3. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare quale delle seguenti funzioni soddisfa la relazione f(-x) = -f(x), per ogni numero reale x.

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1 QUESITI 1

2 TRIGONOMETRIA 1. (Da Veterinaria 2014) Calcolare il valore dell espressione: cosπ + cos2π + cos3π + cos4π + + cos10π [gli angoli sono misurati in radianti] a) -10 b) -1 c) 0 d) 1 e) (Da Veterinaria 2012) Determinare il più grande tra i seguenti numeri: a) cos(20 ) b) sen(30 ) c) cos(40 ) d) sen(50 ) e) cos(60 ) 3. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare quale delle seguenti funzioni soddisfa la relazione f(-x) = -f(x), per ogni numero reale x. a) sen(x 2 ) b) sen 2 (x) c) cos(x 3 ) d) sen 3 (x) e) cos 3 (x) 4. (Da Medicina e Odontoiatria 2011) Consideriamo la funzione f(x) = sen(x) + cos(2x), definita per ogni x reale. Determinare quale delle seguenti affermazioni relative alla funzione f(x) è FALSA. a) È periodica b) f(π) = 1 c) Non si annulla mai d) Non assume valori maggiori di 5 e) Non assume valori minori di -3 2

3 5. (Da Odontoiatria 2003) La funzione y = senx cosx : a) non è periodica b) è periodica di periodo π/2 c) è periodica di periodo 2/3 π d) è periodica di periodo π e) è periodica di periodo 3/2 π 6. (Da Medicina 2002) L equazione x 2 + senx + 1 = 0 a) ha infinite soluzioni perché senx è una funzione periodica b) è un equazione di 2 nell incognita x c) ha soluzioni appartenenti all intervallo [ - π/2, π/2 ] d) ha una sola soluzione e) non ha soluzioni 3

4 SOLUZIONI 1. c) Ricordiamo i valori del coseno per gli angoli particolari π e 2π: Poiché il coseno è una funzione periodica di periodo T = 2π, si ha: cioè, i valori del coseno si ripetono a ogni multiplo k di 2π. Allora: e così via (cos5π = -1, cos6π = 1, ). Di conseguenza, l espressione cercata sarà pari a una somma di tanti +1 quanti -1; il risultato finale sarà 0: 2. a) Tra le opzioni proposte, gli unici valori noti sono: Poiché sono entrambi pari a 1/2, nessuna delle due espressioni può rappresentare il numero più grande tra le cinque opzioni proposte. Escludiamo, quindi, le risposte b) ed e). Per avere una stima del valore delle tre espressioni rimanenti, relative ad angoli non notevoli, aiutiamoci con la circonferenza goniometrica. Rappresentiamo i tre angoli rimanenti e ricordiamo che il seno è rappresentato dall ordinata del punto di intersezione tra il lato dell angolo e la circonferenza goniometrica, mentre il coseno è rappresentato dall ascissa del punto di intersezione tra il lato dell angolo e la circonferenza goniometrica. 4

5 Si ha: γ = 50 1 β = 40 α = dove il segmento giallo rappresenta il cos(20 ), il segmento viola rappresenta il cos(40 ) e il segmento verde rappresenta il sen(50 ). Osserviamo che il segmento più lungo è quello giallo. Allora, tra le opzioni proposte, il numero più grande corrisponde a cos(20 ). 3. d) Calcoliamo per ciascuna opzione f(-x), sostituendo -x al posto di x. Ricordiamo le proprietà di simmetria per seno e coseno. Valgono le seguenti relazioni: da cui si ricava che il seno è una funzione dispari (perchè f(-x) = -f(x) ) da cui si ricava che il coseno è una funzione pari (perchè f(-x) = f(x) ) 5

6 Per l opzione a) vale: Allora possiamo scartare la prima risposta. Per l opzione b) vale: Allora possiamo scartare la seconda risposta. Per l opzione c) vale: Allora possiamo scartare la terza risposta. Per l opzione d) vale: Allora l opzione d) è la soluzione del quesito. Per l opzione e) vale: Allora possiamo escludere la quinta risposta. 4. c) Poiché f(x) è data dalla somma di funzioni periodiche, sarà anch essa periodica. Allora l opzione a) è VERA. Calcoliamo f(π). Allora anche l opzione b) è VERA. 6

7 Poiché il valore massimo che possono assumere seno e coseno è pari a 1, il valore massimo che può assumere f(x) sarà: La funzione non può assumere valori superiori a 2. Allora l opzione d) è VERA, in quanto 5 = 2,236. Analogamente, poiché il valore minimo che possono assumere seno e coseno è pari a -1, il valore minimo che può assumere f(x) sarà: La funzione non può assumere valori inferiori a -2. Allora anche l opzione e) è VERA. Per esclusione, la risposta FALSA è la c). 5. d) Poiché f(x) è data dal prodotto di funzioni periodiche, sarà anch essa periodica. Allora possiamo escludere l opzione a). Dobbiamo, ora, determinare il periodo della funzione. Ricordiamo che, per ogni funzione scritta nella forma: dove ω viene detta pulsazione, il periodo T è dato da: (la stessa formula utilizzata in Fisica per il moto circolare uniforme o per il moto armonico). La funzione proposta dal quesito può essere riscritta in maniera più conveniente: dove abbiamo sfruttato la formula di duplicazione: 7

8 Allora, da si ricava: 6. e) L equazione proposta non è un equazione di secondo grado perché non è rappresentata da un polinomio, a causa della presenza di senx. (Il grado di un equazione può essere definito solo per equazioni algebriche, cioè equazioni rappresentate da polinomi). Per determinare le soluzioni dell equazioni possiamo procedere col metodo grafico: Riscriviamo l equazione come: A sinistra dell uguale abbiamo la funzione A destra dell uguale abbiamo la funzione che rappresenta una parabola. Disegnando i grafici delle due funzioni su uno stesso piano cartesiano, si osserva che le due funzioni non hanno nessuna intersezione. 8

9 Ciò significa che l equazione di partenza non ha nessuna soluzione. 9