ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE

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1 ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE

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3 Determinare l incremento della funzione f (x) = x 2 relativo al punto x 0 e all incremento x x 0, nei seguenti casi:. x 0 =, x = 2 2. x 0 =, x =. 3. x 0 =, x = + ξ Per definizione di incremento: Quindi: f = f (x) f (x 0 ) = x 2 x 2 0. f = 3 2. f =. 2 = f = ( + ξ 2 ) = 2ξ + ξ 2

4 Determinare l incremento della funzione f (x) = 3 x relativo al punto x 0 e all incremento x, nei seguenti casi:. x 0 = 0, x = x 0 = 8, x = 9 3. x 0 = a, x = ξ Per definizione di incremento: Quindi: f = f (x 0 + x) f (x 0 ) = 3 x 0 + x 3 x 0. f = 0 2. f = 3 3. f = 3 a + ξ 3 a

5 Consideriamo le seguenti funzioni: f (x) = ax + b, con a,b R g (x) = ax 2, con a R Determinare gli incrementi f e g, mostrando che f dipende solo dall incremento della variabile indipendente x e non dal punto iniziale x 0 f = f (x 0 + x) f (x 0 ) = a (x 0 + x) + b ax 0 b = a x, Quindi f non dipende da x 0. Infatti essendo f una funzione lineare si ha che f è il coefficiente angolare della retta di equazione y = ax + b. x Nel caso di g (x) invece: g = g (x 0 + x) g (x 0 ) = a ( 2x 0 x + x 2)

6 Assegnata la funzione f (x) = (x 2 2) 2, determinare l incremento f e il rapporto incrementale f x, per x 0 =, x = 4 0. f = f (x 0 + x) f (x 0 ) = [ (x0 + x) 2 2 ] 2 (x 0 2) 2 { } f x = [ x (x0 + x) 2 2 ] 2 (x 0 2) 2 Sostituendo i valori numerici: f = 624 f x = 624 =

7 Determinare l incremento e il rapporto incrementale delle seguenti funzioni: f (x) = x, g (x) = lnx, ( x0 = 0, x = 0 4) ( x0 = 0 5, x = 9 0 4) f = f (x 0 + x) f (x 0 ) = x 0 + x x 0 f x = x0 + x x 0 x = x0 + x + x 0 Sostituendo i valori numerici: f = 0 2 f x = 02 In maniera simile per la funzione g (x): Sostituendo i valori numerici: g = g (x 0 + x) g (x 0 ) = ln (x 0 + x) ln (x 0 ) ( = ln + x ) x 0 g x = ( x ln + x ) x 0 g = ln 0 g ln 0 = x 9 0 4

8 Assegnata la funzione f (x) = 2 x si determini l incremento f e il rapporto incrementale f relativo all incremento (x + x) x della variabile x indipendente. L incremento della funzione è: Il rapporto incrementale: f = f (x + x) f (x) = 2 x+ x 2 x = 2 x ( 2 x ) f x = 2x ( 2 x ) x

9 Assegnata la parabola y = f (x), essendo f (x) = 2x x 2 si determini il coefficiente angolare della retta secante per i punti P 0 (x 0 =,f (x 0 )), P (x 0 + x,f (x 0 + x)). Determinare poi il limite per x 0 del coefficiente angolare Il coefficiente angolare è dato da Quindi: m = f (x 0 + x) f (x 0 ) x = 2 ( + x)2 ( + x) 2 x = x lim m = 0 () x 0 Da un punto di vista geometrico, per x 0, la retta secante ruota intorno a P 0 per tendere alla retta di coefficiente angolare (), la cui equazione è perciò data: y = f (x 0 ) =

10 Sia f : X R, con X = [a,b]. Il rapporto incrementale relativo al punto a e all incremento b a della variabile indipendente: f (b) f (a), () b a definisce la velocità media di variazione della funzione f nell intervallo [a,b]. Ad esempio, se x è il tempo e f (x) la distanza percorsa da un punto materiale, la () definisce la velocità media del punto materiale nell intervallo di tempo [a,b]. Determinare la velocità media se f (x) = x (cm) nell intervallo di tempo (espresso in secondi) [, 3]. Risulta: f (b) f (a) b a = f (4) f () 3 Qundi la velocità media del punto materiale è: = 3 2 s (2) f (b) f (a) b a cm s

