Analisi e Geometria 1 Anno accademico 2018 / Federico Lastaria. Homepage:

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1 Analisi e Geometria 1 Anno accademico 2018 / 2019 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Homepage: Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali (DAER) Politecnico di Milano Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 1/1

2 Introduzione al Calcolo Infinitesimale Newton, Method of Fluxions (1671) I. Assegnata la lunghezza dello spazio percorso in ogni istante di tempo, determinare la velocità in ogni istante. II. Data la velocità in ogni istante, trovare in ogni istante la lunghezza dello spazio percorso. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 2/1

3 Cos è il Calcolo Infinitesimale? Studio matematico delle quantità che variano in modo continuo e delle relazioni tra di esse. Concetti, risultati e strumenti fondamentali Derivata: Rapidità di variazione di una quantità. Integrale: Somma totale di parti infinitesimali. Teorema Fondamentale del Calcolo: relazioni tra derivazione e integrazione. Equazioni differenziali. (Esempio: F = ma). Modelli matematici di una evoluzione deterministica. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 3/1

4 Derivata: Rapidità istantanea di variazione Definizione La derivata di f in x 0, denotata f (x 0 ), è il limite del rapporto incrementale: f f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim = lim x x0 x x 0 h 0 h (se questo limite esiste finito). f (x 0 + h) f (x 0 ) + f (x 0 )h (h piccolo) Precisamente, f (x 0 + h) [f (x 0 ) + f (x 0 )h] è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a h: f (x 0 + h) [f (x 0 ) + f (x 0 )h] h tende a 0 (1) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 4/1

5 Esempio: Derivata di f (x) = x 2 Esempio: (x + h) 2 = x 2 + (2x)h + h 2 x 2 + (2x)h (h piccolo) Quindi, D(x 2 ) = 2x [Esercizio: Dx n = nx n 1, n N] Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 5/1

6 La derivata e il Problema delle Tangenti Problema delle Tangenti Pendenza della secante: Pendenza della tangente? y x dx dy = lim y x 0 x Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 6/1

7 La derivata e il Problema della Velocità Istantanea Caduta libera di un corpo (Galileo) Posizione all istante t: s(t) = 1 2 gt2 Velocità v(t) all istante t: v(t) = s (t) = gt Piccolo tratto percorso da t a t + dt: v(t) dt = gt dt Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 7/1

8 f derivabile = f continua. (Attenzione: =) Definizione Una funzione f si dice continua nel punto x 0 se lim f (x) = f (x 0 ) x x 0 Teorema Se f è derivabile on x 0, allora f è continua in x 0. Dimostrazione f (x) f (x 0 ) = f (x) f (x 0) x x 0 (x x 0 ) Il secondo membro tende a f (x 0 ) 0 = 0. Quindi anche il primo membro tende a 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 8/1

9 Funzioni derivabili e non derivabili f (x 0 ) f +(x 0 ) Derivabile: esistono le rette tangenti Continua non derivabile Non continua (Salto) f (x) = x sin 1 x, f (0) = 0 Continua non derivabile Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 9/1

10 Archimede ( a.c.). Area del segmento parabolico. ADB + BEC = 1 4 ABC e così via. Iterando: Area = ABC ABC ABC n ABC + Area = ABC ( ) n + = ABC 4 3 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 10/1

11 La serie geometrica. (Esempio di somma infinita). Se 0 < q < 1, + n=0 q n = 1 + q + q q n + = 1 1 q Perché? Studiare la figura. [Esercizio] Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 11/1

12 Integrale: Somma totale di parti infinitesimali. Definizione (Integrale come limite di somme (Riemann, 1854)) b a f (x) dx = lim 0 f (xi ) x i dove = max x i è la massima lunghezza dei sotto-intervalli della i=1,...,m partizione a = x 1 < x 2 < < x i < < x n 1 < x n = b. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 12/1 i

13 Esempio fondamentale della relazione Derivata/Integrale Integrale della velocità = Spazio percorso Velocità in t: v(t) = s (t), (Supponiamo v continua) Spazio percorso nell intervallino di tempo t i : Spazio s(t) s(t 0 ) percorso da t 0 a t: s(t) s(t 0 ) = lim 0 v(ti ) t i = i t t 0 v(t i ) t i v(τ) dτ È una versione del Teorema Fondamentale del Calcolo (I): t t 0 s (τ) dτ = s(t) s(t 0 ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 13/1

14 Galileo, Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, 1638 Caduta di un corpo Area ABE = Spazio percorso Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 14/1

15 Teorema Fondamentale del Calcolo (II) Supponiamo f continua. Definiamo: Grafico di f f (x) F (x) = x a f (u) du = Area sotto il grafico di f da a fino a x a F (x + h) F (x) h x x + h Area del rettangolino grigio = Esiste x [x, x + h]: Base = h f (x ) = f (x ) f (x) (per h 0). Segue: h Teorema Fondamentale del Calcolo Infinitesimale Se f è continua, [ d x ] f (u) du = f (x) dx a Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 15/1

16 Teorema in: Newton, De Quadratura Curvarum Così, se le aree ABC, ABDG sono descritte dalle ordinate BC, BD che avanzano con moto uniforme sulla base AB, le flussioni delle loro aree saranno tra loro in rapporto come le ordinate che descrivono BC e BD, e possono essere rappresentate per mezzo di quelle ordinate, perché quelle ordinate stanno tra loro come gli incrementi nascenti delle aree.? (Isaac Newton, De Quadratura Curvarum, manoscritto del ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 16/1