allora f (x) f (x 0 ) < ε D f R si dice continua, se è continua in ogni punto del suo dominio D. In simboli, D R è continua in x 0 D se:
|
|
- Gloria Pieri
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione: Per ogni x D, se x x 0 < δ allora (x) (x 0 ) < ε D R si dice continua, se è continua in ogni punto del suo dominio D. In simboli, D R è continua in x 0 D se: [ ] ε > 0 δ > 0 x D d(x, x 0 ) < δ = d ( (x), (x 0 )) < ε Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 1/14
2 Gli intervalli di R. (a, b R, a b) Deinizione Gli intervalli di R sono: (a, b R, a b) 1 (a, b) = {x R a < x < b} (Intervallo aperto e limitato); [a, b) = {x R a x < b} (Intervallo limitato, né aperto, né chiuso); 3 (a, b] = {x R a < x b} (Intervallo limitato, né aperto, né chiuso); 4 [a, b] = {x R a x b}, (intervallo chiuso e limitato, o intervallo compatto); 5 (, b) = {x R x < b}, (semiretta aperta); 6 (, b] = {x R x b}, (semiretta chiusa); 7 (a, ) = {x R a < x}, (semiretta aperta); 8 [a, ) = {x R a x}, (semiretta chiusa); 9 L intera retta reale R. (Intervallo aperto e chiuso). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue /14
3 Proprietà caratteristica degli intervalli di R Proprietà caratteristica degli intervalli di R Un sottoinsieme I di R è un intervallo di R se, e solo se, soddisa la proprietà seguente: Se x, y appartengono a I, x < y e t R è un qualunque punto compreso tra x e y, cioè allora anche t appartiene a I. x < t < y (Se si assume questa proprietà caratteristica, anche un singolo punto e l insieme vuoto sono intervalli). Esercizio: Dimostrare che l intersezione di due intervalli è sempre un intervallo (magari vuoto). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 3/14
4 Funzioni continue su un intervallo. (Zeri) Teorema (Teorema degli Zeri) Sia I R una unzione deinita su un intervallo I R e continua su I. Siano a, b due punti appartenenti a I, con a < b. Supponiamo che i valori (a) e (b) abbiano segni opposti. (Vale a dire, (a) < 0 e (b) > 0, o viceversa). Allora esiste (almeno) un punto α (a, b) in cui si ha (α) = 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 4/14
5 Funzioni continue su un intervallo (Valori Intermedi) Teorema (dei Valori Intermedi) Ipotesi: 1 I R intervallo; I a, b I ; a < b; (a) < (b); R unzione continua su I ; 3 c R soddisa: (a) < c < (b). Tesi: x 0 (a, b) (x 0 ) = c In breve, le unzioni continue da R a R trasormano intervalli in intervalli: Se I R è unzione continua su un intervallo I, la sua immagine (I ) è anch essa un intervallo. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 5/14
6 Proprietà dei Valori Intermedi? = Continuità I R, I intervallo di R. Supponiamo che soddisi la Proprietà dei Valori Intermedi (di Darboux): Per ogni coppia di punti x 1, x I, assume tutti i valori compresi tra (x 1 ) e (x ). Possiamo concludere che è continua? Risposta: No sin 1 x 0 (x) = x 0 x = 0 Esercizio: Dimostrare che questa unzione soddisa la proprietà dei valori intermedi, ma non è continua (in 0). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 6/14
7 Continuità della unzione inversa Teorema (Continuità della unzione inversa) Sia I un intervallo e sia I R una unzione continua e strettamente crescente (oppure strettamente decrescente) su I. Poniamo J = (I ) (J è un intervallo di R). Allora: 1 La unzione I J è invertibile; La unzione inversa J 1 I è continua. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 7/14
8 Esempi di unzioni inverse: ( ) e ( ) (a) [0, + ) ( ) [0, + ) (b) [0, + ) ( ) [0, + ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 8/14
9 Esempi di unzioni inverse: Seno, Arcoseno (a) -1.0 [ π, π ] sin [ 1, 1] (b) [ 1, 1] arcsin [ π, π ] Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 9/14
10 Esempi di unzioni inverse: Coseno, Arcocoseno (a) [0, π] cos [ 1, 1] (b) [ 1, 1] arccos [0, π] Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 10/14
11 Esempi di unzioni inverse: Tangente, Arcotangente (a) ( π, π ) tan (, + ) (b) (, + ) arctan ( π, π ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 11/14
12 Esempi di unzioni inverse: exp a, log a (a > 1) (a) (, + ) exp (0, + ) - (b) (0, + ) log (, + ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 1/14
13 Teorema di Weierstrass Teorema (Weierstrass) Una unzione [a, b] R continua su un intervallo compatto (cioè chiuso e limitato) I = [a, b] è limitata. Inoltre esistono nell intervallo I un punto nel quale la unzione assume il suo valore massimo e un punto nel quale la unzione assume il suo valore minimo. La tesi aerma che esistono in [a, b] (almeno) un punto p e (almeno) un punto q per i quali si ha, per ogni x [a, b], (q) (x) (p) (1) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 13/14
