Corso di Analisi Matematica

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di DERIVATE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche

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3 Secanti e tangenti Sia f : D R, sia I = [a, b] oppure I = (a, b), con a < b, un intervallo contenuto nel dominio quindi I D, e sia x 0 I. Consideriamo un secondo punto x 1 I (x 1 > x 0 ) e tracciamo la retta passante per i punti di ascissa x 0 e x 1 sul grafico della funzione, x 0, f(x 0 ) e x 1, f(x 1 ) (retta secante) (x, f(x )) (x, f(x )) 0 0 L equazione è x 0 x x 1 y(x) = f(x 0 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 )

4 Secanti e tangenti Avviciniamo ora x 1 a x 0 e consideriamo via via la posizione della retta secante. Al limite per x 1 x 0 la secante si dispone lungo la direzione della tangente geometrica al grafico della funzione nel punto di ascissa x 0. Affinchè questo succeda, però, deve esistere il limite m + = lim x 1 x + 0 f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 Ragionando in maniera analoga con x 1 < x 0 si perviene al limite m f(x 1 ) f(x 0 ) = lim x 1 x x 0 1 x 0 Se e solo se m + ed m esistono e sono uguali, m + = m = m, il grafico della funzione ammette retta tangente non verticale nel punto (x 0, f(x 0 )). Se uno sei due limiti non esiste, o se esistono ma non sono uguali, il grafico della funzione non ammette retta tangente in quel punto.

5 Secanti e tangenti Da notare che, se esiste il limite (indicando ora x 1 semplicemente con x) allora abbiamo m = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) m(x x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 Infatti: f(x) f(x 0) m(x x 0) lim = x x 0 x x 0 f(x) f(x 0) lim m = m m = 0 x x 0 x x 0 Ovvero: f(x) = f(x 0 ) + m (x x 0 ) + o(x x 0 ), x x 0

6 Definizione di Se esiste il limite m = lim x x 0 f(x) f(x 0) x x 0 la funzione f(x) si dice derivabile nel punto x 0 ed il valore del limite, m, si dice della funzione nel punto x 0 e si indica con f (x 0); In tal caso, il grafico della funzione f(x) ammette retta tangente non verticale nel punto di ascissa x 0 e la retta di equazione y = f(x 0) + f (x 0)(x x 0) si dice retta tangente non verticale al grafico della funzione f(x) nel punto x 0 e la f (x 0) è il valore del coefficiente angolare della retta tangente.

7 Rapporto incrementale Il rapporto f(x) f(x 0 ) x x 0 si chiama rapporto incrementale. Introducendo la variabile h = x x 0, il limite del rapporto incrementale si può anche scrivere nella forma usatissima f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 h 0 h

8 Definizione alternativa di La definizione di si può anche formulare equivalentemente nel seguente modo: se esiste un m R tale che f(x) = f(x 0) + m(x x 0) + o(x x 0), x x 0 la funzione ammette retta tangente (non verticale) in x 0 e si dice differenziabile nel punto x 0; è allora facile vedere che m = lim x x 0 f(x) f(x 0) x x 0 che si dice della funzione nel punto x 0. La retta di equazione y = f(x 0) + m(x x 0) è la retta tangente (non verticale) al grafico della funzione f(x) nel punto x 0.

9 Ricapitolando una funzione f : I R si dice derivabile nel punto di ascissa x 0 I se esiste finito il limite f f(x) f(x 0) (x 0) = lim, x x 0 x x 0 ed il valore di tale limite si dice della funzione in x 0. una funzione f : I R si dice differenziabile nel punto di ascissa x 0 I se il suo grafico ammette retta tangente nel punto di ascissa x 0; per una funzione reale di una variabile reale differenziabilità e derivabilità sono equivalenti ed il coefficiente angolare della retta tangente coincide con il valore della ; non è così per le di più variabili, dove la differenziabilità implica la derivabilità ma non viceversa.

10 Derivata sinistra e destra Abbiamo iniziato il discorso sulle introducendo i due limiti, destro e sinistro, m ± = lim x x ± 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 di una funzione f : I R, con x 0 I. Considerando separatamente i limiti destro e sinistro, possiamo allora introdurre la nozione di destra e sinistra di una funzione nel punto x 0 I. Diremo che la funzione f(x) ammette destra, o è derivabile a destra, nel punto x 0 I se esiste finito il limite m + = lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 ; tale limite si chiama destra della funzione in x 0 e si indica con f + (x 0).

11 Derivata sinistra e destra Analogamente, chiameremo sinistra della funzione f(x) nel punto x 0 I il limite se questo esiste finito; m = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 possiamo allora dire che una funzione f : I R è derivabile in x 0 se ammette destra e sinistra in x 0 e queste sono uguali, f +(x 0 ) = f (x 0 ) ed il loro valore comune è la di f(x) in x 0, cioè f + (x 0) = f (x 0) = f (x 0 ).

