f x = cos(5x 2 + 3) f t = sin(6x + 4)

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2 f x = 3x x f t = 3t 4 e t f x = x2 +3x 5ex f t = 2t + 7 cos t 4 f x = cos(5x 2 + 3) f t = sin(6x + 4) g x = ln(x 2 + 3) h x = 3x sin (7x + 9) g t = e x2 +cos(2x) h x = 3e3x x 6 f t = tan(3t)

3 Sia f(x) una funzione definita in D R e x 0 D: Il valore max f = f(x 0 ) è detto massimo assoluto di f(x) se x D f x 0 f(x) Il valore min f = f(x 0 ) è detto minimo assoluto di f(x) se x D f x 0 f(x) Esempi: f x = x ha massimo assoluto uguale a 2 (che è il valore assunto per x = 1). Non ha minimo assoluto. f x = x + 1 con x D = 2,5 ha massimo assoluto uguale a 6 (valore assunto per x = 5) e minimo assoluto uguale a 1 (valore assunto per x = 2).

4 Una funzione f(x) è limitata in tutto il suo dominio D se la sua immagine è un insieme limitato (può essere sia aperto che chiuso). Massimo e minimo assoluti R Estremo superiore e inferiore R Una funzione f(x) è limitata superiormente (inferiormente) in tutto il suo dominio D se la sua immagine è un insieme limitato superiormente (inferiormente). Massimo (minimo) assoluto R Estremo superiore (inferiore) R

5 Esempi: f x = x è limitata solo inferiormente Im f = 0, +, min f = 0, sup f = + f x = 5 x 1 è limitata solo inferiormente Im g = ( 1, + ), inf f = 1, sup f = + f x = x con x ( 5, 5] è limitata Im f = [0, 36], min f = 0, max f = 36 f x = 5 x 1 con x [0, 2) è limitata Im g = [0, 24), min f = 1, sup f = 24

6 Trovare massimi e minimi assoluti, estremo inferiore e superiore delle seguenti funzioni e dire se sono limitate inferiormente e/o superiormente: g x = x h x = x f t = t 2 con t [ 2,3] f x = 5 x g t = t 2 con t [ 2,3)

7 Data la funzione f(x) definita nel dominio D R, si dice che f x ha un punto di massimo locale in x 0 D se esiste un intorno I = a, b D di x 0 tale che x I f x 0 f(x) Il valore max f = f x 0 è il minimo locale assunto dalla funzione. f x ha un punto di minimo locale in x 0 D se esiste un intorno I = (a, b) D di x 0 tale che x I f x 0 questo valore min f = f x 0 f(d). f(x)

8 f x = x 2 1 allora Im f = [ 1, + ) 1 è l estremo inferiore della funzione (inf f = 1 R) e quindi la funzione è limitata inferiormente + è l estremo superiore della funzione (sup f = + R) e quindi la funzione non è limitata superiormente In particolare, poiché il valore 1 viene assunto dalla funzione, 1 è minimo assoluto della funzione e si scrive (min f = 1)

9 f x = x 2 1 con x [ 2,3) allora Im f = [ 1, 8) 1 è l estremo inferiore della funzione (inf f = 1 R) e quindi la funzione è limitata inferiormente 8 è l estremo superiore della funzione (sup f = 8 R) e quindi la funzione è limitata superiormente In particolare, poiché il valore 1 viene assunto dalla funzione, 1 è minimo assoluto della funzione e si scrive (min f = 1) Invece il valore 8 non viene assunto dalla funzione e quindi non è massimo assoluto ma solo estremo superiore della funzione.

10 Definizione di derivata in un punto x 0 D: Data una funzione f(x) definita in D, la derivata di f(x) in x 0 D è il limite f x 0 + h f(x 0 ) lim h 0 h se tale limite esiste ed è finito. La derivata di f(x) in x 0 si indica con f x 0, d dx f(x 0) oppure Df(x 0 ). La derivata di una funzione in un punto x 0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto(x 0, f(x 0 )).

