CAP. VII FUNZIONI DERIVABILI

Transcript

1 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII CAP VII FUNZIONI DERIVABILI In molti problemi di varia natura (isica, economica, matematica, ecc ) si ha a che are con unzioni, delle quali importa determinare il tasso di variazione o di incremento, ossia il rapporto tra l incremento del valore della unzione e l incremento della variabile indipendente Se la unzione è del tipo ()= ab con a, b R ( cioè ha come graico una retta), allora il tasso di incremento è costante, inatti per ogni, R con risulta ( ) ( ) = a Se, invece, () è di tipo diverso, allora il rapporto di cui sopra non sarà costante; può però accadere che abbia limite per tendente ad Tale limite, quando esiste, dà una misura della rapidità con cui varia () al variare di nelle vicinanze del punto, e la conoscenza dello stesso è molto utile per lo studio della unzione e, quindi, del problema ad essa inerente Ciò detto, passiamo a precisare il concetto di cui sopra nelle seguenti deinizioni DEF Se : X R e se X, si chiama (unzione) rapporto incrementale di relativo ad la unzione: ( ) ( ) Χ { } La dierenza ( ) ( ) si chiama incremento di da ad DEF Sia : X R e sia X, Si dice che è derivabile in se esiste ed è inito il ) lim ( ) ( ) Se è derivabile in, il limite ) si chiama derivata di in (oppure derivata prima o di ordine di ƒ in ) e si denota con uno dei simboli seguenti : () d ( ), ( ), ( D )( ), D( ), ( ) d DEF3 Se : X R e se Y X si dice che è derivabile in Y se è derivabile in ogni elemento di Y Se è derivabile in X si dice semplicemente che è derivabile Se, poi, è derivabile, la unzione X ( ) si chiama (unzione) derivata di (o derivata prima o di ordine di )e si denota con uno dei seguenti simboli: () d,, D, d

2 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII ( ) ( ) DEF4 Se non è derivabile in ma esiste il lim, tale limite si chiama ancora derivata di in e si denota con uno dei simboli indicati nella DEF Una caratterizzazione della derivabilità di una unzione in un punto è contenuta nella seguente PROP Una unzione il limite In tal caso risulta : X R è derivabile in un punto se e solo se lim h ( ) ( h) ( ) = lim h h ( h) ( ) o h esiste ed è inito Esempi ) Se : X R è costante allora, per ogni X, è derivabile in Inatti se X, per ogni X { } risulta ( ) ( ) = ) Se a, b R, la unzione ()=ab è derivabile e risulta, per ogni X Inatti se R, per ogni X { } risulta ( ) ( ) = a e risulta ( ) =, ( ) = a 3) (Velocità di un mobile) Sia P un mobile che si muove di moto rettilineo e sia s(t) lo spazio percorso all istante t s(t) Fissato un istante t, per ogni istante t t il rapporto s ( t ) s ( t t t ) prende il nome di velocità media tra l istante t e l istante t Se il moto è uniorme (cioè P percorre spazi uguali in tempi uguali) allora il rapporto suddetto è costante e, quindi, anche il limite per t t è costante rispetto a t s( t) s( t ) Se, invece, il moto non è uniorme ed esiste il limite lim, tale limite prende il t t t t nome di velocità di P all istante t e si denota con v ( t ) ; quest ultima varia al variare di t Pertanto risulta ( t ) s ( t ) t è la derivata dello spazio ( t) v = ossia la velocità all istante s in t

3 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII 4) Sia ϕ la unzione valore assoluto, cioè ϕ ( ) = per ogni l intorno ], [ di risulta ϕ( ) ϕ( ) ], [ { }: = = e quindi, per il carattere locale del limite si ha ϕ ϕ lim cioè ϕ è derivabile in e risulta ϕ ( ) = ( ) ( ) = R Se, considerato Se, invece, <, con considerazioni analoghe si dimostra che ϕ è derivabile in e = ϕ ( ) Inine se =,poiché per ogni risulta si ha che esistono i limiti ϕ lim ( ) ϕ( ) Pertanto ϕ non è derivabile nello = ϕ ( ) ϕ( ), = ϕ lim > ed essendo = ( ) ϕ( ) Come accade per il concetto di limite, così anche per quello di derivata ha senso deinire la derivata destra e la derivata sinistra come nella seguente = se < - se < DEF4- Sia : X R e sia X X (risp X X ) Si dice che è derivabile a destra (risp a sinistra) in se esiste ed è inito il ( ) ( ) ( ) ( ) lim risp lim Tale limite si chiama derivata destra (risp sinistra) di in e si denota con il simbolo d ) (risp s ) ) ( ( Esempio- La unzione valore assoluto ϕ è derivabile a sinistra e a destra nello e risulta (cr es4, Pag3) ϕ () =, s ϕ () = d Ovviamente sussiste la seguente PROP- Sia : X R e sia X X X Allora sono equivalenti le seguenti proposizioni: 3

