Sistemi di 1 grado in due incognite

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1 Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con Ogni pollo ha 2 zampe e ogni coniglio 4; la loro somma è 18 perciò Inoltre la somma delle teste è 7, cioè Il modello matematico che risolve il problema è costituito da due equazioni in due incognite che devono essere soddisfatte contemporaneamente per gli stessi valori attribuiti alle incognite; tale modello è detto sistema di due equazioni in due incognite ed è rappresentato come segue In generale, un sistema di due equazioni in due incognite, in forma normale o canonica, è rappresentato come segue Si definisce grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che la compongono. Le equazioni del sistema che risolve il problema, avendo le incognite con esponente uno, sono entrambe di primo grado e il loro prodotto è uguale a uno e, quindi, il sistema è detto di primo grado. Il seguente sistema è di secondo grado essendo formato da un equazione di secondo grado e una di primo grado, Si definisce soluzione di un sistema di equazioni di primo grado in due incognite una coppia ordinata di numeri reali che sostituiti alle corrispondenti variabili, in tutte le equazioni del sistema, le soddisfa contemporaneamente. Due sistemi si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 1

2 Un sistema di primo grado è detto anche lineare perché ogni equazione di primo grado in due incognite rappresenta geometricamente, sul piano cartesiano, una retta come si evince dal grafico seguente in cui sono rappresentate le due equazioni del problema iniziale 2 2x 4y 18 x y 7 Se le equazioni che costituiscono il sistema si intersecano il sistema è possibile e la soluzione si può ottenere graficamente; essa è costituita dalle coordinate del punto di intersezione delle due rette. Nel nostro caso il sistema è soddisfatto dal punto di coordinate (5; 2). Infatti Questo accade perché le coordinate di un punto che appartiene ad una retta soddisfano anche la sua equazione; se il punto non appartiene le sue coordinate non soddisfano l equazione della retta. L unico punto che soddisfa le due equazioni è il punto d intersezione essendo appartenente ad entrambe le rette. Se le equazioni che costituiscono il sistema rappresentano due rette parallele, non avendo le rette punti in comune, il sistema risulta impossibile come il seguente Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 2

3 Se le equazioni che costituiscono il sistema rappresentano due rette coincidenti, cioè le due equazioni sono la stessa retta, il sistema è indeterminato e le coppie ordinate che lo soddisfano sono infinite e sono tutte quelle coppie ordinate i cui punti appartengono alla retta come il seguente Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 3

4 I sistemi che risolvono un problema possono avere anche più di due equazioni e più di due incognite ed essere di 2 grado o di grado superiore al secondo. Adesso ci limiteremo a studiare soltanto i sistemi di primo grado o lineari rimandando lo studio dei sistemi di secondo grado e di grado superiore al secondo anno. Relazione tra i coefficienti di un sistema determinato, impossibile, indeterminato Dato un sistema di due equazioni in due incognite in forma normale si può stabilire in anticipo se è possibile, impossibile o indeterminato e solo se è possibile lo si risolve. Nel caso in cui qualche coefficiente del sistema risulta nullo bisogna analizzare caso per caso se il sistema è possibile, impossibile o indeterminato. Riprendiamo in considerazione i sistemi precedenti Risoluzione algebrica di un sistema lineare Abbiamo visto che un sistema si può risolvere per via grafica. Tuttavia, a causa delle inevitabili imprecisioni grafiche, è opportuno risolvere un sistema per via algebrica. Esistono quattro metodi di risoluzione algebrica: metodo di sostituzione, metodo di eliminazione, metodo del confronto e metodo di Cramer. I principi di equivalenza visti per le equazioni valgono anche per le equazioni di un sistema. Esistono, inoltre, due principi di equivalenza propri dei sistemi: il principio di sostituzione e il principio di riduzione. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 4

5 Principio di sostituzione Risolvendo un equazione di un sistema rispetto ad un incognita e sostituendo l espressione così trovata al posto di tale incognita nelle restanti equazioni del sistema si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Esempio Dato il sistema Ricaviamo una incognita da una delle due equazioni. Di solito, se è presente, conviene ricavare l incognita che ha coefficiente 1 perché in questo modo si evita di introdurre frazioni; nel nostro caso possiamo ricavare x dalla prima equazione o y dalla seconda. Ricaviamo x dalla prima e sostituiamo l espressione trovata al posto della variabile x nella seconda equazione Il sistema ottenuto è equivalente a quello dato. Principio di riduzione Dato un sistema di due equazioni, se ad una di esse si sostituisce l equazione che otteniamo sommando o sottraendo membro a membro le due equazioni del sistema, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Esempio Dato il sistema Sommiamo membro a membro le equazioni x y Sostituiamo, nel sistema, una delle due equazioni, ad esempio la seconda equazione, con quella ottenuta dalla loro somma Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 5

6 Quest ultimo sistema è equivalente a quello dato. Il metodo di sostituzione Passi da fare per risolvere un sistema con il metodo di sostituzione: 1. Ridurre il sistema a forma normale e, se è determinato, passare al punto successivo; 2. Ricavare da una equazione del sistema una incognita (indicare tale equazione con *); 3. Sostituire l espressione trovata nell altra equazione al posto dell incognita ricavata; 4. Risolvere l equazione, in una sola incognita, così ottenuta 5. Sostituire nell equazione indicata con * il valore trovato per determinare il valore dell altra variabile. Esempio Risolvere il seguente sistema: Il sistema è già in forma normale ed è possibile poiché. Ricaviamo l incognita x dalla prima equazione Sostituiamo l espressione trovata nell altra equazione Risolviamo l equazione nella sola incognita y Sostituiamo nell equazione indicata con * il valore della y trovato Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

