DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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1 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Esercizio Esercizio L equazione non ha soluzioni e quindi la parabola non interseca l asse delle ascisse Pertanto la parabola, avendo la concavità verso il basso, giace interamente nel semipiano delle ordinate negative e dunque nessun punto della parabola giace nel semipiano delle ordinate positive: quindi la disequazione data è impossibile. Pagina di

2 Esercizio Esercizio Moltiplico ogni fattore : Risulta ; l equazione ha ciò due soluzioni coincidenti. La parabola, che volge la concavità verso l alto, è tangente all asse nel punto. Quindi tutti i punti si trovano nel semipiano delle ordinate positive, eccetto il punto che si trova sull asse. Perciò la disequazione data è soddisfatta qualunque valore di. L insieme delle soluzioni è :. Pagina di

3 Esercizio Moltiplico ogni fattore : La parabola volge la concavità verso il basso ed è tangente all asse nel punto. Tutti i punti della parabola, eccetto, giacciono nel semipiano delle ordinate negative. Perciò la disequazione data è soddisfatta da qualunque valore, eccetto. Quindi possiamo esprimere le sue soluzioni scrivendo: L insieme delle soluzioni è tanto: Esercizio Questa parabola volge la concavità verso il basso ed è tangente all asse nel punto. Tutti i punti della parabola hanno ordinata negativa, eccetto il punto la cui ordinata è zero. Perciò l unico valore di che soddisfa la disequazione data è: e l insieme delle soluzioni è:. Pagina di

4 Esercizio 7 Le due disequazioni, già in forma canonica, devono essere verificate contemporaneamente, cioè gli stessi valori di. Prima disequazione: 8 Quindi: E l insieme delle soluzioni risulterà: - -, - -, - -,,, - - Seconda disequazione: Quindi: 7 - -, - -, - -, -,, - - E l insieme delle soluzioni risulterà: I valori di che verificano entrambe le disequazioni sarà: S S - - / / Pagina di

5 Esercizio 8 Prima disequazione: Seconda disequazione: Terza disequazione: Poiché una delle disequazioni del sistema è impossibile, ossia non ha soluzioni, non possono esistere numeri che soddisfino contemporaneamente tutte le disequazioni del sistema: tanto non è necessario procedere alla risoluzione della terza disequazione. IL SISTEMA è IMPOSSIBILE ed è quindi :. Esercizio Occorre ora studiare il segno del numeratore e quello del denominatore e applicare la regola dei segni con l aiuto del solito schema. NUMERATORE: Pagina di

6 DENOMINATORE : DENOMINATORE : STUDIO DEL SEGNO: - -,,7, Quindi la soluzione risulta essere: Ovvero, con gli intervalli: Pagina di

7 Esercizi sulle Disequazioni Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni:.).).).) ).) ) ).).7) 8.8).) Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni tratte dal secondo parziale del ):.).).) 8

8 .) 8.).).7).8).) Esercizio Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni.).) ) ).) ).).).)

9 Soluzioni Al fine di risolvere le disequazione sarà spesso utile trasformarle in altre ad esse equivalenti. Queste trasformazioni possono essere effettuate utilizzando i due principi di equivalenza le disequazioni che ricordiamo: I Principio: sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa quantità si ottiene un altra disequazione equivalente alla data. II Principio: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione una stessa quantità positiva si ottiene un altra disequazione equivalente alla data; moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione una stessa quantità negativa si ottiene un altra disequazione equivalente alla data se si cambia il verso della disuguaglianza. Esercizio.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo in binomio e avremo quindi studieremo la disequazione nella forma ) ) ) ). La soluzione sarà quindi e.) Consideriamo la disequazione.

10 La soluzione sarà quindi.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) quindi studieremo la disequazione nella forma ) ). La soluzione sarà quindi.) Consideriamo la disequazione ) e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. Numeratore:,,, ± ± ± e e

11 quindi ). Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente. Denominatore: ). Scomponiamo il secondo fattore quindi ± ± ±,,, ). Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente. Studieremo allora la disequazione nella forma ) ). ) ) nessun valore di nessun valore di nessun valore di Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto non sarà mai negativo quindi questa disequazione NON AMMETTE SOLUZIONI..) Consideriamo la disequazione ) ) e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore. quindi ± ± ±,,,

12 ). Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente. quindi ± ± ±,,, ). Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente. Studieremo allora la disequazione nella forma ) ). ) ) ogni valore di ogni valore di ogni valore di Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto sarà sempre positivo quindi questa disequazione E SEMPRE VERIFICATA..) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) quindi studieremo la disequazione nella forma. ) )

13 7 nessun valore di La soluzione sarà quindi.7) Consideriamo la disequazione 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) ) ) 8 8 ) quindi studieremo la disequazione nella forma ) ). La soluzione sarà quindi.8) Consideriamo la disequazione e / /