11 Se una funzione è derivabile nel punto x 0, allora è continua in tale punto. (Questo vuol dire che se la funzione non è continua in un punto non può essere nemmeno derivabile in tale punto). Se una funzione è continua in x 0 allora è derivabile in x 0? No, non è detto che sia derivabile in quel punto. P 1 : flesso a tangente verticale P 2 : cuspide P 3 : punto angoloso

12 Calcolare, se esiste, la derivata di f x = x in x 0 = 0. lim h h 0 h h = lim h 0 h mentre f h + 0 = lim = lim h 0 + h h 0 +1 = 1 f h 0 = lim h 0 h = lim h = 1 quindi il limite non esiste e di conseguenza nemmeno la derivata in x 0 = 0. Si dice perciò che la funzione non è derivabile in 0. Negli altri punti (x 0 0) qual è la retta tangente?

13 f x = ln x se x 1 x 1 2 se x < 1 Verificare che è continua ma non è derivabile in tutto il suo dominio.

14 Data una funzione f(x) derivabile in un intervallo I, allora se f x > 0 x I allora la funzione f(x) è strettamente crescente in I se f x < 0 x I allora la funzione f(x) è strettamente decrescente in I Se f x = 0, che andamento ha la funzione in tale punto? Cosa vuol dire geometricamente? (Ripensare al significato geometrico della derivata in un punto)

15 Sia f: a, b R una funzione continua, e supponiamo inoltre che sia derivabile in (a, b). Se x 0 (a, b) è un punto di massimo (o minimo) locale (o assoluto), allora f x 0 = 0 x 0 è detto punto critico (o stazionario) di f.

16 Nei punti di massimo o minimo locale la derivata prima, se esiste, è nulla. La retta tangente alla curva in questi punti è parallela all asse x. Se la derivata prima è nulla in x 0 non vuol dire che in x 0 ci sia un massimo o un minimo locale!

17 f x = x 2 5x + 6 f x = 2x 5 f x = 2x 5 0 x > 5 f(x) è crescente 2 x < 5 f(x) è decrescente 2 x = 5 2 f 5 2 è un minimo locale

18 f x = x 3 f x = 3x 2 f x = 3x 2 0 x R f x = 0 per x = 0 f x sempre crescente f 0 non è né massimo né minimo locale È un flesso a tangente orizzontale

19 Dominio Studio del segno (se è facile) Limiti (e asintoti) Crescita e decrescita della funzione, massimi e minimi locali.

20 Studiare la funzione f x = x Dominio : D = [0, + ) Studio del segno x 0 x D Limiti e asintoti lim x + x = + guardo se c è l asintoto obliquo: m = lim x + Mentre f 0 = 0 x x = 0 quindi no! Crescita e decrescita della funzione: f x = 1 0 x D 2 x quindi è sempre crescente (non c è massimo assoluto e nemmeno massimi locali). Può crescere in modi diversi

21 Sia data una funzione f(x). Se la sua funzione derivata prima f (x) è derivabile in un intervallo, la sua derivata si chiama derivata seconda di f(x) e si indica con f x. Nelle stesse condizioni si può derivare la derivata seconda, ottenendo la derivata terza di f x. Data una funzione f(x) derivabile in un intervallo, essa è: convessa negli intervalli del dominio in cui si ha f x > 0 concava negli intervalli del dominio in cui si ha f x < 0 i punti del grafico della funzione in cui cambia la concavità si chiamano punti di flesso. In tali punti f x = 0

22 f x = x 2 5x + 6 f x = 2x 5 f (x) = 2 > 0 x R quindi è convessa in tutto il suo dominio

23 f x = x 3 f x = 3x 2 f x = 6x f x = 3x 2 0 x R sempre crescente, in x = 0 la tangente è orizzontale ma non è né massimo né minimo locale. f x = 6x 0 per x 0 f x > 0 per x > 0 convessa f x < 0 per x < 0 concava (0, f 0 ) è un flesso a tangente orizzontale

24 f x = 1 2 x = 1 2 x 1 2 f x = x = 1 4 x 3 2 f x = 1 4x x < 0 x D quindi è concava:

25 Es. f x = x2 +2 x x lim 2 +2 x x x lim 2 +2 x 0 x D =, 0 (0, + ) = con asintoto obliquo y = x = lim x2 +2 x 0 + x = + x lim 2 +2 = + con asintoto obliquo y = x x + x Se volete potete studiare il segno della funzione. Cerchiamo gli intervalli di crescenza e decrescenza studiando il segno della derivata prima f x = x2 2 x 2

