y x ln x (x + y )(ln(x + y ) ) +. L(P Q) U(Q) U(P ) U( 3, ) U(, ) 8 ln. 4. (a) La coordinate dei punti della superficie Σ soddisfano l equazione cartesiana x + y z. Questa equazione rappresenta il cono circolare retto che ha vertice nell origine e che ha come asse l asse z. Quindi Σ è la porzione di questo cono contenuta nel semispazio y e compresa tra i due piani di equazione z e z, come si vede nella seguente figura (b) La massa totale di Σ è M Σ δ dσ Ω δ(θ, t) N(θ, t) dθ dt dove Ω [, π] [, ]. Sulla superficie Σ, la densità superficiale di massa (essendo t positivo) diventa δ(θ, t) δ(t cos θ, t sin θ, t) t + t t + t t. 7

8 Inoltre, il vettore normale alla superficie Σ è i j k N t sin θ t cos θ (t cos θ, t sin θ, t) cos θ sin θ e N t t. Pertanto, si ha M t t dθ dt dθ t dt 4 3 Per la simmetria di Σ, si ha x G. Inoltre, si ha y G yδ dσ y(θ, t)δ(θ, t) N(θ, t) dθ dt M Σ M Ω 3 π 4 t sin θ t t dθ dt 3 sin θ dθ π 7 π 3 [ cos θ ] [ ] π t π 4 4π e z G M 3 4 π Σ zδ dσ M Ω z(θ, t)δ(θ, t) N(θ, t) dθ dt t t t dθ dt 3 7 π dθ t 3 dt 3 7 π. [ t 4 4 t 3 dt ] (a) La curva γ è la circonferenza di centro O e raggio che giace sul piano xz. Poiché la superficie Σ è orientata scegliendo i versori che puntano verso l esterno, il bordo γ Σ è orientato in modo da andare da B ad A a C, come si vede nella seguente figura (b) Primo modo. Possiamo calcolare il lavoro di F lungo γ in modo diretto. Per quanto 8

9 detto nel punto precedente, la curva γ ammette la seguente parametrizzazione x cos θ y θ [, π]. z sin θ Tuttavia, l orientazione di γ indotta da questa parametrizzazione è opposta all orientazione di γ coerente con l orientazione di Σ. Pertanto, si ha L F, ds F dx + F dy + F 3 dz 4 γ γ ( cos θ( sin θ) + cos θ cos θ) dθ (sin θ cos θ cos θ) dθ 4 [ 4 cos θ θ ] π sin θ cos θ 4π. Secondo modo. Possiamo calcolare il lavoro di F lungo γ mediante il teorema di Stokes. In questo caso, rappresentando la superficie Σ mediante le usuali equazioni parametriche, con ϕ π e θ π, si ha L rot F, n ds rot F, N dϕ dθ Σ dove Ω [, π] [, π]. Poiché i j k rot F x y z (,, ) x + y x + z x y e N sin ϕ(x, y, z) Σ, si ha rot F, N sin ϕ( x y + z) Σ. Quindi, si ha L π. Ω sin ϕ( 4 sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ + cos ϕ) dϕ dθ [ ] ( sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ + sin ϕ cos ϕ) dθ dϕ [ sin ϕ sin θ + sin ϕ cos θ + θ sin ϕ cos ϕ ] π dϕ ( sin ϕ + π ) sin ϕ dϕ [ ϕ + sin ϕ cos ϕ π ] π cos ϕ Terzo modo. Possiamo calcolare il lavoro di F lungo γ mediante il teorema di Stokes, ma relativamente alla superficie Σ data dal disco che ha γ come bordo. Poiché Σ giace sul piano xz, questa volta si ha N (,, ). Con questa scelta, la curva γ Σ è orientata come richiesto. Poiché Σ può essere parametrizzata mediante le equazioni x ρ cos θ, y, z ρ sin θ, con ρ e θ π, si ha L rot F, n ds rot F, N dϕ dθ dρ dθ 4π. Σ Ω 9