11 Assegnata la funzione f (x) = lnx si determini l incremento f e il rapporto incrementale f relativo all incremento (x + x) x della variabile x indipendente. L incremento della funzione è: f = f (x + x) f (x) = ln (x + x) ln x ( = ln + x ) x Il rapporto incrementale: f x = ( x ln + x ) x

12 Mostrare che le funzioni assegnate hanno derivata infinita nei punti indicati: f (x) = 3 x 2, x 0 = 0 g (x) = 5 x, x 0 = Calcoliamo la derivata destra e sinistra in x 0 : Per la funzione g: f + (0) = lim x 0 + f (x) f (0) x f (0) = lim x 0 f (x) f (0) x = lim x 0 3 = + + x = lim x 0 3 = x g + (0) = lim x + g (x) g (0) x g (0) = lim x g (x) g (0) x = lim (x ) 4 = + x + 5 = lim (x ) 4 = + x 5 Quindi: g (0) = +

13 Dimostrare che la funzione f (x) = cos x non è derivabile nei punti x k = 2k+ π, k Z. 2 Calcoliamo la derivata sinistra e destra in x k : f (x k ) = lim x 0 f (x k + x) f (x k ) x Osserviamo che: cos (x k + x) = cos (kπ + π ) 2 + x ( ) = cos kπ + π ( 2 = sin kπ + π 2 = ( ) k sin x = lim x 0 cos (x k + x) x ( cos x sin ) sin x kπ + π 2 ) sin x Quindi Perciò: cos (x k + x) = sin x f (x k ) = lim x 0 sin x x In maniera simile per la derivata destra: f + (x k ) = lim x 0 + cos (x k + x) x = lim x 0 sin x x = lim x 0 + sin x x = = + Si conclude che la cos x non è derivabile nei punti x k = 2k+ 2 π, avendosi f + (x k ) f (x k ).

14 Determinare la derivata della funzione f (x) = x nel punto x 0 R {0}. Il limite del rapporto incrementale è: f (x 0 + x) f (x 0 ) lim x x 0 x = lim x x0 x 0 + x x 0 x = lim x x0 x 0 (x 0 + x) Quindi: = x 2 0 f (x 0 ) = x 2 0

15 Applicando le regole di derivazione, determinare la derivata delle funzioni f (x) = ln (sin 2x) g (x) = ln x arctan x f (x) = 2 cos 2x = 2 cot 2x sin 2x La derivata della funzione g: g (x) = arctanx ln x x +x 2 (arctanx) 2 = ( + x2 ) arctanx x ln x (arctanx) 2

16 Applicando le regole di derivazione, determinare la derivata delle funzioni f (x) = ln ( sin x 2) g (x) = sin ( ln x 2) f (x) = sin x 2 cos x2 2x = 2x cot x 2 La derivata della funzione g: g (x) = cos ( ln x 2) x 2 2x = 2 x cos( ln x 2)

17 Studiare la derivabilità della funzione: { x (x 2), se x (, 0] [2, + ) f (x) = x, se x (0, 2), x 2 nei punti x 0 = 0, x 0 = 2. Studiamo prima la continuità in tali punti. lim f (x) = lim x 0 lim f (x) = lim x 0 + x 0 + x (x 2) = 0 = f (0) = f è continua a sinistra in x0 x 0 ( ) x = x 2 2, Quindi x 0 = 0 è un punto di discontinuità di prima specie. lim f (x) = lim x 2 + lim f (x) = lim x 2 x 2 x (x 2) = 0 = f (2) = f è continua a destra in x 0 x 2 + ( ) x = +, x 2 Quindi x 0 = 2 è una singolarità. Si conclude che f non è derivabile in x 0, x 0. Tuttavia, siccome è continua a sinistra in x 0 e a destra in x 0, possiamo calcolare le derivate sinistra e destra nei rispettivi punti: f f (x) f (0) (0) = lim x 0 x x (x 2) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 x (x 2) x x 2 = x () Quindi il diagramma arriva nel punto (0, 0) con tangente verticale e orientata verso il basso. f + f (x) f (0) x (x 2) (0) = lim = lim x 0 + x x 0 + x x (x 2) x 2 = lim = lim = + x 0 + x x 0 + x (2)

18 f + (0) = + significa che il diagramma parte dal punto ( 0, 2) con tangente verticale e orientata verso l alto. f + f (x) f (2) x (x 2) (2) = lim = lim x 2 + x 2 x 2 + x 2 x (x 2) x = lim = lim x 2 + x 2 x 2 + x 2 = + (3) f + (2) = + significa che il diagramma parte dal punto (2, 0) con tangente verticale e orientata verso l alto. 2