12 Derivabilità in un intervallo e nel dominio Sia f : I R derivabile in ogni punto di I. Allora diremo che la funzione f(x) è derivabile su tutto l intervallo I. Sia ora I = [a, b]; ovviamente, negli estremi dell intervallo a e b può esistere soltanto la destra o la sinistra, rispettivamente. Diremo allora che la funzione è derivabile negli estremi a e b se esistono f +(a) ed f (b), rispettivamente, ed in tal caso parleremo semplicemente di f (a) ed f (b). La funzione f : D R si dice derivabile nel dominio D se: 1 D è un unione di intervalli del tipo [a, b] o (a,b) con a < b e 2 se f(x) è derivabile in ogni punto x D. La scelta di restringere la definizione di a definite su intervalli (o unioni di intervalli) ha lo scopo di escludere punti isolati del dominio, per i quali la definizione di è priva di significato.

13 Funzione Se f : D R è derivabile in ogni punto del dominio, l operazione di derivazione definisce una nuova funzione, f (x), detta appunto funzione. In questo caso, f : D R e la funzione è definita sullo stesso dominio della funzione. Se la funzione f non è derivabile su tutto in dominio, possiamo ancora definire la funzione, f (x), che però è definita su un dominio più piccolo del dominio di f. In generale, possiamo dire che il dominio della funzione f è un sottoinsieme del dominio della funzione f. Notazioni alternative e molto usate per indicare la sono df Df(x) f x dx

14 Funzione Esempio illustrativo - I Sia f(x) = x, D = R. Per qualunque x R abbiamo: f f(x + h) f(x) x + h x h (x) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = 1 La funzione è 1 ed è definita sullo stesso dominio della f. Il risultato non sorprende: y = x è l equazione della retta bisettrice del I e III quadrante ed è tangente a se stessa, con coefficiente angolare 1. È allora facile capire come la di una generica funzione lineare f(x) = m x + q sia f (x) = m; infatti f(x) rappresenta una retta di coefficiente angolare m ed è tangente a se stessa.

15 Funzione Esempio illustrativo - II Sia f(x) = x 2, D = R. Per qualunque x R abbiamo: f f(x + h) f(x) (x + h) 2 x 2 (x) = lim = lim = 2 x h 0 h h 0 h La funzione è 2 x ed è definita sullo stesso dominio della f x

16 Funzione Esempio illustrativo - III x Sia f(x) = sin x, D = R. Per qualunque x ( π,π)\{0} possiamo tracciare la retta tangente al grafico della funzione. In x = 0, esistono la sinistra e la destra, ma non sono uguali: la funzione non è derivabile in x = 0. La funzione è definita su un dominio più piccolo di quello della f; ovviamente il discorso si ripete ad ogni multiplo di π.

17 Derivabilità e continuità Teorema Sia f : I R derivabile in x 0 I. Allora f(x) è continua in x 0. Dimostrazione Dobbiamo dimostrare che lim x x0 f(x) = f(x 0). Infatti: lim f(x) = lim [f(x) f(x x x 0 x x 0) + f(x 0)] = 0» f(x) f(x0) = lim (x x 0) + f(x 0) = x x 0 x x 0 lim x x 0 ˆf (x 0) (x x 0) + f(x 0) = f(x 0) Attenzione!! Il viceversa non vale: una funzione continua può non essere derivabile. Quindi (derivabilità) (continuità); ma (continuità) (derivabilità).

18 Punti di non derivabilità Classificazione Sia f : D R una funzione e sia x 0 D dove la funzione è continua ma non derivabile. Si possono avere tre casi: f +(x 0 ) ed f (x 0 ) esistono ma f +(x 0 ) f (x 0 ), oppure uno solo dei due esiste: il punto (x 0, f(x 0 )) si dice punto angoloso del grafico di f; f + (x 0) = + e f (x 0) = (o viceversa): il punto (x 0, f(x 0 )) si dice cuspide del grafico di f; f +(x 0 ) = f (x 0 ) = + (o, ma comunque concordi): il punto (x 0, f(x 0 )) si dice flesso a tangente verticale del grafico di f.

19 Punti di non derivabilità Funzioni prototipo - Punto angoloso L esempio elementare più usato per il punto angoloso è la funzione valore assoluto: f : R R data da f(x) = x x La funzione non è derivabile in x = 0, dove esistono destra e sinistra, rispettivamente uguali a f +(0) = 1 e f (0) = 1

20 Punti di non derivabilità Funzioni prototipo - Cuspide Il prototipo è la funzione : f : R R data da f(x) = x x La funzione non è derivabile in x = 0, dove destra e sinistra vanno rispettivamente a f +(0) + e f (0)

21 Punti di non derivabilità Funzioni prototipo - Flesso verticale Il prototipo è la funzione : f : R R data da f(x) = x 1/ x La funzione non è derivabile in x = 0, dove destra e sinistra vanno entrambe a +.

