Derivate di funzioni 1 / 40

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1 Derivate di funzioni 1 / 40

2 Variazione assoluta Sia data una funzione f (x) e due suoi valori in corrispondenza dei punti x 0 e x 0 + h, con h > 0. Supponiamo di voler determinare di quanto varia il valore della funzione nell intervallo [x 0,x 0 +h], possiamo allora calcolare la variazione assoluta della funzione f (x 0 + h) f (x 0 ). Possiamo calcolare la variazione in relazione all ampiezza dell intervallo di variazione ottenendo il seguente tasso di variazione: f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 + h) x 0 detto rapporto incrementale della funzione. 2 / 40

3 Rapporto incrementale 3 / 40 Osserviamo che il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per i due punti P 0 = (x 0,f (x 0 )) e P h = (x 0 + h,f (x 0 + h)). Infatti ricordiamo che il coefficiente angolare di tale retta è definito come: m h = f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 + h) x 0

4 Rapporto incrementale Supponiamo ora di diminuire il valore di h, allora la retta r h tende a sovrapporsi alla retta r 0. Di conseguenza per valori di h che tendono al valore zero il coefficiente m h tende al coefficiente angolare m 0 della retta tangente r 0. Segue che m 0 = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h 4 / 40

5 5 / 40 Derivata di una funzione Data una funzione f (x) continua in x 0 la sua derivata nel punto x 0 è definita come f (x + h) f (x 0 ) lim h 0 h se questo limite esiste ed è finito. La derivata si indica indistintamente come: f (x 0 ) = d dx f (x 0) = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h La funzione derivata prima associa ad ogni punto di continuità della funzione f, se esiste, la sua derivata nel punto: f (x) : x f (x).

6 Calcolo della derivata applicando la definizione 6 / 40 f (x 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h f (x) = b costante = f b b (x 0 ) = lim = 0 h 0 h f (x) = x retta = f x 0 + h x 0 h (x 0 ) = lim = lim h 0 h h 0 h = 1 f (x) = x 2 parabola = f (x 0 + h) 2 (x 0 ) 2 2x 0 h + (h) 2 (x 0 ) = lim = lim = lim 2x 0 + h = 2x 0 h 0 h h 0 h h 0

7 Derivata della funzione potenza 7 / 40 f (x) = b = f (x 0 ) = 0 f (x) = x = f (x 0 ) = 1 f (x) = x 2 = f (x 0 ) = 2x possiamo allora generalizzare f (x) = x β = f (x 0 ) = βx β 1 Esempio. f (x) = x = x 1 2 = f (x) = 1 2 x = 1 2 x 1 2 Esercizi. potenza Calcolare la derivata per le seguenti funzioni f (x) = x 2, f (x) = x 5, f (x) = 4 x 3, f (x) = 1 x 6

8 Proprietà delle derivate 8 / 40 Derivata di una somma (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x) Derivata di una funzione per una costante (cf (x)) = cf (x) Esempio. f (x) = 4x 3 5x 2 = f (x) = 4(3x 3 1 ) 5( 2)x 2 1 = 12x x 3

9 Proprietà delle derivate 9 / 40 Derivata del prodotto (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) Esempio. h(x) = f (x)g(x) = (4x 3 5x 2 )( x) = h (x) = (4x 3 5x 2 ) ( x) + (4x 3 5x 2 )( x) = (12x x 3 )( x) + (4x 3 5x 2 )( 1 2 x ) = 12x 2 x x 3 5x + 2 x 5 1 5x 5 2

10 Proprietà delle derivate Derivata di un rapporto ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) g(x) (g(x)) 2 Esempio. h(x) = f (x) g(x) = x3 5x + 1 = h (x) = (x3 ) (5x + 1) (x 3 )(5x + 1) (5x + 1) 2 = (3x2 )(5x + 1) (x 3 )(5) (5x + 1) 2 = 10x3 3x 2 (5x + 1) 2 10 / 40

11 Derivata delle funzioni elementari 11 / 40 Date le funzioni elementari, applicando la definizione si possono si possono determinare le seguenti funzioni derivata (e x ) = d dx (ex ) = e x (a x ) = d dx (ax ) = a x ln(a) (sin(x)) = dx d (sin(x)) = cos(x) (cos(x)) = dx d (cos(x)) = sin(x) (ln(x)) = d dx (ln(x)) = 1 x (log a (x)) = d dx (log a (x)) = 1 x log a (e)