19 Provare che P 0 (, 0) è un punto angoloso del diagramma cartesiano della funzione: Esplicitiamo il valore assoluto: f (x) = ln x, () f (x) = Quindi la derivata prima: { ln x, se x [, + ) ln x, se x (0, ) (2) Da ciò segue: f (x) = {, se x [, + ) x, se x (0, ) (3) x f + () = + (4) f () = Allo stesso risultato si arriva calcolando il limite del rapporto incrementale: f + () = lim x + f (x) f () x f () = lim x f (x) f () x = lim x + = lim x ln x = + (5) x ln x x = Da ciò vediamo che P 0 (, 0) è un punto angoloso. La retta tangente τ + a destra in x 0 ha equazione: y = x mentre la retta tangente τ a sinistra in x 0 ha equazione: Il grafico è riportato in fig. () y = x +

20 ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE

21 y 2 2 x x 2 Figure : Grafico di f (x) = ln x 2

22 Stabilire se la curva y = x + 4 è dotata di retta tangente nel punto di ascissa x 0 = 4. Esplicitiamo il valore assoluto: f (x) = Quindi la derivata prima: { x + 4, se x 4 (x + 4), se x < 4 () Da ciò segue: f (x) = {, se x 4, se x < 4 (2) f + ( 4) = + (3) f ( 4) = Si conclude che la curva assegnata è priva di retta tangente in P 0 ( 4, 0), essendo questo un punto angoloso. La retta tangente τ + a destra in x 0 ha equazione: y = x + 4 mentre la retta tangente τ a sinistra in x 0 ha equazione: y = x 4

23 Studiare la derivabilità della funzione: { sin(x 2 +) f (x) =, se x 0 3x 0, se x = 0, nel punto x 0 = 0. *** Studiamo il comportamento di f in x 0 = 0: lim x 0 sin sin f (x) = = +, lim f (x) = = () x 0 0 Quindi la funzione ha una singolarità in x 0, per cui non ivi derivabile. L espressione della derivata è: f (x) = 2x cos (x2 + ) 3x 3 sin (x 2 + ) 9x 2 = 2x2 cos (x 2 + ) sin (x 2 + ) 3x 2

24 Determinare la derivata della funzione: [ ( )] f (x) = arctan ln + x 2 *** Applicando le regole di derivazione: f (x) = + ln ( ) 2 ( + x 2) [ 2x ] +x ( + x 2 ) 2 2 2x = ( + x 2 ) [ + ln ( )] 2 +x 2

25 Determinare la derivata della funzione: f (x) = ln (x2 + ) x 2 *** Applicando le regole di derivazione: Quindi: f (x) = 2x (x 2) ln x 2 + (x2 + ) (x 2) 2 = 2x (x 2) (x2 + ) ln (x 2 + ) (x 2 + ) (x 2) 2 f (x) = 2x2 [2 ln (x 2 + )] 4x ln (x 2 + ) (x 2 + ) (x 2) 2

26 Determinare la derivata della funzione: f (x) = (2x + 3) lnx e x *** Applicando le regole di derivazione: f (x) = = ( ) 2 ln x + 2x+3 x e x (2x + 3) lnx xe x 2x ln x + 2x + 3 x (2x + 3) lnx (x 2 + ) (x 2) 2 Quindi: f (x) = 2x + 3 x ln x (2x + ) (x 2 + ) (x 2) 2

27 Determinare la derivata della funzione: f (x) = (sin x) sin x sin (sin x) *** Per semplificare i calcoli, poniamo: per cui: g (x) = (sin x) sin x, f (x) = g (x) cos x cos (sin x) Per determinare g (x) applichiamo il metodo della derivata logaritmica: ln g (x) = sinxln sin x Derivando ambo i membri: Quindi: g (x) g (x) = cosx ln (sin x) + cosx, La derivata di f: g (x) = (sinx) sin x cos x [ln (sin x) + ] f (x) = { } (sin x) sin x [ln (sin x) + ] + cos x