14 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio al denominatore. Denominatore:. ± ±,,8,, quindi. Studieremo allora la disequazione nella forma. La soluzione sarà quindi.) Consideriamo la disequazione e

15 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi al numeratore e al denominatore Numeratore: ), ±, ± Abbiamo quindi che. Quando il trinomio di secondo grado è sempre positivo se il coefficiente di è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di è negativo. Nel nostro caso il trinomio è e quindi il coefficiente di è che è positivo, quindi il trinomio è positivo ogni valore di e di conseguenza ) sarà negativo ogni valore di. Denominatore: Studieremo allora la disequazione nella forma ). ). ) ) La soluzione sarà quindi nessun valore di ogni valore di Esercizio.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli

16 ) ) ) ) quindi studieremo la disequazione nella forma. nessun valore di La soluzione sarà quindi.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) ) ) quindi studieremo la disequazione nella forma ma siccome non può essere positivo questa disequazione non ammette soluzione..) Consideriamo la disequazione

17 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. Numeratore: 8, ± 8), ± 8, ± quindi 8 ) ). Denominatore:, ±, ±, ± 8 quindi ) 8). Studieremo allora la disequazione nella forma ) ). ) 8) 8 La soluzione sarà quindi 8 8 e 8.) Consideriamo la disequazione

18 8 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. Numeratore:, ±, ±, ± 8 quindi ) 8). Denominatore: 8, ± 8), ± 8, ± quindi 8 ) ). Studieremo allora la disequazione nella forma ) 8). ) ) La soluzione sarà quindi 8.) Consideriamo la disequazione

19 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio del numeratore e analizziamo quello al denominatore. Numeratore:, ±, ±, ± 8 quindi ) 8). Denominatore:. In questo caso il denominatore è sempre positivo ché non si annulla mai e qualunque valore si sostituisca troviamo sempre un numero positivo. In generale, un polinomio del tipo a, con a positivo è sempre positivo. Studieremo allora la disequazione nella forma ) 8) ogni valore di La soluzione sarà quindi e 8.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli

20 . ) 8 8) ) ) ) A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: ± ± ± ± 7,,,,,, quindi )) )) quindi studieremo la disequazione nella forma )) )). ) ) ) ) La soluzione sarà quindi.7) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) e

21 ) 8 8 ) quindi studieremo la disequazione nella forma ). nessun valore di La soluzione sarà quindi.8) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) ) ) ) A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: e /

22 ,, ± ±. Abbiamo quindi che. Quando il trinomio di secondo grado è sempre positivi se il coefficiente di è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di è negativo. Nel nostro caso il coefficiente di è che è positivo, quindi il trinomio è positivo ogni valore di. Quindi studieremo la disequazione nella forma e avremo nessun valore di La soluzione sarà quindi.) Consideriamo la disequazione e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli ) ) 8 ) ) ) A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: ± ± ± ),,,

23 7 ±,,87, quindi e avremo ) e quindi studieremo la disequazione nella forma. nessun valore di La soluzione sarà quindi Esercizio.) Consideriamo il seguente sistema e

24 e cerchiamo le soluzione di ogni equazione.. quindi la soluzione della prima disequazione è. quindi la soluzione della seconda disequazione è Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente quindi la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. ) ). ) ) 8

25 ) ) ) ). Studiamo la disequazione nella forma ) ) e avremo quindi la soluzione della prima disequazione è e. quindi la soluzione della seconda disequazione è Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente e quindi la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. )

26 . quindi la soluzione della prima disequazione è. ) ) ). Studiamo la disequazione nella forma ). quindi la soluzione della seconda disequazione è e Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente e quindi la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema

27 e cerchiamo le soluzione di ogni equazione... Scomponiamo il trinomio, ± ), ±, ± quindi ) ). Studieremo quindi la disequazione nella forma ) ). quindi la soluzione della prima disequazione è e.. ) ) quindi studiamo la disequazione nella forma ) ) e avremo la soluzione della seconda disequazione è Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente

28 e quindi la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema e cerchiamo le soluzione di ogni equazione.. ) ) quindi la soluzione della prima disequazione è. quindi la soluzione della seconda disequazione è. e

29 quindi la soluzione della terza disequazione è Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente / / quindi la soluzione del sistema è.) Consideriamo il seguente sistema e cerchiamo le soluzione di ogni equazione... Scomponiamo il trinomio, ±, ±, ± quindi ) ). Studieremo quindi la disequazione nella forma ) ).

30 quindi la soluzione della prima disequazione è e. Scomponiamo il trinomio, ± ), ±, ± quindi ) ). Studieremo quindi la disequazione nella forma ) ). quindi la soluzione della seconda disequazione è.. ) ) quindi studiamo la disequazione nella forma ) ) e avremo

31 la soluzione della terza disequazione è e Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente e e Poiché nessun intervallo soddisfa tutte e tre le disequazioni contemporaneamente il sistema NON AMMETTE SOLUZIONE.