14 Osservazione Corollario del teorema di Weierstrass Se [a, b] R è una unzione continua su un intervallo compatto (cioè chiuso e limitato) [a, b], allora la sua immagine ([a, b]) è anch essa un intervallo compatto: ([a, b]) = [m, M] () dove m e M sono il minimo valore e il massimo valore di sul suo dominio I = [a, b]. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Funzioni continue 14/14
Gli intervalli di R. (a, b R, a b)
Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione:
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria 2. Le funzioni continue.
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria ederico.lastaria@polimi.it 2. Le unzioni continue. Settembre 2012 Indice 1 Funzioni reali continue 1 1.1 Deinizione di unzioni continua..........................
DettagliPrimi elementi di topologia dell asse reale. Intorni
Primi elementi di topologia dell asse reale. Intorni R è uno spazio metrico: La distanza d(x, y) tra due numeri reali x, y è il valore assoluto della loro differenza: d(x, y) = x y Definizione (Intorno
DettagliDefinizione (Derivata come limite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il limite del rapporto incrementale
Funzione derivabile. La derivata. Dati: f I R funzione; I R intervallo aperto ; x 0 I. Definizione (Derivata come ite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il ite del rapporto incrementale
DettagliMatematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI.
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani FUNZIONI ELEMENTARI Funzione potenza con esponente n N Si definisce
DettagliFunzione derivabile. La derivata.
Funzione derivabile. La derivata. Dati: f I R funzione; I R intervallo aperto ; x 0 I. Definizione (Derivata come limite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il limite del rapporto
DettagliDerivate. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 1 / 33
Derivate Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 1 / 33 Definizione: rapporto incrementale Sia f : domf R R. Dati x 1, x 2 domf con x 1 x
DettagliFunzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))
Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al
DettagliTeoremi per la prima prova. Dimostrazioni. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria ederico.lastaria@polimi.it Teoremi per la prima prova. Dimostrazioni. 24 Ottobre 2018 Indice 1 Teoremi per la prima prova in itinere.
DettagliEsercizi sulle Funzioni
AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Funzioni Esercizio svolto. Trovare i domini di definizione delle seguenti funzioni: a) f) sin + cos ; b) g) log ) ; c) h) sin + e sin. Soluzione. a) La
DettagliFunzioni continue. Hynek Kovarik. Università di Brescia. Analisi Matematica 1
Funzioni continue Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Funzioni continue Analisi Matematica 1 1 / 44 Funzioni continue Definizione Siano f : A
DettagliEsercitazione di AM120
Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Esercitazione di M0.. 07 08 - Esercitatore: Luca Battaglia Soluzioni dell sercitazione 3 4 del 4 Marzo 08 rgomento: Derivate, Massimi e minimi,
DettagliAnalisi Matematica. Alcune funzioni elementari
a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Alcune funzioni elementari Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
DettagliProprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1
DettagliUNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI
UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo
DettagliProprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler
Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
DettagliArgomento 6: Derivate Esercizi. I Parte - Derivate
6: Derivate Esercizi I Parte - Derivate E. 6.1 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1) log 5 3 + cos ) + 3 + 4 + 3 3) 5 tan 4) ( + 3e ) sin 5) arctan( + 1) 6) log 7) 10) + + 3 8) 3 3 1 + 16 11)
DettagliFunzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y
Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
DettagliEsercizio 1. Per quali valori di h e k le seguenti funzione sono derivabili? x 3 sin 1 x 0. 0 x = 0. x cos 1 x > 0
Sapienza Università di Roma - Facoltà I3S Corso di Laurea in Statistica Economia Finanza e Assicurazioni Corso di Laurea in Statistica Economia e Società Corso di Laurea in Statistica gestionale Matematica
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliCONTINUITA E DERIVABILITA