28 Determinare l insieme di continuità e l insieme di derivabilità della funzione { ln ( + x), se x 0 f (x) = + x, se x < 0 *** La funzione è definita in X = R. Il punto di raccordo è x = 0. Studiamo il comportamento in tale punto. lim x 0 lim x 0 x 0 f (x) = lim ln ( + x) = 0 = f (0) + + x 0 f (x) = lim ln ( + x ) = 0 Da ciò segue che la funzione è continua nel punto di raccordo x = 0. Inoltre ln ( + x) è continua per x >, e + x è continua in R, si conclude che la funzione assegnata è continua in R. Per l insieme di derivabilità, esplicitiamo il valore assoluto: ln ( + x), se x 0 f (x) = x, se x [, 0) x, se x (, ) Quindi la derivata è:, se x 0 f +x (x) =, se x [, 0), se x (, ) Da ciò vediamo che x 0 = è un punto angoloso. Infatti: f + ( ) = + f ( ) = In figura () è riportato il diagramma cartesiano della funzione.

29 y x 0 2 x 2 Figure : Diagramma cartesiano della funzione assegnata 2

30 Utilizzando le regole di derivazione, determinare la derivata della funzione f (x) = tan ( ln 2x ) *** La funzione può essere scritta come: [ ] f (x) = tan ln ( 2x) 2 Per la regole di derivazione: f (x) = cos [ 2 ln ( 2x)] 2x ( ) 2 Quindi la derivata prima: f (x) = (2x ) cos 2 ( ln 2x )

31 Utilizzando le regole di derivazione, determinare la derivata della funzione Per la regole di derivazione: Quindi la derivata prima: f (x) = cos tan x *** f (x) = sin tanx 2 tanx cos 2 x f (x) = sin tanx 2 cos 2 x tanx

32 Determinare l insieme di continuità e l insieme di derivabilità della funzione: f (x) = sinh ( ln 2 x ) *** La funzione è definita in X = (0, + ) e tale è l insieme di continuità. Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte: f (x) = cosh ( ln 2 x ) 2 ln x x Quindi la derivata prima: f (x) = 2 x ln x cosh ( ln 2 x ) Da ciò segue che l insieme di derivabilità è X = (0, + ). Studiamo il comportamento di f e della derivata in un intorno destro di x = 0: lim f (x) = sinh (+ ) = + x 0 + lim f (x) = x 0 ( ) (+ ) 0 + =

33 Determinare l insieme di continuità e l insieme di derivabilità della funzione: { x f (x) = 3 3x +, se x 0 3 arctanx, se x < 0 *** La funzione è definita in X = R. Per determinare l insieme di continuità osserviamo che le funzioni x 3 3x+, 3 arctanx, sono continue ovunque, per cui non ci resta che esaminare la continuità nel punto x 0 = 0. Abbiamo: ( lim f (x) = lim x 0 + x 3 3x + ) = = f (0) x 0 + f (x) = lim ( 3 arctanx) =, lim x 0 x 0 donde la funzione è continua in x 0 Passiamo alla derivata: { 3x f 2 3, se x 0 (x) = 3, se x < 0 +x 2 La derivata destra e sinistra in x 0 : lim f ( (x) = lim 3x 2 3 ) = 3 x 0 + x 0 + lim f (x) = 3 lim x 0 x 0 + x = 3 2 Da ciò segue che la funzione è derivabile in x 0 = 0, avendosi f (0) = 3. Si conclude che l insieme di continuità e derivabilità è tutto R.

34 Determinare i valori di a,b R per i quali la seguente funzione è continua e derivabile in (0, + ): e x, se x (0, ) x sin(x 2 ) f (x) = ax + b, se x [, 2] (x 2) 2 ln 2 (x 2), se x (2, + ) *** f è manifestamente continua in (0, + ) {x 0,x 0}, essendo x 0 = e x 0 = 2. Per imporre continuità e derivabilità su tutto (0, + ) dobbiamo raccordare sia la funzione che la sua derivata nei punti x 0,x 0. Iniziamo con la funzione: e x lim f (x) = lim x x x sin (x 2 ) = 0 0 Per rimuovere la forma indeterminata poniamo t = x : e t lim f (x) = lim x t 0 (t + ) sin [t (t + 2)] Con ovvio significato dei simboli: e t lim t 0 t sin [t (t + 2)] lim t 0 + t (t + 2) Quindi: = = e t t, per t 0 = = sin [t (t + 2)] t (t + 2), per t 0 e t lim t 0 (t + ) sin [t (t + 2)] = lim t t 0 (t + )t(t + 2) = 2 Il limite a destra: Quindi: lim x x f (x) = lim (ax + b) = a + b + +