22 Teorema Siano f, g : I R e sia x 0 I. Se f e g sono derivabili in x 0, anche le α f, f ± g, f g ed f/g (con g(x 0 ) 0) sono derivabili in x 0 e si ha: (i) (αf) (x 0 ) = αf (x 0 ) (ii) (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) (iii) (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) ( ) (iv) f g (x0 ) = f (x 0)g(x 0) f(x 0)g (x 0) [g(x 0)], g(x 2 0 ) 0

23 Dimostrazione - (iii) Le proposizioni (i) e (ii) sono e le lasciamo allo studente. Per la (iii), trasformiamo il rapporto incrementale al modo seguente: f(x 0 + h)g(x 0 + h) f(x 0 )g(x 0 ) = h = f(x 0 + h)g(x 0 + h) f(x 0 )g(x 0 + h) + f(x 0 )g(x 0 + h) f(x 0 )g(x 0 ) h = f(x 0 + h) f(x 0 ) h g(x 0 + h) + g(x 0 + h) g(x 0 ) f(x 0 ) h E dunque (f g) (x 0 ) = lim f(x 0 + h)g(x 0 + h) f(x 0 )g(x 0 ) = h 0 h = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + g (x 0 ) f(x 0 ) h g(x 0 + h) + lim h 0 g(x 0 + h) g(x 0 ) f(x 0 ) = h

24 Dimostrazione - (iv) Per dimostrare la (iv), si procede in modo analogo: " 1 f(x0 + h) h g(x 0 + h) f(x 0 ) # = f(x 0 + h)g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 + h) g(x 0 ) h g(x 0 ) g(x 0 + h) = f(x 0 + h)g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 + h) h g(x 0 ) g(x 0 + h) = f(x 0 + h)g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 ) h g(x 0 ) g(x 0 + h) + f(x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 + h) h g(x 0 ) g(x 0 + h) = E dunque f g! " 1 f(x0 + h) (x 0 ) = lim f(x 0 ) # = h 0 h g(x 0 + h) g(x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) g(x 0 ) lim f(x 0 ) = h g(x 0 ) g(x 0 + h) h 0 h g(x 0 ) g(x 0 + h) = f (x 0 ) g(x 0 ) g (x 0 ) f(x 0 ) [g(x 0 )] 2

25 Derivata della funzione composta Teorema Siano f : I J e g : J R, sia f(i) J ed indichiamo con u la funzione composta u = g f, vale a dire u(x) = g(f(x)). Sia x 0 I. Se f è derivabile in x 0 e g è derivabile in f(x 0 ), anche la funzione u è derivabile in x 0 e si ha: u (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ) Questa regola di derivazione va comunemente sotto il nome di regola della catena.

26 Derivata della funzione composta Dimostrazione u u(x 0 + h) u(x 0) g(f(x 0 + h)) g(f(x 0)) (x 0) = lim = lim h 0 h h 0 h g(f(x 0) + hf (x 0) + o(h)) g(f(x 0)) = lim h 0 h g(f(x 0) + y) g(f(x 0)) y = lim h 0 y h = g (f(x 0))f (x 0) dove abbiamo posto y = hf (x 0) + o(h) ed abbiamo sfruttato il fatto che y 0 quando h 0 e che y/h f (x 0) quando h 0.

27 Derivata della funzione inversa Teorema Sia f : I R strettamente monotona e continua su I. Sia x 0 I. Se f è derivabile in x 0 e f (x 0) 0 la funzione inversa è derivabile in y 0 = f(x 0) e si ha: (f 1 ) (y 0) = 1 f (x 0) con y 0 = f(x 0). Dimostrazione Per le proprietà della funzione inversa, abbiamo che f 1 f = I, dove I è la funzione identità, cioè f 1 (f(x)) = x, x I. Derivando da entrambe le parti ed utilizzando la regola della catena abbiamo [f 1 (f(x))] = 1 (f 1 ) (f(x))f (x) = 1 (f 1 ) (f(x)) = 1 f (x), da cui la tesi.

