Retta Tangente. y retta tangente. retta secante y = f(x) f(x )

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1 Retta Tangente f(x ) y P retta secante y = f(x) y retta tangente y = f(x) f(x ) 0 P 0 f(x ) 0 P 0 O x 0 x x quando P tende a P 0 O x 0 x Consideriamo una funzione continua f. Siano P 0 = (x 0, f(x 0 )) e P = (x, f(x )) due punti appartenenti al grafico della funzione. Al tendere di x a x 0, il punto P si avvicina al punto P 0 e la retta secante tende ad assumere una posizione limite, ce prende il nome di retta tangente al grafico nel punto P 0. Matematica con Elementi di Statistica a.a

2 Retta Tangente L equazione della retta secante per i due punti P 0, P è data da L espressione del coefficiente angolare y = f(x ) f(x 0 ) x x 0 (x x 0 ) + f(x 0 ). f(x ) f(x 0 ) = y x x 0 x si ciama rapporto incrementale della funzione f nel punto x 0. Se esiste finito, il limite del rapporto incrementale: f(x ) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 x x 0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente di equazione: y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Il valore f (x 0 ) è per definizione la derivata prima di f in x 0. Matematica con Elementi di Statistica a.a

3 Derivate Definizione Se esiste finito il limite del rapporto incrementale: lim f(x 0 + ) f(x 0 ) la funzione f si dice derivabile in x 0., Il valore del limite è per definizione la derivata di f nel punto x 0. La derivata si indica con le seguenti notazioni: f (x 0 ) df dx (x 0) Df(x 0 ) dy dx (x 0). Nel lucido precedente = x x 0 e x = x 0 +. Matematica con Elementi di Statistica a.a

4 Derivate - Esempi Esempio : f(x) = c funzione costante f (x) = lim f(x + ) f(x) = lim c c = 0 Esempio 2: f(x) = mx + q f (x) = lim f(x + ) f(x) = lim m(x + ) + q mx q = lim m = m Esempio 3: f(x) = x 2 f (x) = lim f(x + ) f(x) = lim (x + ) 2 x 2 = lim 2 + 2x = 2x Esempio 4: f(x) = e x f (x) = lim f(x + ) f(x) = lim e x+ e x = lim e x e = e x Matematica con Elementi di Statistica a.a

5 Derivate Operazioni Siano f, g due funzioni derivabili e α R. Prodotto per una costante: (αf) (x) = αf (x) Somma: (f + g) (x) = f (x) + g (x) Prodotto: (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Quoziente: ( f ) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g (g(x)) 2 Matematica con Elementi di Statistica a.a

6 Calcolo di Alcune Derivate f(x) = x 3 = x x 2, f (x) = x 2 + x 2x = 3x 2 Iterando il procedimento: f(x) = x n con n N, f (x) = n x n f(x) = 5x 3 3x 2 + 0x 7, f (x) = 5x 2 6x + 0 f(x) = x 2 + e x, f (x) = 2x + e x f(x) = x, f (x) = 0 x x 2 = x 2 Iterando il procedimento: f(x) = x n, f (x) = f(x) = x5 + 2 e x, f (x) = 5x4 e x (x 5 + 2) e x e 2x n x n+ Matematica con Elementi di Statistica a.a

7 Derivata della Funzione Composta Se g è una funzione derivabile in x e f è una funzione derivabile in g(x), allora (f g) (x) = d dx f(g(x)) = f (g(x)) g (x) Esempi:. (x) = x 4 + 5x 3 +, (x) = (x 4 + 5x 3 + ) 2 (4x3 + 5x 2 ) 2. (x) = (8x 3 6x 2 ) 0, (x) = 0(8x 3 6x 2 ) 9 (24x 2 2x) 3. (x) = e x3 +2x, (x) = (3x 2 + 2) e x3 +2x Matematica con Elementi di Statistica a.a

8 Derivata della Funzione Inversa Consideriamo una funzione f invertibile e derivabile con f (y) 0 (cioè, senza punti a tangente orizzontale). La funzione inversa f risulta derivabile e vale: (f ) (x) = f (f (x)) y y=f - (x) y=f(x) I grafici di f ed f sono simmetrici rispetto a y = x. Le rette tangenti anno coefficienti angolari, uno il reciproco dell altro. O x Matematica con Elementi di Statistica a.a

9 Derivata della Funzione Inversa Esempi Esempio. f (x) = x, f(y) = y 2 (f ) (x) = f (f (x)) = [ ] 2y y= x = 2 x Esempio 2. f (x) = ln x, f(y) = e y (f ) (x) = f (f (x)) = [ e y ] y=ln x = x Matematica con Elementi di Statistica a.a

10 Derivate Funzione f(x) Derivata f (x) Ambito di validità costante 0 x x n nx n n R (se n non è intero, vale per x > 0) e x e x a x a x ln a a > 0 ln x x x > 0 log a x x log a e a > 0, x > 0 sin x cos x cos x tan x sin x cos 2 x x π 2 + kπ, k Z Matematica con Elementi di Statistica a.a

11 Derivabilità e Continuità Derivabilità Continuità : se f è derivabile in x 0, allora f è continua in x 0. f(x) f(x Infatti, per l ipotesi di derivabilità lim 0 ) = f (x x x0 0 ). x x 0 Consideriamo l uguaglianza: f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0) x x 0 (x x 0 ). Passando al limite, si ricava la continuità in x 0 : ( lim f(x) f(x0 ) ) = f (x x x 0 ) 0 = 0 lim f(x) = f(x 0 x x0 0 ). Continuità Derivabilità:. y = x (punto angoloso) 2. y = 3 x 2 (punto cuspidale) Queste funzioni sono continue, ma non derivabili in x = 0. Matematica con Elementi di Statistica a.a

12 Esercizi. Date le funzioni f(x) = x 2 e g(x) = 2x, (a) dire quanto vale f g, qual è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata; (b) dire quanto vale g f, qual è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata. 2. Date le funzioni f(x) = 2x 5 e g(x) = ln(x + 2), (a) dire quanto vale f g, qual è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata; (b) dire quanto vale g f, qual è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata. Matematica con Elementi di Statistica a.a

13 Esercizi 3. Data la funzione f(x) = e x se x 0 x 2 + se x < 0 studiarne derivabilità e continuità. 4. Calcolare le derivate prime delle seguenti funzioni: f(x) = e cos x g(x) = x 3 sin x (x) = x 4 x 3 + 7x Matematica con Elementi di Statistica a.a

14 Esercizi 5. Calcolare il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico della funzione ln(x + ) f(x) = cos x nel punto x = 0. Calcolare il coefficiente angolare m 2 della retta tangente al grafico della funzione nel punto x =. g(x) = ex2 x Matematica con Elementi di Statistica a.a

15 Esercizi 6. Calcolare il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico della funzione nel punto x = 0. f(x) = e 2x + cos x Calcolare il coefficiente angolare m 2 della retta tangente al grafico della funzione nel punto x =. g(x) = x2 + log( + x) Matematica con Elementi di Statistica a.a