STUDIO DI FUNZIONI pag. 1

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1 STUDIO DI FUNZIONI pag. Dominio e ricerca asintoti REGOLA GENERALE. Individuare il dominio della unzione, cioè l insieme dei valori reali per cui () è ancora un valore reale.. Studiare i iti della unzione assegnata per 0 con 0 estremo di dom () e per ± individuando, ove presenti, i seguenti casi: a. 0 estremo di dom () se () ±, si ha in 0 un asintoto verticale da sinistra; 0 se () ±, si ha in 0 un asintoto verticale da destra. 0 b. () k k R ± In questo caso y k rappresenta un asintoto orizzontale di () per ± c. [ () ( m q) ] 0 m R \ {} 0 ± In questo caso la retta y m q è un asintoto obliquo di () ; per individuare m coeiciente angolare e q intercetta sull asse delle ordinate procedere come segue: () m q [ () m] ± ± È importante sottolineare che se e solo se entrambi questi due iti esistono initi () ammette per ± asintoto obliquo y m q.

2 STUDIO DI FUNZIONI pag. ESEMPI. () 5 5 dom () R \ 5 (), () ; dunque è un asintoto verticale per (). () 5 e. () e dom () R 5 ; () 5 ; la retta y è un asintoto orizzontale per ±. e e () e e (applicando la regola di de L Hopital) e quindi y asintoto orizzontale per ; e () e quindi y asintoto orizzontale per. e. () 5 e dom () R () 5 e ; () 5 e. Come si può acilmente notare per la unzione decresce con ordine di ininito : () 5 e 5 e m

3 STUDIO DI FUNZIONI pag. m rappresenterebbe il coeiciente angolare della retta a cui la unzione tende per ; l intercetta si può ricavare calcolando il seguente ite: 5 e [ () m] 5 e 5. Risultando deiniti e initi entrambi i iti, si può aermare che y 5 è un asintoto obliquo di () per ; per non ci sono invece asintoti in quanto () 5 e.. () () [ ; ) dom () La unzione ha ordine di ininito pari a ; inatti: () La unzione può quindi presentare per un asintoto obliquo y m q con m ; l intercetta sull asse delle ordinate dovrebbe risultare dal calcolo di questo ite: [ () m] [ ]. Poiché quest ultimo ite, pur essendo deinito, non assume valore inito si deve concludere che () per non presenta alcun asintoto.

4 STUDIO DI FUNZIONI pag. Studio di punti di discontinuità REGOLA GENERALE a. Se esiste un punto R per cui 0 () l, () l 0 0 con l l allora si dice che 0 è un punto di discontinuità di prima specie o salto. b. Se esiste un punto R per cui () l, con l ( ) allora si dice che 0 è un punto di discontinuità einabile o artiiciale. c. Se in 0 almeno uno dei iti laterali o non esiste o è ininito, allora si dice che 0 è un punto di discontinuità di seconda specie. ESEMPI. caso a. () sgn 0 > 0 0 < 0 si ha (), () 0 0 dunque 0 0 è un punto di discontinuità di prima specie.. caso b. 0 () sgn 0 0 si ha 0 (), () 0 0 dunque 0 è un punto di discontinuità einabile. 0

5 . caso c. () STUDIO DI FUNZIONI pag. 5 si ha (), () dunque 0 è un punto di discontinuità di seconda specie Studio di punti critici e intervalli di monotonia REGOLA GENERALE Calcolare la derivata prima della unzione assegnata e studiarne il segno e gli zeri sul suo dominio. ESEMPI. (), dom R '() 0 '() 0 : 0 se, '() > 0 : > 0 se < < La unzione è monotona decrescente negli intervalli ( ; ) e ( ; ), mentre è crescente nell intervallo ( ;) punto è di minimo, il punto è invece di massimo.. () tg, dom π R \ kπ : k Z '() cos cos '() 0 : 0 0 cos cos cos kπ, k Z '() > 0 : > 0 < cos cos cos > condizione mai veriicata La unzione è decrescente; gli zeri della derivata prima rappresento lessi a tangente orizzontale; conseguentemente non ci sono massimi o minimi. ; il

6 . () log, dom R \ {} 0 log '() log log '() 0 : 0 I attore: 0 condizione mai veriicata log II attore: 0 log log '() > 0 : > 0 I attore: > 0 condizione sempre veriicata log II attore: > 0 log > e > e La unzione è monotona decrescente nell intervallo ( 0; e ) - e monotona crescente in ( e ; ) e rappresenta quindi un minimo assoluto. STUDIO DI FUNZIONI pag. 6 - ; il punto Studio di punti di non derivabilità REGOLA GENERALE Se esistono dei punti 0 dom () per i quali non è possibile applicare le regole di derivazione, studiare la derivata prima della unzione assegnata esaminando in particolare queste possibilità: ' l l ' dom () ; l l R a. () () b. '() ± e/o '() ± 0 0, 0 dom ()

