FUNZIONI ELEMENTARI E LORO TRASFORMAZIONI. 4 Liceo Scientifico a.s. 2017/18

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1 FUNZIONI ELEMENTARI E LORO TRASFORMAZIONI 4 Liceo Scientifico a.s. 2017/18

2 FUNZIONI ELEMENTARI E LORO TRASFORMAZIONI Presentiamo il grafico delle funzioni elementari e delle funzioni che si ottengono trasformando le funzioni elementari attraverso alcune possibili trasformazioni. Dal grafico di y = f(x) deduciamo quindi: la funzione opposta la funzione riflessa la funzione traslata sull asse y la funzione dilatata sull asse y la funzione traslata sull asse x la funzione dilatata sull asse x la funzione in modulo la funzione del modulo della variabile y = f(x) y = f( x) y = f(x) + k y = kf(x) y = f(x + k) y = f(kx) y = f(x) y = f( x ) la funzione reciproca y = 1 f(x) Per ciascuna funzione rappresentata indichiamo: il dominio, cioè il sottoinsieme dei numeri Reali formato dai valori x che rendono possibile il calcolo della funzione; il codominio, cioè il sottoinsieme dei numeri Reali formato dai valori y che hanno una controimmagine; se si tratta di una funzione iniettiva cioè se due diversi elementi del dominio hanno sempre diverse immagini e quindi ogni elemento del codominio ammette una e una sola controimmagine; se si tratta di una funzione suriettiva sui numeri Reali cioè se ogni numero ammette una controimmagine; se si tratta di una funzione pari cioè se l immagine di una qualsiasi valore del dominio è uguale all immagine del valore ad esso opposto; se si tratta di una funzione dispari cioè se l immagine di un qualsiasi valore del dominio è l opposto dell immagine del valore ad esso opposto; se si tratta di una funzione periodica cioè se esiste un intervallo nel quale la funzione assume valori che si ripetono identicamente in tutti gli altri intervalli.

3 FUNZIONI GONIOMETRICHE LA FUNZIONE f(x) = sin x E LE SUE TRASFORMAZIONI è una funzione periodica di periodo 2π, dispari, definita su tutto R, non iniettiva, non suriettiva su R ma suriettiva sul suo codominio [ 1; 1] Rappresentiamo graficamente le funzioni che si ottengono trasformandola f(x) = sin x Si tratta della funzione opposta che associa ad ogni x, immagine y opposta a quella della funzione f(x) = sin x. Tra i grafici di f(x) = sin x e f(x) = sin x c è una simmetria rispetto all asse x. f(x) = sin x L andamento della funziona per x positivi è lo stesso di f(x) = sin x. Lo stesso andamento si ha ora anche per x negativi. E quindi una funzione pari. Poiché il punto di coordinate (0;0) non si ripete mai, non è una funzione periodica. f(x) = sin( x ) L andamento della funzione per x negativi è lo stesso di f(x) = sin x. Lo stesso andamento si ha ora anche per x positivi. E quindi una funzione pari. È la funzione opposta di f(x) = sin x

4 f(x) = sin x Per i valori di x che hanno immagine positiva le funzioni f(x) = sin x f(x) = sin x sono identiche. Mentre per i valori di x che hanno immagine negativa la funzione f(x) = sin x è opposta a f(x) = sin x. Di conseguenza il codominio è [0; 1] E un funzione periodica di periodo π f(x) = sin x La funzione è l opposta della funzione f(x) = sin x. Di conseguenza il codominio è tra [0; 1] f(x) = sin(x + π 3 ) La funzione f(x) = sin x ha subito una traslazione verso sinistra di π 3. Il periodo resta 2π f(x) = sin(x π 3 ) La funzione f(x) = sin x ha subito una traslazione verso destra di π 3

5 f(x) = 2 + sin x La funzione f(x) = sin x è traslata verso l alto di 2 f(x) = 2 + sin x La funzione f(x) = sin x è traslata verso il basso di 2. La funzione y = 1 cosx anche nota come y = cosecx è la funzione reciproca di y = sin x Osserviamo che nei valori x per i quali y = sin x = 1 anche y = 1 = 1 mentre cosx nei valori x per i quali y = sin x = 0 è impossibile calcolare y = 1 e si osserva un asintoto verticale cosx

6 f(x) = sin 2x E applicata una contrazione sull asse x. In figura si osserva f(x) = sin x di periodo 2π e f(x) = sin 2x di periodo π f(x) = sin 1 2 x E applicata una dilatazione sull asse x. In figura si osserva f(x) = sin x di periodo 2π e f(x) = sin 1 x di periodo 4π 2 f(x) = 2sin x E applicata una dilatazione sull asse y. Il periodo è 2π e il codominio [ 2; +2]

7 La funzione f(x)= tan(x) e le sue trasformazioni f(x)= tan(x) Ha come dominio D (-, + ) esclusi i valori per cui x= π/2 + kπ con k appartenente a Z (insieme dei numeri relativi) e come codominio COD (-, + ). E una funzione dispari e periodica di periodo π. E' suriettiva e non e iniettiva. f(x)= -tan(x) periodica di periodo π. E' una funzione che ha lo stesso dominio e codominio della funzione tan(x). La differenza sta nel fatto che i valori positivi per tan(x) diventano negativi per - tan(x) e i valori negativi diventano positivi. Tra i grafici di tan(x) e -tan (x) c'e una simmetria rispetto all'asse delle y. Anche -tan(x) e una funzione suriettiva e

8 f x = tan x funzione pari, per x positivi è f(x)= tan(x) per x negativi è f(x)= -tan(x) f(x)= tan(- x )

9 f(x)= tan(x) suo codominio. E una funzione periodica di periodo π. E una funzione che ha come dominio lo stesso dominio della funzione tan(x) e come codominio (0, + ). Essendo il valore assoluto di una funzione, a tutti i valori di x, sono associati valori positivi di y. Non e iniettiva e non e suriettiva, lo e solo sul f(x)= 2tan(x) Per ogni valore di x dovremmo otteniamo un valore di y che è il doppio del valore di y che avremmo ottenuto con la funzione f(x)= tan(x).

10 f(x)= tan(2x) f(x)= tan(x/2) Si osserva una contrazione e una dilatazione sull asse x della funzione base

11 f(x)= tan(x+ɑ ) In questo grafico in particolare abbiamo posto ɑ =π/3. Otteniamo il grafico da una traslazione del grafico della funzione di partenza f(x)= tan(x) verso sinistra del valore ɑ =π/3

12 LA FUNZIONE ESPONENZIALE La funzione f(x) = e x è definita sull insieme dei numeri reali cioè il suo dominio è ( ; + ) non è né pari né dispari, non è periodica non è suriettiva in R, ma nel suo condominio (0; + ) ed è iniettiva. y = f( x) La funzione f(x) = e x è la funzione riflessa cioè simmetrica rispetto all asse delle y di f(x) = e x come quella precedente non è né pari, né dispari, non è periodica, è iniettiva e suriettiva nel suo codominio (0; + ) Il suo dominio è ( ; + ) y = f(x) La funzione f(x) = e x, è la funzione opposta della funzione, f(x) = e x e graficamente è la sua simmetrica rispetto all asse x; non è né pari, né dispari e non è periodica. È suriettiva nel suo codominio (0; ) ed è iniettiva. Il suo dominio è ( ; + )

13 f(x) = f( x ) La funzione f(x) = e x, è una funzione pari ottenuta riflettendo rispetto all asse y il ramo per x positive. Non è periodica nè iniettiva, ma è suriettiva nel suo codominio [+1;+ ). Il suo dominio è ( - ; + ) y = f(x + k) La funzione f(x) = e x+2 si ottiene traslando verso sinistra di 2 la funzione originale. Non è una funzione periodica, non è né pari, né dispari, è iniettiva, non è suriettiva in R, ma nel suo codominio (0;+ ). Il suo dominio è (- ;+ ). y = f(x) + k La funzione f(x) = 2 + e x è la funzione f(x) = e x traslata verso l alto di 2. È iniettiva e suriettiva nel suo codominio [+2,+ ). Il suo dominio è (- ;+ ). Non è periodica, non è né pari, né dispari

14 . La funzione f(x) = e x è la funzione opposta a f(x) = e x è anch essa pari, non è iniettiva, ed è suriettiva nel suo codominio ( ; 1] il suo dominio è ( ; + ). La funzione f(x) = e x è la funzione pari ottenuta riflettendo rispetto all asse y il ramo per x negative; non è iniettiva, ed è suriettiva nel suo codominio (0;+1], il suo dominio è ( ; + ). y = f(x) Poiché la funzione f(x) = e x è positiva sul suo dominio, il grafico della funzione f(x) = e x è identico a quello della funzione originale.