35 Nel punto x 0 = 2 ( f è continua in x 0 = ) a + b = 2 () Quindi: Dalle ()(2): Passiamo alla derivata: lim f (x) = 2a + b x 2 lim f (x) = lim (x 2)2 ln (x 2) = 0 x 2 + x 2 + ( f è continua in x 0 = 2 ( f è continua in x 0 =,x 0 = 2 ) 2a + b = 0 (2) ) a =,b = (3) 2 [ ] d e x, se x (0, ) f dx xsin(x 2 ) (x) =, se x [, 2] 2 2 (x 2) ln 2 (x 2) + 2 (x 2) ln (x 2), se x (2, + ) La derivata destra e sinistra in x 0: lim f (x) = lim x 2 + lim x 2 f (x) = lim x 2 [ 2 (x 2) ln 2 (x 2) + 2 (x 2) ln (x 2) ] = 0 x 2 + ( ) = 2 2 Cioè per a = 2, b = la funzione non è derivabile in x 0, ma è derivabile a sinistra e a destra (punto angoloso) Quindi: 2

36 a = ) ( f è continua in (0, + ) ma non è ivi derivabile, 2, b = = essendo derivabile in X (0, + ) x 0 / X (a,b) ( 2 )), = (f non è continua e nè derivabile in (0, + ) ) ) 3

37 Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = ( + 3x 5x 2 ) n, n N {0} 2. f (x) = ( ) ax+b 3, c a,b R, c R {0} 3. f (x) = (2a + 3bx) 2, a,b R 4. f (x) = (3 + 2x 2 ) 4 5. f (x) = 3 56(2x ) 7 24(2x ) 6 40(2x ) 3 6. f (x) = x 2 ***. f (x) = n ( + 3x 5x 2 ) n (3 0x) = n (3 0x) ( + 3x 5x 2 ) n 2. f (x) = 3 ( ax+b c ) 2 a c = 3a c ( ax+b ) 2 c 3. f (x) = 2 (2a + 3bx) 3b = 6b (2a + 3bx) 4. f (x) = 4 (3 + 2x 2 ) 3 4x = 6x (3 + 2x 2 ) 3 5. f (x) = 2 (2x 56 ) (2x 4 ) 7 + (2x 8 ) 6 2 = (2x ) 8 2(2x ) 7 4(2x ) 6 = 2+28x 4+7(4x2 4x+) 28(2x ) 8 = x2 (2x ) 8 6. f (x) = 2x 2 x 2 = x x 2

38 Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = 3 a + bx 3 2. f (x) = (a 2/3 x 2/3 ) 3 3. f (x) = (3 2 sin x) 5 4. f (x) = tanx 3 tan3 x + 5 tan5 x 5. f (x) = cot x cotα ***. f (x) = d dx (a + bx3 ) /3 = 3 (a + bx3 ) 2/3 3bx 2 = bx 2 (a + bx 3 ) 2/3 = bx 2 3 (a+bx 3 ) 2 ( 2. f (x) = d dx a 2/3 x 2/3) 3/2 ( = 3 2 a 2/3 x 2/3) /2 ( ) x /3 ( = x a 2/3 x 2/3) /2 = 3 a 2 3 x 2 3. f (x) = 5 (3 2 sin x) 4 ( 2) cos x = 0 cos x (3 2 sin x) 4 4. f (x) = cos 2 x tan2 x cos 2 x + tan4 x cos 2 x = sin2 x + sin4 x = cos4 x sin 2 xcos 2 x+sin 4 x cos 2 x cos 4 x cos 6 x cos 6 x 5. f (x) = 2 cot x ( sin 2 x ) = 2sin 2 x cot x = tan2 x+tan 4 x cos 2 x

39 Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = 2x + 5 cos 3 x 2. x (t) = csc 2 t + sec 2 t 3. f (x) = 6( 3cos x) 2 4. f (x) = 3 cos 3 x cos x ***. f (x) = cos 2 x ( sin x) = 2 5 sin x cos 2 x = bx 2 3 (a+bx 3 ) 2 2. x (t) = d (sin dt t) 2 + d (cos dt t) 2 = 2 cos4 t sin 4 t = 2(cos2 t sin 2 t)(cos 2 t+sin 2 t) sin 3 t cos 3 t = 6 cos 2t sin 3 2t 3. f (x) = d ( 3 cos 6 dx x) 2 = sin x ( 3 cos x) 3 8 sin3 2t 4. f (x) = d (cos 3 dx x) 3 d (cos dx x) = (cos x) 4 ( sin x)+(cosx) 2 ( sin x) = sin3 x cos 4 x