7 ESEMPI STUDIO DI FUNZIONI pag. 7. caso a. () 9, dom () R è conveniente arontare lo studio di unzioni contenenti valori assoluti riscrivendo le unzioni in una orma che non presenti tali operatori; ciò può essere atto spezzando la unzione in blocchi di segno costante: 9 0 ( 9) 0 I attore: 0 II attore: 9 0 e 9 0 e () 9 ( 9) < e 0 < < Poiché la unzione è pari, come si veriica acilmente sostituendo a nella espressione originaria, lo studio dei punti di non derivabilità può essere arontato per le sole 0 estendendo poi i risultati ottenuti alle < 0. Questo studio va condotto analizzando separatamente il comportamento della derivata prima per i punti interni agli intervalli di deinizione e per gli estremi di tali intervalli. ( 0, ) In questo intervallo () 9 e dunque '() 9 ; la derivata prima è deinita per ogni punto dell intervallo. (, ) In questo intervallo () 9 e dunque '() 9 ; la derivata prima è deinita per ogni punto dell intervallo. 0, Lo studio della derivata prima va ora condotto calcolando separatamente i iti destro e sinistro: ' 9 ; '() ( 9 ) 9 0 ' () ( ) 9 0 () ( 9 ) 8 0 ' 0 () ( 9) 8 In entrambi i casi i iti destro e sinistro sono initi ma dierenti; per 0, non è dunque deinita la derivata prima di () e tali punti corrispondono quindi a punti angolosi. In conclusione si può aermare che () è ovunque derivabile tranne che nei punti, 0, che sono punti angolosi.

8 . caso b. () STUDIO DI FUNZIONI pag. 8, dom () R '() 0 La derivata prima non è deinita per 0 dove entrambi i iti destro e sinistro sono ininiti: '() ± In questo caso, essendo i iti destro e sinistro entrambi ininiti di segno concorde, si ha per 0 un lesso a tangente verticale.. caso b. (), dom () R '() 0 Anche in questo caso la derivata prima non è deinita per 0 : '() '() Dato che i iti destro e sinistro sono ininiti ma di segno discorde, il punto 0 corrisponde a una cuspide. 5 Studio di concavità, convessità e lessi REGOLA GENERALE Calcolare la derivata seconda della unzione e studiarne in particolare il segno e gli zeri. ESEMPI. (), dom () R ' () ''() 6

9 ''() 0 : ( ) 0 ''() > 0 : 6 > 0 6 ( ) > 0 I attore: > 0 II attore: > 0 > 0, STUDIO DI FUNZIONI pag. 9 La derivata seconda è positiva per < 0 e per > ed in questi intervalli () è dunque convessa; per 0 < < la unzione è invece concava. Da queste considerazioni si deduce che 0 e rappresentano punti di lesso.. () e, dom () R '() e ''() e e e [ ] '' () 0 : e [ ] 0 () > 0 : e [ ] > 0 condizione mai veriicata '' condizione sempre veriicata La derivata seconda è sempre strettamente positiva e quindi la unzione è sempre convessa. 6 Graici REGOLA GENERALE Eettuare lo studio degli elementi (dominio, segno, monotonia, ) discussi nei punti precedenti, dedurre da questi l andamento della unzione e disegnarne il graico in maniera qualitativa. ESEMPI. () Dominio La unzione è deinita sull intero asse reale ad eccezione dei punti per i quali si annulla il denominatore: 0 dom () R \ {} Simmetrie e periodicità

10 STUDIO DI FUNZIONI pag. 0 La unzione non presenta né simmetrie né periodicità. Segno e zeri () > 0 : > 0 numeratore: > 0 ( ) > 0 condizione veriicata per < e > 0 denominatore: > 0 <, 0,. La unzione è positiva negli intervalli ( ) e ( ) () 0 : 0 ( ) 0 0, La unzione si annulla per 0 e. Comportamento per ± (asintoti orizzontali, obliqui o semplice divergenza) ( ) L ordine di ininito per è, inatti: () ( ) ( ) ( ) La unzione potrebbe quindi presentare per un asintoto obliquo di cui m rappresenterebbe il coeiciente angolare; l intercetta sull asse delle ordinate sarebbe: q [ () m] Essendo i due iti deiniti e initi si può concludere che () ha un asintoto obliquo per di equazione y. ( ) Anche in questo caso l ordine di ininito è :

11 () ( ) ( ) STUDIO DI FUNZIONI pag. ( ) La unzione potrebbe presentare un asintoto obliquo anche per ; trovato il coeiciente angolare m, resta da calcolare l intercetta: q [ () m] Anche per () presenta un asintoto obliquo, esso ha equazione y. Asintoti verticali Asintoto verticale. Intervalli di monotonia e punti stazionari () ( )( ) ( )( ) ' '() > 0 : > 0 ( ) ( ) ( ) numeratore: > 0 < < > denominatore: ( ) 0 La unzione è crescente negli intervalli (,) () ( ) condizione sempre veriicata e (, ) 0 : 0 0, ' La unzione presenta in un minimo relativo e in un massimo relativo. Concavità, convessità e lessi () ( )( ) ( )( ) 6 '' ( ) ( ) 6 ''() > 0 : 0 > ( )

12 numeratore: 6 > 0 condizione sempre veriicata denominatore: ( ) > 0 < La unzione è convessa per <, concava per > ; non ci sono punti di lesso. Punti di non derivabilità La unzione non presenta punti di non derivabilità. Valori della unzione in alcuni punti particolari 6 ( ) ( ) 7. 6 () 0 0 STUDIO DI FUNZIONI pag.. () e Dominio dom () R Simmetrie e periodicità La unzione non presenta né simmetrie né periodicità. Segno e zeri () > 0 : e > 0 I attore: > 0 condizione veriicata per 0 II attore: e > 0 condizione sempre veriicata La unzione è sempre positiva ad eccezione del punto 0 dove si annulla, inatti: () 0 : e 0 0 Comportamento per ± (asintoti orizzontali, obliqui o semplice divergenza) e 0 La unzione ha y 0 come asintoto orizzontale per.

13 e L ordine di ininito per Asintoti verticali La unzione non presenta asintoti verticali. Intervalli di monotonia e punti stazionari () e ( ) e ( ) e () > 0 : ( ) e > 0 maggiore di esclude la possibilità di asintoti obliqui. ' ' I attore: > 0 ( ) < 0 0 < < II attore: e > 0 condizione sempre veriicata La unzione è crescente per 0 < <. '() 0 : ( ) e 0 I attore: 0 0, II attore: e 0 condizione mai veriicata La unzione ha in 0 un punto di minimo assoluto e in un punto di massimo relativo. Concavità, convessità e lessi ''() ( ) e ( )( ) e ( ) e ''() > 0 : ( ) e > 0 I attore: > 0 <, > II attore: e > 0 condizione sempre veriicata La unzione è convessa per < e per >, concava per < <. ''() 0 : ( ) e 0 I attore: 0, II attore: e 0 condizione mai veriicata La unzione presenta in e in punti di lesso. Punti di non derivabilità La unzione non presenta punti di non derivabilità. Valori della unzione in alcuni punti particolari STUDIO DI FUNZIONI pag.

14 () 0 0 (). 7 e 0. ( ) 59 ( ). 0 STUDIO DI FUNZIONI pag.. () sin cos Dominio dom () R Simmetrie e periodicità La unzione è pari, inatti: sin cos () ( ) sin ( ) cos( ) sin cos sin cos La unzione è inoltre periodica di periodo π : π sin π cos π sin cos. ( ) ( ) ( ) Data la parità e la periodicità della unzione, lo studio verrà arontato per [ 0,π ] agli intervalli adiacenti. Segno e zeri sin cos sin 0 cioè 0 π () sin cos sin < 0 cioè π < < π La unzione può essere ulteriormente riscritta in questa orma: sin cos sin π () > 0 : sin > 0 0 < estendendo poi i risultati

15 STUDIO DI FUNZIONI pag. 5 π () 0 : sin 0 π π π La unzione è positiva per 0 <, negativa per < π, nulla per. Asintoti verticali La unzione non presenta asintoti verticali. Intervalli di monotonia e punti stazionari '() cos π '() > 0 : cos > 0 0 < < π '() 0 : cos 0 π π π La unzione è crescente per 0 < <, decrescente per < < π ; è punto di massimo. Concavità, convessità e lessi ''() sin π ''() > 0 : sin > 0 < < π π ''() 0 : sin 0 π π π La unzione è convessa per < < π, concava per 0 < < e presenta un lesso in. Punti di non derivabilità La unzione non è derivabile per 0 e per π : '() sin '() cos

