Teoremi per la prima prova. Dimostrazioni. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

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1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria ederico.lastaria@polimi.it Teoremi per la prima prova. Dimostrazioni. 24 Ottobre 2018 Indice 1 Teoremi per la prima prova in itinere. Dimostrazioni Unicità del limite Successioni monotòne limitate Permanenza del segno Radici n-esime Continuità della unzione composta Teorema degli Zeri Teorema dei Valori Intermedi Derivabilità implica continuità Teorema di Fermat Teorema del Valore Medio (di Lagrange) Funzioni derivabili strettamente monotòne Funzioni con derivata nulla su un intervallo Teorema di de l Hospital Formula di Taylor con il resto di Peano Pag. 1

2 1 Teoremi per la prima prova in itinere. Dimostrazioni. 1.1 Unicità del limite Teorema 1.1 (Unicità del limite). Una successione in R ha al più un limite. Prima dimostrazione. Supponiamo che L e L siano limiti della successione (a n ). Allora, per deinizione di limite, per ogni ε > 0 esistono K, K N tali che n > K = a n L < ε, n > K = a n L < ε Poniamo K = max{k, K }. Allora, per ogni n K abbiamo (acendo uso della disuguaglianza triangolare): L L = L a n + a n L L a n + a n L < ε + ε = 2ε (1.1) Dal momento che ε è un numero positivo arbitrario, concludiamo che L = L. Osservazione 1. Unicità del limite signiica che il limite, ammesso che esista, è unico. Nel linguaggio matematico l unicità non implica l esistenza. L unicità del limite vale (e si dimostra in modo del tutto analogo) anche per i limiti di unzioni. Osservazione 2. Se analizziamo la dimostrazione dell unicità del limite per successioni in R, vediamo che, al ine di dimostrare l unicità del limite, la struttura di campo ordinato completo di R non gioca alcun ruolo. Inatti, l unicità del limite vale, più in generale, per successioni in un qualunque spazio metrico. Ricordiamo le deinizioni. Uno spazio metrico (X, dist) consiste in un insieme X e in una unzione X X dist R detta distanza in X, che soddisa le proprietà seguenti. Per ogni scelta di p, q, r X: dist(p, q) 0 e dist(p, q) = 0 se e solo se p = q. (Simmetria) dist(p, q) = dist(q, p) (Disuguaglianza triangolare) dist(p, q) dist(p, r) + dist(r, q) Esempi di spazi metrici sono: R (se x, y R, si deinisce dist(x, y) = x y ), il piano R 2, lo spazio R 3 (e più in generale ogni R n ), la supericie di una sera S immersa in R 3 (come si può deinire una distanza su S?), il piano complesso C eccetera. Se (a n ), n N, è una successione in uno spazio metrico X, si dice che (a n ) tende a L X se dist(a n, L) 0, cioè se: ε > 0 n 0 N n N n > n 0 = dist(a n, L) < ε Pag. 2

3 L unicità del limite di una successione vale in qualunque spazio metrico: Teorema (Unicità del limite in uno spazio metrico) Una successione in uno spazio metrico (X, dist) ha al più un limite. Dimostrazione. Supponiamo che la successione (a n ) nello spazio metrico X converga a L X e a L X, cioè supponiamo che si abbia, al tempo stesso: dist(a n, L ) 0 e dist(a n, L ) 0 Per la proprietà triangolare, si ha, qualunque sia n: 0 dist(l, L ) dist(l, a n ) + dist(a n, L ) (1.2) Poiché, per n +, dist(l, a n ) 0 e dist(l, a n ) 0, anche la successione (costante) dist(l, L ) tende a zero, e questo è possibile se, e solo se, dist(l, L ) = 0, cioè se, e solo se, L = L. Pag. 3