40 Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = 3sin x 2cos x 5 2. f (x) = 3 sin 2 x + cos 3 x 3. f (x) = + arcsinx 4. f (x) = arctanx (arcsin x) 2 ***. f (x) = 3 cos x+2sin x = (3 cos x + 2 sin x) 2f(x) 5 0 = 3cos x+2sin x 2 5 sin x 0cos x 5 3sin x 2cos x 2. f (x) = d dx (sin x)2/3 + d dx (cos x) 3 = 2 cos4 t sin 4 t sin 3 t cos 3 t = 2 3 (sin x) /3 cos x+ 3 (cosx) 4 sin x = 2cos x sin x sin x cos 4 x 3. f (x) = 2 +arcsin x 4. f (x) = = 2 arctan x x 2 x 2 4(+x 2 )arcsin x arctan x 2(+x 2 ) x 2 = 2 ( x 2 )(+arcsin x) +x 2 2 arcsin x ( x 2 ) arctan x

41 Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = arctan x 2. f (x) = xe x + x 3. f (x) = 3 2e x 2 x + + ln 5 x 4. f (x) = sin 3x + cos x 5 + tan x ***. f (x) = (arctanx) 2 +x 2 = (+x 2 )(arctan x) 2 2. f (x) = ex +xe x + 2 = (+x)ex + xe x +x 2 xe x +x 3. f (x) = d dx (2ex 2 x + ) /3 + 5 ln4 x x = 3 (2ex 2 x + ) 2/3 (2e x 2 x ln 2) + 5 ln4 x x = 3 2ex 2 x ln ln4 x 3 (2e x 2 x +) 2 x 4. f (x) = 3 cos 3x 5 sin x x cos 2 x = 3 cos 3x 5 sin x xcos 2 x

42 Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = sin (x 2 5x + ) + tan x 2. f (x) = cos (αx + β) 3. f (t) = sintsin (t + φ) 4. f (x) = +cos 2x cos 2x 5. f (x) = a cot x a ***. f (x) = cos (x 2 5x + ) (2x 5) + a ( x 2 ) cos 2 ( a x) = (2x 5) cos (x 2 5x + ) a x 2 cos 2 ( a x) 2. f (x) = sin (αx + β) α = α sin (αx + β) 3. f (t) = costsin (t + φ) + sintcos (t + φ) = sin (2t + φ) 4. f (x) = = 4sin 2x = ( cos 2x) 2 5. f (x) = a sin 2 x a 2sin 2x( cos 2x) 2sin 2x(+cos 2x) ( cos 2x) 2 8sin xcos x ( cos 2 x+sin 2 x) a = sin 2 x a = 2 cos x sin 3 x

43 Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = sin (x 2 5x + ) + tan x 2. f (x) = cos (αx + β) 3. f (t) = sintsin (t + φ) 4. f (x) = +cos 2x cos 2x 5. f (x) = a cot x a ***. f (x) = cos (x 2 5x + ) (2x 5) + a ( x 2 ) cos 2 ( a x) = (2x 5) cos (x 2 5x + ) a x 2 cos 2 ( a x) 2. f (x) = sin (αx + β) α = α sin (αx + β) 3. f (t) = costsin (t + φ) + sintcos (t + φ) = sin (2t + φ) 4. f (x) = = 4sin 2x = ( cos 2x) 2 5. f (x) = a sin 2 x a 2sin 2x( cos 2x) 2sin 2x(+cos 2x) ( cos 2x) 2 8sin xcos x ( cos 2 x+sin 2 x) a = sin 2 x a = 2 cos x sin 3 x

44 Applicando la regole di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = arcsin 2x 2. f (x) = arcsin ( ) x 2 3. f (t) = arccos x 4. f (x) = arctan x 5. f (x) = arctan ( ) +x x. f (x) = 2 4x 2 *** 2. f (x) = ( 2x 3 ) = 2 x x 4 x 4 3. f (x) = x 2 x = 2 x( x) 4. f (x) = +( x) 2 ( x 2 ) = x f (x) = +( x+++x = x) +x 2 ( x) 2 +x 2

