Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 07 a.a

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1 Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 07 a.a Dott. Simone Zuccer 7 Gennaio 008 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: ci li trova è pregato di segnalarli all autore (zuccer@sci.univr.it). Derivate Riciami sulle derivate utili ai fini degli esercizi. Definizione. Ciamiamo derivata di f in, e la indiciamo con f (), il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale, ovvero f () ξ f(ξ) f() ξ f( + ) f(). Nel caso si considerino separatemente il limite da destra e da sinistra, si avranno la derivata destra f +() e la derivata sinistra f (). Punti di non derivabilità. Se il limite del rapporto incrementale è infinito o non esiste, allora la funzione f non è derivabile in. Si anno tre casi.. Punti di flesso a tangente verticale: f () = ± (derivata destra e sinistra coincidono ma sono entrambe + oppure ). Punti di cuspide: f +() = + e f () = oppure f +() = e f () = + (derivata destra e sinistra sono opposte ed infinite) 3. Punti angolosi: f +() f () (derivata destra e sinistra sono diverse, una delle due può ance essere + oppure ). Regole di derivazione. D[f() ± g()] = f () ± g (). D[f() g()] = f ()g()+f()g (), da cui: D[kf()] = kf (),k R [ ] f() 3. D = f [ ] ()g() f()g (), da cui: D = f () g() [g()] f() [f()]

2 4. D[f(g(()))] = f (g(())) g (()) () 5. D[f (y)] = f (), essendo y = f() e f () 0 [ 6. D[f() g() ] = f() g() g () log f() + g() f ] () f() Derivate fondamentali ed altre notevoli ricavate utilizzando quelle fondamentali e le regole di derivazione f() derivate fondamentali f () altre derivate notevoli k,k R 0 f() f () α,α R a e log a log log sin α α a log a e log a e = log a sin tan + tan = cos cot ( + cot ) = sin arcsin arc arctan + arccot + Nota. Si osservi ce, in generale, per le funzioni sopra riportate, il dominio di f () coincide con quello di f() (D = D ). Questo non è vero per f() = α con 0 < α <, essendo f () = + in = 0, e per f() = arcsin oppure f() = arccos, essendo f () infinita in = ±. Esercizio. Utilizzando la definizione di derivata, si calcolino D[/] e D[ ]. Risoluzione. Si scriva il rapporto incrementale [f( + ) f()]/ e se ne calcoli il limite per 0. Esercizio. Utilizzando la definizione di derivata, dire se la funzione f() = a,a R, è derivabile in = a.

3 Risoluzione. Si scriva il rapporto incrementale [f(a + ) f(a)]/ = / e se ne calcolino i limiti da destra e da sinistra, ossia per 0 ±. Siccome tali limiti non coincidono, la funzione f non è derivabile in = a. Esercizio.3 Sia f : R R con f : R R. Cosa si può dire di D[ f() ]? Risoluzione. Applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, si ottiene facilmente ce nei punti tali ce f() 0 si a D[ f() ] = sgnf() f (). Tuttavia, nei punti in cui f() = 0 la derivata D[ f() ] diventa f( + ) D[ f() ], ce esiste solo se il limite da destra e da sinistra coincidono, ovvero se derivata destra e sinistra sono uguali. Evidentemente, a causa del valore assoluto, questo accade solo se f () = 0 e quindi per f () 0 f() = 0 D[ f() ] non esiste. Il risultato si può riassumere come D[ f() ] = sgnf() f () nei punti in cui f() 0 0 nei punti in cui f() = 0 f () = 0 nei punti in cui f() = 0 f () 0 Tipicamente, i punti tali ce f() = 0 f () 0 sono punti angolosi per la funzione f(). Esercizio.4 In base al noto teorema, una funzione derivabile è continua. Esibire un esempio di funzione continua ma non derivabile. Risoluzione. Basta prendere una funzione continua in = c ma tale ce f (c) f +(c). + se Per esempio f() = + se < Esercizio.5 Data la funzione f() = se c a + b se > c determinare a e b in modo ce f() sia derivabile. Risoluzione. Si noti ce f() è certamente derivabile per > c e per < c. Per quanto riguarda = c, applicando la definizione di derivata e osservando ce f(c) = c, si ottengono le seguenti espressioni per le derivate sinistra e destra: f (c) (c + ) c f +(c) a(c + ) + b c 3 c + = c a + (ac + b c )