4 1.2 Successioni monotòne limitate Teorema 1.2 (Successioni monotòne limitate). Ogni successione in R che sia crescente a 1 < a 2 < a 3 < < a n < a n+1 < (1.3) e (superiormente) limitata è convergente. superiore dell insieme dei suoi termini. Precisamente, converge all estremo Se invece una successione è decrescente e limitata, convergerà all estremo ineriore dell insieme dei suoi termini. Dimostrazione. Sia (a n ), n N, una successione crescente e limitata. Chiamiamo A = {a n, n N} l insieme dei suoi elementi. Per ipotesi l insieme A è (non vuoto e) limitato. Pertanto (qui si usa la completezza dei reali) A ha un estremo superiore. Poniamo L = sup A. Ricordiamo che, per deinizione, l estremo superiore L di A è la minima limitazione superiore di A, cioè l unico numero L R che soddisa queste due proprietà: 1. L è una limitazione superiore per A, cioè: a n L per ogni n N 2. Nessun numero L < L è una limitazione superiore per A, cioè: Per ogni L < L esiste un a k A per il quale L < a k. Dimostriamo che a n converge a L. Sia ε > 0 arbitrario. Siccome L ε < L, il numero L ε non è una limitazione superiore dell insieme A = {a n, n N}. Dunque esiste un intero k per il quale L ε < a k. Poiché la successione è crescente, per tutti gli n > k si ha a k < a n e quindi L ε < a n, deinitivamente (cioè, per tutti gli n maggiori di k). Ma per ogni n si ha a n L. Riassumendo, si ha L ε < a n L per tutti gli n > k. Per la stessa deinizione di limite di una successione, si conclude allora che lim n + a n = L. Osservazione. Si dimostra che in un campo ordinato K, la proprietà delle successioni monotòne limitate ( Ogni successione monotòna limitata converge in K ) è equivalente alla proprietà dell estremo superiore ( Ogni sottoinsieme di K non vuoto e superiormente limitato ha una minima limitazione superiore ). Pag. 4

5 1.3 Permanenza del segno Teorema 1.3 (Permanenza del segno). Se (a n ), n N, è una successione convergente in R al numero L > 0 (L < 0), allora i termini della successione sono deinitivamente 1 positivi (negativi). Dimostrazione. Vediamo il caso L > 0. (Il caso L < 0 si tratta in modo del tutto simile). Fissiamo ε = L 3. (Per la nostra dimostrazione, va bene issare un qualunque ε che soddisi L ε > 0.) Per deinizione di limite, issato tale ε = L 3, esiste un numero naturale n 0 tale che, per ogni n N soddisacente n > n 0, si ha: 2 L ε < a n < L + ε ossia 3 L < a n < 4 3 L Dunque, per ogni n > n 0, vale la disuguaglianza a n > 2 3 L > 0, e quindi gli a n sono deinitivamente positivi.. Osservazione. Il teorema di permanenza del segno vale anche per i limiti di unzioni: in breve, se lim x x0 (x) = L > 0, allora esiste un intorno U di x 0 tale che (x) > 0 per ogni x U dom(). La dimostrazione è del tutto analoga a quella vista sopra. 1 L espressione: I termini della successione sono deinitivamente positivi signiica: Esiste un intero positivo n 0, tale che a n è positivo per ogni n > n 0. Pag. 5

6 1.4 Radici n-esime Teorema 1.4 (Radici n-esime di un numero complesso). Sia z = r(cos ϑ+i sin ϑ) un numero complesso non nullo e sia n un intero positivo. Esistono esattamente n numeri complessi che elevati alla potenza n-esima danno come risultato z. Tali numeri sono: ( ϑ + 2kπ z k = n r [ cos ( ϑ + 2kπ n ) + i sin n )], k = 0, 1,..., n 1 (1.4) Ciascuno di tali numeri z 0,..., z n 1 si chiama una radice n-esima di z. Quindi il teorema dice che ogni numero complesso (non nullo) ha esattamente n radici n-esime. (Nel caso z = 0, le n radici n-esime sono coincidenti.) Dimostrazione. Un numero complesso w = w (cos α + i sin α) (1.5) è una radice n-esima di z se w n = z, ossia (per la ormula di De Moivre) se w n (cos nα + i sin nα) = r(cos ϑ + i sin ϑ) (1.6) Ora due numeri complessi, scritti in orma polare, sono uguali se e solo se hanno i moduli uguali, e gli argomenti uguali a meno di multipli interi di 2π: w n = r, nα = ϑ + 2kπ, k Z Ma si vede acilmente che si ottengono n radici distinte soltanto per gli n valori k = 0, 1,..., (n 1), mentre dando a k un qualunque altro valore, si riottiene una delle radici z 0,..., z n 1. Quindi tutte le n radici n-esime distinte hanno modulo e argomento rispettivamente dati da n r, ϑ + 2kπ n k = 0, 1,..., n 1 Osservazione. Si noti che le radici n-esime si trovano tutte sulla circonerenza di centro l origine e raggio n r e sono equidistanziate tra loro, cioè sono i vertici di un poligono regolare di n lati. Pag. 6