45 Applicando la regole di derivazione delle funzioni composte determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = arccot ( ) +x x 2. f (x) = 5e x2 3. f (x) = 5 x2 4. f (x) = x 2 0 x 5. f (t) = t sin 2 t 6. f (x) = arccos e x 7. f (x) = ln (2x + 7) 8. f (x) = ln sinx 9. f (x) = ln ( x 2 ) 0. f (x) = ln 2 x ln (ln x). f (x) = ln (e x + 5 sin x 4 arcsin x). f (x) = +( x+++x x) +x 2 ( x) 2 *** = +x 2 2. f (x) = 5 ( 2x)e x2 = 0e x2 ) 3. f (x) = (5 d x2 = 2x5 x2 ln 5 dx 4. f (x) = 2x 0 2x + x 2 0 2x ln 0 2 = 2x0 2x ( + x ln 0) 5. f (t) = sin 2 t + t (cos t) 2 t ln 2 = sin 2 t + t2 t (ln 2) cos 2 t 6. f (x) = e 2x e x = 7. f (x) = 2 2x+7 ex e 2x

46 8. f (x) = cos x = cotx sin x 9. f (x) = 2x x 2 = 2x x 2 0. f (x) = 2 lnx x ln x x = 2 x ln x x ln x = (e x +5cos x) x 2 4 e x +5sin x 4arcsin x x 2 (e x +5sin x 4arcsin x). f (x) = ex +5cos x 4 x 2 2

47 Applicando le regole di derivazione determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = sin 3 5x cos 2 x 3 2. f (x) = 2(x 2) 2 4 x 2 3. f (x) = arctan (lnx) + ln (arctanx) 4. f (x) = ln x + + ln ( x + ) ***. f (x) = 3 sin 2 5x 5 cos 5x cos 2 x 3 + sin3 5x 2 cos x 3 ( sin x 3) 3 = 5 sin 2 5x cos 5x cos 2 x sin3 5x sin x 3 cos x 3 = 5 sin 2 5x cos 5x cos 2 x 3 3 sin3 5x sin 2x 3 2. f (x) = d (x 2 dx 2) 2 4 d (x 2) dx = (x 2) (x 2) 2 = 4x+3 (x 2) 3 3. f (x) = +ln 2 x x + arctan x +x 2 = x(+ln 2 x) + (+x 2 ) arctan x 4. f (x) = 2 ln x+ x + x+ 2 x = 2x ln x+ + 2( x+x)

48 Applicando le regole di derivazione determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = 5 4(x 3) 4 0 3(x 3) 3 2(x 3) 2 2. f (x) = x8 8( x 2 ) 4 3. f (x) = 2x 2 2x+ x 4. f (x) = x a 2 a 2 +x 2 ***. f (x) = 5 d (x 4 dx 3) = (x 3) 5 (x 3) 4 (x 3) 3 = x2 +4x 6 (x 3) 5 2. f (x) = 8 = x7 ( x 2 ) 5 d dx [ ] x 8 ( x 2 ) 4 d dx (x 3) 3 2 d dx = 8 8x7 ( x 2 ) 4 x 8 4 ( x 2 ) 3 ( 2x) ( x 2 ) 8 (x 3) 2 3. f (x) = 4x 2 2 2x 2 x 2x 2 2x+ 2x+ x = x 2 x 2 2x 2 2x+ 4. f (x) = a 2 d a 2 x dx a = +x 2 2x x a 2 +x 2 = 2 +x 2 a 2 a 2 +x 2 (a 2 +x 2 ) 3

49 Applicando le regole di derivazione determinare la derivata delle seguenti funzioni: x. f (x) = 3 3 (+x 2 ) 3 2. f (x) = x x 6 x x 3 x x2 6 x 3 3. f (x) = 3 x2 + 8x 6 x + 9x 3 x x2 x 4. f (x) = 3 ( + x 8 3 ) 8 3 ( + x 5 3 ) 5. f (x) = 3 d x 3 = dx (+x 2 ) 3/2 3 *** 3x 2 (+x 2 ) 3/2 x 3 3 2(+x 2 ) /2 2x (+x 2 ) 3 x = 2 (+x 2 ) 5 ( 2. f (x) = d 3 dx 2 x3/ x7/ x5/3 + 6x3/6) 3 = x /3 + 3x /6 + 3x 2/ x7/6 = 3 x x x x 6 x ( 3. f (x) = d 3 dx 2 x3/ x7/ x5/3 + 6 x3/6) 3 = x /3 + 3x /6 + 3x 2/3 + x 7/6 = +3 x+3x+ x 3 3 x = (+ x) 3 3 x 4. f (x) = d ( + 8 dx x3 ) 8/3 d ( + 5 dx x3 ) 5/3 = x 2 ( + x 3 ) 5/3 x 2 ( + x 3 ) 2/3 = x 5 3 ( + x 2 ) 2