CONTINUITA E DERIVABILITA La continuità e la derivabilità di una unzione sono proprietà dierenti. TEOREMA: CONTINUITA DELLE FUNZIONI DERIVABILI Se è una unzione derivabile in un punto, allora è continua
DettagliCalcolo differenziale II
Calcolo differenziale II Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 1 / 36 Massimi e minimi Definizione Sia A R, f
DettagliMatematica 1 mod. A per Matematica Esempi di quiz
Matematica 1 mod. A per Matematica Esempi di quiz 1. Sia x un numero reale. Allora x 3: è uguale a 3x 2. può essere diverso da 3x 2. è sempre un numero irrazionale. 2. Sia S l insieme delle soluzioni della
DettagliLimiti e continuità. Limiti di funzioni
Limiti e continuità Limite all ininito di una unzione Limite al inito di una unzione Continuità di una unzione Limite ininito al inito di una unzione Limiti laterali di una unzione Punti di discontinuità
DettagliArgomento2 Iparte Funzioni elementari e disequazioni
Argomento Iparte Funzioni elementari e disequazioni In questa lezione richiameremo alcune fra le più comuni funzioni di variabile reale, mettendone in evidenza le principali proprietà. Esamineremo in particolare
DettagliCoordinate cartesiane nel piano
Coordinate cartesiane nel piano O = (0, 0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi
DettagliProprietà globali delle funzioni continue
Limiti e continuità Teorema di esistenza degli zeri Teorema dei valori intermedi Teorema di Weierstrass Teoremi sulla continuità della funzione inversa 2 2006 Politecnico di Torino 1 Data una funzione
DettagliAM110 - ESERCITAZIONI XIX - XX
AM0 - ESERCITAZIONI XIX - XX DICEMBRE 0 Esercizio svolto. Calcolare i seguenti itii: a 0 tan sin 3 ; b 0 cose e arctan ; c 0 + tan ; d π + cos tan ; e log3+sin 3 ; f + sin ; g 0 +tan tan sin ; h + [ e
Dettaglib) Si calcoli lim x 0 x
MATEMATICA I Corsi di Laurea in Ingegneria Elettrotecnica e in Ingegneria Energetica Esercitazione in classe del 5..2007. N. B.: le risposte vanno giustificate Gli abbozzi di soluzioni sono in fondo. a)
DettagliCorso di Analisi Matematica. Calcolo differenziale
a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Dettaglix x ' La funzione f si dice continua in x 0 se (e solo se) 0
: A R R A ' Funzioni Continue La unzione si dice continua in ( ( se (e solo se A Ne seguono tre proprietà ainché ( sia continua in :. Devono esistere initi il ite destro e sinistro di ( in. Tali iti devono
DettagliFunzioni e grafici. prof. Andres Manzini
Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)
DettagliProprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler
Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni
DettagliLimiti. Funzioni continue. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale e dell Informazione Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria Limiti. Continuità. Ottobre 2015 Indice 1 Prime nozioni di topologia dell asse reale
DettagliEsercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni
Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i
DettagliAnalisi Matematica 1 Soluzioni prova scritta n. 1
Analisi Matematica Soluzioni prova scritta n Corso di laurea in Matematica, aa 008-009 5 giugno 009 Sia a n la successione definita per ricorrenza: a n+ 3 a n a 3 n, a 3 a n+ 3 a n a 3 n, a 3 a n+ 3 a
DettagliDimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo
C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti
Dettagli25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE
25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x
DettagliStudio Qualitativo di Funzione
Studio Qualitativo di Funzione Reperire un certo numero di informazioni per descrivere a livello qualitativo l andamento del grafico di una funzione f 1. campo di esistenza (cioè, l insieme di definizione)
DettagliRegole di derivazione Ulteriori concetti Teorema di Fermat Monotonia e punti di estremo Convessità e punti di flesso Teorema di de l Hôpital
Calcolo dierenziale Regole di derivazione Ulteriori concetti Teorema di Fermat Monotonia e punti di estremo Convessità e punti di lesso Teorema di de l Hôpital 2 2006 Politecnico di Torino 1 Calcolo dierenziale
DettagliEsercizi di Analisi Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 0/3 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica e TWM Esercizi di Analisi Matematica Esercizi del 0 ottobre 0 La sottrazione
DettagliAnalisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Ingegneria
Analisi e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Esercizi Funzioni. Calcolare la derivata delle funzioni: (a f( = ln tg cos sin (b f( = + ln( + +. Dimostrare che la funzione è costante a tratti. 3.
