CALCOLO DEL RAGGIO DI CURVATURA DI UNA CURVA REGOLARE DI E Q UAZI O NE y = f (x ), ivi derivabile almeno due volte, e che la derivata seconda

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1 ALOLO DEL RAGGIO DI URVATURA DI UNA URVA REGOLARE DI E Q UAZI O NE Supponiamo che b sia una unzione deinita in, ivi derivabile almeno due volte, e che in la derivata seconda sia diversa da zero, e indichiamo con κ il suo graico onsideriamo, e la circonerenza due punti sulla curva κ, rispettivamente di ascissa > e < passante per P,, P, e P, Facendo tendere P e circonerenza osculatrice Ω della curva nel punto di ascissa P a P converge alla Il raggio di curvatura di κ nel punto P è, per deinizione, il raggio della circonerenza osculatrice Ω nel punto di ascissa La curvatura di κ è, per deinizione, il reciproco del raggio di curvatura Tale raggio è la distanza tra il centro di Ω e il punto P Primo metodo calcolo del centro e del raggio del cerchio osculatore Si calcolano le coordinate del punto Il centro può essere determinato come punto ite del centro di quando P e P sono atti convergere verso P da parti opposte; cioè, calcolate in unzione di, e le coordinate e del centro di κ, otteniamo e rispettivamente come e In realtà, questo non è il metodo geometrico più semplice dal punto di vista del calcolo, ma è quello più naturale se si considera il signiicato di raggio di curvatura come raggio del cerchio osculatore Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura / Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte

2 Il punto H è il centro di una circonerenza passante per i tre punti P, P e P della curva κ, con P isso e gli altri due punti variabili Facendo convergere P e P su P H tende al centro del cerchio osculatore alla curva κ nel punto P Le coordinate del centro di possono essere calcolate intersecando gli assi dei segmenti P P e rispettivamente, le equazioni degli assi sono e Poniamo e il calcolo del raggio di curvatura non dipende dalla scelta del sistema di rierimento quindi P coincide con l origine degli assi le equazioni degli assi dei segmenti OP e OP sono allora rispettivamente - e - che scriviamo come onsideriamo l intersezione tra i due assi, data dal sistema Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura / Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte

3 Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura / Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte Risolvendo con il metodo di ramer, si trova: Poniamo ora i punti P e P sono da parti opposte rispetto a P e, nel calcolare il ite per P e P tendenti a P, si può supporre che le rispettive ascisse siano opposte Sostituiamo con, con -, con e con Otteniamo Dividiamo numeratore e denominatore del primo rapporto per Otteniamo Dobbiamo calcolare il ite, per, di questo rapporto Il numeratore può essere scritto come ; i iti dei due rapporti per sono rispettivamente la derivata destra e sinistra della unzione, che sono entrambe uguali alla derivata di in, o Quindi

4 Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura 4/ Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte Il denominatore, per, è una orma ; applichiamo De l Hospital e otteniamo ancora della orma ; applicando di nuovo De l Hospital si ottiene - Perciò alcoliamo ora il Anche in questo caso dividiamo numeratore e denominatore per e otteniamo Il numeratore tende a, il denominatore a, quindi il ite è uguale a Il ite totale è Per abbiamo, applicando lo stesso metodo, Dividiamo per numeratore e denominatore; tenendo presenti i risultati ottenuti prima abbiamo: Il raggio di curvatura R è la distanza tra il centro e P, che nel nostro caso è l origine, ma trattandosi di una distanza non dipende dalla scelta del sistema di rierimento Abbiamo R

5 Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura 5/ Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte Il reciproco R è, per deinizione, la curvatura nel punto P che quindi è uguale a Per la circonerenza osculatrice nell origine si ottiene l equazione o, meglio, Se il punto P non coincide con l origine, sostituiamo con e con Inine si ottiene l equazione completa nella quale l indice si rierisce al punto P In alternativa, si può calcolare il centro della circonerenza passante per P, P e P e poi la sua posizione ite quando P e P convergono su P Posto come prima, scriviamo l equazione della generica circonerenza di centro, passante per l origine: Sostituendo le coordinate, e, al posto di e otteniamo Moltiplicando la prima per e la seconda per - e sommando le due equazioni così ottenute abbiamo Moltiplicando la prima per e la seconda per - e sommando abbiamo Secondo metodo calcolo dell intersezione tra le normali in due punti distinti Il primo metodo, benché corretto sul piano logico, presenta una discreta mole di calcolo Si può giungere più acilmente allo stesso risultato calcolando il centro del circolo osculatore come posizione ite del punto di intersezione tra due normali distinte alla curva data, tracciate per due punti da parti opposte rispetto al punto isso in cui si deve calcolare il raggio di curvatura, quando i due punti convergono verso quest ultimo La logica di questo procedimento si basa sull assunzione che in ogni punto la normale alla curva κ coincide con la direzione del raggio di qualsiasi circonerenza tangente alla curva, quindi l intersezione tra due normali coincide con quella delle

