Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B"

Transcript

1 FUNZIONI Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y () y viene chiamato immagine di e indicato anche con (). Esempio: se consideriamo come insieme A l insieme degli studenti della classe 5B (del liceo scientiico di Montevarchi nell anno scolastico in corso) e come insieme B l insieme dei giorni dell anno, possiamo considerare la unzione che associa ad ogni studente la propria data di nascita. Proprietà di una unzione Una unzione si dice iniettiva se ad elementi distinti corrispondono immagini distinte Per esempio la unzione : studente 5B data di nascita, non è detto che sia iniettiva perche ci potrebbero essere studenti nati nello stesso giorno.

2 Una unzione si dice suriettiva se ogni elemento y B è l immagine di almeno un elemento A. Esempio di unzione suriettiva ma non iniettiva Una unzione si dice biunivoca quando è iniettiva e suriettiva e quindi quando ad ogni elemento A corrisponde uno e un solo elemento y B e viceversa. Questa unzione viene detta anche uno-a-uno. NOTA: se prendiamo come insieme di arrivo B l insieme delle immagini, ogni unzione iniettiva diventa suriettiva. Esempio: se consideriamo la unzione che associa ad ogni studente della 5B (liceo Montevarchi, anno scolastico in corso) il proprio numero corrispondente nell elenco alabetico del registro di classe, questa è chiaramente una unzione biunivoca.

3 Funzioni reali di variabile reale Data : A B se A, B IR si dice unzione reale di variabile reale. La variabile dipendente. A viene detta variabile indipendente mentre y viene chiamata variabile Esempio: : è la unzione che associa ad ogni numero reale R il suo successivo. Dominio della unzione: è l insieme dei numeri reali per cui la unzione risulta deinita. Esempio : : ha come dominio D IR 0 poiché per 0 non è possibile eettuare. 0 Esempio : : tg è deinita per k cioè il suo dominio è D IR k, k Z. Codominio della unzione: è l insieme delle immagini della unzione. Esempio : Esempio: : tg ha come codominio C IR. sen C ; : ha come codominio Graico della unzione: è l insieme dei punti y sistema di rierimento., con D e y rispetto ad un Esempio: il graico di y sen è il seguente. D IR C, 3

4 NOTA: dal graico di una unzione possiamo vedere se è iniettiva tracciando rette parallele all asse : se le rette parallele all asse che intersecano il graico lo intersecano solo in un punto si tratta di una unzione iniettiva, altrimenti no. Inatti per esempio nel graico di y sen una retta y k con k interseca ininite volte il graico ed inatti y sen non è una unzione iniettiva ecc. NOTA: se una curva è graico di una unzione tagliandola con rette parallele all asse y dobbiamo avere al massimo una intersezione (ad ogni A è associato uno ed un solo y B ) Per esempio una circonerenza non è graico di una unzione. y y Ad un valore corrispondono due immagini distinte. 4

5 Esercizi Determina dominio, codominio e graico delle seguenti unzioni:. y ( : ). y 3. y 4. y cos 5. y tg *6. y 4 Svolgimento: se eleviamo al quadrato entrambi i membri otteniamo y 4 4 y 4 Si tratta di una ellisse con semiassi a, b (centro l origine e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani). Non possiamo però considerare tutta la curva ma solo la parte con y 0 poiché la unzione era y 4 e quindi y 0 Il dominio: D : (inatti si deve avere 4 0 ) Il codominio : 0 y 7. y 8. y 5

6 Esempi di determinazione del dominio ) Se abbiamo una unzione polinomiale il suo dominio è. Esempio: le unzioni y a a a... 0 a n n y ; 3 y ; y Hanno tutte come dominio. ) Se è una unzione razionale ratta (cioè quoziente di due polinomi) per determinare il suo dominio basterà escludere i valori che annullano il denominatore. : N( ) D( ) a0 a... an b b... b 0 m n m D : D( ) 0 Esempi: y ha come dominio ; y ha come dominio 4 3) a) Se ( ) n R( ) cioè è una radice con indice pari, il dominio si troverà risolvendo R ( ) 0 Esempio: y 0 D : 0 b) Se ( ) n R( ) cioè () è una radice di indice dispari, il duo dominio coinciderà con quello del radicando R(). Esempio: y 3 D : 0 6