7 Soluzione del sistema Verifichiamo la soluzione sostituendo i valori trovati nel sistema dato Il metodo di confronto Passi da fare per risolvere un sistema con il metodo di confronto: 1. Ridurre il sistema a forma normale e, se è determinato, passare al punto successivo; 2. Ricavare da tutte e due le equazione del sistema la stessa incognita; 3. Uguagliare le due espressioni ricavate; 4. Risolvere l equazione, in una sola incognita, così ottenuta 5. Sostituire in una delle due equazione del punto 2 la soluzione dell equazione per determinare il valore dell altra variabile. Esempio Risolvere il seguente sistema: Il sistema è già in forma normale ed è possibile poiché. Ricaviamo l incognita x da entrambe le equazioni Uguagliamo le due espressioni ricavate Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 7

8 Risolviamo l equazione Sostituiamo in una equazione della (1) il valore trovato per la variabile y Il metodo di eliminazione Passi da fare per risolvere un sistema con il metodo di eliminazione: 1. Ridurre il sistema a forma normale e, se è determinato, passare al punto successivo; 2. Se i coefficienti di una delle due incognite sono opposti si passa al punto successivo. Altrimenti si moltiplicano entrambi i membri di una o di tutte e due le equazioni per opportune costanti non nulle, in modo da rendere i coefficienti di una delle due incognite opposti ; 3. Sommare membro a membro le due equazioni; 4. Risolvere l equazione, in una sola incognita, così ottenuta 5. Sostituire in una delle due equazione del sistema dato il valore trovato per determinare il valore dell altra variabile. Esempio Risolvere il seguente sistema: Il sistema è già in forma normale ed è possibile poiché. Rendiamo opposti, i coefficienti della x (potremmo decidere di rendere opposti i coefficienti della y) moltiplicando la prima equazione per 5 e la seconda per 2 Sommiamo membro a membro le de equazioni ottenute y Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 8

9 Risolviamo l equazione ottenuta A questo punto si potrebbe decidere di ripetere il procedimento per eliminare la variabile y e determinare il valore della variabile x; oppure, semplicemente, sostituire, in una equazione del sistema dato, il valore della variabile y determinato e trovare il valore dell altra variabile. Seguiamo questo secondo procedimento Sostituiamo nella prima equazione del sistema dato al posto della variabile y il valore 3/2 Il metodo di Cramer Consideriamo un sistema di due equazioni in due incognite ridotto a forma normale e soluzione del sistema è data dalle seguenti formule dove D è il determinante dei coefficienti delle variabili del sistema ed è indicato con il seguente schema si ottiene sostituendo nel determinante D al posto dei coefficienti della variabile x i termini noti si ottiene sostituendo nel determinante D al posto dei coefficienti della variabile y i termini noti Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 9

10 Esempio 1 Risolvere il seguente sistema: Il sistema è già in forma normale ed è possibile poiché. Sistemi letterali Risolvere il seguente sistema letterale Il metodo di Cramer è molto efficiente nella risoluzione di sistemi letterali. Calcoliamo il determinante D Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 10

11 Sistemi contenenti equazioni numeriche frazionarie In questo tipo di sistemi bisogna porre le condizioni di accettabilità e alla fine verificare l accettabilità della soluzione trovata. Risolvere il seguente sistema letterale Poniamo le condizioni di accettabilità Eliminiamo i denominatori ( ) Il sistema ottenuto lo possiamo risolvere per sostituzione Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 11

12 La soluzione trovata (3; -1) non soddisfa le condizioni di accettabilità per cui il sistema è impossibile. Sistemi letterali frazionari In questo tipo di sistemi bisogna porre le condizioni di esistenza, quelle di accettabilità e alla fine verificare l accettabilità della soluzione trovata. Risolvere il seguente sistema letterale frazionario La condizione di esistenza del sistema è: La condizione di accettabilità delle soluzioni del sistema è: Eliminiamo i denominatori Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer. Calcoliamo il determinante D Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 12

13 Per le condizioni di accettabilità la soluzione è accettabile se l equazione perde di significato l equazione è indeterminata Problemi di primo grado a due incognite Abbiamo iniziato lo studio dei sistemi con un esempio il cui modello matematico era costituito da un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Diamo il procedimento da seguire per risolvere problemi matematici che richiedono modelli di questo tipo, sapendo che soltanto l esperienza ti consentirà di affrontare e risolvere i problemi che ti verranno proposti. 1. Individuare le incognite 2. Stabilire eventuali condizioni di accettabilità della soluzione 3. Scrivere le due equazioni 4. Risolvere il sistema 5. Confrontare la soluzione trovata con le condizioni di accettabilità. Formulare la soluzione del problema Problema Oggi abbiamo comperato 2 litri di latte e vasetti di yogurt, spendendo 5,40 euro; la settimana precedente avevamo acquistato, allo stesso prezzo, 3 litri di latte e 4 vasetti di yogurt, spendendo 5,10 euro. Quanto costa un litro di lattee quanto un vasetto di yogurt? Soluzione Individuiamo le incognite. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 13

14 Poniamo le condizioni di accettabilità. Poiché x e y rappresentano dei prezzi devono essere positivi: Scriviamo le equazioni. Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer. Il sistema è già in forma normale ed è possibile poiché. Condizioni di accettabilità Le soluzioni del problema soddisfano le condizioni di accettabilità. Formuliamo la soluzione del problema Un litro di latte costa 0,90 euro e un vasetto di yogurt 0,0 euro. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 14

15 Bibliografia: N. Dodero P. Baroncini- R. Manfredi I. Fragni : Lineamenti. MATH Blu nella matematica Algebra vol. 1 Ghisetti e Corvi Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 15