Regola di Ruffini. Supponiamo di voler determinare il quoziente e il resto della divisione tra il polinomio ( ) e il binomio di primo grado ( )

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Bonaventura Dini
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1 Regola di Ruffini La divisione tra due polinomi ( ) ( ) si può svolgere in maniera semplificata mediante una regola, detta regola di Ruffini, quando il divisore B() è un binomio di primo grado del tipo ( ). In questo caso il resto della divisione, dovendo essere di grado inferiore al grado del divisore, è un numero; il grado del quoziente, essendo dato dalla differenza tra i gradi del dividendo e quello del divisore, è inferiore di una unità rispetto al grado del dividendo. La parte letterale del quoziente, conoscendone il grado, resta determinata ed è inutile considerarla: bisogna solo individuare i coefficienti dei termini del polinomio quoziente. Vediamo come è possibile fare con un esempio. Supponiamo di voler determinare il quoziente e il resto della divisione tra il polinomio ( ) e il binomio di primo grado ( ) 0 0 Analizzando attentamente lo svolgimento della divisione notiamo che Il quoziente è un polinomio di 3 grado, cioè inferiore di una unità rispetto al grado del divisore il coefficiente del termine di grado più alto del quoziente è lo stesso del termine di grado più alto del dividendo; i coefficienti degli altri termini del quoziente sono gli ultimi termini di ogni rettangolo ottenuti sommando i primi due termini: il primo termine è il corrispondente coefficiente del dividendo mentre i numeri cerchiati sono ottenuti moltiplicando il primo coefficiente dei vari dividendi per il termine noto del divisore cambiato di segno il risultato dell operazione messa in evidenza dal rettangolo di colore giallo rappresenta il resto della divisione; Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 1

2 La regola di Ruffini consente di determinare i coefficienti del quoziente e il resto della divisione prendendo in considerazione solo i coefficienti del dividendo e il termine noto del divisore, cambiato di segno, trascurando la parte letterale sia del dividendo che del divisore. I coefficienti del dividendo devono essere inseriti nella prima riga di schema formato da tre righe orizzontali e separando l ultimo termine con un tratto verticale; A sinistra del primo tratto verticale e sopra il tratto orizzontale si posiziona il termine noto del divisore cambiato di segno Abbassiamo il coefficiente del primo termine del dividendo sul posto corrispondente sulla terza riga che è la riga dei coefficienti del quoziente Si moltiplica il termine a sinistra del primo tratto verticale con il termine presente nella terza riga e si incolonna il risultato sulla seconda riga come mostrato in figura Sommando i termini della seconda colonna (corrispondenti ai primi due del rettangolo rosso) otteniamo il secondo coefficiente del quoziente Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 2

3 Ripetendo fino alla fine questi ultimi due punti otterremo gli altri coefficienti del quoziente e nell ultima colonna il resto della divisione Coefficienti quoziente Resto divisione Quoziente: ( ) ; resto:. Possiamo, pertanto scrivere ( )( ) Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 3

4 Applicazione della regola di Ruffini quando il divisore è del tipo ( ) Nel caso in cui il coefficiente del termine di primo grado del divisore è diverso da 1 sarebbe necessario dividere dividendo e divisore per a per far diventare il divisore del tipo ( ) e applicare ancora la regola di Ruffini. Quando, però, si dividono dividendo e divisore per uno stesso numero a, il quoziente della divisione non cambia ma il resto resta diviso per a come si può vedere dal seguente esempio numerico La regola di Ruffini si applica nel seguente modo: 1. Si dividono tutti termini del dividendo e del divisore per a ottenendo i polinomi ( ) ( ) 2. A questi ultimi due polinomi si applica la regola di Ruffini e si determina il quoziente ( ), che è anche il quoziente della divisione tra ( ) ( ) e il resto R. 3. Per ottenere il resto R della divisione dei polinomi ( ) ( ) si moltiplica R per a, cioè Esempio determinare il quoziente e il resto della divisione tra il polinomio ( ) e il binomio di primo grado ( ) Dividiamo per 2 tutti i termini di ( ) ( ). Otteniamo i polinomi ( ) ( ) Applichiamo la regola di Ruffini per determinare il quoziente e il resto della divisione tra ( ) ( ) -2 Il quoziente di questa divisione è anche il quoziente della divisione tra ( ) ( ) ( ) ed è Il resto R della divisione tra ( ) ( ) si ottiene moltiplicando il resto R per 2, cioè Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

5 Esercizi proposti 1. ( ) ( ) 2. ( ) ( ) 3. ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) 6. ( ) ( ) Bibliografia N. Dodero P. Baroncini R. Manfredi I. Fragni: Lineamenti. Math BLU nella matematica Algebra vol. 1 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

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