Dettagli1. Riconoscere la natura delle coniche rappresentate dalle seguenti equazioni e disegnarle:
Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 204-205 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi proposti n. 3: Funzioni a due variabili. Riconoscere
DettagliCorso di Analisi Matematica. Funzioni continue
a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
DettagliLimiti di funzioni all infinito (1) lim f(x) = λ R x K>0 : x > K f(x) λ < ε (2) lim f(x) = x M>0 >0 K>0 : x > K f(x) > M (3) lim f(x) = x M>0 >0 K>0 : x > K f(x) < < M Se f(x) è definita in un intorno
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Limiti di derivate. Punti angolosi e di cuspide. Ottobre 2012 Indice 1 Limiti della derivata e punti di non
DettagliIl campo ordinato completo R dei numeri reali. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 1/13
Il campo ordinato completo R dei numeri reali Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Il campo ordinato completo R 1/13 Cosa significa campo? Significa che sono definite due operazioni: somma e prodotto,
Dettagli1. Calcolo Differenziale per funzioni di una variabile
1. Calcolo Differenziale per funzioni di una variabile 1.1 Definizione di Derivata e prime proprietà Definizione 1.1 Sia f :]a, b[ R, x 0 ]a, b[. Allora esiste δ > 0 : x 0 + ]a, b[, 0 < < δ. Se esiste
DettagliEsercizi di Analisi Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 00/ Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica e TWM Esercizi di Analisi Matematica Esercizi sul primo semestre del
DettagliDerivabilità, invertibilità e studi di funzione
Derivabilità, invertibilità e studi di funzione. Studiare la continuità e la derivabilità delle funzioni elencate in tutto il loro dominio di definizione e calcolare la derivata nei punti in cui la funzione
DettagliStudio qualitativo del grafico di una funzione
Studio qualitativo del grafico di una funzione Obiettivo: ottenere informazioni per descrivere qualitativamente l andamento del grafico di una funzione f campo di esistenza (cioè, l insieme di definizione)
DettagliFUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al più un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
DettagliLimiti e continuità. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 1 / 68
Limiti e continuità Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 1 / 68 Cenni di topologia La nozione di intorno Sia x 0 R e r > 0.
DettagliContinuità di funzioni
Continuità di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 2 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
DettagliFUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale
FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria Formule di Taylor Ottobre 2012
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Formule di Taylor Ottobre 2012 Indice 1 Formule di Taylor 1 1.1 Il polinomio di Taylor...............................
DettagliLimiti. Funzioni continue. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale e dell Informazione Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria Limiti. Continuità. 13 Settembre 2018 Indice 1 Prime nozioni di topologia dell asse reale
Dettagli1 Numeri reali. Esercizi.
Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 1 (Docente: Federico Lastaria) Settembre 2012 1 Numeri reali. Esercizi. Esercizio 1.1 (Un numero moltiplicato per zero
Dettagli, α N, quando f è una delle seguenti
. Determinare lim 0 + α f, α R, e lim 0 α f funzioni: f = ln 8 cos4+, f = ln f = sin sine., α N, quando f è una delle seguenti, f = ln ln, sin sin. Calcolare la derivata della funzione f definita da f
DettagliNote di trigonometria
Note di trigonometria Daniel Gessuti indice Elementi di Trigonometria Seno, coseno e tangente Relazione fondamentale Secante, cosecante e cotangente 3 Le funzioni seno, coseno e tangente e le loro inverse
DettagliLe funzioni con+nue (1)
Le funzioni con+nue (1) Definizioni: - Sia I un intervallo, x 0 I. Una funzione f : I R è con$nua in x 0 se lim x x0 f(x) = f(x 0 ). La funzione f è con$nua nell'intervallo I se è con+nua in ogni punto
DettagliMatematica e Statistica per Scienze Ambientali
per Scienze Ambientali Derivate - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Novembre 2013 Retta secante un grafico e rapporto incrementale Sia f una funzione e x 0 un punto
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliSecondo appello 2004/ Tema 1
Secondo appello 2/25 - Tema Esercizio Risolvere l equazione di variabile complessa z 2 (z z)2 + (Re z) [ Im (z 2 ) ] =, () e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss. Poniamo z = + i. Si ottiene che deve
Dettagli2 Numeri complessi. 3 Lo spazio euclideo R N. 4 Topologia di R N
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA L-A Corsi di Laurea in Ing. Informatica, Ing. dell Automazione, Ing. Elettrica (Prof. Ravaglia) Anno Accademico 2007/08 Simboli: I= introduzione intuitiva, D = definizione,
DettagliIstituzioni di Matematiche seconda parte
Istituzioni di Matematiche seconda parte anno acc. 2010/2011 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 26 index 1 2 Continuità Cristina Turrini
DettagliDerivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Derivazione Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliForme indeterminate e limiti notevoli
Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino
DettagliIstituzioni di Matematiche terza parte
Istituzioni di Matematiche terza parte anno acc. 2011/2012 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 35 index Il concetto di limite 1 Il
DettagliNota: A meno che non sia specificato diversamente, si intende che i teoremi, lemmi, proposizioni sotto menzionati siano stati dimostrati a lezione.
Programma di Analisi Matematica 1 (Canale ICM) svolto per lezioni - A. Languasco - C. Vagnoni 1 Nota: A meno che non sia specificato diversamente, si intende che i teoremi, lemmi, proposizioni sotto menzionati
DettagliProve scritte di Analisi I - Informatica
Prove scritte di Analisi I - Informatica Prova scritta del 3 gennaio Esercizio Stabilire il comportamento delle seguenti serie: n= n + 3 sin n, n= ( ) n n + 3 sin n, n= (n)! (n!), n= n + n 9 n + n. Esercizio
DettagliAppunti di Matematica 5 - Funzioni - Funzioni. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B
Funzioni Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y = () y viene chiamato immagine di e indicato anche
DettagliFunzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo
Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico
DettagliInsiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte
Limiti e continuità Richiami sulle unzioni - parte II Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte
DettagliSuccessioni numeriche
Successioni numeriche Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 1 / 48 Definizione Una successione a valori reali è
DettagliLimiti. Funzioni continue. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale e dell Informazione Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria Limiti. Continuità. 27 Settembre 2016 Indice 1 Prime nozioni di topologia dell asse reale
DettagliFunzioni continue. quando. se è continua x I.
Funzioni continue Definizione: f() si dice continua in 0 D f quando (*) 0 f () f ( 0 ) Definizione: f() si dice continua in I D f se è continua I. Avevamo già dato questa definizione parlando del f ().
DettagliI TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE 1. DEFINIZIONI. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.1 TEOREMA DELL ESTREMANTE LOCALE. TEOREMI DI ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE.3 TEOREMI CONSEGUENTI AL T. DI LAGRANGE 3. DETERMINAZIONE
DettagliFunzioni continue di una variabile
Capitolo 7 Funzioni continue di una variabile 7.1 Definizioni e prime proprietà Sia f(x) definita nell insieme E e sia x DE. La definizione di limite per x x esprime una certa proprietà dei valori f(x)
DettagliUniversità degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Chimica. Matematica 2.
Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Chimica Matematica 2 9 Maggio 2018 Schema Lezione numero 15 Outiline Regola di derivazione delle funzioni
DettagliInfiniti e Infinitesimi
Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinitesima per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), se: f ( ) ( oppure f ( ) ) Infiniti e Infinitesimi
DettagliMetodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B
Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/
DettagliSPAZI COMPATTI. Proposizione 2 Sia (X, d) uno spazio metrico. Se esso è sequenzialmente compatto allora è completo.
SPAZI COMPATTI D ora in poi tutti gli spazi topologici sono di Hausdorff. Definizione 1 Uno spazio topologico (X, τ) si dice sequenzialmente compatto, o compatto per successioni, se ogni successione di
DettagliLEZIONI Dispense a cura del docente Teorema degli Zeri e Teorema di Weierstrass.