7 1.5 Continuità della unzione composta Teorema 1.5 (Composizione di unzioni continue). Se X g Y e Y Z sono unzioni continue (X, Y, Z sottoinsiemi di R, oppure, più in generale, spazi metrici), allora anche la unzione composta X g Z è continua. X Y g g Z Dimostrazione Sia x 0 X, poniamo (x 0 ) = y 0, e sia W un qualunque intorno X Y Z g x (U) V 0 (x0 ) = y 0 g(y 0 ) = g((x 0 )) U V g(v ) W W di g((x 0 )) = g(y 0 ). Per la continuità di g in y 0, esiste un intorno V di y 0 tale che g(v ) W. Del resto, poiché è continua in x 0, esiste un intorno U di x 0 per il quale (U) V. Poiché da (U) V segue g((u)) g(v ), si ha (g )(U) = g((u)) g(v ) W Pag. 7

8 Questo prova la continuità della unzione composta in x 0. Poiché x 0 è un punto arbitario di X, abbiamo dimostrato la continuità della unzione composta g. Pag. 8

9 1.6 Teorema degli Zeri Teorema 1.6 (Teorema degli Zeri). Siano I R un intervallo e I R una unzione continua. Siano a, b due punti appartenenti a I, con a < b. Supponiamo che i valori (a) e (b) abbiano segni opposti ((a) < 0 e (b) > 0, o viceversa). Allora esiste almeno un punto α (a, b) in cui si ha (α) = 0. Dimostrazione La dimostrazione del Teorema degli Zeri è costruttiva, cioè presenta un algoritmo (detto metodo di bisezione o metodo dicotomico) per mezzo del quale è possibile trovare un punto in cui si annulla. Per issare le idee supponiamo (a) < 0 e (b) > 0 e consideriamo il punto medio c = a + b 2 dell intervallo [a, b]. Possono presentarsi due casi. Se (c) = 0 il problema è risolto (abbiamo trovato uno zero di ). Se invece (c) 0, scegliamo tra i due intervalli [a, c] e [c, b] quello in cui la unzione assume valori discordi agli estremi. Tenuto conto delle nostre scelte iniziali ((a) < 0 e (b) > 0), si tratta di scegliere l intervallo in cui la unzione assume valore negativo nell estremo di sinistra e valore positivo nell estremo di destra. Quindi se (c) 0, scegliamo l intervallo I 1 = [i 1, j 1 ] nel modo seguente : [a, c] se (c) > 0 I 1 = [i 1, j 1 ] = (1.7) [c, b] se (c) < 0 Operiamo ora sull intervallo I 1 = [i 1, j 1 ] nello stesso modo in cui abbiamo operato sull intervallo [a, b]. Precisamente: sia c 1 il punto medio di [i 1, j 1 ]. Se (c 1 ) = 0 il problema è risolto (c 1 è uno zero di ). Altrimenti scegliamo tra i due intervalli [i 1, c 1 ] e [c 1, j 1 ] quello in cui la unzione assume valore negativo nell estremo di sinistra e positivo nell estremo di destra. Iterando questo procedimento, si possono avere due casi: 1. Esiste un intero positivo k tale che la unzione si annulla nel punto medio c k dell intervallo [i k, j k ]. In questo caso abbiamo trovato un punto c k nel quale la unzione si annulla, e la tesi del teorema è dimostrata. 2. La unzione non si annulla in nessun punto medio c k. In questo caso otteniamo una successione ininita di intervalli compatti inscatolati con le due seguenti proprietà: [i 1, j 1 ] [i 2, j 2 ] [i 3, j 3 ] [i n, j n ] (a) nell estremo di sinistra di ogni intervallo la unzione assume valore negativo, mentre nell estremo di destra assume valore positivo, cioè per ogni k (0 k n) abbiamo (i k ) < 0 e (j k ) > 0. (b) gli intervalli hanno ampiezza j k i k = b a 2 k Abbiamo dunque costruito una successione di intervalli compatti inscatolati le cui ampiezze tendono a zero. Per il teorema sugli intervalli inscatolati (conseguenza della completezza di R) esiste un unico numero reale α che appartiene a tutti gli intervallini [i n, j n ], per ogni n N. A tale numero α convergono le due successioni i n e j n : lim i n = α = n + lim n + j n Pag. 9