7 4) Se è una unzione goniometrica ricordiamo che y sen D y cos D y tg D k / k Z Esempi y sen D 3 3 y tg k k ) a (unzione esponenziale) ha come dominio. Esempio: y ha come dominio perché l esponente è deinito per. 6) log a (unzione logaritmica) ha come dominio 0 (cioè l argomento deve essere positivo). Quindi se per esempio abbiamo log 0. y a dovremo porre l argomento positivo: Nota: per indicare il logaritmo in base e (numero irrazionale, 7 ) scriveremo ln, cioè ln log e. 7

8 Esercizi: determina il dominio delle seguenti unzioni 3 ) y [ ] ) y [ ] 3) y [ 0 ] 4) y 3 [ ] 5) y sen cos 3 [ k k ] 4 4 6) y 4 [ 0] 7) e y [ ] 8) y ln [ 3 3] 9 9) y ln [ ] 0) y [ 0 ] ) y [ 0 ln e, ] e ) 3 y tg [ k ] 3) y ln 4 [ 0 e ] e 4) y e [ ] 5) y sen tg [ k ] 4 8

9 Caratteristiche di una unzione Vediamo alcune caratteristiche di una unzione: ) si ha si dice unzione crescente in I(a,b) (I intervallo anche illimitato) se per ogni I, mentre si dice decrescente in I per ogni I. Può darsi che una unzione sia crescente (o decrescente) in tutto il dominio oppure crescente in alcuni intervalli e decrescente in altri. Esempi y è crescente D y è decrescente 0 y sen è crescente negli intervalli k k, decrescente quando 3 k k quindi in,0 I è crescente 0 cioè in I 0, NOTA: Naturalmente una unzione può essere costante cioè k Esempio: y D D. Funzione costante 9

10 ) a. Una unzione si dice limitata ineriormente se m D ( m si dice minimo della unzione e appartiene al codominio) oppure se I D (I si dice estremo ineriore e non appartiene al codominio). Esempio: y ha un minimo m D Esempio: y e ha un estremo ineriore 0 I 0 D b. Una unzione si dice limitata superiormente se M D (M si dice massimo della unzione e appartiene al codominio) oppure se S codominio) D (S si dice estremo superiore e non appartiene al Esempio: y ha massimo Esempio: M : y e ha estremo superiore 0 S : 0 0

11 c. si dice limitata se è limitata ineriormente e superiormente. Esempio: Esempio: y sen è limitata m, M y arctg è limitata I, S 3) a. Una unzione si dice pari quando e quindi il suo graico è simmetrico rispetto all asse y. Esempio: y è pari NOTA: se in una unzione la variabile compare solo con esponente pari la unzione è pari. 4 Esempio: y 3 è una unzione pari poiché e quindi il suo graico è simmetrico rispetto all origine del sistema di rierimento. b. Una unzione si dice dispari quando 3 4 Esempio: 3 y è dispari ' P ; P ; sono simmetrici rispetto a (0;0)

12 4) Una unzione si dice periodica di periodo T quando T è il minimo valore per cui T D Esempi: a. y sen ha periodo T y sen ha periodo T Inatti sen sen sen In generale y senk ha periodo T k sen k sen k k k senk b. y cos ha periodo T y cos ha periodo T In generale poiché y cos k ha periodo T k ( ) cos k k k cos c. y tg ha periodo T k cos k In generale y tgk ha periodo T poiché k tg k tg k tgk k k

13 5) Una unzione può avere un asintoto Progetto Matematica in Rete orizzontale: quando il suo graico si avvicina ad una retta orizzontale di equazione y k. Esempio: y e ha l asse come asintoto orizzontale ma solo quando (parte sinistra del graico). Esempio: y ha l asse come asintoto orizzontale sia per che quando (cioè sia a sinistra che a destra). Verticale: quando il suo graico si avvicina ad una retta verticale di equazione k quando k ( k D ). Esempio: y tg ha come asintoti verticali le rette di equazione k Esempio: y ln ha come asintoto verticale l asse y. 3