LEZIONI 8-9-0 Contents 8.4. Teorema degli Zeri e Teorema di Weierstrass 95 8.5. Ulteriori nozioni sui iti di funzioni. 0 8.6. Asintoto obliquo. 07 8.7. Funzione Inversa. Continuità della funzione inversa.
Dettagli1 Analisi mat. I - Esercizi del 13/10/99
Analisi mat. I - Esercizi del //99 ES. Delle seguenti funzioni determinare: il dominio l immagine gli eventuali asintoti l insieme dove sono continue e quali siano estendibili per continuita. Determinare
DettagliAlgebra dei limiti. quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha. lim. f (x)
Algebra dei limiti Teorema. Se lim f () = l R e lim g() = m R, allora, 0 0 quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha lim (f () + g()) = lim f () + lim g()
DettagliNozioni di base - Quiz - 2
Nozioni di base - Quiz - Rispondere ai seguenti quesiti (una sola risposta è corretta).. L insieme delle soluzioni della disequazione (a) (0, ) (, + ) (x ) log(x) x + 0 è: (b) [, ] (c) (d) (e) (, + ) (0,
DettagliEsercizi con i teoremi di de L Hôpital e la formula di Taylor. Mauro Saita Versione provvisoria.
Esercizi con i teoremi di de L Hôpital e la formula di Taylor. Mauro Saita e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 05 Esercizi proposti durante le esercitazioni del corso di Analisi
DettagliCorsi di Laurea in Matematica e in Fisica. Prova scritta di Analisi Matematica I. Lecce, 12.IX.2016
Lecce, 12IX2016 1 Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- { 1 + x } f(x) = x exp 1 x sin(1/x)[e x + 2x 2 log cos x] x z 2 i z = z 2 e rappresentare le soluzioni sul piano complesso
DettagliM174sett.tex. 4a settimana Inizio 22/10/2007. Terzo limite fondamentale (sul libro, p. 113, è chiamato secondo ) lim x 1 x 0 x
M74sett.te 4a settimana Inizio 22/0/2007 Terzo ite fondamentale (sul libro, p. 3, è chiamato secondo ) e 0 =. La tangente al grafico nel punto (0,0) risulta y = (vedremo poi perché). Ricordare che e è
DettagliArgomento 6 Derivate
Argomento 6 Derivate Derivata in un punto Definizione 6. Data una funzione f definita su un intervallo I e 0 incrementale di f in 0 di incremento h = 0 = il rapporto I, si chiama rapporto per = 0 + h =
DettagliFENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Si definisce la funzione tangente, tanθ, (talvolta indicata tgθ), nel modo seguente tanθ =sinθ/cosθ La funzione tangente non è definita dove si annulla il
DettagliSoluzioni degli esercizi di Analisi Matematica I
Soluzioni degli esercizi di Analisi Matematica I (Prof. Pierpaolo Natalini) Roberta Bianchini 30 ottobre 07 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) = arccos x x + π/3.. Verificare
DettagliGeneralità sulle funzioni
Generalità sulle funzioni Docente:Alessandra Cutrì Definizione di funzione Dati due insiemi X e Y, una funzione f : X Y è una legge che ad ogni elemento x X associa un unico elemento y = f (x) Y ES: X
DettagliCorso di Analisi Matematica
Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di DERIVATE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Secanti e tangenti Sia f : D R, sia I = [a, b] oppure I = (a, b),
DettagliIstituzioni di Matematiche terza parte
Istituzioni di Matematiche terza parte anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano D.Bambusi, C.Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 45 index Il concetto di ite 1 Il
DettagliStudio Qualitativo di Funzione
Studio Qualitativo di Funzione Reperire un certo numero di informazioni, per descrivere a livello qualitativo l andamento di una funzione y = f() : 1. campo di esistenza ( insieme di definizione ) 2. segno:
DettagliSTUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE 1 Richiami Teorema 1 (Test di monotonia). Sia f : (a, b) R una funzione derivabile. Allora f è monotona crescente (risp. decrescente) in (a, b) se e solo se f () 0 (risp.
Dettagli