10 Poiché è continua in x = α ( commuta con lim, nel senso che lim = lim ), abbiamo ( ) ( ) lim (i n) = lim i n = (α) e lim (j n) = lim j n = (α) n + n + n + n + Ma poiché (i n ) < 0 (per ogni n), risulta (α) = lim (i n) 0 n + (perché il limite di una successione di termini (i n ) < 0 è certamente 0). Analogamente, poiché (j n ) > 0 per ogni n, si deve avere (α) = lim (j n) 0 n + Poichè le due ultime disuguaglianze devono valere contemporaneamente, abbiamo (α) = 0 e quindi α è uno zero di. Pag. 10

11 1.7 Teorema dei Valori Intermedi Teorema 1.7 (Teorema dei Valori Intermedi. Una unzione continua trasorma connessi in connessi). Sia I un intervallo di R e sia I R una unzione continua. Se a e b appartengono a I, la unzione assume ogni valore compreso tra (a) e (b). Detto altrimenti, l immagine J = (I) di è un intervallo. In breve: Le unzioni continue da R a R trasormano intervalli in intervalli. Dimostrazione Siano a = (a) e b = (b) due punti di (I); supponiamo a < b. Sia w un numero tale che a < w < b. Dobbiamo dimostrare che w (I). Consideriamo la unzione g(x) = (x) w, x [a, b] Tale unzione è ovviamente continua sull intervallo [a, b] e si ha: g(a) = (a) w = a w < 0 g(b) = (b) w = b w > 0 (1.8) Dunque la unzione g soddisa le ipotesi del Teorema degli Zeri (1.6) sull intervallo [a, b]. Allora esiste un punto c (a, b) per il quale g(c) = (c) w = 0, ossia (c) = w, come si voleva dimostrare. Commento. Deiniamo la seguente proprietà, detta di Darboux: Proprietà (di Darboux). Una unzione I R, I intervallo di R, soddisa la proprietà di Darboux se per ogni x 1, 2 I, assume sull intervallo [x 1, x 2 ] ogni valore compreso tra (x 1 ) e (x 2 ). Il teorema dei Valori Intermedi 1.7 si può allora enunciare dicendo che le unzioni continue su un intervallo soddisano la proprietà di Darboux. Non è però vero il viceversa. Un controesempio è ornito dalla unzione seguente: { sin 1 (x) = x x 0 (1.9) 0 x = 0 Si vede acilmente che questa unzione soddisa la proprietà di Darboux. Ma non è continua su R, perché in x 0 = 0 presenta una discontinuità non eliminabile. Pag. 11

12 1.8 Derivabilità implica continuità Teorema 1.8 (Derivabilità implica continuità). Se è derivabile in x 0, allora è continua in x 0. Dimostrazione. Partiamo dall identità (valida per x x 0 ) Allora 2 : lim (x) = (x 0 )+ x x 0 ( (x) = (x 0 ) + (x) (x 0) x x 0 (x x 0 ) (x) (x 0 ) lim x x 0 x x 0 ) ( ) lim (x x 0 ) x x 0 = (x 0 )+ (x 0 ) 0 = (x 0 ) Questo prova che è continua in x 0. Un altra dimostrazione è la seguente. Poiché è dierenziabile in x 0, si scrive Passando al limite: (x 0 + h) = (x 0 ) + (x 0 ) h + o(h) (per h 0) lim (x [ 0 + h) = lim (x0 ) + (x 0 )h + o(h) ] h 0 h 0 = (x 0 ) + lim h 0 (x 0 )h + lim h 0 o(h) = (x 0 ) + lim (x 0 )h + lim h o(h) h 0 h 0 h = (x 0 ) = (x 0 ) 2 Si ricordi che se esistono i limiti di g 1(x) e g 2(x) per x x 0, allora il limite della somma g 1(x) + g 2(x) è la somma dei limiti. Si noti che, a secondo membro, (x 0) è una costante e quindi lim x x0 (x 0) = (x 0) Pag. 12