14 obliquo: quando il suo graico si avvicina ad una retta di equazione y m q quando e/o y Esempio: y 9 ( a 3 b ) y 3 asintoti obliqui Esercizi Determina dominio, codominio, graico e caratteristiche delle seguenti unzioni: ) y cos 3 ) y 3 3) y 4) y 5) y 3 6) y tg 7) y 8) y 9 3 9) y sen4 0) y 4

15 Graici deducibili dal graico di () Se conosciamo il graico graico di: G di una unzione possiamo acilmente disegnare anche il a a a a Vediamo un esempio: consideriamo come unzione ln a. Come risulterà il graico di y ln? E chiaro che sarà traslato verso l alto di. Naturalmente se considero y ln traslo verso il basso. b. Come risulterà il graico di ln y? In questo caso il dominio cambia e risulta : il graico è traslato verso destra ed ha asintoto verticale. Se invece avessi considerato ln y il graico del logaritmo traslava verso sinistra e aveva asintoto verticale (il dominio: ) 5

16 c. Come risulta il graico di y ln? Le immagini risultano opposte e quindi si ha il graico simmetrico rispetto all asse. d. Come risulta il graico di y ln? Questa volta il dominio cambia e si ha 0 0. Il graico sarà simmetrico (di quello del logaritmo) rispetto all asse y. e. Come risulta il graico di y ln? Ricordiamo che: ln ln ln quando ln 0 cioè quando ln 0 cioè per per 0 Quindi il graico di ln coincide con il graico di ln quando si trova sopra all asse (cioè quando le immagini sono positive), mentre andrà ribaltato rispetto all asse quando si trova sotto all asse (cioè quando le immagini sono negative). 6

17 Esercizi Traccia il graico delle seguenti unzioni: ) ln y ) y 3) y 4 4) y 3 5) y ln *6) y ln Svolgiamo insieme Partiamo dal graico di ln graico di ln e consideriamo all inizio il y (dominio : traslo a sinistra). Inine consideriamo ln all asse : y cioè ribaltiamo rispetto 7

18 7) y ln 3 8) y ln 9) y ln 3 0) y tg ) y ) ln 4 y 3) y 4) y *5) y e Svolgiamo insieme Partiamo dal graico di e graico di e consideriamo il (simmetrico rispetto all asse ) Inine consideriamo y cioè trasliamo verso l alto di (l asintoto orizzontale diventa y ) 8

19 Composizione di unzioni Le unzioni si possono comporre. Se per esempio abbiamo : : possiamo applicare e nel risultato applicare y corrisponde a che si legge composto ( si scrive vicino alla la unzione che si applica per prima). Nota Notiamo che la composizione tra unzioni non gode della proprietà commutativa cioè: Inatti per esempio considerando le unzioni precedenti se applico prima e poi ho: risulta y ed è diversa da y Nota: si possono comporre anche più di unzioni. Per esempio ln y può essere pensata come la composizione di ln 3 ln 9

20 Funzione inversa Consideriamo una unzione intendiamo la unzione che associa all immagine : per unzione inversa di, indicata con il simbolo il valore di partenza., Per esempio se : : Inatti da y ricavando y abbiamo che y y y Generalmente poi, invece di scrivere y y si scrive. e Riportando i graici di nello stesso sistema di rierimento, notiamo che sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I-III quadrante: inatti se, G, G Un altro esempio noto è la unzione esponenziale e la unzione logaritmica (inversa dell esponenziale) : osserviamo che il dominio e il codominio si scambiano 0

21 Ma possiamo sempre invertire una unzione? Perché la il codominio di ). sia una unzione occorre che sia iniettiva (come dominio di prenderemo Inatti consideriamo per esempio. Se proviamo a ricavare abbiamo: y y Ma y non è una unzione! (ad ogni valore di corrispondono immagini). In questi casi però, se vogliamo, possiamo decidere di restringere il dominio della unzione in modo da renderla iniettiva e poterla così invertire. Se per esempio consideriamo inversa è y y ma solo con 0 la unzione diventa iniettiva e la sua E quello che è stato atto per invertire le unzioni goniometriche: Funzione inversa del seno Restringiamo y sen all intervallo, : in questo intervallo la unzione è iniettiva. La unzione inversa si indica con arcsen (che si legge arcoseno di ed indica l angolo il cui il seno è di ) ed ha come dominio ; e come codominio,

