Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1

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1 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 1 CAPITOLO 8. LE FUNZIONI. 1. Generalità sulle funzioni.. Le rappresentazioni di una funzione.. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.. Le funzioni reali di variabile reale. 5. L espressione analitica e il grafico delle principali funzioni reali di variabile reale. 6. La classificazione delle funzioni. 7. Dominio di una funzione. 8. Codominio di una funzione. 9. Le funzioni pari e dispari. 10. Le funzioni periodiche. 11. Le intersezioni con gli assi. 1. Il segno di una funzione. 1. Gli asintoti di una funzione. 1. Le funzioni crescenti e decrescenti. 15. Le funzioni concave e convesse. 16. I punti angolosi e i punti cuspidali. 17. Funzioni limitate e illimitate. 18. La funzione inversa. 19. La funzione composta. 0. Esercizi vari per determinare le principali caratteristiche di una funzione. 1. Generalità sulle funzioni. Una funzione è una legge di corrispondenza che ad ogni elemento di un insieme A fa corrispondere un solo elemento di un insieme B. Si indica scrivendo: f : A B e si legge effe di A in B. A si chiama insieme di partenza; B si chiama insieme di arrivo. L insieme A di partenza si chiama Dominio della funzione e si indica con D. Per indicare che all elemento a Ala funzione f fa corrispondere l elemento b B si scrive b f (a) e l elemento b si chiama immagine di a. L insieme di tutte le immagini si chiama Codominio della funzione e si indica con C.

2 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR). Le rappresentazioni di una funzione. Una generica funzione si può rappresentare in tre modi: con i diagrammi di Eulero-Venn, con una tabella o con un grafico cartesiano. Per esempio, se consideriamo la funzione che col passare del tempo ad ogni ora della giornata associa il valore corrispondente della temperatura espresso in C, questa funzione si può rappresentare con il seguente diagramma di Eulero-Venn: tempo (h) 1 8 temperatura ( C) oppure con la seguente tabella: tempo (h) temperatura ( C) oppure col seguente grafico cartesiano: 1 temperatur a ( C) tempo (h) Bisogna osservare che mentre ad ogni ora della giornata corrisponde necessariamente un valore di temperatura, ci possono essere valori di temperatura che non corrispondono ad alcuna ora della giornata (per es. t=50 C) e ci possono essere valori di temperatura che corrispondono a più ore della giornata (per es. t=9 C).

3 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR). Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Una funzione f : A B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A, quindi ci possono essere elementi di B che non sono immagini di alcun elemento di A. Una funzione f : A B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A, quindi ci possono essere elementi di B che sono immagini di più elementi di A. Una funzione f : A B si dice biiettiva (o biunivoca) se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, cioè se ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A.

4 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR). Le funzioni reali di variabile reale. Se nella funzione f : A B l insieme di partenza A e l insieme di arrivo B sono entrambi insiemi di numeri reali, la funzione f si chiama funzione reale di variabile reale. In tal caso, il generico elemento dell insieme di partenza A si indica con x e il generico elemento dell insieme di arrivo B si indica con y. Per indicare che al numero reale x A corrisponde il numero reale y B si scrive y f (x). La lettera x si chiama variabile indipendente; la lettera y si chiama variabile dipendente, poiché il suo valore dipende dal valore di x. Queste funzioni si chiamano funzioni reali di variabile reale proprio perché la funzione y f (x) è un numero reale e anche la variabile x è un numero reale.. L espressione analitica e il grafico delle principali funzioni reali di variabile reale. Le funzioni reali di variabile reale si possono anche rappresentare con una espressione analitica, cioè con una formula che indica le operazioni matematiche che bisogna eseguire sulla variabile x per ottenere il valore corrispondente della variabile y. Dall espressione analitica si possono poi ottenere gli altri tipi di rappresentazione: la rappresentazione con i diagrammi di Eulero-Venn, con una tabella o con un grafico cartesiano. In particolare il grafico cartesiano è il tipo di rappresentazione più utile per le funzioni reali di variabile reale, poiché fornisce un idea immediata dell andamento della funzione y f (x) al variare della variabile x. Le principali funzioni reali di variabile reale, con la loro espressione analitica e con il loro grafico cartesiano, sono le seguenti: 1. La funzione costante: y k con una retta orizzontale.. La funzione della proporzionalità diretta: y kx con una retta che passa per l origine degli assi cartesiani.. La funzione della proporzionalità k inversa: y x con un iperbole equilatera.

5 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 5. La funzione della proporzionalità quadratica diretta: y kx mediante una parabola con il vertice nell origine degli assi. 5. La funzione della proporzionalità k quadratica inversa: y x con un iperbole non equilatera. 6. La funzione lineare: y mx q con una retta che non passa per l origine degli assi cartesiani. 7. La funzione quadratica: y ax bx c con una parabola avente il vertice non nell origine degli assi cartesiani. 8. La funzione potenza con esponente intero positivo: n y x con una curva diversa secondo che sia n pari o n dispari.