13 1.9 Teorema di Fermat Teorema 1.9 (Fermat). Sia D R una unzione a valori reali deinita su un insieme D R. Supponiamo che: 1. x 0 sia un punto di massimo (o di minimo) locale per ; 2. x 0 sia interno a D; 3. sia derivabile in x 0. Allora x 0 è un punto stazionario di, cioè (x 0 ) = 0. Dimostrazione. Per issare le idee, supponiamo che x 0 sia un punto di massimo locale per. Poiché, per ipotesi, x 0 è al tempo stesso un punto interno al dominio D di e un punto di massimo locale, esiste un intorno suicientemente piccolo I di x 0 con le due proprietà seguenti 3 : (perché x 0 è interno a D) e I D (1.10) x I (x) (x 0 ) 0 (1.11) (perché x 0 è punto di massimo locale). Per ogni x I, x x 0, si ha allora se x > x 0 e (x) (x 0 ) x x 0 0 (1.12) (x) (x 0 ) x x 0 0 (1.13) si ricava 4 rispettivamente (x 0 ) 0 e (x 0 ) 0. Di conseguenza (x 0 ) = 0. Osservazione. Si noti che nel teorema dimostrato è essenziale l ipotesi che x 0 sia interno a D. (Non basta che il punto x 0 appartenga a D). Ad esempio, la unzione (x) = x nell intervallo D = [0, 1] ha un punto di massimo locale in x 0 = 1, anche se la derivata (sinistra) di in x 0 non è nulla (è uguale a 1). Naturalmente questo non contaddice il teorema di Fermat. Semplicemente non sono soddisatte le ipotesi di tale teorema, perché il punto x 0 = 1 non è interno a D = [0, 1]. 3 Sappiamo che esiste un intorno U di x 0 che soddisa la condizione U D e esiste un intorno V di x 0 su cui vale (x) (x 0). Allora sull intersezione I = U V (che è ancora un intorno di x 0) sono soddisatte entrambe le condizioni. 4 Qui si usa il teorema di Permanenza del Segno: Sia g una unzione deinita su un intorno U di un punto x 0 (con la possibile eccezione del punto x 0). Supponiamo che, per ogni x U \x 0, si abbia g(x) 0 e supponiamo che esista (inito) il limite lim x x0 g(x) = L. Allora si ha L 0. Pag. 13

14 1.10 Teorema del Valore Medio (di Lagrange) Teorema 1.10 (del Valore Medio, o di Lagrange). Sia [a, b] R una unzione continua sull intervallo compatto [a, b] e derivabile sull intervallo aperto (a, b). Allora esiste un punto γ (a, b) per il quale si ha (b) (a) = (γ)(b a) (1.14) Dimostrazione. Si consideri la unzione g(x) = (x) (a) (b) (a) (x a) (1.15) b a deinita sull intervallo [a, b]. Tale unzione è continua su [a, b], derivabile su (a, b) e assume lo stesso valore agli estremi: g(a) = g(b) = 0 Quindi g soddisa le ipotesi del teorema di Rolle. Per tale teorema, esiste un punto γ in (a, b) in cui g (γ) = 0. La derivata di g(x) è Quindi si ha che equivale a g (x) = (x) 0 = g (γ) = (γ) (b) (a) b a (b) (a) b a (b) (a) = (γ)(b a) Osservazione. Il teorema di Lagrange ha la seguente interpretazione geometrica. Si noti che il numero (b) (a) b a è il coeiciente angolare della retta (secante) che passa per (a, (a)) e (b, (b)), di equazione y = (a) + (b) (a) (x a) (1.16) b a Quindi il teorema aerma che esiste almeno un punto (γ, (γ)) appartenente al graico della unzione in cui la retta tangente (il cui coeiciente angolare è (γ)) è parallela alla retta secante che unisce i due punti estremi (a, (a)) e (b, (b)). Si noti che la unzione ausiliaria (1.15) è la dierenza tra l ordinata del punto (x, (x)) sul graico di e l ordinata del punto di coordinate (x, (a) + (b) (a) b a (x a)) sulla retta secante. Pag. 14