26 Quindi la funzione è: Decrescente per x (, 2) Raggiunge un minimo relativo quando x = 2 che vale f 2 = 4 2 = = 2 2 Crescente per x ( 2, 0) Crescente per x (0, + 2) Raggiunge un massimo relativo quando x = f 2 = 4 = 4 2 = Decrescente per x ( 2, + ) 2 che vale

27 Studio della derivata seconda: f x = x2 2 quindi x 2 f x = 2x x2 x 2 2 2x x 4 = 4x x 4 N) 4x 0 quando x 0 D) x 4 > 0 x 0

28 Grafico della funzione:

29 Siano f(x), g(x) due funzioni derivabili su un intervallo (a, b), con g(x) e g x 0. Se oppure e inoltre lim x a lim f(x) = lim g(x) = 0 x a + x a + f(x) = ± e lim g(x) = ± + + x a f (x) lim x a + g (x) = l con l R, oppure l = o l = + allora anche f(x) lim x a + g(x) = l Lo stesso vale se si considerano x b o x ±. Il teorema di De l Hospital si usa per risolvere le forme indeterminate ± ± o 0 0.

30 sin x lim x 1 x = 0 0 applicando De l Hospital: sin x lim x 1 x = lim (sin x) x 1 (x) = lim x 1 cos x 1 = 1 1 = 1 ln x lim = 0 x 1 x 1 0 applicando De l Hospital: lim x 1 1 x = lim 1 = 1 = 1 1 x 1 x 1

31 e lim x = + x + x applicando De l Hospital: lim x + e x x 2 1 = lim x + (e x ) (x 2 1) = lim e x x + 2x = + + Applicando nuovamente De l Hospital: e x lim x + 2x = lim (e x ) x + (2x) = lim e x x + 2 = +

32 Dovete usare la regola di De l Hospital solo nel caso in cui non possiate lavorare in un altro modo. Per esempio non voglio che lo usiate per risolvere limiti di rapporti di polinomi perché in quel caso avete a disposizione il raccoglimento.

33 Studiare dominio, comportamento agli estremi, crescita e decrescita della funzione, eventuali punti di massimo e minimo della funzione f x = 2 e tracciarne il grafico. x 1

34 Disegnare il grafico di f s = s 1 s 2, dire se è pari o dispari e se è continua nel suo dominio. D = s R: 1 s 2 0 = s R: 1 s 1 = [ 1,1] f s = s 1 s 2 = s 1 s 2 = f(s) è dispari lim s s 1 1 s2 = 0 lim s 1 s 1 s 2 = 0

35 f s = 1 1 s 2 + s s s = 1 2s2 f s 0 per 1 2 s 1 2 quindi è decrescente in 1, , 1 crescente in 1 2, s 2 P = 1 2, f 1 2 = 1 2, 1 2 è un minimo locale P = 1 2, f 1 2 = 1 2, 1 2 è un massimo locale

36 f s = 1 2s2 1 s 2 1 2s 2 1 s 2 1 s 2 2 = 4s 1 s 2 1 2s s2 1 2 ( 2s) 1 s 2 = 3s+2s3 (1 s 2 ) 1 s 2 0 f s > 0 in 1,0 e qui la concavità è verso l alto f s < 0 in (0,1] e qui la concavità è verso il basso P = 0, f 0 = (0,0) è un punto di flesso

37 D = t R: t > 0 = (0, + ) lim forma indeterminata t 0 + t2 ln t = 0 Deve essere trasformata in una F.I. del tipo 0 o ± 0 lim t 0 + t2 ln t = lim t 0 + ln t lim t 0 + t 2 = lim t 0 + ln t = 1 t t 2t 3 = lim t 0 + ± usiamo de l Hospital 1 t 2 = lim t3 t 0 + 2t = 0 t 3 lim t + t2 ln t = + + = + Esercizio: verificare che non ci sono asintoti obliqui.

38 f x = 2x ln x + x 2 1 = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1) 0 f x < 0 in 0, 1 e f x > 0 in 1 e x ed è quindi decrescente, + ed è quindi crescente P = 1 e, f 1 e = 1 e, 1 2e è un minimo locale f x = 2 ln x x 2 1 = 2 ln x x f 1 x < 0 in 0, ed ha la concavità verso il basso f x > 0 in e e 1 e e P = 1 e e, f 1 e e, + ed ha la concavità verso l alto = 1, 3 e e 2e3 è un punto di flesso

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40 La risposta di un neurone artificiale a uno stimolo è una funzione a gradino θ x = 0 se x 0 1 se x > 0 e per questo motivo spesso si preferisce usare la legge f x = 1 1+e αx con α > 0. Studiare il limite delle due funzioni per x + e per x. Rappresentare poi le due leggi graficamente considerando nella seconda α = 2. Sono funzioni limitate?