12 Derivate: esercizi 12 / 40 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni f (x) = (3x 5 + 5x 3 )(cos(x) + 1) f (x) = xln(x) f (x) = tan(x) f (x) = x + sin(x)

13 Derivata di funzioni composte Esempi d dx f (g(x)) = (f (g(x))) = f (g(x))g (x) d dx (g(x))α = ((f (x)) α ) = α(g(x)) α 1 g (x) d dx (eg(x) ) = (e g(x) ) = e g(x) g (x) d dx cos(g(x)) = (cos(g(x))) = sin(g(x))g (x) d dx sin(g(x)) = (sin(g(x))) = cos(g(x))g (x) d dx ln(g(x)) = (ln(g(x))) = 1 g(x) g (x) 13 / 40

14 Derivate di funzioni composte:esempi 14 / 40 Esempi f (x) = e x2 d dx f (g(x)) = (f (g(x))) = f (g(x))g (x) = f (x) = e x2 2x f (x) = e x3 +1 = f (x) = e x3 +1 3x 2 f (x) = x 3 2x = (x 3 2x) 1 2 = f (x) = 1 2 (x3 2x) (3x 2 2) f (x) = cos(x 3 2x) = f (x) = (sin(x 3 2x))(3x 2 2)

15 Derivate: esercizi 15 / 40 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni f (x) = e x, f (x) = 2x + e x2, ln(tan(x)) f (x) = sin(x) sin(x), f (x) = ln 3 (x + 1) 2 1 x + 1 f (x) = log 3 (x 2 1), f (x) = cos(x 3 1) 7

16 Continuità e derivabilità 16 / 40 Se una funzione è derivabile nel punto x 0, allora è necessariamente continua in tale punto. (Infatti, dall identità f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f (x 0 + h) f (x 0 ) h h essendo finito il limite che definisce la derivata f (x 0 ) deduciamo lim f (x f (x 0 + h) f (x 0 ) 0 +h) = f (x 0 )+ lim = lim f (x 0 )+f (x 0 )0 = f (x 0 ) h 0 h 0 h h 0 che è appunto la definizione di funzione continua.) Osservazione. Nei punti di discontinuità una funzione non può ammettere derivata.

17 Continuità e derivabilità La condizione di continuità è solamente necessaria per la derivabilità ma non sufficiente: se una funzione è continua in un punto x 0 NON È DETTO sia derivabile in quel punto. Esempio. f (x) = x 2 = { x 2 se x 2 0 x + 2 se x 2 < 0 è continua in x = 2, ma non è derivabile in quel punto. Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite: ma si ha f (2) = lim h 0 f (2 + h) f (2) h 2 + h 2 0 h lim = lim h 0 + h h 0 + h = 1 lim 2 + h 2 0 h = lim h 0 h h 0 h = 1 non esiste il limite del rapportio incrementale nel punto x = 2 per cui f (x) non è derivabile,lo è in tutti gli altri punti. 17 / 40

18 Continuità e derivabilità 18 / 40 Esempio 2. f (x) = 3 x 1 è continua in x = 1, ma non è derivabile in quel punto. Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite: ma si ha e lim h 0 + lim h 0 f (1) = lim h 0 f (1 + h) f (1) h h h h h 1 = lim 3 = + h 0 + h 2 1 = lim 3 = + h 0 h 2 per cui la funzione non è derivabile nel punto x = 1.

19 Continuità e derivabilità 19 / 40 Esempio 3. f (x) = x è continua in x = 0, ma non è derivabile in quel punto. Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite: ma si ha lim h 0 + lim h 0 f (0) = lim h 0 f (0 + h) f (0) h 0 + h 0 h 0 + h 0 h = lim h 0 + = lim h 0 h h h h +h = lim = + h 0 + h h = lim = h 0 h per cui la funzione non è derivabile nel punto x = 0.

