ESERCITAZIONE 11 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

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1 ESERCITAZIONE 11 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: Martedi Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Dicembre 2012

2 Esercizio 1 Trova l insieme di esistenza della seguente equazione irrazionale: 4 2 x 4 x x 5 2 x + 1 = 2 x Nella nostra equazione sono presenti quattro radici, tre con indice pari e una con indice dispari; quest ultima, ai fini dell esistenza, è trascurabile, quindi concentriamoci sulle radici con indice pari. Le tre condizioni che si ottengono devono essere messe a sistema, ovvero devono valere tutte e tre affinché l equazione irrazionale abbia significato in R: 4 2 x 0 x 2 x x 1 2 x 1 0 x 1/2 La condizione risultante è [ ] 1 x 2, 2

3 Esercizio 1 Trova l insieme di esistenza della seguente equazione irrazionale: 4 2 x 4 x x 5 2 x + 1 = 2 x Nella nostra equazione sono presenti quattro radici, tre con indice pari e una con indice dispari; quest ultima, ai fini dell esistenza, è trascurabile, quindi concentriamoci sulle radici con indice pari. Le tre condizioni che si ottengono devono essere messe a sistema, ovvero devono valere tutte e tre affinché l equazione irrazionale abbia significato in R: 4 2 x 0 x 2 x x 1 2 x 1 0 x 1/2 La condizione risultante è [ ] 1 x 2, 2

4 Esercizio 2 Risolvi le seguenti equazioni irrazionali: a) 3 x3 2 x 2 4 = x 2 b) x = 3 x 1 c) x = x 2 d) 3 x 1 = 3 2 x 1 e) x 1 = 2 x 1 f) x + 1 = 3 x 1 g) x 1 + x = x 2 1 h) 3 x 1 2 x 1 x 1 = 0

5 Esercizio 2 - Sol. a), c) a) L equazione 3 x 3 2 x 2 4 = x 2 è del tipo n f(x) = g(x) con n dispari, quindi non dobbiamo porre nessuna condizione sulle espressioni che compaiono nell equazione. Ti ricordo che una radice di indice dispari è sempre definita qualunque sia il radicando e può assumere qualsiasi valore reale. Risolviamo elevando entrambi i membri al cubo e trovando le soluzioni dell equazione polinomiale risultante: ( 3 x 3 2 x 2 4) 3 = (x 2) 3 x 3 2 x 2 4 = x 3 6 x x 8 4 x 2 12 x + 4 = 0 x 2 3 x + 1 = 0 x = 3 ± 5 c) La prima cosa da fare è determinare quando il radicando assume valori non negativi, ed in questo caso si vede subito che ciò avviene per x 0. Per lo stesso discorso fatto in precedenza, il membro di destra non può assumere valori negativi x 2 0 x 2 quindi le eventuali soluzioni andranno cercate nell intervallo [2, + ). Supponiamo di lavorare in questo intervallo ed eleviamo entrambi i membri al quadrato: 2 ( x) 2 = (x 2) 2 x = x 2 4 x + 4 x 2 5 x + 4 = 0 Ci siamo così ricondotti a cercare le soluzioni dell equazione di secondo grado x 2 5 x + 4 = 0 nell intervallo [2, + ); è possibile applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, ma in questo caso si possono ricercare le soluzioni cercando due numeri x 1 e x 2 tali che x 1 x 2 = 4 e x 1 + x 2 = 5: si vede subito che i due numeri sono x 1 = 1 e x 2 = 4. Come prima bisogna prestare attenzione: delle due soluzioni è accettabile solo x 2 = 4, perché x 1 = 1 non appartiene all intervallo [2, + ).

6 Esercizio 2 - Sol. g) g) L equazione x 1 + x = x 2 1 contiene due radici di indice pari quindi dobbiamo studiare quando è definita: imponendo le due condizioni { x 1 0 x 1 x x 1 x 1 si arriva alla condizione risultante di esistenza x 1. Eleviamo adesso entrambi i membri al quadrato: ( x 1 + x) 2 = ( x 2 1) 2 x x x 1 + x 2 = x 2 1 x (1 + 2 x 1) = 0 x = x 1 = 0 La soluzione x = 0 non è accettabile, mentre l equazione x 1 = 0 non ammette soluzioni in quanto a primo membro si ha la somma di una quantità positiva con una non negativa ed il risultato non può essere 0. In conclusione l equazione non ammette soluzioni.

7 Esercizio 3 Risolvi le seguenti equazioni irrazionali fratte: a) 2 x x = x 1 x2 1 b) 1 x x x 2 = 5 x

8 Esercizio 3 - Soluzioni a) Iniziamo col trovare dove l equazione ha significato imponendo le condizioni di esistenza: x x 1 x 1 > 0 x > 1 x 2 1 > 0 x < 1 x > 1 L equazione ha quindi senso per x > 1. Portiamo a denominatore comune i due membri (ricorda che x 2 1 = (x + 1)(x 1) = x + 1 x 1) 2 x x = x 1 x 2 1 (2 x + 1) x + 1 x 2 1 = 2 x x 2 1 ed uguagliamo i numeratori (sempre nell ipotesi x > 1) (2 x + 1) x + 1 = 2 x 2 x + 1 = 3 x + 1 (2 x + 1) 2 = (3 x + 1) 2 9 x x 3 = 0 Completa i calcoli ricordando che l equazione di partenza è definita per x > 1. b) Anche per questa equazione, prima di mettersi a fare i calcoli, determiniamo dove ha significato imponendo le condizioni di esistenza: { x 7 > 0 x > 7 5 x 0 x 5 È immediato verificare che le condizioni di esistenza sono tra loro incompatibili e quindi l equazione non ammette soluzioni.

9 Esercizio 4 Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali: a) 10 x 2 > 1 b) 3 27 x3 26 < 3 x 2 c) x + 2 < x d) x 2 2 x > x + 5 e) 2 x 2 x > x 3 x 2

10 Esercizio 4 - Sol. a), b) a) La disequazione 10 x 2 > 1 è equivalente al seguente sistema { 10 x x 10 ( 10 x 2 ) 2 > x 2 > 0 che ha come soluzioni 3 < x < 3. b) Nella disequazione 3 27 x 3 26 < 3 x 2 è presente una radice cubica, quindi non abbiamo nessuna condizione di esistenza da porre; è sufficiente elevare al cubo entrambi i membri ( 3 27 x 3 26) 3 < (3 x 2) 3 27 x 3 26 < 27 x 3 54 x x 8 54 x 2 36 x 18 < 0 3 x 2 2 x 1 < < x < 1 In generale, quando ti trovi di fronte a disequazioni della forma 2k+1 f(x) < g(x) oppure 2k+1 f(x) > g(x) è sufficiente elevare entrambi i membri alla potenza 2 k + 1 per eliminare le radici.