Integrale curvilinei (o di densità) 19 Novembre 2018

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1 Integrale curvilinei (o di densità) 19 Novembre 2018 Indice: urve parametrizzate nello spazio. Lunghezza di una curva. Integrali curvilinei. Applicazioni geometriche e fisiche. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 1/24

2 urva parametrizzata nel piano o nello spazio Definizione (urva parametrizzata, o cammino parametrizzato) Una curva parametrizzata nello spazio R 3 è una funzione [a, b] R 3 t (t) = (x(t), y(t), z(t)) t [a, b] Il sostegno di una curva è l immagine Im della funzione, cioè l insieme di tutti i punti (t), al variare di t in [a, b]: Sostegno di = Im = {(t) R 3, t [a, b]} Analogamente, una funzione [a, b] R 2 parametrizzata nel piano R 2. è una curva Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 2/24

3 urve di classe 1. Vettore tangente. Definizione Una curva [a, b] R 3, (t) = (x(t), y(t), z(t)), si dice di classe 1 se le sue componenti x(t), y(t), z(t) sono di classe 1, cioè, sono derivabili con derivata continua sull intervallo [a, b]. Se è una curva parametrizzata di classe 1, il vettore (t) = (x (t), y (t), z (t)) si chiama vettore tangente o vettore velocità istantanea della curva in t. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 3/24

4 Esempio. Elica cilindrica. z z x a 0 y x R 0 y Figura : Elica cilindrica: [0, 2π] R 3 (t) = (a cos t, a sin t, bt) (a > 0; b > 0) Figura : Elica cilindrica: [0, 4π] R 3 (t) = (a cos t, a sin t, bt) (a > 0; b > 0). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 4/24

5 Esempio. Elica cilindrica (b < 0). z x a 0 y Figura : Elica cilindrica [0, 4π] R 3, (t) = (a cos t, a sin t, bt), b < 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 5/24

6 La cicloide y (πr, 2r) y r θ x = r(θ sin θ) y = r(1 cos θ) x r θ Figura : Un arco della cicloide 2πr x [0, 2π] R 2, (ϑ) = (r(ϑ sin ϑ), r(1 cos ϑ)) La cicloide è la curva descritta da un punto di una circonferenza di raggio r quando la circonferenza rotola, senza strisciare, sull asse delle x. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 6/24

7 Lunghezza di una poligonale inscritta in una curva (t k 1 ) (t k ) (a) (b) Presa una suddivisione = (t 0,..., t k,..., t m ) di [a, b] (con t 0 = a <... < t k <... < t m = b), il numero m l = (t k ) (t k 1 ) k=1 rappresenta la lunghezza di una poligonale inscritta nel cammino [a, b] R 3. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 7/24

8 Lunghezza di un cammino continuo Definizione (Lunghezza di un cammino continuo; cammini rettificabili.) Si dice lunghezza di un cammino continuo [a, b] R 3 l estremo superiore (da intendersi eventualmente uguale a + ) delle lunghezze di tutte le poligonali inscritte: L() = sup al variare di nell insieme di tutte le partizioni dell intervallo [a, b]. Il cammino si dice rettificabile se L() < +. l Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 8/24

9 Lunghezza di una curva parametrizzata di classe 1 Teorema Ogni curva [a, b] R 3 di classe 1 su un intervallo compatto [a, b] è rettificabile e la sua lunghezza è data da: L() = b a (t) dt ( b ) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt a (Non dimostriamo questo teorema. Per la dimostrazione, si veda: Giovanni Prodi, Analisi Matematica, Bollati Boringhieri.) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 9/24

10 Esempio: Lunghezza della circonferenza Esercizio alcolare la lunghezza della circonferenza di raggio R. Una parametrizzazione della circonferenza di raggio R è (t) = (x(t), y(t)) = (R cos t, R sin t), t [0, 2π] Il vettore tangente è (t) = ( R sin t, R cos t), il cui modulo è (t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t = R Quindi la lunghezza della circonferenza è data da: 2π 0 (t) dt = 2π 0 R dt = 2πR Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 10/24

11 Esempio: Lunghezza dell elica cilindrica Esercizio alcolare la lunghezza dell elica cilindrica (t) = (a cos t, a sin t, bt), t [0, 2π] (1) Il vettore tangente è (t) = ( a sin t, a cos t, b) e il suo modulo è (t) = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 = a 2 + b 2 Allora la lunghezza dell elica è 2π 0 (t) dt = 2π 0 a 2 + b 2 dt = 2π a 2 + b 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 11/24

12 Lunghezza di un elica: interpretazione geometrica z x a 0 y 2π a 2 + b 2 2πb 2πa Figura : Sviluppando su un piano il cilindro sul quale l elica è avvolta, l arco di elica si sviluppa lungo una diagonale di un rettangolo i cui lati sono 2πa e 2πb. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 12/24

13 Lunghezza di un grafico Esercizio alcolare la lunghezza del grafico della funzione (di classe 1 ) y = f (x), x [a, b]. Il grafico di f è il sostegno della curva parametrizzata x(t) = t, y(t) = f (t), t [a, b]. La lunghezza del grafico è allora data da: b 1 + f (t) 2 dt (2) Esempio a alcolare la lunghezza del grafico di f (x) = x 2 ln(x), x [1, 4]. 8 Soluzione. 4 ( x ) 2 4 (x dx = x ) 2 15 dx = x 8 + ln Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 13/24