50 Applicando le regole di derivazione determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = 4 4 x 3 x+2 2. f (x) = x 4 (a 2x 3 ) 2 3. f (x) = ( a+bx n a bx n ) m 4. f (x) = 9 5(x+2) 5 3 (x+2) (x+2) 3 2(x+2) 2. f (x) = 4 3 d dx = ( ) x+2 3/4 x (x+2) 2 = 4 (x ) 3 (x+2) 5 ( x ) /4 x+2 = 3 *** ( x ) 3/4 x+2 x+2 x+ (x+2) 2 2. f (x) = 4x 3 (a 2x 3 ) 2 + x 4 2 (a 2x 3 ) ( 6x 2 ) = 4x 3 (a 2x 3 ) (a 5x 3 ) 3. f (x) = m ( a+bx n a bx n ) m bnx n (a bx n )+bnx n (a+bx n ) (a bx n ) 2 = 2abmnx n (a bx n ) m (a bx n ) m+ 4. f (x) = 9 d (x + 5 dx 2) 5 3 d (x + dx 2) d (x + dx 2) 3 2 = (x+2) 6 (x+2) 5 (x+2) 4 (x+2) 3 = x3 (x+2) 6 d dx (x + 2) 2

51 Applicando le regole di derivazione determinare la derivata delle seguenti funzioni:. f (x) = (a + x) a x 2. f (x) = (x + a) (x + b) (x + c) 3. g (y) = 3 y + y 4. f (t) = (2t + ) (3t + 2) 3 3t g (y) = 2ay y 2 6. f (x) = ln ( + e x ) ln ( + e x + ). f (x) = a x + (a + x) ( ) 2 a x = a 3x 2 a x *** 2. f (x) = [(x + b) (x + c) + (x + a) (x + c) + (x + a) (x + b)] 2f(x) = 3x2 +2(a+b+c)x+bc+ac+ab 2 (x+a)(x+b)(x+c) ( 3. g (y) = d ) /3 ( dy y + y = ) ( ) 2/3 3 y + y + 2 y ( = ) 2/3 2 y+ 3 y + y 2 y = 2 y+ 6 y 3 (y+ y) 2 4. f (t) = 3 3t + 2 (6t t + 3) + (2t+)(3t+2) 3 (3t+2) 2 = 2(2t2 +26t+8) 3 (3t+2) 2 = 2(3t+2)(7t+4) 3 (3t+2) 2 = 2 (7t + 4) 3 3t + 2

52 5. g (y) = d dy (2ay y2 ) /2 = 2 (2ay y2 ) 3/2 (2a 2y) = y a (2ay y 2 ) 3 6. f (x) = +e x e x 2 +e x +e x + ( ) = ex 2 +e x +e x +e x + = +e x e x 2 +e x 2

53 Studiare la continuità e la derivabilità della funzione: { x, x 0 f (x) = e x, x > 0 *** La funzione assegnata è manifestamente continua in R {0}, quindi non ci resta che studiarne la continuità nel punto x 0 = 0. A tale scopo calcoliamo il limite sinistro e il limite destro: lim x 0 x 0 f (x) = lim ( x) = = f (0) lim f (x) = lim e x =, x 0 + x 0 + da ciò segue che f è continua in x 0 = 0 La derivata è: {, x 0 f (x) = e x, x > 0 Quindi la funzione è derivabile in R {0}, e non ci resta che studiarne la derivabilità nel punto x 0 = 0. la derivata sinistra e la derivata destra nel punto x 0 = 0: da ciò segue: f (0) = lim f (x) = x 0 f + (0) = lim f (x) = lim e x =, x 0 + x 0 + f (0) = f + (0) = = f (0), cioè la funzione è derivabile in x 0 = 0. Si conclude che la funzione è derivabile (quindi continua) in (, + ). Osservazione Bastava studiare la derivabilità, poichè una funzione derivabile è necessariamente continua.

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