Le funzioni circolari inverse

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1 Le funzioni circolari inverse La legge oraria del moto armonico d = sin(t) può essere utilizzata in due modi: I. è noto il tempo t e calcolo la posizione d (distanza dal centro di equilibro) della pallina che si muove di moto armonico; II. è nota la posizione d della pallina e ricavo il tempo t (come se l oscillatore fosse un orologio). Questo suggerisce, in matematica, di: I. pensare alla funzione circolare y = sin(x), II. scrivere la relazione inversa x = sin(y) e rappresentarla nel piano cartesiano, come si vede qui a fianco a sinistra. Rispondi ai seguenti quesiti: 1. Spiega quale trasformazione del piano permette di ricavare il grafico della relazione x = sin (y), a partire da quello della sinusoide. 2. Spiega perché la figura a fianco non è il grafico di una funzione; 3. Nel grafico a fianco evidenza l arco più vicino all origine O che fa corrispondere ad ogni x scelta nell intervallo [- 1, 1] una sola y. 4. La figura evidenziata mostra il grafico di una funzione con: Dominio D = [- 1, 1] Codominio C = y è l arco il cui seno vale x, frase che si riassume con la scrittura y = arcsin(x) In conlusione: La funzione seno come funzione reale di variabile reale NON è invertibile. Infatti se consideriamo sin: R R x sin x non è suriettiva perché non è iniettiva perché e quindi NON è invertibile! Quello che possiamo limitarci a fare è considerare un opportuna restrizione del dominio e del codominio affinché la nuova funzione ottenuta sia invertibile. Esattamente come avete visto operare sulla funzione quadrato f(x)=x 2 per poterla invertire e definire la radice quadrata! La scelta su come restringere il codominio della funzione seno è la più semplice e soprattutto indolore perché non stravolgiamo la funzione: consideriamo come nuovo codominio l insieme delle immagini, cioè l intervallo così da ottenere una funzione suriettiva. Per quanto riguarda il dominio dobbiamo considerare una restrizione affinché la funzione diventi iniettiva. La scelta può essere fatta in diversi modi (addirittura infiniti!). Cerchiamo però di effettuare una scelta che rispecchi i seguenti criteri: gradiremmo lavorare con un dominio che sia ancora un unico intervallo (perché? Perché innanzitutto il grafico sarebbe una linea continua e poi perché in generale vedremo che le funzioni definite su un intervallo hanno tante belle proprietà che le altre non hanno ) gradiremmo non complicarci troppo la vita, cioè lavorare possibilmente con numeri positivi, o se non sempre possibile, almeno con numeri prossimi allo 0.

2 Ora, disegna il grafico della funzione seno (con tutte le sue belle proprietà: definita e periodica su tutto R, limitata tra - 1 e 1, tangente nell origine a, chi più ne ha più ne metta ), ed evidenzia la restrizione invertibile che sceglieresti tu. Considerata la restrizione della funzione seno all'intervallo!! ;!! nuova funzione biunivoca, che indichiamo (...inter nos) con sin* del dominio e [- 1,1] del codominio, si ottiene una sin*:!! ;!! 1; 1 La biunivocità garantisce la possibilità di considerarne l'inversa, che si denota con arcsin, o con invsin, o (soprattutto sulle calcolatrici scientifiche) con sin - 1 (con le difficoltà note 1 legate all'uso di questa simbologia): arcsin: 1; 1!! ;!! Questa funzione associa ad un valore x del seno, l unico angolo (espresso in radianti) tra! e! che ha come seno il!! valore di x partenza. Il grafico dell arcoseno si ottiene simmetrizzando quello di sin* rispetto alla bisettrice di equazione y=x. Dunque la funzione y = arcsin(x) è la funzione inversa della restrizione della funzione y = sin(x) all intervallo!! ;!!. In realtà quest ultima funzione, che per fissare le idee abbiamo denotato con sin*, continua ad essere indicata con sin, nonostante la possibile (o forse certa) confusione che ne nasce ma alla quale noi saremo attenti a non cascare! 1 Ti ricordi la differenza tra funzione inversa e funzione reciproca di cui abbiamo parlato in classe?