6 Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura 6/ Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte rette contenenti i centri delle circonerenze tangenti, qualunque sia il loro raggio Supponiamo ora che le circonerenze tangenti siano anche osculatrici; acendo convergere i punti di contatto, il centro del cerchio osculatore costruito dalla sovrapposizione delle due circonerenze coincide con la posizione ite dell intersezione tra le due normali Nella igura, il punto G centro della circonerenza in blu è l intersezione delle normali in P e P La circonerenza in nero è quella osculatrice in P La curva κ è il log naturale Le equazioni delle normali sono e dove i indica la derivata di nel punto i Risolviamo il sistema Otteniamo ; prima di passare al ite, sostituiamo con, con, con e con e, al denominatore, con e con, poi dividiamo tutti i termini per Si ottiene

7 Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura 7/ Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte ; passando al ite per otteniamo: ; ; ; seguendo lo stesso procedimento otteniamo e, passando al ite,, come già trovato precedentemente Terzo metodo - il raggio di curvatura come ite del rapporto tra arco e angolo delle tangenti onsideriamo la misura del raggio di un cerchio come rapporto tra misura dell arco s e angolo α al centro corrispondente La circonerenza è una curva di raggio costante; possiamo deinire il raggio di curvatura di una curva generica come il α α s o, usando i dierenziali, dα ds Il dierenziale dell elemento di curva di equazione in un punto in cui sia derivabile è d d d La variazione angolare α può essere calcolata osservando che l angolo ormato dalle normali in due punti distinti P e P della curva è equivalente all angolo ormato dalle due tangenti:

8 L angolo α con vertice in K è equivalente all angolo con vertice in H Inatti entrambi sono supplementari di PKQ, dato che la somma degli angoli del quadrilatero PKQH è 6 e gli angoli in Q e P sono entrambi retti Il coeiciente angolare di una retta tangente a una curva di equazione è la tangente trigonometrica dell angolo α ormato dalla retta tangente con una parallela all asse delle ascisse, quindi tan α e α arctan Il dierenziale d α è dato da d arctan d R ds dα, quindi, acendo rierimento a un punto P, Esempi Data la parabola di equazione, determinare la circonerenza osculatrice nell origine Abbiamo e alcoliamo il centro; abbiamo e raggio vale Il Data la parabola a, determinare in unzione di il raggio di curvatura e il luogo dei centri dei cerchi osculatori Per R abbiamo 4a Le coordinate del centro sono Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura 8/ Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte

9 a 8a 4a a 4a a E possibile costruire graicamente il cerchio osculatore alla parabola utilizzando le equazioni trovate onsideriamo Si traccia la curva delle ordinate dei centri in blu e la normale N perpendicolare alla tangente alla parabola nel punto P ; si interseca la con la retta verticale passante per P e si traccia la parallela p all asse delle ascisse passante per questa intersezione Il centro G del cerchio osculatore è l intersezione tra N e p Dimostrare che la curva piana di raggio di curvatura costante è la circonerenza onsideriamo l equazione l equazione R d R R Poniamo e d d R Otteniamo Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura 9/ Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte

10 L integrale si risolve in base all identità trigonometrica cos α dt poniamo tan t, d e quindi otteniamo cos t dt R cos t R cos t cos tdt R sin t da cui, essendo sin t ± R Poniamo ± R ± ±, per cui tan α tan t tan t, otteniamo R R Eleviamo al quadrato: R ±, cioè ± R e quindi R ± R che è l equazione di una circonerenza di centro, e inine Il calcolo del cerchio osculatore di un polinomio nel suo punto di ascissa nulla è, in un certo senso, un estensione del calcolo della tangente Supponiamo che n n a a an an an sia l equazione di un polinomio di grado n L equazione della tangente nel punto è data da a n an La tangente è quella retta che ha con il graico del polinomio un incontro bipunto La circonerenza osculatrice ha un punto di contatto tripunto, essendo ottenuta acendo convergere verso un solo punto tre punti distinti del graico per cui passa una circonerenza secante Tutti i polinomi la cui equazione contiene gli stessi tre termini di grado ineriore a n an an hanno in comune la stessa tangente e lo stesso cerchio osculatore nel punto di ascissa nulla Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura / Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte

11 Ezio Fornero alcolo del raggio di curvatura / Per espressa volontà dell autore, questo testo è liberamente utilizzabile per ini personali o didattici Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la onte