41 Sia f x = 1 1+e 2x E una funzione limitata? Raggiunge un valore massimo? E un valore minimo? D = R 1 lim y = 0 asintoto orizzontale x 1 + e αx = 0 1 lim y = 1 asintoto orizzontale x e αx = 1

42 Scrivendo f x = 1 + e 2x 1 f x = 2e 2x 1 + e 2x 2 = e quindi è sempre crescente. 2e 2x 1+e 2x 2 0 x R f x = 2e 2x 1 + e 2x 2 f x = 2e 2x 1 + e 2x 2 + 2e 2x 1 + e 2x 2 = = 4e 2x 1 + e 2x e 2x e 2x 3 = 4e 2x ( 1 + e 2x ) 1 + e 2x 3

43 f x = 4e 2x ( 1 + e 2x ) 1 + e 2x 3 4e 2x > 0 x R 1 + e 2x 3 > 0 x R quindi f x 0 quando 1 + e 2x 0, ovvero quando 2x 0 e perciò quando x 0. Quindi, per x (, 0) la funzione è convessa (f x > 0) Mentre per x (0, + ) la funzione è concava (f x < 0) P = 0, f 0 è un punto di flesso.

44 In rosso il grafico di θ x = 0 se x 0 1 se x > 0 In blu il grafico di f x = 1 1+e 2x

45 Supponiamo che T t = ln(t + 1) + 20 sia la legge che descrive la variazione di temperatura in un ambiente in un periodo di tempo t 0,60 minuti. 1. Qual è la temperatura iniziale? 2. Dopo quanto tempo la temperatura supera i 22 gradi? 3. Disegnare il grafico della funzione T t = ln(t + 1) + 20.

46 Supponiamo che q(t) = 20 + e t 5 sia la legge che descrive le tonnellate di materiale estratte da una cava al variare del tempo t misurato in mesi. 1. Dopo quanto tempo si saranno estratte 80 tonnellate di materiale? 2. Dopo quanto tempo la quantità di materiale estratto supererà le 400tonnellate? 3. E lecito aspettarsi che dopo 3 mesi le tonnellate estratte siano 27? 4. Disegnare il grafico della funzione q(t) = 20 + e t 5

47 Sia f x = ex x2 disegnarne il grafico. La funzione è limitata? Ha massimo o minimo assoluto? Sia f x = x+2 assoluto? x La funzione raggiunge un massimo o un minimo Sia f x = x+2 assoluto? x 2 1. La funzione raggiunge un massimo o un minimo

48 Due popolazioni in un habitat si evolvono seguendo rispettivamente leggi N 1 t = 1000 e N 2 t = e t 5 5+5e t 4. Rappresentare graficamente l evoluzione delle due popolazioni. Raggiungono in qualche istante lo stesso numero di individui? Una popolazione si evolve seguendo la legge P t = AP 0 P 0 + A P 0 e βt dove il tempo è misurato in anni e i parametri A, P 0, β sono parametri positivi. Se si permette al tempo di crescere illimitatamente, cosa accade alla popolazione col passare degli anni? Quanti individui costituiscono la popolazione iniziale? Cosa rappresentano quindi i parametri A e P 0? Si consideri poi A = 20, P 0 = 100, β = 2, la popolazione supererà mai i 150 esemplari? Dopo quanto tempo la popolazione sarà inferiore a 40 esemplari?

49 E stato osservato in una serra che la percentuale di piantine germogliate dopo 2 giorni è del 20%, dopo 4 giorni è del 25%, dopo 5 giorni è del 40%. La relazione tra i giorni e la percentuale di piantine germogliate è lineare? Se non lo è e supponiamo che sia una relazione quadratica del tipo y = ax 2 + bx + c, quale sarà la percentuale di piantine germogliate dopo 6 giorni? Il disegno rappresenta il grafico di una funzione f: 2,4 R (ogni quadretto ha lato di misura 1). Quanto vale f(f(f(2))) f(3)?

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