UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA

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1 UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI CIENZE POLITICHE CORO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED AICURATIVA I Parziale - Compito B 5/4/5 A. A. 4 5 ) Risolvere la seguente disequazione razionale intera di primo grado: 7 3x x+ 6 > 5 5 Iniziamo con il trasportare al primo membro tutti i termini che compaiono al secondo membro: 7 3x x+ 6 (*) + > 5 5 Determiniamo il minimo comune multiplo: 7 3x 5 x+ + 6 > Moltiplichiamo ambo i membri per, ovvero per il minimo comune multiplo: 7 3x 5 x+ + 6> volgiamo i calcoli: Raccogliamo i termini simili: 4+ 6x 5x 5+ > x + 3> La disequazione data (*), pertanto, ammette la seguente soluzione: x > 3 3 { x 3} = >

2 ) Risolvere la seguente disequazione razionale intera di secondo grado: 7 3x x ( x ) 6x Iniziamo con il trasportare al primo membro tutti i termini che compaiono al secondo membro: 7 3x x ( x ) 6x + 3 viluppiamo il quadrato del binomio ed eseguiamo il prodotto: 7 9x 3x+ x x x 6x Eliminiamo la parentesi tonda cambiando di segno: 7 9x 3x+ x x + x+ 6x Determiniamo il minimo comune multiplo: 8x 36x+ 3 4x 4x + 4x+ 4 7x 7 Moltiplichiamo ambo i membri per, ovvero per il minimo comune multiplo: 8x 36x+ 3 4x 4x+ 4x+ 4 7x 7 Raccogliamo i termini simili: (*) 84x 8x criviamo l equazione associata alla disequazione (*): 84x 8x= Troviamo le soluzioni dell equazione associata raccogliendo la x (manca il termine noto per cui non è necessario applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado!!!): x( 84x 8) =

3 Per la legge di annullamento del prodotto, quindi, segue: x 84 8 = x 8= x = = ( x ) x = x = 84 Allora la (*), e di conseguenza la disequazione assegnata, ammette soluzioni, ovvero è negativa, per valori interni alle due radici appena determinate: 3 x 3 3 = x 3) Risolvere la seguente disequazione razionale fratta: x x x x+ x Iniziamo con il trasportare al primo membro tutti i termini che compaiono al secondo membro: x x+ 7 5 (*) + x x+ x Osserviamo che non tutti i denominatori sono polinomi di primo grado, per cui è necessario scomporre il polinomio di secondo grado, che risulta essere la differenza di due quadrati, nel prodotto di due polinomi di primo grado: x x x x + x x+ ( )( ) Determiniamo il minimo comune multiplo: x( x+ ) + ( x+ 7)( x ) 5 x x+ ( )( )

4 volgiamo i calcoli: x x x x x ( x )( x+ ) Raccogliamo i termini simili: (**) x + 7x ( x )( x+ ) Prima di studiare la disequazione occorre determinare il suo campo di esistenza, ovvero bisogna trovare quei valori della x per i quali il denominatore non si annulla: x x ( x )( x+ ) x+ x La (**) allora è equivalente al seguente sistema (numeratore e denominatore devono essere concordi!!!): x + 7x ( x )( x+ ) > tudiamo la prima disequazione del sistema: (***) x + 7x criviamo ora l equazione associata: x + 7x = le cui soluzioni sono date da: x, b± b ac 7± 7 4 ± + ± ± = = = = = a Ne segue, quindi: x 7 5 = = = x = = = 4 4 cioè la (***) ammette soluzioni, ovvero è positiva per valori esterni alle due radici appena determinate: x, x

5 = x, x tudiamo ora la seconda disequazione del sistema: x x+ > (****) ( )( ) criviamo ora l equazione associata: x x+ = ( )( ) le cui soluzioni sono date da: ( x ) ( x ) = x3 = + = x4 = Allora la (****) ammette soluzioni, ovvero è positiva, per valori esterni alle due radici appena determinate: x<, x> { } = x<, x> Le soluzioni della (*) si ottengono, quindi, riportando in un unico grafico le soluzioni ed, facendo il prodotto dei segni e considerando le soluzioni positive (bisogna tenere in considerazione il verso della disequazione assegnata!!!): I dis. II dis = x, < x<, x

6 4) Calcolare il determinante della seguente matrice: 3 4 A = Essendo A una matrice quadrata di ordine 4, risulta possibile calcolare il suo determinante utilizzando il metodo di Laplace, sviluppandolo rispetto alla prima o terza o quarta riga (è più conveniente scegliere una di tali righe in quanto in ciascuna vi è un elemento nullo, a differenza della seconda riga costituita da elementi non nulli!!!). Consideriamo, ad esempio, la prima riga. Per la regola dei segni otteniamo: A = Calcoliamo ora il determinante di A: det A= = ( ) ( ) = = = = = = = + = 89 Dunque: det A = 89

7 5) Date le seguenti matrici: 6 3 A = 4 B = dire se sono moltiplicabili e, in caso affermativo, calcolare la matrice prodotto AB oppure BA. In primo luogo osserviamo che la matrice A ha odine 3 e la matrice B ha ordine 3 3. Poiché il numero delle colonne della matrice A, ovvero, non è uguale al numero delle righe della matrice B, ovvero 3, ne segue che non è possibile eseguire il prodotto AB. apendo, però, che il prodotto tra matrici non è commutativo, dobbiamo vedere se è possibile svolgere il prodotto BA. Osserviamo, a riguardo, che il numero delle colonne della matrice B, ovvero 3, è uguale al numero delle righe della matrice A, ovvero 3, motivo per cui risulta possibile eseguire il prodotto BA. Moltiplicando le due matrici righe per colonne, risulta: ( ) BA = 5 3 ( ) = = ( ) = 48 Dunque: 3 BA = 48 è la matrice prodotto di ordine 3 (il numero delle sue righe è pari a quello delle righe di B ed il numero delle sue colonne è uguale a quello delle colonne di A).