20 Derivata e calcolo dei limiti: regola di De L Hôpital Considerate due funzioni derivabili f (x) e g(x) tali che oppure lim f (x) = 0 e lim g(x) = 0 x x 0 x x0 lim f (x) = ± e lim g(x) = ± x x 0 x x0 se esiste il limite del rapporto delle derivate cioè esiste f (x) lim x x 0 g (x) allora f (x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). La regola di De L Hôpital si usa per risolvere le forme indeterminate 0 0 o ± ±. 20 / 40

21 Regola di De L Hôpital: esempi 21 / 40 Calcolare i seguenti limiti applicando De l Hôpital: sin(x) lim = 0, applicando De l Hôpital si ha x 1 x 0 sin(x) (sin(x)) cos(x) lim = lim x 0 x x 0 x = lim = 1 x = 1 ln(x) lim x 1 x 1 = 0, applicando De l Hôpital si ha 0 ln(x) lim x 1 x 1 = lim (ln(x)) 1 x 1 (x 1) = lim x x 1 1 = lim 1 x 1 x = 1 1 = 1

22 Regola di De L Hôpital: esempi Calcolare i seguenti limiti applicando De l Hôpital: lim x + e x x 2 1 = +, applicando De l Hôpital si ha + lim x + e x x 2 1 = lim x + applicando di nuovo De l Hôpital: (e x ) (x 2 1) = lim e x x + 2x = + + e x lim x + 2x = lim (e x ) x + (2x) = lim e x x + 2 = + 22 / 40

23 Funzioni crescenti e decrescenti Data una funzione f (x) definita in un dominio D f (x) è crescente nell intervallo I D se x 1,x 2 I : x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) f (x) è strettamente crescente nell intervallo I D se x 1,x 2 I : x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ) f (x) è decrescente nell intervallo I D se x 1,x 2 I : x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) f (x) è strettamente decrescente nell intervallo I D se x 1,x 2 I : x 1 < x 2 = f (x 1 ) > f (x 2 ) 23 / 40

24 Funzioni limitate Una funzione f (x) si dice limitata in tutto il suo dominio D se la sua immagine è un insieme limitato (aperto o chiuso) sottoinsieme proprio di R. Una funzione f (x) si dice limitata superiormente (inferiormente) se la sua immagine è un insieme limitato superiormente(inferiormente) in R. Geometricamente, il grafico di una funzione limitata è contenuto in una striscia orizzontale del piano delimitata dalle rette y = M e y = M, dove M R tale che. f (x) < M x D 24 / 40

25 Massimo e minimo di una funzione 25 / 40 Sia f (x) una funzione definita in D R e x 0 D. Il valore maxf = f (x 0 ) è detto massimo assoluto di f (x) se f (x 0 ) f (x) x D Il valore minf = f (x 0 ) è detto minimo assoluto di f (x) se f (x 0 ) f (x) x D

26 Esempi massimi e minimi 26 / f (x) = (x + 1) ha massimo assoluto uguale a 2, assunto in x = 2. Non ha minimo assoluto. 2. f (x) = x + 1 con x D = [ 2,6] ha massimo assoluto uguale a 7 assunto in x = 6 e minimo assoluto uguale a 1 assunto in x = 2 3. f (x) = sin(x) ha massimo assoluto uguale a 1, e minimo assoluto uguale a 1. Il massimo è assunto negli infiniti punti π 2 + 2kπ, con k R, mentre il minimo negli infiniti punti π 2 + 2kπ

27 Massimi e minimi relativi Data la funzione f (x) definita nel dominio D R si dice che f (x) ha un punto di massimo locale in x 0 I, I = [a,b] D se f (x 0 ) f (x) x I questo valore maxf = f (x 0 ) f (D). f (x) ha un punto di minimo locale in x 0 I, I = [a,b] D se f (x 0 ) f (x) x I questo valore minf = f (x 0 ) f (D). 27 / 40

28 Segno della derivata prima Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora: se f (x) > 0 x I allora la funzione f è crescente in I; se f (x) < 0 x I allora la funzione f è decrescente in I; se f (x) = 0 x I allora la funzione f non è ne crescente ne decrescente in I. I punti in cui una funzione f ha derivata nulla si dicono punti stazionari. I punti in cui una funzione f ha derivata nulla oppure non esiste la derivata si dicono punti critici. I punti stazionari sono punti critici. 28 / 40

29 Esempio 1 29 / 40 f (x) = x 2 5x + 6 = f (x) = 2x 5 f (x) = 2x 5 0 x > 5 2 = f (x) è crescente x < 5 2 = f (x) è decrescente x = 5 2 = ( 5 2 ) è un minimo locale

30 Esempio 2 f (x) = x 3 = f (x) = 3x 2 f (x) = 3x 2 0 x R f (x) = 0 se x = 0 f (x) è sempre crescente, x = 0 non è nè massimo nè minimo locale 30 / 40

31 { f (x) = x 2 = f 1 se x 2 > 0 (x) = { 1 se x 2 < 0 f > 0 se x 2 > 0 (x) = < 0 se x 2 < 0 f (x) non è derivabile per x = 2 Esempio 3 La funzione non è derivabile in x = 2, ma x = 2 è un minimo locale. Infatti f (x) < 0 per x < 2 e f (x) > 0 per x > / 40

