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1 7. Funzioni limitate ed illimitate, funzioni inverse Definizione: Una funzione f: A Bsi dice limitata superiormente od inferiormente se il suo condominio è un insieme limitato superiormente od inferiormente. Gli estremi superiore ed inferiore del condominio si dicono estremo superiore ed inferiore di f ( ). Se il condominio è illimitato la funzione si dice illimitata. Sono ad esempio funzioni limitate: sin, cos, entrambe con C: [ ;], la metà di una circonferenza tipo, con C :0; [ ], e le funzioni goniometriche inverse. = arctan C: ; = arcsin C: ; = arccos C: [ 0; ] - - Definizione: Una funzione massimo ed un minimo del condominio. Il punto 0 minimo. f : A B si dice che ammette un massimo od un minimo assoluto se esistono un dove f ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di Nel punto di massimo assoluto deve quindi essere:. f ( ) è definita in 0 D f () f ( ). 0 0 Esempi: tutte le parabole ad asse verticale parabole, il seno ed il coseno. Non hanno massimo assoluto le funzioni omografiche, l arcotangente e così via. Definizione: si dice funzione inversa della funzione f: A B la funzione : che fa corrispondere ad ogni elemento Bl elemento A f B A tale che f ( ) = a) Ogni funzione biiettiva f, che è una corrispondenza biunivoca fra i due insiemi A e B ammette una funzione inversa f e pertanto si dice invertibile. b) Nel piano, il grafico della funzione inversa= f () coincide con quello della funzione diretta f (). Se però si desidera avere la nuova come variabile indipendente sulle ascisse allora occorre scambiare il ruolo delle due coordinate. Invertendo l ascissa con l ordinata si ottiene un grafico simmetrico di quello originario rispetto bisettrice del primo e terzo quadrante. Già conosciamo gli andamenti grafici di alcune funzioni inverse: esponenziale e logaritmo, cubo e radice cubica

2 c) Le funzioni che non sono biiettive non ammettono inversa, però la può ammettere una loro restrizione, cioè una funzione che agisce solo su di un sottoinsieme del dominio, come gli intervalli ; ; ; in figura. Ad esempio seno ed arcoseno sono l una inversa dell altra, ma [ ], [ ], [ ] ricordiamo che l inversione è possibile solo restringendosi all intervallo ; dove la funzione seno è biiettiva. Lo stesso per, che ammette le due inverse =±. d) Se la funzione è invertibile, dominio della funzione inversa coincide con il condominio della funzione originaria. Altrimenti il condominio è l unione dei domini delle inverse in tutte le restrizioni in cui è stata suddivisa. 3 oppure = 3 a oppure = log a 3 log a arcsin sin arccos oppure = arcsin - cos oppure = arccos - - tan oppure = arctan arctan 9

3 Esempio 0 e e e + f ( ) = e + Si trovi il suo dominio, si dica se è invertibile ed eventualmente si trovi la sua inversaf, si trovi il condominio e si dica sefè limitata. Il dominio è tuttor. Risolviamo rispetto ad l equazione f (): e + e = =ln( ) ln( ) avendo trovato un trova un unico elemento tale che f ( ) = la funzione è invertibile. Il condominio dif è il dominio dif : > 0 > C: ( ; + ) e la funzione è limitata inferiormente. Esempio + f ( ) = + il cui domino è tutto l insieme R. Si dica se è invertibile ed in caso si trovi la sua inversa d esistenza dif (cioè il condominio di f), e si dica se fè limitata. Risolviamo rispetto ad l equazione f (): f, si determini il campo + ( + ) + ( ) = + =± Come si vede la funzione assegnata non è invertibile perché non si trova un unico elemento tale che f ( ) =. Esistono tuttavia due funzioni inverse: f () = f () = ciascuna in una opportuna restrizione del dominio. Tuttavia il loro campo di esistenza è il medesimo e pertanto coincide con il condominio. Troviamo il campo di esistenza di f : segno di: > 0 > + 30

4 risulta che f esiste se [ ;). Questo intervallo è quindi anche il condominio di f : C= [ ;). Poiché C è un insieme limitato, f ( ) è una funzione limitata. Una via alternativa per rispondere alla stessa domanda è riscrivere l espressione analitica della funzione effettuando la divisione fra numeratore e denominatore: + f ( ) = = La frazione ha sempre denominatore maggiore del numeratore, e quindi risulta limitata: + 0< < f () + a conferma di quanto già trovato. Esempio f ( ) = sin5+ Primo metodo: Risolviamo rispetto ad l equazione f (): sin5+ = sin5 f, si trovi il condominio e si dica se fè limitata. Come sappiamo la funzione seno non è biunivoca, ma lo è la sua restrizione all intervallo ;. Possiamo invertire allora f ( ) solo quando l argomento soddisfa la condizione: in questo caso si ha: 5= arcsin arcsin = 5 Troviamo il dominio di f : 0 4 C:0;4 [ ] La funzione è quindi limitata. 3

5 Secondo metodo: Osservando che sin5 si ha: sin5 0 sin5+ 4 C:0;4 [ ] Esempio 3 f ( ) = Abbiamo D: R 0. Risolviamo rispetto ad l equazione f (): f, si trovi il condominio e si dica se fè limitata. ± + 8 = 0 = la funzione non è invertibile perché non si trova un unico elemento tale che f ( ) =. In opportune restrizioni del dominio esistono tuttavia le due funzioni inverse: f () = 8 + f () = ed il loro dominio è tutto R essendo sempre Si ha dunque C: R e la funzione è illimitata. Esempio 4 f ( ) = + + f, si trovi il condominio e si dica se fè limitata. Abbiamo D: R 0. Risolviamo rispetto ad l equazione f (): + + ( + ) = ± La funzione diretta è una parabola con V ( ;0), quindi è possibile in questo caso determinare la restrizione con + esattezza, come si vede in figura. Si ha C: R. = + inversa in( ; + ) = inversa in( ; ] Altre: log( 5+ ) ; ( + ) 3, Tomo A p49 n3,4 p.47 n.67 (invertibili), anche condominio. 3

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