28 Funzioni potenza d dx xα = α x α 1, Dimostriamolo per α > 0: α R d (x + h) α x α x α (1 + h/x) α x α dx xα = lim = lim h 0 h h 0 h = lim x α (1 + h/x) α 1 = lim x α 1 (1 + h/x) α 1 h 0 h h 0 h/x = x α 1 (1 + y) α 1 lim = α x α 1 y 0 y dove l ultimo limite è stato ottenuto ponendo y = h/x ed usando il limite notevole (1 + x) α 1 lim = 0 x 0 x

29 Esponenziali d dx ex = e x d dx ax = a x lna Infatti: d e x+h e x e x (e h 1) dx ex = lim = lim = e x h 0 h h 0 h d a x+h a x a x (a h 1) dx ax = lim = lim = a x ln a h 0 h h 0 h dove l ultimo limite ad ogni passaggio è stato ottenuto usando i limiti notevoli e x 1 a x 1 lim = 1 lim = lna x 0 x x 0 x

30 Funzioni iperboliche Le delle iperboliche si ottengono applicando l algebra delle : d dx coshx = d e x + e x dx 2 d dx sinhx = d e x e x dx 2 = ex e x 2 = ex + e x 2 = sinhx = coshx

31 Logaritmi d dx ln x = 1 x d dx log a x = 1 x 1 lna Infatti, per x > 0: d ln(x + h) ln x ln[x(1 + h/x)] lnx ln x = lim = lim dx h 0 h h 0 h ln(1 + h/x) 1 ln(1 + h/x) = lim = lim h 0 h h 0 x h/x = 1 x lim ln(1 + y) = 1 y 0 y x dove l ultimo limite ad ogni passaggio è stato ottenuto ponendo y = h/x ed usando il limite notevole ln(1 + x) lim = 1 x 0 x Il risultato per x < 0 si ottiene scrivendo ln(1/ x ) = ln( 1/x) ela seconda uguaglianza si ottiene ricordando che log a x = ln x/ln a.

32 Funzioni trigonometriche d dx sin x = cosx d dx Basta dimostrare la prima, in quanto cosx = sinx d dx cos x = d d sin(π/2 x) = sin(x π/2) dx dx = cos(x π/2) = sin x Ora: d sin(x + h) sin x sin x = lim dx h 0 h sin x cos h + cos xsin h sin x = lim h 0 h (cos h 1) sin x + cos xsin h = lim h 0 h cos h 1 sin h = sin x lim + cos x lim h 0 h h 0 h = cos x in quanto lim h 0 sin h/h = 1 e lim h 0 (cos h 1)/h = 0

33 Funzioni trigonometriche Le delle tanx e cotx si ottengono applicando l algebra delle : d dx tan x = d sin x dx cos x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x d dx cot x = d dx = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x cos x sin x = sin2 x cos 2 x sin 2 = 1 x sin 2 x = 1 cot2 x

34 Funzioni trigonometriche inverse d dx arcsinx = ± 1 1 x 2 d dx arccosx = 1 1 x 2 dove la determinazione del segno va scelta a seconda del quadrante. Sia x = sin y, y = arcsin x nel primo caso e x = cos y, y = arccos x nel secondo. d dx arcsin x = 1 (sin y) = 1 cos y = 1 ± p 1 sin 2 y = ± 1 1 x 2 d dx arccos x = 1 (cos y) = 1 sin y = 1 p 1 cos 2 y = 1 1 x 2

35 Funzioni trigonometriche inverse Sia x = tan y, y = arctan x. d dx arctanx = x 2 d dx arctan x = 1 (tany) = tan 2 y = x 2

36 Polinomi Funzioni razionali f(x) = 2x 4 x x2 x f(x) = 8x 3 x 2 + 4x 1 4 f(x) = 2x4 x 3 /3 + 2x 2 x/4 + 1 x f(x) = 8x3 x 2 + 4x 1/4 5x 2 + x 1

37 Funzioni irrazionali f(x) = x, x 3/2, f(x) = ( x + 1) x, p x , ( x + 1) 2 x Combinazioni varie con irrazionali f(x) = 1 + x x, f(x) = r 1 x 1 + x, x 1 + x 1 x 1 + x «1/3

38 Funzioni trigonometriche e combinazioni varie f(x) = sin 2 x, sec x, csc x f(x) = sin 1 x, x sin x, sin x x Funzioni esponenziali e combinazioni varie f(x) = e 2x, e x2, f(x) = x e x, f(x) = e x, e x x, e x x, e x + 1 e 2x 1 ex sin x e x x

39 Funzioni iperboliche e combinazioni varie f(x) = cosh 2x, sinh x 2 cosh x + 1, sinh 2x 1 cosh x f(x) = x sinh x,, cosh x sin x x f(x) = cosh( sinh x x),, cosh x x x Logaritmi e combinazioni varie ln x f(x) = ln x, x ln x, x f(x) = ln 2 ln 2 x + 2ln x 1 x ln x 1 ln x f(x) = sin x ln x, e x ln x sin x f(x) = ln(x + 1), ln( x + 1), ln x