3 Riassumendo Quando mi trovo davanti alle scritture sin(x) e arcsin(x) devo aver ben chiaro che rappresentano funzioni diverse. La prima (sin x) associa ad un qualsiasi numero reale (letto come misura in radianti di un angolo orientato) un numero tra - 1 e 1 (ordinata del punto P bla bla bla). La seconda (arcsin x) inverte il cammino di una sua restrizione, cioè ad un numero compreso tra - 1 e 1 associa l unico angolo tra! e! che ha per seno il valore x.!! arcsin x ha significato solo se x 1; 1 arcsin x è un angolo compreso tra!! e!! sin x è definito per ogni angolo x R sin x è un numero tra - 1 e 1 Osserva come i grafici delle due funzioni seno e arcoseno siano entrambi tangenti alla bisettrice: ribadisco che questo è dovuto al fatto che gli angoli sono misurati in radianti! Inoltre le due funzioni hanno in comune solamente l'origine degli assi, dunque l'equazione sin x = arcsin x ha come unica soluzione x=0.

4 Per capire meglio come opera la funzione arcoseno, possiamo anche ragionare sulla circonferenza goniometrica: 1. Rappresenta (se esistono!) i seguenti angoli sulla circonferenza goniometrica arcsin!! arcsin!! arcsin!! π - arcsin!! arcsin!! arcsin cos!! π arcsin 0 arcsin(- 1) 2. La funzione f(x)=arcsin x è una funzione dispari. Vero o falso? Motiva. 3. Spiega perché non è corretto dire che l arcoseno è la funzione inversa del seno. 4. Rappresenta sulla circonferenza goniometrica ed scrivi tutti gli angoli x soluzioni delle equazioni: a. sin x =!! b. sin x =!! 5. Utilizzando la calcolatrice scientifica approssima arcsin!, sia in gradi sia in radianti, approssimandolo a 3 cifre! decimali.

5 Cosa succede componendo le due funzioni arcoseno e seno? Se le funzioni seno e arcseno fossero una l'inversa dell'altra non ci sarebbe molto da dire relativamente alla funzione composta sin(arcsin(x)): basterebbe solo osservare che, in accordo con la regola generale sulle funzioni inverse si otterrebbe l'identità sul dominio di arcseno, cioè sull'intervallo [- 1,1]. Poiché però l'arcseno è l'inversa di una restrizione della funzione seno, una precisazione si rende opportuna. Vediamo 1. Spiega per quali x vale l uguaglianza sin(arcsin x)=x. 2. Esiste x per il quale NON vale l uguaglianza sin(arcsin x)=x? In sostanza, in questo caso, il fatto che le funzioni seno e arcseno non siano una l'inversa dell'altra non è molto importante ai fini della composizione sin o arcsin. Ben diverso è il caso della funzione composta in ordine inverso arcsin o sin. É un po' la stessa cosa che succede quando si fa x! (che fornisce l'identità sui reali positivi). Sappiamo però che se invertiamo l ordine nella composizione non vale più, infatti x! fornisce invece la funzione valore assoluto. 3. Le seguenti immagini mostrano come opera la funzione y= sin(arcsin x). Completa a fianco rappresentando i casi in cui il secondo estremo P dell arco x cade nel III o nel IV quadrante. Aiutandoti con le precedenti immagini, rispondi alle seguenti domande 4. Spiega per quali x vale l uguaglianza arcsin(sin x)=x. 5. Esiste x per il quale NON vale l uguaglianza arcsin(sin x)=x?

6 Con un procedimento analogo si ottengono le funzioni inverse di opportune restrizioni di y = cos(x) e y = tan(x) rappresentate qui sotto. Non è possibile, purtroppo, scegliere lo stesso intervallo per tutte le tre funzioni principali. Riassumendo Quando mi trovo perciò davanti alle scritture cos(x) e arccos(x) devo aver ben chiaro che rappresentano funzioni diverse. La prima (cos x) associa ad un qualsiasi numero reale (misura in radianti di un angolo orientato) un numero tra - 1 e 1 (ascissa del punto P bla bla bla ). La seconda (arccos x) inverte il cammino, cioè ad un numero compreso tra - 1 e 1 associa l unico angolo tra 0 e π che ha per coseno il valore x. arccos x ha significato solo se x 1; 1 cos x è definito per ogni angolo x R arccos x è un angolo compreso tra 0 e π cos x è un numero tra - 1 e 1

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8 6. Rappresenta i seguenti angoli a. arccos!! b. arccos!! c. arccos!! d. arccos 0 e. - arccos!! f. π - arccos!! 7. Calcola a. sen arccos!! b. tg arccos!! Riassumendo: