FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s prof. ssadelfino M. G.

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1 FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ 1 V CLASSICO a. s prof. ssadelfino M. G.

2 A1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE 2

3 Diapositiva 2 A1 Autore; 08/09/2015

4 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X Y E una funzione! g a b c d e f Non è una funzione! 3

5 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X a b c.1 Y Non è una funzione! 4

6 DEFINIZIONE DI FUNZIONE E una funzione! Non è una funzione! 5

7 DEFINIZIONE DI FUNZIONE Non è una funzione! 6

8 IL GRAFICO RAPPRESENTA UNA FUNZIONE? 7

9 LO STUDIO DI FUNZIONE 8

10 CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI 9

11 A2 GLI ZERI DIUNA FUNZIONE f( x ) =

12 Diapositiva 10 A2 Autore; 08/09/2015

13 INTERSEZIONE CON GLI ASSI Intersezione con l asse delle ordinate, asse delle y, x = 0 x= 0 y = f( x) A( 0; ya) Intersezione con l asse delle ascisse, asse delle x, y = 0 y= 0 y = f( x) B( x B ;0) 11

14 STUDIO DEL SEGNO DELLA FUNZIONE Studiare il segno della funzione serve a capire in quali intervalli del suo dominio il grafico si trova al di sopra dell asse delle x e dove al di sotto di essa y y y > 0 f( x) > 0 = 0 f( x) = 0 < 0 f ( x ) < 0 Si riporta sul grafico la zona interessata Ricorda di considerare solamente i valori che rientrano nel dominio! 12

15 LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE DEFINIZIONE Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca) Una funzione da A a B si dice: - iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; - suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; - biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. ESEMPIO ESEMPIO y = 2x -1 - Suriettiva - Iniettiva BIIETTIVA y = x Suriettiva se - Non iniettiva se 13

16 LE FUNZIONI INIETTIVE Una funzione da A a B: f: A B si dice Iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A In modo equivalente, possiamo dire che una funzione è iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ossia x, x A x x f( x) f( x) Funzione iniettiva Funzione non iniettiva 14

17 Per stabilire se la nostra FUNZIONE è INIETTIVA o meno useremo il cosiddetto TEST DELLE RETTE ORIZZONTALI. Vediamo in cosa consiste: Si tratta di TRACCIARE delle RETTE PARALLELE all'asse DELLE ASCISSE. Se almeno una delle rette tracciate, INTERSECA IL GRAFICO in ALMENO DUE PUNTI DISTINTI, la funzione NON E' INIETTIVA dato che ad elementi distinti dix non corrispondono elementi distinti di Y. Ad esempio, la funzione da noi disegnata non è iniettiva poiché le rette parallele all'asse delle x che abbiamo disegnato intersecano la funzione in due punti distinti: i due punti evidenziati in rosso rappresentano due valori distinti dixa cui viene associato uno stesso valore di Y. La stessa cosa possiamo dire per i due punti evidenziati in azzurro e per i due punti evidenziati in verde. 15

18 LE FUNZIONI SURIETTIVE Una funzione da A a B: f: A B si dice Suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A Funzione suriettiva Funzione non suriettiva Non esiste alcun elemento di B che non sia immagine di elementi di A Esiste un elemento di B (5) che non è immagine di alcun elemento di A 16

19 Al fine di stabilire se la FUNZIONE è SURIETTIVA o meno utilizziamo il TEST DELLE RETTE ORIZZONTALI, in altre parole disegniamo tanterette PARALLELE all'asse DELLE ASCISSE. Se almeno una delle rette che abbiamo disegnato, NONINTERSECA IL GRAFICO della funzione in ALCUN PUNTO significa che la funzione NON E' SURIETTIVA dato che esiste almeno un valore diyche non è immagine di nessun valore dix. Ad esempio, la funzione da noi disegnata non è suriettiva poiché le rette parallele all'asse dellexche abbiamo disegnato in rosso non intersecano la funzione in nessun punto. 17

20 LE FUNZIONI BIIETTIVE Una funzione da A a B: f: A B si dice Biettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva Poiché la funzione è iniettiva ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ma la funzione è anche suriettiva quindi non esiste alcun elemento di B che non sia immagine di un elemento dia. Se gli insiemi A, B hanno un numero finito di elementi allora essi devono avere di anche avere lo stesso numero di elementi. Una funzione è biettiva se per ogni elemento y di B vi è uno e un solo elemento x di A tale che f(x) = y 18

21 Vediamo ora di capire, una volta disegnata una funzione, come è possibile stabilire se essa è BIUNIVOCA o meno. A tale proposito usiamo il cosiddetto TEST DELLE RETTE ORIZZONTALI, cioè disegniamo tanterette PARALLELE all'asse DELLE ASCISSE. Se le rette tracciate, INTERSECANO IL GRAFICOdella funzione SEMPRE e se lo fanno solamente in UN PUNTO significa che la funzione E' BIUNIVOCA dato che a valori distinti dixsono associati valori distinti diye che ogni valore diyè immagine di un valore dix. Ad esempio, la funzione da noi disegnata è biunivoca poiché le rette parallele all'asse dellexche abbiamo disegnato in blu intersecano tutte la funzione e lo fanno sempre in un solo punto che abbiamo evidenziato in rosso. 19

22 LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione crescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x 1 e x 2 appartenenti a I, con x 1 < x 2, ) risulta f (x 1 ) < f (x 2 ). ESEMPIO y = x 2 4 Crescente in Funzione non decrescente Se, invece di f (x 1 ) < f (x 2 ), vale la funzione è crescente in senso lato o non decrescente. 20

23 LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione decrescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x 1 e x 2 appartenenti a I, con x 1 < x 2, risulta f (x 1 ) > f (x 2 ). ESEMPIO Decrescente in Funzione non crescente Se, invece di f (x 1 ) > f (x 2 ), vale la funzione è decrescente in senso lato o non crescente. Non crescente in R 21

24 LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione monotona Una funzione di dominio si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, in quell intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. Funzione monotòna crescente in I Funzione monotòna decrescente in I 22

25 LE FUNZIONI PERIODICHE DEFINIZIONE Funzione periodica Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x+ kt). ESEMPIO y = sen (x) è periodica di periodo 2π perché sen (x) = sen (x + 2kπ). y = tg (x) è periodica di periodo π perché tg (x) = tg (x + kπ). 23

26 LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI DEFINIZIONE Funzione pari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se, allora. Una funzione y = f (x) si dice pari in D se f ( x) = f (x) per qualunque x appartenente a D. ESEMPIO f (x) = 2x 4 1 f ( x) = 2( x) 4 1 = 2x 4 1 = f (x) f è pari. 24

27 LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI DEFINIZIONE Funzione dispari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se, allora. Una funzione y = f (x) si dice dispari in D se f ( x)= f (x) per qualunque x appartenente a D. ESEMPIO f (x) = x 3 + x f ( x) = ( x) 3 + ( x) = x 3 x = f (x) f è dispari. 25

28 LA FUNZIONE INVERSA DEFINIZIONE Funzione inversa Data la funzione biiettiva f da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biiettiva f 1 da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x). Data una funzione biiettiva reale di variabile reale y = f(x), disegnare il grafico di f 1 equivale a partire dalle ordinate di f e ricavare le ascisse. Ordinate e ascisse si scambiano i ruoli. Il grafici di f e di f 1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. 26

29 LA FUNZIONE INVERSA: ESPONENZIALE E LOGARITMICA La funzione esponenziale e la funzione logarimica 27

30 LA FUNZIONE INVERSA DIALTRE FUNZIONI La funzione arcoseno La funzione arcocoseno La funzione arcotangente La funzione arcocotangente 28

31 LE FUNZIONI COMPOSTE Le funzioni composte Date le due funzioni e, con o y = g (f (x)) indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l immagine mediante g dell immagine di x mediante f. ESEMPIO Consideriamo: f (x) = x 2, g(x) = x + 1. Otteniamo: La composizione NON è commutativa. 29

32 I GRAFICI DELLE FUNZIONI E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE LE TRASLAZIONI 30

33 I GRAFICI DELLE FUNZIONI E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE LE SIMMETRIE 31

34 I GRAFICI DELLE FUNZIONI E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE LE DILATAZIONI 32

35 I GRAFICI DELLE FUNZIONI E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE (CASI PARTICOLARI) y= f 2 ( x) 33

36 I GRAFICI DELLE FUNZIONI E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE (CASI PARTICOLARI) 1 y = f( x) 34

37 I GRAFICI DELLE FUNZIONI E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE (CASI PARTICOLARI) y= f( x) 35

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