22 Il graico di y arcsen è il seguente: Funzione inversa del coseno Se restringiamo y cos all intervallo 0, possiamo invertirlo: la unzione inversa del coseno ristretto a 0, si chiama arccos (arcoseno di ) ed ha il seguente graico Funzione inversa della tangente Se restringiamo la tangente y tg all intervallo ; possiamo considerare la unzione inversa, indicata con arctg (arcotangente di ) che ha il seguente graico. ll dominio di y arctg è, il codominio è ;.

23 Esercizi Determina il dominio delle seguenti unzioni: 3 ) y ) y 3 3) 9 0 y 3 4) e y ln 4 0 e, e 5) y log 6) y log 5 7) y 4sen 8) y tg 3 k k 6 6 k k k k ) ln y 0) y arcsen ) y arctg 0 ) y arcsen 0 3) y arccos 4) y arctg ln 0 y 5) 3 3

24 6) 3 y 7) y 8) y tg k k 9) y 3 [ k ] tg 0) 5 y ) y ln ln 0 e ) y ln 3) y tg 0 3 k k k k 4 4 4) 5) y y e 3 0 log3 ln 6) arcsen y 0 7) y 3 ln y 0 8) e y 3 9) 4 30) y arctg 4

25 Esercizi di ricapitolazione Scheda ) Determina il dominio delle seguenti unzioni: a) y 3 e) arctg b) ln c) y 0 ) y 3 y 5 sen cos y g) y ln y arcsen h) y 4 log d) k 4 0, 6 ) Traccia il graico delle seguenti unzioni indicando anche dominio e caratteristiche: a) y c) y 3 b) y 3 ln d) y 4 3) a) Date domini. : e : ln, scrivi come risultano e e indica i loro ln D : 0 ; : : 0, D ln : b) Determina la unzione inversa di y e Traccia i graici di e nello stesso sistema di rierimento. Cosa osservi? c) E possibile invertire la unzione y? Motiva la risposta. 5

26 Esercizi di ricapitolazione Scheda ) Determina il dominio delle seguenti unzioni: 9 a) y ln e) y 5 b) ln ln sen y ) y 5 cos c) y arcsen 7 g) y tg 3 d) y arctg h) y ln 8 ) Traccia il graico delle seguenti unzioni indicando anche dominio e caratteristiche: ln b) y e 5 c) y sen 6 a) y 3) a) Date : e :, scrivi come risultano e e indica i loro domini. b) Si può invertire la unzione y? Se la risposta è aermativa determina l inversa. c) Disegna il graico della unzione y tg e indicane dominio e caratteristiche. Si può invertire? Come si dovrebbe restringere il dominio per invertirla? Disegna il graico della unzione inversa nel caso in cui si restringa il dominio di. 6

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1

Dettagli

1. Funzioni reali di una variabile reale

1. Funzioni reali di una variabile reale Di cosa parleremo In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una variabile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campo di esistenza delle varie tipologie

Dettagli

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G.

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ 1 V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. A1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE 2 Diapositiva 2 A1 Autore; 08/09/2015 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X Y E una funzione! g a b c d e f.1.2.3.4

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte):

MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte): MATEMATICA a.a. 014/15 1a. Funzioni (II parte): Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Funzioni reali. Campo di esistenza. Funzioni pari e dispari Funzione iniettiva y=f() 1 3 X 4 y 6 Y y y 1 y 3 y

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni

Dettagli

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge

Dettagli

GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE. Il grafico della funzione. Appunti di Matematica xoomer.virgilio.

GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE. Il grafico della funzione. Appunti di Matematica xoomer.virgilio. GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE Funzione opposta y = Il grafico della funzione funzione f( x ). f( x ) si ottiene simmetrizzando rispetto all asse x, il grafico della f( x ) Appunti di

Dettagli

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1

Dettagli

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x

Dettagli

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta 1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra

Dettagli

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)

Dettagli

y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:

y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni: Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali y = senx, y = cos x, y = tgx, la funzione

Dettagli

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE Vogliamo ora limitare la nostra attenzione a quelle funzioni che hanno come insieme di partenza e di arrivo un sottoinsieme dei numeri reali, cioè A, B R. Es6. Funzione

Dettagli

ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni n n n n

ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni n n n n 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni. Insieme delle parti. Partizione di un insieme 3. Prodotto cartesiano 4. Deinizione di relazione 5. Deinizione di unzione 6. Funzioni

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le funzioni

Unità Didattica N 2 Le funzioni Unità Didattica N Le funzioni 1 Unità Didattica N Le funzioni 05) Definizione di applicazione o funzione o mappa. 06) Classificazione delle funzioni numeriche 07) Estremi di una funzione, funzioni limitate.

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. A x 1. x. x 3..y 1.y.y 3 B C.y 5 x 4..y

Dettagli

x dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di

x dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di 7. Funzioni limitate ed illimitate, funzioni inverse Definizione: Una funzione f: A Bsi dice limitata superiormente od inferiormente se il suo condominio è un insieme limitato superiormente od inferiormente.

Dettagli

1.3. Logaritmi ed esponenziali

1.3. Logaritmi ed esponenziali 1.3. Logaritmi ed esponenziali 1. Rappresentazione sugli assi cartesiani 2. Relazione 3. Definizione di funzione 4. La funzione esponenziale 5. Il logaritmo 6. La funzione logaritma 1-3 1 Rappresentazione

Dettagli

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili Ottavio Serra Esercizi di calcolo Funzioni invertibili Una funzione f: A B iniettiva e suriettiva è biunivoca e perciò invertibile. Ricordo che f è iniettiva se per tutti gli, y di A, f() = f(y) implica

Dettagli

Matematica Capitolo 1. Funzioni. Ivan Zivko

Matematica Capitolo 1. Funzioni. Ivan Zivko Matematica Capitolo 1 Funzioni Ivan Zivko Introduzione Una unzione è un qualcosa che mette in relazione un valore in entrata ( input ) con un altro in uscita ( output ). Input FUNZIONE Output Matematica

Dettagli

Verso il concetto di funzione

Verso il concetto di funzione Verso il concetto di funzione Il termine funzione già appare in alcuni scritti del matematico Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine venne usato in riferimento a espressioni analitiche

Dettagli

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE 1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Introduzione. Test d ingresso

Introduzione. Test d ingresso Indice Introduzione Test d ingresso v vii 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5 Intervalli... 12 1.6 Valoreassolutoedistanza...

Dettagli

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione

Dettagli

SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III

SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equazioni di secondo grado e la loro risoluzione. La formula ridotta. Equazioni pure, spurie e monomie. Le relazioni

Dettagli

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto. Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la

Dettagli

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico

Dettagli

y = è una relazione tra due variabili, che ad ogni valore della

y = è una relazione tra due variabili, che ad ogni valore della LE FUNZIONI DEFIINIIZIIONE Una funzione f () = è una relazione tra due variabili, che ad ogni valore della VARIABILE INDIPENDENTE associa AL PIU (al massimo) un valore della VARIABILE DIPENDENTE E UNA

Dettagli

Equazioni e disequazioni goniometriche

Equazioni e disequazioni goniometriche 1 Equazioni e disequazioni goniometriche Restrizione di una funzione Nel definire la funzione logaritmica come inversa di quella esponenziale, avevamo ricordato che: Una funzione è invertibile se e soltanto

Dettagli

Le funzioni reali di una variabile reale

Le funzioni reali di una variabile reale Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B

Dettagli

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio.