15 1.11 Funzioni derivabili strettamente monotòne Teorema 1.11 (Funzioni derivabili strettamente monotòne). Sia I R una unzione derivabile su un intervallo aperto I di R. Se (x) > 0 (oppure < 0) in ogni punto x I, allora è strettamente crescente (strettamente decrescente) su I. Dimostrazione. Dimostriamo il teorema per il caso di unzioni con derivata positiva in ogni punto. (L altro caso si tratta in modo analogo). Siano x 1, x 2 due punti di I, con x 1 < x 2. Per il teorema di Lagrange esiste un punto c, compreso tra x 1 e x 2, per il quale si ha: (x 1 ) (x 2 ) = (c)(x 1 x 2 ) Poiché per ipotesi (c) > 0 e x 1 x 2 < 0, si deve avere (x 1 ) (x 2 ) < 0. Abbiamo allora dimostrato che, per ogni x 1, x 2 I, x 1 < x 2 = (x 1 ) < (x 2 ) Dunque è strettamente crescente su I. Osservazione. Il teorema non si inverte: se una unzione è strettamente crescente su un intervallo I ed è derivabile in I, allora si avrà senz altro (x) 0 per ogni x I, ma in qualche punto la derivata potrebbe annullarsi. Ad esempio, la unzione (x) = x 3, x R, è strettamente crescente su R, ma (0) = 0. Osservazione. L implicazione > 0 = strettamente crescente non vale se il dominio di non è un intervallo. Ad esempio, la unzione (x) = 1/x, deinita su D = (, 0) (0, + ) (che non è un intervallo) ha derivata positiva su D, ma non è strettamente crescente sul suo dominio D. Ovviamente è crescente sulla semiretta (, 0) ed è crescente sulla semiretta (0, + ), ma non è crescente sul suo dominio D = (, 0) (0, + ) (che non è un intervallo). Pag. 15

16 1.12 Funzioni con derivata nulla su un intervallo Teorema 1.12 (Funzioni con derivata nulla su un intervallo). Una unzione deinita su un intervallo aperto I = (a, b) e con derivata nulla in ogni punto di tale intervallo è costante. Dimostrazione. Prendiamo due punti qualunque x 1, x 2 in (a, b), x 1 < x 2. Per il teorema di Lagrange applicato all intervallo [x 1, x 2 ] esiste un punto c, compreso tra x 1 e x 2, per il quale si ha: (x 2 ) (x 1 ) = (c)(x 2 x 1 ) = 0 (x 2 x 1 ) = 0 Ne segue (x 1 ) = (x 2 ). Quindi è costante. Osservazione. Si noti che in questo teorema è essenziale l ipotesi che il dominio della unzione sia un intervallo (un sottoinsieme connesso di R). Esempio 1. La unzione (x) = R \ {0} R { 1 se x (, 0) 1 se x (0, + ) ha derivata nulla in ogni punto del suo dominio (, 0) (0, + ), ma non è costante. (Si noti che (, 0) (0, + ) non è un intervallo di R, cioè non è connesso). Esempio 2. La unzione R \ {0} R (x) = arctan x + arctan 1 x ha derivata nulla in ogni punto del suo dominio (come si veriica acilmente calcolando la derivata), ma non è costante. Precisamente, arctan x + arctan 1 x = π/2 per x > 0 e arctan x + arctan 1 x = π/2 per x < 0 Pag. 16

17 1.13 Teorema di de l Hospital Teorema 1.13 (de L Hospital. Caso 0 0.). Siano e g due unzioni continue sull intervallo [x 0, b] (x 0 R) e derivabili in (x 0, b). Supponiamo che valgano le seguenti condizioni: 1. (x 0 ) = g(x 0 ) = g (x) 0 per ogni x (x 0, b). 3. Esiste (inito o ininito) il limite Allora esiste anche il limite lim x x + 0 lim x x + 0 lim x x + 0 (x) g (x) = L (1.17) (x) g(x) ed è uguale al precedente: (x) g(x) = L (1.18) Dimostrazione. (Per il caso L inito). Premettiamo un osservazione. Sia x un qualunque punto in (x 0, b). Allora si può scrivere (x) g(x) = (γ) g (γ) per un opportuno γ compreso tra x 0 e x, cioè soddisacente: x 0 < γ < x. Per dimostrarlo, applichiamo il teorema di Cauchy alla coppia di unzioni,g sull intervallo [x 0, x]. Poiché (x 0 ) = g(x 0 ) = 0, per il teorema di Cauchy si ha (x) g(x) = (x) (x 0) = (γ) g(x) g(x 0 g (γ) per un opportuno γ soddisacente x 0 < γ < x, come si voleva dimostrare. A questo punto possiamo concludere, in modo un po sbrigativo ma sostanzialmente corretto, nel modo seguente. Quando x tende a x 0, il punto γ, compreso tra x e x 0, deve tendere a x 0. Quindi, poiché (x) g(x) = (γ) g (γ) (x) (x) e lim x x + g = L, anche il limite lim deve esistere, e deve essere uguale a (x) 0 x x + g(x) 0 L. Commento. Se vogliamo essere più rigorosi, possiamo arrivare alla tesi usando la ε-δ deinizione di limite. Prendiamo allora un arbitrario ε > 0. (x) Poiché, per ipotesi, lim x x + g = L, esiste un δ > 0 tale che (x) 0 t (x 0, x 0 + δ) (t) g (t) L < ε (1.19) Pag. 17