15 FUNZIONE LOGARITMICA La funzione f(x) = ln x è definita sull insieme dei numeri reali positivi cioè il suo dominio è (0; + ) non è né pari né dispari, non è periodica ed è suriettiva in R. y = f(x) Questa è la funzione f(x) = ln x, opposta a f(x) = ln x, il suo dominio e il suo codominio sono uguali a quelli della funzione precedente. È iniettiva e suriettiva in R, non è periodica. Non è né pari, né dispari. y = f(x) Questo grafico rappresenta funzione f(x) = lnx, non è pari, né dispari, non è iniettiva nel suo dominio (0; + ) è suriettiva nel suo codominio (0;+ ). Per i valori di x la cui y = ln x è positiva, l immagine non cambia, invece per i valori di x la cui y = ln x risulta negativa, viene cambiato segno ai valori trasformandoli in positivi.

16 y = f(x + k) Il grafico della funzione f(x) = ln(x + 2) si ottiene traslando verso sinistra di 2 la funzione f(x) = ln x. è iniettiva e suriettiva in R. Il suo dominio è (-2;+ ). y = f(x) + k La funzione f(x) = 2 + lnx si ottiene traslando verso l alto di 2 la funzione f(x) = ln x. Non è né pari, né dispari, non è periodica, è iniettiva e suriettiva in R. Il suo dominio è (0;+ ). La funzione f(x) = ln x è una funzione pari, non periodica, non è iniettiva, è suriettiva in R. Il dominio è ( ; 0) (0; + )

17 FUNZIONI INVERSE Ci poniamo poi il problema di trovare la funzione inversa di una funzione data cioè la funzione che composta con la funzione iniziale mi consente di ottenere l identità. Poiché una funzione deve associare ad ogni elemento dell insieme di partenza, uno ed un solo elemento dell insieme di arrivo, perché esista la funzione inversa di f(x) è necessario che la funzione f(x) sia iniettiva, diversamente siamo costretti ad associare, attraverso la funzione inversa, ad un immagine y= f(x) più di una controimmagine. Dal punto di vista grafico una funzione e la sua inversa sono una la simmetrica dell altra rispetto alla bisettrice del I e II quadrante, come si osserva dai grafici delle funzioni: y = 3x e della sua inversa y = 1 3 x y = x 3 3 e della sua inversa y = x

18 Come comportarsi per invertire una funzione goniometrica che non è iniettiva come f(x) = sin x? FUNZIONE f(x) = arcsin (x) La funzione f(x) = arcsin (x) è l inversa della funzione seno. Essendo invertibili solo le funzioni iniettive, per poter ottenere la funzione f(x) = arcsin (x) è necessario limitare il dominio di f(x) = sin x ad un sottoinsieme del dominio in cui è iniettiva ed invertirla solo in quell intervallo. Per convenzione è stato scelto l intervallo [ π 2 ;-π 2 ]. Osserviamo quindi che il dominio di f(x) = arcsin (x) è [ 1; 1] e il codominio [ π 2 ;-π 2 ]. Essa è iniettiva, non periodica e dispari. FUNZIONE f(x) = arccos (x) La funzione f(x) = arccos (x) è l inversa della funzione coseno. Come per la funzione f(x) = arcsin (x), anche nel caso di f(x) = arccos (x) è necessario limitare il dominio di f(x) = cos x per poterla invertire; è stato convenzionalmente scelto l intervallo [0;π]. Dunque il dominio di f(x) = arccos (x) è [-1;1] e il codominio risulta essere [0;π]. Essa è inoltre una funzione iniettiva e non periodica.

19 FUNZIONE f(x) = arctan (x) la funzione f(x) = arctan (x) è l inversa della funzione tangente. il dominio di tale funzione è tutto l insieme dei numeri reali (R) mentre il codominio è ( π 2 ; π 2 ), essa è iniettiva, dispari e non periodica.