32 Esempio 4 f (x) = { 1 x = f (x) = 2 x 2 1 se x > x 2 1 se x < 0 { > 0 se x > 0 f (x) = < 0 se x < 0 f (x) non è derivabile per x = 0 La funzione non è derivabile in x = 0, ma x = 0 è un minimo locale. Infatti f (x) < 0 per x < 0 e f (x) > 0 per x > / 40

33 Esempio 5 33 / 40 f (x) = 3 x = x 1 3 = f (x) = 1 3 x 2 3 = x 2 f (x) = x 2 > 0 x R \ {0} f (x) è sempre crescente e la funzione non è derivabile in x = 0. Infatti f (x) + per x 0 e x = 0 non è nè massimo nè minimo locale.

34 Riepilogando 34 / 40 Nei punti di massimo e minimo locale la derivata prima, se esiste, è nulla La retta tangente in questi punti è parallela all asse delle x Un punto critico può essere massimo o minimo locale anche quando non stazionario Un punto stazionario non è sempre un massimo o un minimo locale

35 Derivata seconda 35 / 40 Sia data una funzione f (x). Se la sua funzione derivata prima f (x) è derivabile in un intervallo, la sua derivata si chiama derivata seconda di f (x) e si indica con f (x) o d 2 dx 2 f (x). La derivata seconda è la derivata della derivata, (ovverosia l incremento dell incremento). Geometricamente la derivata seconda misura quindi l incremento della pendenza; se la pendenza diminuisce la curva pende sempre più verso il basso e quindi abbiamo concavità verso il basso. Se viceversa la pendenza aumenta la curva pende sempre più verso l alto e quindi abbiamo concavità verso l alto.

36 Derivata seconda Una funzione f (x) derivabile due volte in un intervallo ha concavità verso l alto negli intervalli del dominio in cui si ha f (x) > 0; ha concavità verso il basso negli intervalli del dominio in cui si ha f (x) < 0; i punti del grafico in cui la funzione cambia concavità si chiamano punti di flesso. In tali punti, se esiste, f (x) = 0. Osservazione. Si parla di flesso a tangente orizzontale se nel punto in cui f = 0 si aveva anche f = 0. Altrimenti si parla di flesso a tangente obliqua. 36 / 40

37 Esempio f (x) = x 3 f (x) = 3x 2 f (x) = 6x f (x) = 3x 2 > 0 x R per cui la funzione è sempre crescente, in x = 0 la tangente è orizzontale ma non è nè minimo nè massimo locale f (x) = 6x > 0 per x > 0 concavità verso l alto f (x) = 6x < 0 per x < 0 concavità verso il basso f (x) = 0 se x = 0 = (0,f (0)) è un flesso a tangente orizzontale 37 / 40

38 Riassunto punto critici 38 / 40 Si dice punto critico un punto x 0 in cui una funzione f ha derivata nulla (punto stazionario) oppure in cui non esiste la derivata prima. A. Punti stazionari. f (x 0 ) = 0. In talcaso il punto x 0 è: 1) un massimo o un minimo relativo; 2) un punto di flesso a tangente orizzontale;

39 Riassunto punto critici 39 / 40 B. Non esiste la derivata prima in x 0 (pur essendo continua la funzione in x 0 ). Ciò può avvenire per i seguenti motivi: f (x 0 + h) f (x 0 ) 1) lim = e si presentano i seguenti h 0 h casi a) lim f (x) = + il punto x 0 è un punto di flesso a x x 0 ± b) lim x x ± 0 c) lim x x ± 0 d) lim x x ± 0 tangente verticale ascendente ; f (x) = il punto x 0 è un punto di flesso a tangente verticale discendente ; f (x) = ± nel punto x 0 si ha una cuspide rivolta verso il basso; f (x) = nel punto x 0 si ha una cuspide rivolta verso l alto;

40 Riassunto punto critici 40 / 40 B. Non esiste la derivata prima in x 0 (pur essendo continua la funzione in x 0 ). Ciò può avvenire per i seguenti motivi: 2) f +(x 0 ) f (x 0 ) In tal caso si hanno i punti angolosi. Si hanno punti angolosi anche quando f +(x 0 ) è finita e f (x 0 ) non è finita o viceversa 3) Non esiste in x 0 il limite del rapporto incrementale.