14 Esempio: Lunghezza della cicloide Esercizio alcolare la lunghezza della cicloide: (t) = (r(t sin t), r(1 cos t)), t [0, 2π] (3) (t) = r 2 (1 cos t) 2 + r 2 sin 2 t = r 2 1 cos t 1 cos t Per la formula di bisezione: = sin t (t [0, 2π]) si ha: 2 2 Lunghezza = 2π 0 r 2 1 cos t dt = 2r 2π 0 sin t dt = 8r 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 14/24

15 Esempio guida di f ds: massa totale di un filo. Il sostegno della curva è il modello matematico di un filo; La funzione f rappresenta una densità lineare di massa. Questo significa che la massa m i di un piccolo archetto di lunghezza s i è data da m i = f (P i ) s i Allora l integrale f ds = lim 0 N f (P i ) s i (= i=1 ) N f (P i ) s i, s i piccoli i=1 si interpreta come la massa totale del filo la cui densità lineare di massa è f. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 15/24

16 1) Definizione rigorosa di Sono assegnati: Una curva parametrizzata di classe 1 [a, b] R 3 f ds. Integrale di densità. t (t) = (x(t), y(t), z(t)) Una funzione continua D f R, dove D contiene il sostegno della curva : Im D. Definizione L integrale di f lungo è: f (x, y, z) ds = = b a b a f ((t)) (t) dt f (x(t), y(t), z(t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 16/24

17 Esempio di calcolo di Esempio f ds Sia l arco di curva (elica cilindrica) di equazioni parametriche x = cos t (t) = y = sin t 0 t 2π z = t alcolare Soluzione Dunque z ds. Qui f (x, y, z) = z e ds = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt = 2 dt z ds = 2π t 2 dt = 2 2 π 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 0 1. Integrale di una funzione lungo una curva 17/24

18 Osservazione: la lunghezza è un caso particolare di f ds Osservazione La lunghezza di una curva [a, b] R 3 di classe 1 b ( b ) L() = (t) dt = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt a a è un esempio di integrale (di densità) curvilineo del tipo f ds, dove f = 1. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 18/24

19 2) Definizione diretta (intuitiva) di f ds Dividiamo il sostegno di in N archi consecutivi 1,..., N ; onsideriamo le somme (di Riemann) N f (P i ) s i (4) i=1 dove s i (> 0) è la lunghezza di i e P i è un qualunque punto scelto in i. Definizione (L integrale curvilineo come limite di somme) L integrale di f lungo la curva è il limite (se esiste) delle somme di Riemann (4) quando il massimo delle lunghezze s i tende a zero: N f (x, y, z) ds = f (P i ) s i (5) lim 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 19/24 i=1

20 Equivalenza delle due definizioni precedenti (enno) (a = t 0 < < t N = b è una partizione di [a, b]; ti [t i 1, t i ] è scelto a piacere; P i = (ti ); t i = t i t i 1 ; i = [t i 1, t i ] è l archetto di curva di estremi (t i 1 ) e (t i ).) Per definizione, l integrale (di Riemann) delle somme di Riemann b N f ((ti )) (ti ) t i i=1 perché s i = lunghezza di i (t i ) t i. a f ((t)) (t) dt è limite N f (P i ) s i Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 20/24 i=1

21 Osservazione importante Dalla interpretazione di f ds segue che: L integrale f ds non è orientato: Se si inverte l orientazione della curva (in breve, si percorre la curva da (b) a (a)), l integrale di f ds non cambia. L integrale f ds non dipende dalla parametrizzazione: Dato un cambio di parametro [a, b] R 3 ϕ γ = ϕ [α, β] si ha f ds = f ds. γ Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 21/24

22 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 22/24

23 Seconda applicazione fisica: carica totale su un filo. Il sostegno della curva è il modello matematico di un filo; Sul filo sono presenti cariche elettriche e λ è la densità lineare di carica sul filo. Allora la quantità di carica Q presente su un piccolo tratto di filo di lunghezza (positiva) s è Q = λ(p) s dove P è un qualunque punto sul tratto di filo. Allora l integrale λ ds si interpreta come la quantità totale di carica elettrica sul filo. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 22/24

24 Terza applicazione fisica: baricentri di linee Sia λ ds (λ = λ(x, y, z)) la densità lineare di massa di un filo [a, b] R 3. Definizione Il baricentro, o centro di massa, G della linea è il punto le cui coordinate sono date da x λ ds y λ ds z λ ds x G = λ ds, y G = λ ds, z G = (6) λ ds Se la densità di massa λ è costante, il baricentro si chiama anche centroide. In questo caso, posto L = ds la lunghezza di, si ha: x G = 1 L x ds y G = 1 L Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 23/24 y ds z G = 1 z ds (7) L

25 Esercizio Esercizio Trovare le coordinate del baricentro della semicirconferenza γ di equazioni parametriche: x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t [0, π] (8) Per motivi di simmetria, il baricentro si deve trovare sull asse y. Le sue coordinate (x, y) sono date, per definizione, da: x = 1 x ds, y = 1 y ds L L γ dove L è la lunghezza della curva. Nel nostro caso L = πr e ds = R dt. Quindi: x = 1 π R cos t R dt = R π cos t dt = 0 πr 0 π 0 y = 1 π R sin t R dt = R π sin t dt = 2 πr π π R 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Integrale di una funzione lungo una curva 24/24 0 γ