ESERCITAZIONE 17 : CORREZIONE DEL COMPITINO

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1 ESERCITAZIONE 17 : CORREZIONE DEL COMPITINO tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Aprile 2013

2 Esercizio 1 Due sperimentatori hanno rilevato rispettivamente 25 e 45 misure di una certa grandezza lineare e calcolato le medie che sono risultate rispettivamente 15.6 e 16.4 cm. Mettendo insieme i due campioni quale sarà la media? Dalle informazioni del testo è possibile dedurre che la deviazione standard totale è più piccola di 1?

3 Esercizio 1 - Soluzione La somma s 1 dei valori ottenuti dal primo sperimentatore vale s 1 = = 390 cm mentre la somma s 2 dei valori ottenuti dal secondo sperimentatore s 2 = = 738 cm La media totale sarà allora M = s 1 + s = La media è un indice di posizione centrale che non fornisce informazioni sulla dispersione dei dati, quindi non possiamo concludere niente sulla deviazione standard dei dati.

4 Esercizio 2 Sia data la funzione f(x) = x sin 2 x Trova i punti di massimo e minimo relativo.

5 Esercizio 2 - Soluzione La funzione f(x) è continua su tutto R ed è illimitata. Per trovare i punti stazionari di f (massimo relativo, minimo relativo, flesso a tangente orizzontale) è necessario calcolare la derivata prima della funzione e porla uguale a 0: f (x) = 1 2 cos 2 x = 0 La precedente equazione è di tipo trigonometrico: 1 2 cos 2 x = 0 cos 2 x = x = π k π 2 x = 5 3 π + 2 k π x = x 1 = π 6 + k π x = x 2 = 5 6 π + k π quindi abbiamo un infinità numerabile di punti stazionari. Per capire la natura dei punti x 1 e x 2 possiamo studiare il segno della derivata prima oppure valutare la derivata seconda in questi punti. Seguiamo quest ultima strada: f (x) = 4 sin 2 x Si ha allora e f (x 1 ) = 4 sin(2 π/6 + 2 k π) = 4 sin(π/3) = 2 3 > 0 f (x 2 ) = 4 sin(5 π/3 + 2 k π) = 4 sin(5 π/3) = 2 3 < 0 da cui si deduce che i punti x 1 sono di minimo relativo, mentre i punti x 2 sono di massimo relativo.

6 Esercizio 2 - Grafico di f(x)

7 Esercizio 3 Trova l espressione analitica di una funzione f(x), definita su tutto R, e avente i seguenti limiti: lim f(x) = 2 lim x f(x) = 4 x +

8 Esercizio 3 - Soluzione Una funzione definita su tutto R e avente limiti finiti a e + è l arcotangente. Cerchiamo allora una funzione del tipo f(x) = A arctan x + B Imponendo le condizioni sui limiti si ottiene un sistema di due equazioni nelle incognite A e B: { A ( π/2) + B = 2 A (π/2) + B = 4 Risolvendo il sistema si trova A = 6/π e B = 1.

9 Esercizio 4 In un ufficio sono presenti 1 responsabile, 2 direttori generali, 8 impiegati operativi e 3 impiegati amministrativi. Gli stipendi annui lordi, in migliaia di euro, per ciascuna figura sono così distribuiti: responsabile 70 direttore generale 45 impiegato operativo 25 impiegato amministrativo 20 Calcola la media aritmetica, la moda, la mediana e la deviazione standard degli stipendi.

10 Esercizio 4 - Soluzione Indichiamo con S l insieme degli stipendi: S = {20, 20, 20, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 45, 45, 70} Allora la media vale E(S) = 14 = = 30, la moda (il valore più frequente tra gli stipendi) è 25 così come la mediana. Per calcolare la deviazione standard σ ricordiamoci che σ 2 = V ar(s) = E(S 2 ) [E(S)] 2 quindi σ = σ =

11 Esercizio 5 Ipotesi biologiche sulla crescita di una popolazione di batteri suggeriscono che il numero di individui N(t) della popolazione al tempo t possa essere espresso da una funzione del tipo N(t) = 3t h t k dove h e k sono opportune costanti positive. Avendo a disposizione i seguenti dati sperimentali t N(t) a) conduci un analisi di regressione per stimare h e k, quali valori ottieni? b) L approssimazione è buona?

12 Esercizio 5 - Soluzione Nota che N(t) = 3t t ( ) 3 3 t = hk ht k h t = hk h Passando ai logaritmi (useremo il logaritmo in base 10) si ha log N(t) = log h k + t log(3/h) = k log h + t log(3/h) e possiamo quindi applicare le formule della regressione lineare per trovare la retta di regressione y = m x + q con y = log N(t), x = t, m = log(3/h) e q = k log h. t N(t) log N(t) t log N(t) t (log N(t)) L ultima colonna della precedente tabella contiene le medie.

13 Esercizio 5 - Soluzione m = xy x y x 2 x 2 = = q = y m x = = Possiamo quindi ricavare una stima dei parametri h e k: Il coefficiente di Pearson è dato da 3 log(3/h) = h = k = log xy x y CP = (x 2 x 2 ) (y 2 y 2 ) quindi l approssimazione è buona.

14 Esercizio 6 Studia (dominio, zeri, segno, limiti, derivata prima, eventuali punti stazionari, grafico) la seguente funzione: f(x) = ln(2 x 2 7 x 4) Disegna poi i grafici delle funzioni h(x) = 1/f(x) e k(x) = f(x).

15 Esercizio 6 - Soluzione 1 CAMPO DI ESISTENZA (DOMINIO): poiché abbiamo a che fare con una funzione logaritmica del tipo f(x) = ln g(x), deve essere g(x) > 0: 2 x 2 7 x 4 > 0 x < 1/2 x > 4 Il campo di esistenza (dominio) è quindi D = (, 1/2) (4, + ) 2 SEGNO: 3 LIMITI f(x) = 0 g(x) = 2 x 2 7 x 4 = 1 2 x 2 7 x 5 = 0 x = 7 ± 89 f(x) > 0 x < x > f(x) < < x < 1/2 4 < x < lim f(x) = + lim x lim f(x) = lim x 4 + f(x) = x 1/2 f(x) = + x + 4 ASINTOTI La funzione ammette due asintoti verticali (x = 1/2 e x = 4). 5 DERIVATA PRIMA f (x) = g (x) g(x) = 4 x 7 2 x 2 7 x 4 La derivata prima non si annulla mai nel dominio (f (x) = 0 x = 7/4), è negativa per gli x negativi del dominio, (funzione decrescente) e positiva per gli x positivi del dominio (funzione crescente).

16 Esercizio 6 - Grafico di f(x)

17 Esercizio 6 - Grafico di h(x) = 1/f(x)

18 Esercizio 6 - Grafico di k(x) = f(x)