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio. Materia: Matematica. Docente : Varano Franco Antonio. Classe : 3 C Liceo Scientifico, opzione Scienze Applicate. ATTIVITA CONTENUTI PERIODO / DURATA LE ISOMETRIE. LE FUNZIONI. LA RETTA. Le isometrie, la

Dettagli

, per cui le due curve f( x)

, per cui le due curve f( x) DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica http://spazioinwind.libero.it/adolscim DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione

Dettagli

INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA

INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA Intervalli e intorni Funzioni in R e classificazione Proprietà delle funzioni: pari e dispari monotone periodiche Intervallo Un intervallo di estremi a e b è un insieme

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ CAPITL 7 [numerazione araa] [numerazione devanagari] [numerazione cinese] LE FUNZINI E LE LR PRPRIETÀ IL PREZZ GIUST gni volta che acquistiamo un prodotto o un servizio, paghiamo in camio una certa cifra

Dettagli

STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO 2 di 35 Indice 1 SCHEMA PER LO STUDIO DEL GRAFICO DI FUNZIONE... 4 2 ESEMPI... 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 FUNZIONE ESPONENZIALE... 11 FUNZIONE

Dettagli

Funzioni Esercizi e complementi

Funzioni Esercizi e complementi Funzioni Esercizi e complementi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Novembre 05. Indice Esercizi Insiemi ininiti 6 Suggerimenti e risposte 9 Esercizi. Scrivere la deinizione di unzione e ornire almeno un

Dettagli

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 8: Studio di funzioni Studio

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na)

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) LO STUDIO DI FUNZIONE Lo studio di funzione è una delle parti più interessanti dell analisi perché permette di utilizzare le numerose conoscenze acquisite nel corso degli anni in un unico elaborato. Se

Dettagli

2ALS. Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica.

2ALS. Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica. 2ALS Lavoro estivo in preparazione all esame di settembre per gli studenti con debito formativo in Matematica. Si consiglia il libro: Matematica-recupero dei debiti formativi e ripasso estivo 2 ISBN 978-88-24741279

Dettagli

SCHEDA OBIETTIVI MINIMI. Materia:MATEMATICA

SCHEDA OBIETTIVI MINIMI. Materia:MATEMATICA Pag. 1 di 5 SCHEDA OBIETTIVI MINIMI Materia:MATEMATICA Classi QUARTA A e QUARTA B Spec.: LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE a.s: 2016 / 2017 4 3 2 1 Presidente di dipartimento 0 DOC DS Maria Grazia Gillone

Dettagli

Verifica di matematica. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (x; y) è assegnata la curva Γ di equazione: 2

Verifica di matematica. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (x; y) è assegnata la curva Γ di equazione: 2 0 Marzo 00 Verifica di matematica roblema Si consideri l equazione ln( + ) 0. a) Si dimostri che ammette due soluzioni reali. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (; ) è assegnata la

Dettagli

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1. L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE. Prof Giovanni Ianne

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE. Prof Giovanni Ianne LA ERIVATA I UNA FUNZIONE Pro. Giovanni Ianne /22 Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P? Per una circonerenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P. IL PROBLEMA

Dettagli

Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni

Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Ottobre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti

Dettagli

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica Tutorial - Studio di una funzione reale di variabile reale f : x R y = f (x) R Una funzione può essere: - 1 - algebrica ( razionale o irrazionale, intera o fratta) Classificare la trascendentale ( esponenziale,

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri

Dettagli

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione

Dettagli

Funzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso.

Funzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso. Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f(g()) notazione funzionale (f g)() = f(g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene

Dettagli

Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010.

Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI. Corso di Analisi Matematica A.A. 2009 / 2010. Università degli Studi Di Salerno FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE NATURALI Corso di Analisi Matematica A.A. 009 / 00 Le Funzioni Fabio Memoli indice Il Concetto di Funzione Funzioni Reali Di Variabile

Dettagli

Argomento 7. Studio di funzione

Argomento 7. Studio di funzione Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

Funzioni. Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi

Funzioni. Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi Funzioni Definizione Dominio e codominio Rappresentazione grafica Classificazione Esempi di grafici Esercizi Materia: Matematica Autore: Mario De Leo Definizioni Una quantità il cui valore può essere cambiato

Dettagli

ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI

ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI 0 novembre 206 Esercizi Esercizio n. Si consideri la funzione f(x) = 7 x 2 + 3 Dominio: R Intersezioni con gli assi: Intersezioni con l asse x: { y = 0 y = 7 x 2 + 3.