6 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 6 9. La funzione radice n-esima: y n x con una curva diversa secondo che sia n pari o n dispari. 10. La funzione valore assoluto: y x con una retta spezzata nell origine degli assi. 5. La classificazione delle funzioni. Per determinare le caratteristiche di una generica funzione e disegnarne il grafico è utile classificare le funzioni in questo modo: 1. Funzioni algebriche razionali intere: y P(x) dove P (x) è un polinomio di grado qualsiasi.. Funzioni algebriche razionali fratte: P( x) y dove P (x) e Q (x) sono polinomi di grado qualsiasi. Q( x). Funzioni algebriche irrazionali: y P(x) dove P (x) è un polinomio di grado qualsiasi. 6. Dominio di una funzione. Il Dominio D di una funzione reale di variabile reale è l insieme di tutti i valori della variabile x per i quali si può calcolare il valore corrispondente della funzione y f (x). Per determinare il dominio di una funzione bisogna riconoscere il tipo di funzione e seguire questa semplice procedura standard. Se la funzione è razionale intera y P(x), è sempre possibile effettuare le operazioni matematiche sulla variabile x per ottenere il valore corrispondente della funzione y f (x), perciò non bisogna porre alcuna condizione sulla x e il Dominio è uguale all insieme di tutti i numeri reali: D R P( x) Se la funzione è razionale fratta y bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da Q( x) zero: Q ( x) 0. Il dominio è l insieme di tutti i numeri reali esclusi quelli che annullano il denominatore. Se la funzione è irrazionale con la radice di indice pari: y P(x), bisogna porre la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero: P ( x) 0 e il dominio è l insieme dei numeri reali che verificano la disuguaglianza. Esempi.

7 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 7 7. Codominio di una funzione. Il Codominio C di una funzione reale di variabile reale è l insieme di tutti i valori della funzione f(x) che si possono ottenere dai valori della variabile x. Per calcolare il Codominio non esiste una procedura standard, ma bisogna analizzare la funzione caso per caso, riconoscendola fra quelle studiate come un ramo di parabola, o di circonferenza, o di ellisse, o di iperbole o di funzione omografica. Esempi.

8 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 8 8. Le funzioni pari e dispari. Sia y f (x) una funzione reale di variabile reale, avente Dominio D. Si dice che la funzione f (x) è pari se: xd: xd e inoltre f ( x) f ( x) Una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all asse y e quindi se un punto P( x; y) appartiene al grafico anche il punto P' ( x; y) deve appartenervi. Si dice che la funzione f (x) è dispari se: xd: xd e inoltre f ( x) f ( x) Una funzione dispari ha il grafico simmetrico rispetto all origine degli assi e quindi se un punto P( x; y) appartiene al grafico anche il punto P' ( x; y) deve appartenervi. Esempio 1. Stabilire la parità della funzione f ( x) x x 1 Bisogna calcolare f ( x) ( x) ( x) 1 x x 1 siccome f ( x) f ( x) la funzione è pari. Esempio. Stabilire la parità della funzione f ( x) x 5x Bisogna calcolare f ( x) ( x) 5( x) x 5x x 5x siccome f ( x) f ( x) la funzione è dispari. Esempio. Stabilire la parità della funzione f ( x) x 5x x Bisogna calcolare f ( x) ( x) 5( x) ( x) x 5x x siccome f ( x) f ( x) e f ( x) f ( x) la funzione non è pari né dispari.

9 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) 9 9. Le funzioni periodiche. Sia y f (x) una funzione reale di variabile reale, avente Dominio D. Si dice che la funzione f (x) è periodica di periodo T se: xd: x T D e inoltre f ( x T) f ( x) Una funzione periodica di periodo T ha il grafico identico in ogni intervallo di ampiezza T. Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e le loro funzioni reciproche cosecante, secante, cotangente, sono le tipiche funzioni periodiche. La funzione 1 y senx e la sua funzione reciproca y cos ecx hanno il periodo T=; senx La funzione 1 y cos x e la sua funzione reciproca y sec x hanno ha il periodo T=; cos x La funzione 1 y tgx e la sua funzione reciproca y cot gx hanno ha il periodo T=; tgx Le funzioni goniometriche più complesse hanno un periodo che si può calcolare come nei seguenti esempi. Esempio 1 Determinare il periodo della funzione y sen x Affinché la funzione sia periodica di periodo T deve risultare f ( x T) f ( x) sen ( x T) sen x; sen x T sen x; 8 Per k=1 si ottiene il periodo principale: T x T x k;, cioè: T k; 8 T k k Esempio Determinare il periodo della funzione y tg5x Affinché la funzione sia periodica di periodo T deve risultare f ( x T) f ( x), cioè: tg 5x T tg 5x ; tg 5x 5T tg5x ; 5x 5T 5x k ; 5T k ; T k 5 Per k=1 si ottiene il periodo principale: T 5 Esempio 10. Le intersezioni con gli assi. Sono i punti in cui la funzione interseca gli assi cartesiani. Si trovano risolvendo il sistema tra la funzione con l asse y e il sistema tra la funzione con l asse x. Esempi.

10 Prof. Milizia, Liceo Scientifico di Mesagne (BR) Il segno di una funzione. Studiare il segno di una funzione vuol dire stabilire per quali valori di x la funzione è positiva (e quindi il suo grafico si trova sopra l asse x) e per quali valori di x la funzione è negativa (e quindi il suo grafico si trova sotto l asse x). Lo studio del segno di una funzione è di grande aiuto per disegnare il grafico della funzione. Esempi. 1. Gli asintoti di una funzione. 1. Le funzioni crescenti e decrescenti. 1. Le funzioni concave e convesse. 15. I punti angolosi e i punti cuspidali. 16. Massimi e minimi di una funzione. 17. Funzioni limitate e illimitate. 18. La funzione inversa. 19. La funzione composta. 0. Esercizi vari per determinare le principali caratteristiche di una funzione.