4 Si noti ce f (c) è certamente finita, ma affincé lo sia ance f +(c) è necessario ce ac + b c = 0, ce implica f +(c) = a. Per garantire la derivabilità in = c, però, è necessario ance ce f +(c) = f (c), ossia c = a. Riassumendo, deve essere c = ac + b e a = c, da cui a = c e b = c. Osservazione Molti studenti fanno l errore di calcolare la derivata come se c f () = a se > c ed imporre f +(c) = f (c) c = a. Questo modo è sbagliato percè non tiene conto della definizione di derivata. Infatti, scelti per esempio a =,c =,b = 3 (ce soddisfano la condizione c = a), si ottiene la funzione se f() = + 3 se > ce non è derivabile in quanto la definizione del limite del rapporto incrementale porta a f +() = +. Per evitare questo, bisogna imporre la continutà della funzione in = c. Esercizio.6 Determinare eventuali punti di non derivabilità della funzione f() =. Risoluzione. Essendo f () =, = ± sono punti del dominio di f() ce però non appartengono al dominio di f () (D D). Pertanto f(), pur essendo definita in = ±, non è ivi derivabile. Esercizio.7 Data la funzione f() = sin se 0 0 se = 0, stabilire se è continua, derivabile, e se la derivata è continua. Risoluzione. È immediato verificare ce f() è continua. Per 0 la funzione è derivabile e risulta f () = sin cos. Per = 0 è necessario applicare la definizione, quindi ( ) (0 + ) sin 0 + sin lim sin =. Quindi, sin f () = cos se 0 se = 0 ( Si noti ce lim sin 0 cos ) =, pertanto f () non è continua in = 0. 4

5 Esercizio.8 Data la funzione f() = sin se 0 0 se = 0, stabilire se è continua, derivabile, e se la derivata è continua. Risoluzione. È immediato verificare ce f() è continua. Per 0 la funzione è derivabile e risulta f () = sin cos. Per = 0 è necessario applicare la definizione, quindi ( ) 0 + (0 + ) sin lim sin sin = 0. Quindi, sin f () = cos se 0 0 se = 0 ( Si noti ce lim sin 0 cos ) =, pertanto f () non è continua in = 0. Esercizio.9 Discutere la continuità, derivabilità e continuità della derivata prima della funzione f() = α sin se 0 0 se = 0 essendo α 0,α R. Risoluzione. Si proceda come nei due esercizi precedenti, discutendo inoltre la continuità della derivata. 5

6 Esercizio.0 Utilizzando i teoremi sulle derivate (regole di derivazione), calcolare le derivate delle seguenti funzioni [3 + 4] [ ] [ ( + ) ] [ sin cos ] e + [( + )e + ] log [ + ] [ (log + )] log(log ) [ log ] (log + ) [ ] log(log log()) [ 4 log log(log ) ] ( 3 ( 3 + 4) [( 3 + 4) ) sinlog(3 + 4) ] e e [e e + ] sin [sin ( cos sin log(sin ) ) ] arcsin [arcsin + ] arccos( ) [ ] arccos( ) [ ] sin arctan(sin ) [ + sin ] arctan cos [ ( cos ) cos 4 cos + ] Esercizio. Si determini l equazione della tangente al grafico delle seguenti funzioni nei punti indicati a fianco.. f() = 5 + 3; 0 =. f() = arctan + ; 0 = π 3 3. f() = 3 ( + ) ; 0 = Risoluzione.. y = 3 5. y = 3 + (9 4 3)π = 0 Esercizio. Determinare l espressione della derivata n-esima delle seguenti funzioni.. f() = e 6

7 . f() = 3 3. f() = e 4. f() = log 5. f() = sin 6. f() = cos 7. f() = a + b c + d, ad bc Risoluzione.. e. 3 (log 3) n 3. ( ) n e 4. ( ) n (n )! n 5. sin( + nπ/) 6. cos( + nπ/) 7. ( ) n c n (ad bc) n! (c + d) n+ 7