18 Ora prendiamo un qualunque x in (x 0, x 0 + δ). Per quanto abbiamo visto sopra, (x) g(x) = (γ) g (γ) per un opportuno γ soddisacente x 0 < γ < x < x 0 +δ. Siccome tale γ è compreso tra x 0 e x 0 + δ, per la 1.19 si ha (γ) g (γ) L < ε e quindi (x) g(x) L = (γ) g (γ) L < ε Questo prova, per deinizione di limite, che anche lim x x + 0 (x) g(x) = L (1.20) Osservazione. Ovviamente il teorema di de L Hospital vale anche per i limiti da sinistra (x x 0 ) e quindi per il limite (ordinario) per x x 0. Pag. 18

19 1.14 Formula di Taylor con il resto di Peano Teorema 1.14 (Formula di Taylor locale, con il resto di Peano). Sia una unzione con derivate di ogni ordine su un intervallo aperto I dell asse reale. Fissiamo un punto x 0 in I e un intero positivo n. Deiniamo il resto R n (x) come la dierenza tra (x) e il polinomio di Taylor di di ordine n nel punto x 0 : (x) = (x 0 )+ (x 0 )(x x 0 )+ (x 0 ) (x x 0 ) ! n! (n) (x 0 )(x x 0 ) n +R n (x) Allora il resto R n (x) è o((x x 0 ) n ) per x x 0, cioè lim x x0 R n(x) (x x 0 ) n = 0. Dimostrazione. Per semplicità, vediamo il caso n = 2. (Il caso generale si dimostra nello stesso modo). Dobbiamo allora dimostrare che (x) (x 0 ) (x 0 )(x x 0 ) (x 0 ) (x x 0 ) lim 2! x x 0 (x x 0 ) 2 = 0 (1.21) Si controlla acilmente che sono soddisatte le condizioni per potere usare la regola di de L Hospital. (Inatti, numeratore e denominatore sono derivabili in tutto un intorno di x 0, sono nulli in x 0, e la derivata del denominatore è diversa da zero per x x 0 ) Il rapporto tra le derivate del numeratore e del denominatore è dato da (x) (x 0 ) (x 0 )(x x 0 ) 2(x x 0 ) Applichiamo ancora una volta la regola di de L Hospital, e otteniamo: (x) (x 0 ) 2 Poiché la unzione (x) è continua (se una unzione ha derivate di ogni ordine, tutte le derivate devono essere continue), si ha lim x x0 (x) = (x 0 ), e quindi (x) (x 0 ) lim x x 0 2 (Nel caso di n arbitrario, iterando n volte la regola di de l Hospital, si arriva a lim (n) (x) (n) (x 0 ) x x0 n!, che vale zero, perché (n) è continua in x 0.) Dunque, per il teorema di de L Hospital, anche il limite iniziale (1.21) esiste e vale 0, come volevamo dimostrare. Commento. Abbiamo dimostrato il teorema di Taylor (locale) 1.14 nell ipotesi che sia ininitamente derivabile. Non è diicile dimostrare che la stessa tesi vale anche in ipotesi meno restrittive. Vale inatti il seguente Teorema [Formula di Taylor locale] Supponiamo che sia derivabile n volte in un punto x 0 (n intero positivo). Poniamo (x) = (x 0 )+ (x 0 )(x x 0 )+ (x 0 ) (x x 0 ) ! n! (n) (x 0 )(x x 0 ) n +R n (x) Allora, il resto R n (x) è o((x x 0 ) n ) per x x 0. Pag. 19