16 '() cos ' sin π π π π 0 e π sono dunque due punti angolosi. Valori della unzione in alcuni punti particolari ( π ) 0 () () STUDIO DI FUNZIONI pag. 6

17 STUDIO DI FUNZIONI pag. 7 7 Schema riassuntivo di studio di unzioni Classiichiamo () come: - pari (se () ( ) ) - dispari (se () ( ) ) - né pari né dispari - periodica (se esiste T tale che ( T ) ( ) ) Nel primo caso, si studia () solo per 0, e si tiene conto che il graico di () è simmetrico rispetto all asse y. Nel secondo caso, si studia () solo per 0, e si tiene conto che il graico di () è simmetrico rispetto all origine. Nel quarto caso, si studia () solo per 0 0 T (con un opportuno 0 ) e poi si ripete il graico in intervalli adiacenti. Studio del dominio di () Comportamento di () agli estremi del dominio (eventuali asintoti orizzontali o verticali) () Ricerca di eventuali asintoti obliqui destri y m q : (vedere se esiste inito e diverso da zero m e, in caso aermativo, q ( () m) (lo stesso si ripete per, per cercare eventuali asintoti sinistri) Zeri di () (eventualmente il segno di () ) Studio di '() : zeri e segno di '() monotonia e punti a tangente orizzontale; punti in cui '() diventa ininita punti a tangente verticale; punti in cui () ' ha discontinuità di prima specie (cioè '() '() 0 Eventuale studio di ''() (se richiesto, o se di acile calcolo): zeri, segno concavità, eventuali lessi. Disegno del graico 0 ) punti angolosi.

18 ESEMPI Studiare le seguenti unzioni e tracciarne un graico qualitativo:. () ln ln Veriichiamo innanzitutto se la unzione è pari o dispari: () ln ln ( ) ln ln da cui ( ) ± ( ) : non è né pari né dispari. Inoltre () non è periodica (poiché la unzione logaritmo non è periodica in campo reale) Dominio di () : D (, ) (,) (, ) () () () () () ln ( ) ( ) ln ± ± ± STUDIO DI FUNZIONI pag. 8 Dunque e sono asintoti verticali (sinistri e destri) Non ci sono asintoti orizzontali. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui: ( ) ln () m 0 (poiché l ordine di ininito del numeratore è ineriore all ordine di ininito del denominatore essendo di tipo logaritmico; oppure applicando il teorema di de l Hopital m 0 ). '() (Lo stesso vale per ) Dunque non ci sono asintoti obliqui. () ( ) ( ) 0 : ln 0 se < : ( ) 0 0

19 se > : ( ) 0 Nessuna soluzione reale. Dunque () taglia l asse delle solo in 0 e in. () ln ln Ricordando che D () Dln( () ) '() () ln, si ha: () ( ) ( ) ' ( )( ) dom '() dom () R \ { ± } '() 0 per Segno di '() : STUDIO DI FUNZIONI pag. 9 () è decrescente in (,) e in (, ) ed () è crescente in (,) relativo a tangente orizzontale con () log log log log8 > ''() 6 ( ) () 0 : '' Segno di ''() : ; è con- è concava verso il basso in (, -), in (, ) e in (, ) vessa (,) e in (, ) ; e sono punti di lesso. e in (, ) ; in () ha un minimo

20 STUDIO DI FUNZIONI pag. 0. () ( ) Poiché ( ) ( ) ±, () non è né pari né dispari. Non è periodica perché somma di unzioni non periodiche. Dominio di () :, 0 quindi ( ] [ ),, D ( ), ( ) () () Dunque non ci sono asintoti né orizzontali né verticali. Cerco eventuali asintoti obliqui a destra: () m () ( ) q Si deduce che y è asintoto obliquo destro. Cerchiamo ora eventuali asintoti obliqui a sinistra: () m

21 q Dunque () () ( ) ( ) y è asintoto obliquo sinistro. STUDIO DI FUNZIONI pag. 0 nota bene: deve essere < , 0,9 Poiché le due soluzioni appartengono al dominio e sono negative, sono entrambi valori accettabili. Dunque la unzione taglia l asse delle in e. Segno di '() : '() () 0 ' > se > cioè se < D mai veriicata Dunque se, '() > 0, mentre se < Pertanto in (, ) () dom '() (, ) (, ) ' ' () () ' <., () 0 è decrescente, mentre in (, ) () 0 > 0 ovvero > 0 > 9 è crescente. cioè e sono punti a tangente verticale (punti di non derivabilità)

22 '() ' non è necessario STUDIO DI FUNZIONI pag.