Lezione 11 (30 novembre)

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1 Lezione 11 (30 novembre) Teorema di De l Hopital Massimi e minimi assoluti e relativi Funzioni limitate superiormente e inferiormente Legame tra derivata prima e crescita e decrescita della funzione

2 Derivata e calcolo di limiti. Teorema di De l Hopital Siano f(x), g(x) due funzioni derivabili su un intervallo (a, b), con g(x) e g x 0. Se lim x a f(x) = lim g(x) = 0 oppure lim f(x) = ± e lim g(x) = ± x a x a x a e inoltre lim f (x) = l x a + g (x) con l R, oppure l = o l = + allora anche f(x) lim x a + g(x) = l Lo stesso vale se si considerano x b o x ±. Il teorema di De l Hospital si usa per risolvere le forme indeterminate ± ± oppure 0 0.

3 sin x lim x 1 x = 0 0 Esempi. Risoluzione di limiti usando il Teorema di De l Hopital. applicando De l Hospital: sin x lim x 1 x = lim (sin x) x 1 (x) = lim x 1 cos x 1 = 1 1 = 1 ln x lim = 0 x 1 x 1 0 applicando De l Hospital: lim x 1 1 x = lim 1 = 1 = 1 1 x 1 x 1

4 Esempi. Risoluzione di limiti usando il Teorema di De l Hopital. e lim x = + x + x applicando De l Hospital: lim x + e x x 2 1 = lim x + (e x ) (x 2 1) = lim e x x + 2x = + + Applicando nuovamente De l Hospital: e x lim x + 2x = lim (e x ) x + (2x) = lim e x x + 2 = +

5 Definizione: massimi e minimi assoluti Sia f(x) una funzione definita in D R e x 0 D: Il valore max f = f(x 0 ) è detto massimo assoluto di f(x) se x D f x 0 f(x) Il valore min f = f(x 0 ) è detto minimo assoluto di f(x) se x D f x 0 f(x)

6 Esempi f x = x ha massimo assoluto uguale a 2 (che è il valore assunto per x = 1). Non ha minimo assoluto. f x = x + 1 con x D = 2,5 ha massimo assoluto uguale a 6 (valore assunto per x = 5) e minimo assoluto uguale a 1 (valore assunto per x = 2).

7 Funzioni limitate Una funzione f(x) è limitata in tutto il suo dominio D se la sua immagine è un insieme limitato (può essere sia aperto che chiuso). Massimo e minimo assoluti R Estremo superiore e inferiore R Una funzione f(x) è limitata superiormente (inferiormente) in tutto il suo dominio D se la sua immagine è un insieme limitato superiormente (inferiormente). Massimo (minimo) assoluto R Estremo superiore (inferiore) R

8 Esempi f x = x è limitata inferiormente Im f = 0, + min f = 0, sup f = + f x = 5 x 1 è limitata inferiormente Im g = 1, + inf f = 1, sup f = +

9 Esempi f x = x con x ( 2, 1] è limitata Im f = 0, 4 min f = 0, max f = 4 f x = 5 x 1 con x (, 1) è limitata Im g = ( 1, 4) inf f = 1, sup f = 4

10 Esercizi sulle funzioni limitate Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente: g x = x h x = x f t f x g t = t 2 con t [ 2,3] = 5 x = t 2 con t [ 2,3)

11 Massimi e minimi relativi (o locali) (estremi locali della funzione) Data la funzione f(x) definita nel dominio D R, si dice che f x ha un punto di massimo locale in x 0 D se esiste un intorno I = a, b D di x 0 tale che x I f x 0 f(x) Il valore max f = f x 0 è il minimo locale assunto dalla funzione. f x ha un punto di minimo locale in x 0 D se esiste un intorno I = (a, b) D di x 0 tale che questo valore min f = f x 0 x I f x 0 f(x) f(d).

12 Segno della derivata prima Data una funzione f(x) derivabile in un intervallo I, allora se f x > 0 x I allora la funzione f(x) è strettamente crescente in I se f x < 0 x I allora la funzione f(x) è strettamente decrescente in I Se f x = 0, che andamento ha la funzione in tale punto? Cosa vuol dire geometricamente? (Ripensare al significato geometrico della derivata in un punto)

13 Teorema Sia f: a, b R una funzione continua, e supponiamo inoltre che sia derivabile in (a, b). Se x 0 (a, b) è un punto di massimo (o minimo) locale (o assoluto), allora f x 0 = 0 x 0 è detto punto critico (o stazionario) di f.

14 Riepilogando Nei punti di massimo o minimo locale la derivata prima, se esiste, è nulla. La retta tangente alla curva in questi punti è parallela all asse x. Se la derivata prima è nulla in x 0 non vuol dire che in x 0 ci sia un massimo o un minimo locale!

15 Esempio 1 f x = x 2 5x + 6 f x = 2x 5 f x = 2x 5 0 x > 5 2 x < 5 2 f(x) è crescente f(x) è decrescente x = 5 2 f 5 2 è un minimo locale

16 Esempio 2 f x = x 3 f x = 3x 2 f x = 3x 2 0 x R f x = 0 per x = 0 f x sempre crescente f 0 non è né massimo né minimo locale È un flesso a tangente orizzontale