Dettagli

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio Liceo Classico D. Alighieri A.S. 0-3 y Data la funzione: Studio di Funzione tracciatene il grafico nel piano cartesiano. Prof. A. Pisani Esempio ) Tipo e grado della funzione La funzione è analitica, data

Dettagli

LOGARITMI. log = = con >0, 1; >0 = >0, 1, >0. log =1 >0, 1. notebookitalia.altervista.org

LOGARITMI. log = = con >0, 1; >0 = >0, 1, >0. log =1 >0, 1. notebookitalia.altervista.org LOGARITMI Sia un numero reale positivo ed un numero reale, positivo, diverso da 1; si dice logaritmo di in base il valore da attribuire come esponente alla base per ottenere una potenza uguale all argomento.

Dettagli

G5. Studio di funzione - Esercizi

G5. Studio di funzione - Esercizi G5 Studio di funzione - Esercizi Tracciare il grafico delle seguenti funzioni I grafici delle seguenti funzioni sono al termine degli esercizi Per gli esercizi con l asterisco non è richiesta, date le

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

1 Funzioni reali di una variabile reale

1 Funzioni reali di una variabile reale 1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f

Dettagli

Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia

Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia Liceo Scientifico A. Romita Programma di Matematica Anno scolastico 2016/2017 Prof.ssa Santella Mariagrazia Classe III sez. A Modulo 1 Unità didattica 1 Ripetizione della risoluzione delle equazioni di

Dettagli

Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006

Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006 Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 005/006 Antonella Ballabene SOLUZIONI -14 marzo 006- SCHEMA per lo STUDIO di FUNZIONI 1. Dominio della funzione f)..

Dettagli

Esercitazione su grafici di funzioni elementari

Esercitazione su grafici di funzioni elementari Esercitazione su grafici di funzioni elementari Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 8 Novembre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori, invito

Dettagli

3. Segni della funzione (positività e negatività)

3. Segni della funzione (positività e negatività) . Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della

Dettagli

Definizione Dati due insiemi A e B, contenuti nel campo reale R, si definisce funzione reale di variabile reale una legge f : A

Definizione Dati due insiemi A e B, contenuti nel campo reale R, si definisce funzione reale di variabile reale una legge f : A Scopo centrale, sia della teoria statistica che della economica, è proprio quello di esprimere ed analizzare le relazioni, esistenti tra le variabili statistiche ed economiche, che, in linguaggio matematico,

Dettagli

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II).

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II). Matematica I, 02.10.2012 Funzione inversa. Funzioni elementari (II). 1. Sia f : A B una funzione reale di variabile reale (A, B R); se f e biiettiva, allora la posizione f 1 (b) = unico elemento a A tale

Dettagli

Programma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G

Programma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G Liceo Scientifico Statale G. BATTAGLINI Corso Umberto I 74100 Taranto Programma di Matematica Anno Scolastico 2012/2013 Classe III G Prof. Paolo Pantano Richiami di Algebra Equazioni e disequazioni Definizioni.

Dettagli

Funzioni Pari e Dispari

Funzioni Pari e Dispari Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della

Dettagli

Anno 3. Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni

Anno 3. Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni Anno 3 Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni 1 Introduzione In questa lezione impareremo a conoscere le funzioni esponenziali e i logaritmi; ne descriveremo le principali caratteristiche e

Dettagli

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE

Dettagli

3. Generalità sulle funzioni

3. Generalità sulle funzioni ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 3. Generalità sulle funzioni A. A. 2013-2014 1 DALLA RETTA REALE AL PIANO CARTESIANO L equivalenza tra numeri reali e punti di una retta permette

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2015-16 PROGRAMMA SVOLTO RIPASSO ARGOMENTI PROPEDEUTICI L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo

Dettagli

Studio di funzione appunti

Studio di funzione appunti Studio di unzioni algebriche ratte Studio di unzione appunti 1. Ricerca del dominio (C.E.);. Intersezioni con gli assi cartesiani; 3. Ricerca degli intervalli di positività (Studio del segno S.D.S.); 4.

