UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA

Transcript

1 UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI CIENZE POLITICHE CORO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED AICURATIVA I Parziale - Compito C 5//5 A. A. 5 ) Risolvere la seguente disequazione razionale intera di primo grado: 3x 5 x + x + x Iniziamo con il trasportare al primo membro tutti i termini che compaiono al secondo membro: 3x 5 x + x (*) + x Determiniamo il minimo comune multiplo: 33 ( x ) + 65 ( x) x + 3 ( + x) Moltiplichiamo ambo i membri per, ovvero per il minimo comune multiplo: 33x + 65 x x + 3+ x ( ) ( ) ( ) volgiamo i calcoli: x 3+ 36x x x Raccogliamo i termini simili: 3x Cambiando di segno ed invertendo il verso della disequazione, otteniamo che la (*), ammette la seguente soluzione: x { x } =

2 ) Risolvere la seguente disequazione razionale intera di secondo grado: 3x+ > x x3 3 ( ) Iniziamo con il trasportare al primo membro tutti i termini che compaiono al secondo membro: 3x + x ( x 3) > 3 viluppiamo il quadrato del binomio: 3x + x+ x ( x 3) > 3 Eseguiamo i prodotti: 3 3 3x + x+ x 3x x+ > Eliminiamo la parentesi tonda cambiando di segno: 3x + x+ x + 3x + x > 3 3 Determiniamo il minimo comune multiplo: 7x + 8x+ 3 x + 7x+ x 3 > Moltiplichiamo ambo i membri per, ovvero per il minimo comune multiplo: 7x + 8x+ 3 x + 7x+ x 3> Raccogliamo i termini simili: (*) 8x + 6x> criviamo l equazione associata alla disequazione (*): 8x + 6x= Troviamo le soluzioni dell equazione associata raccogliendo la x (manca il termine noto per cui non è necessario applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado!!!): x( 8x + 6) =

3 Per la legge di annullamento del prodotto, quindi, segue: x x = = x( 8x+ 6) = 6 3 8x + 6= x = = 8 Allora la (*), e di conseguenza la disequazione assegnata, ammette soluzioni, ovvero è positiva, per valori esterni alle due radici appena determinate: 3 x <, x > 3 3 = x<, x > 3) Risolvere la seguente disequazione razionale fratta: x+ 8 x+ 7 x+ x+ x x Iniziamo con il trasportare al primo membro tutti i termini che compaiono al secondo membro: x+ 8 x+ 7 x+ (*) + x+ x x Osserviamo che non tutti i denominatori sono polinomi di primo grado, per cui è necessario scomporre il polinomio di secondo grado, che risulta essere la differenza di due quadrati, nel prodotto di due polinomi di primo grado: x+ 8 x+ 7 x+ + x+ x x + x ( )( ) Determiniamo il minimo comune multiplo: x + 8 x x+ 7 x+ x + + x x+ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( x )( x+ )

4 volgiamo i calcoli: ( ) ( ) x x+ 8x8 x + x+ 7x+ 7 x + x ( x )( x+ ) da cui otteniamo: x x+ 8x8x x7x7x + x ( x )( x+ ) Raccogliamo i termini simili: (**) x 3x ( x )( x+ ) Prima di studiare la disequazione occorre determinare il suo campo di esistenza, ovvero bisogna trovare quei valori della x per i quali il denominatore non si annulla: x x ( x )( x+ ) x+ x La (**) allora è equivalente al seguente sistema (numeratore e denominatore devono essere concordi!!!): x 3x ( x )( x+ ) > tudiamo la prima disequazione del sistema: (***) x 3x criviamo ora l equazione associata: x 3x = le cui soluzioni sono date da: x, ( ) ( ) b± b ac 3± 3 ± + ± ± = = = = = a Ne segue, quindi: x = = = x = = =

5 cioè la (***) ammette soluzioni, ovvero è positiva, per valori esterni alle due radici appena determinate: 5 x, x = x, x tudiamo ora la seconda disequazione del sistema: x x+ > (****) ( )( ) criviamo ora l equazione associata: x x+ = ( )( ) le cui soluzioni sono date da: ( x ) ( x ) = x3 = + = x = Allora la (****) ammette soluzioni, ovvero è positiva, per valori esterni alle due radici appena determinate: x<, x> { } = x<, x>

6 Le soluzioni della (*) si ottengono, quindi, riportando in un unico grafico le soluzioni ed, facendo il prodotto dei segni e considerando le soluzioni positive (bisogna tenere in considerazione il verso della disequazione assegnata!!!): 5 I dis. II dis = x, < x<, x ) Calcolare il determinante della seguente matrice: 3 A = 5 7 Essendo A una matrice quadrata di ordine, risulta possibile calcolare il suo determinante utilizzando il metodo di Laplace, sviluppandolo rispetto alla prima o seconda o terza riga (è più conveniente scegliere una di tali righe in quanto in ciascuna vi è un elemento nullo, a differenza della quarta riga costituita da elementi non nulli!!!). Consideriamo, ad esempio, la prima riga. Per la regola dei segni otteniamo: A = 5 7

7 Calcoliamo ora il determinante di A: ( ) det A= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = =36 = Dunque: det A = 5) Date le seguenti matrici: A = 6 3 B = dire se sono moltiplicabili e, in caso affermativo, calcolare la matrice prodotto AB oppure BA. In primo luogo osserviamo che la matrice A ha odine 3 3 e la matrice B ha ordine 3. Poiché il numero delle colonne della matrice A, ovvero 3, è uguale al numero delle righe della matrice B, ovvero 3, ne segue che è possibile eseguire il prodotto AB e, moltiplicando le due matrici righe per colonne, risulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB = = + + = =

8 Dunque: 7 35 AB = è la matrice prodotto di ordine 3 (il numero delle sue righe è pari a quello delle righe di A ed il numero delle sue colonne è uguale a quello delle colonne di B). apendo che il prodotto tra matrici non è commutativo, dobbiamo vedere se è anche possibile svolgere il prodotto BA. Osserviamo, a riguardo, che il numero delle colonne della matrice B, ovvero, non è uguale al numero delle righe della matrice A, ovvero 3, motivo per cui non risulta affatto possibile eseguire il prodotto BA.