Dettagli

CLASSE 5^ C LICEO SCIENTIFICO 12 Gennaio 2015 Studio di funzioni e continuità (Recupero per assenti) lim ++ =

CLASSE 5^ C LICEO SCIENTIFICO 12 Gennaio 2015 Studio di funzioni e continuità (Recupero per assenti) lim ++ = CLASSE 5^ C LICEO SCIENTIFICO 2 Gennaio 25 Studio di funzioni e continuità (Recupero per assenti). Determina i valori dei parametri reali a e b in modo che la funzione = passi per il punto 2;, abbia come

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica

Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica Nome Cognome. Classe D Febbraio Verifica di matematica ) Data l equazione: k 6 a) Scrivi per quali valori di k rappresenta un ellisse, precisando per quali valori è una circonferenza b) Scrivi per quali

Dettagli

ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012

ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 1. Esercizi 3 1. Studiare la seguente funzione FINO alla derivata prima, con tracciamento di grafico ed indicazione

Dettagli

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero . Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ],

Dettagli

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico 2015-2016 I numeri naturali rappresentazione dei numeri naturali, le quattro operazioni, multipli e divisori di un numero. Criteri di divisibilità, le

Dettagli

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica 1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata

Dettagli

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3) Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE ALESSANDRO ANTONELLI

LICEO SCIENTIFICO STATALE ALESSANDRO ANTONELLI LICEO SCIENTIFICO STATALE ALESSANDRO ANTONELLI Via Toscana, 20 28100 NOVARA 0321 465480/458381 0321 465143 lsantone@liceoantonelli.novara.it http://www.liceoantonelli.novara.it C.F.80014880035 Cod.Mecc.

Dettagli

Indice. Prefazione. Fattorizzazione di A + B Fattorizzazione di trinomi particolari 22 2

Indice. Prefazione. Fattorizzazione di A + B Fattorizzazione di trinomi particolari 22 2 Prefazione XI Test di ingresso 1 Capitolo 1 Insiemi numerici, intervalli e intorni 5 1.1 Introduzione 5 1.2 Insiemi generici 5 1.2.1 Relazioni e operazioni tra insiemi 7 1.3 Insiemi numerici 8 1.3.1 Rappresentazione

Dettagli

Funzione esponenziale

Funzione esponenziale Paolo Siviglia Funzione esponenziale Consideriamo le seguenti funzioni. e Come si vede, si tratta di potenze con esponente variabile. Espressioni di questo tipo sono denominate funzioni esponenziali. La

Dettagli

dato da { x i }; le rette verticali passanti per

dato da { x i }; le rette verticali passanti per Schema riepilogativo per lo studio di una funzione reale di una var. reale. Studio grafico-analitico delle funzioni reali di variabile reale y = f ( Sequenza dei passi utili allo studio di una funzione

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE A. MARTINI - SCHIO MATEMATICA

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE A. MARTINI - SCHIO MATEMATICA ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE A. MARTINI - SCHIO LICEO ARTISTICO - Dipartimento di Matematica e Fisica MATEMATICA Finalità della Matematica nel triennio è di proseguire e ampliare il processo di preparazione

Dettagli

Istituto Tecnico Nautico San Giorgio - Genova - Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO DI MATEMATICA

Istituto Tecnico Nautico San Giorgio - Genova - Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO DI MATEMATICA Classe: 1 a C Libro di testo: Bergamini Trifone Barozzi Matematica verde vol. 1 ed. Zanichelli Insiemi Definizione di insieme, rappresentazione grafica, tabulare, caratteristica di un insieme Gli insiemi

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INFORMATICA. Tutor: Dottoressa Simona DI GIROLAMO

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INFORMATICA. Tutor: Dottoressa Simona DI GIROLAMO ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA PER I CORSI DI LAUREA IN INFORMATICA Tutor: Dottoressa Simona DI GIROLAMO ANNO ACCADEMICO 015-016 1 Funzioni Definizione 1.1 Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 LE DISEQUAZIONI 1. Le disequazioni di primo e secondo grado 2. Le disequazioni di grado superiore al secondo e le disequazioni fratte

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Contenuti del programma di Matematica. Classe Terza

Contenuti del programma di Matematica. Classe Terza Contenuti del programma di Matematica Classe Terza A.S. 2014/2015 Tema Contenuti GEOMETRIA Misura della lunghezza della circonferenza e NEL PIANO area del cerchio. COMLEMENT Equazioni e disequazioni con

Dettagli