4 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII a) è derivabile in, b) è derivabile a sinistra e a destra in e ( ) ( ) s = d Inoltre vera a), e quindi b), risulta ( ) ( ) ( ) = = s d PROP3- Se è derivabile in, allora è continua in Dim- Per ogni X { } risulta ( ) ( ) al limite per si ha da cui ossia è continua in ( ) ( ) ( ) e, quindi, passando = ( ( ) ( )) = ( ) = lim lim ( ) = ( ) OSS- Si noti che una unzione può essere continua in un punto senza essere ivi derivabile Ad esempio la unzione valore assoluto non è derivabile nello (cr es 4, pag3 ), è però continua nello Interpretazione geometrica della derivata Rammentiamo che se r è una retta non parallela all asse è se =mq è la sua equazione, allora m è la tangente dell angolo α che l asse deve descrivere, ruotando in senso antiorario intorno a D, per sovrapporsi alla retta r Tale numero m si chiama coeiciente angolare o pendenza della retta r C D α A α B AB = BC BC = m( ) tg α = = m AB 4

5 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Sia ( ( )) Si consideri, ora, una unzione : X R derivabile in un punto X P =, e per ogni t X { } sia P t = ( t, () t ) La retta r t passante per i punti P è P t ha equazione () t ( ) = ( ) ( ) e sia chiama retta secante la curva di equazione = () nei t punti P e P t r r t P t P t Si noti che la retta secante r t ha come coeiciente angolare il valore del rapporto incrementale di relativo ad nel punto t Poiché è derivabile in, quando t tende ad il suddetto coeiciente angolare tende alla derivata ( ) di in, ovvero la retta secante r t tende ad una retta posizione limite r la cui equazione è data da ) ( )( ) ( ) = La retta r prende il nome di retta tangente alla curva di equazione = () nel punto P = (, ( )) In deinitiva si ha che la derivata di una unzione in un punto rappresenta il coeiciente angolare ( o la pendenza ) della retta tangente al graico di nel punto di ascissa Con considerazioni analoghe si può dare una interpretazione geometrica della derivata sinistra o destra di una unzione in : la derivata sinistra (risp destra) di in rappresenta la pendenza della tangente sinistra (risp destra) alla curva di equazione = () nel punto P = (, ( )) Ad esempio la unzione valore assoluto ha come graico una curva dotata di tangente sinistra (risp destra) nell origine degli assi, di equazione = - ( risp = ) 5

6 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Queste sono proprio le rette passanti per i due rami del graico = - = Esempi ) Sia ( ) = a b ed R Poiché ( ) = a (cioè alla retta r di equazione =ab) è la retta di equazione a( ) ( ), stessa retta r = ed R Poiché per ogni risulta ) Sia ( ) ( ) ( ), la tangente alla curva di equazione = () = cioè la ( ) ( ) = = si ha lim =, dunque è derivabile in ed ( ) = Perciò la tangente alla curva di equazione = () (cioè alla parabola di equazione di equazione ( ) =, cioè = = ) è la retta r r 6

7 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Regole di derivazione Nelle proposizioni che seguono sono indicate alcune regole che consentono di calcolare le derivate del maggior numero possibile di unzioni, in particolare delle unzioni elementari PROP4- (operazioni sulle derivate) Siano : X R e g : X R derivabili in X Allora ) g è derivabile in e ( g)( ) = ( ) g ( ) ; ) per ogni α R, α è derivabile in e ( α ) ( ) = α ( ) ; 3) g è derivabile in e ( g)( ) = ( ) g( ) ( ) g ( ) ; 4) se g ( ), g è derivabile in g e ( ) Dim A titolo d esempio dimostriamo la ) Per ogni X { } ( g)( ) ( g)( ) ( ) ( ) g( ) g( ) = ( ) g( ) ( ) g ( ) ( g( )) risulta = e da ciò, a causa dell ipotesi di derivabilità in sia di che di g, consegue ( g)( ) ( g)( ) ( ) ( ) g( ) g( ) lim = lim lim e,quindi, g risulta derivabile in e si ha ( g)( ) = ( ) g ( ) PROP5- (Derivata di una unzione composta) Siano Sia X, sia derivabile in derivabile in e risulta Esempio- Sia ( ) ( ) : X R, g : Y R tali che ( X ) Y Allora g è e sia g derivabile in ( ) ( g )( ) = g ( ( )) ( ) h = e sia R La unzione h() è composta delle unzioni ( ) = e g ( ) = Poiché ( ) = e g ( ( )) = ( ) = ( ) si ha h ( ) = ( ) = 4( ) PROP6- (Derivata della unzione inversa) Sia X un intervallo e sia : X R continua e ingettiva Se è derivabile in X e se ( ), allora l inversa di è derivabile in ( ) e risulta ( ) ( ( )) = ( ) 7

8 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Esempio Ricaviamo la derivata della unzione radice quadrata Ricordiamo che se : R R è deinita da ( ) =, la unzione radice quadrata è l inversa di, cioè : Posto R R è deinita da ( ) = =, si ha = ( ) Sia, ora, R * = La unzione risulta continua ed ingettiva, inoltre è derivabile in e si ha ( ) = Poiché ( ) è derivabile in = ( ) e risulta ( )( ) = ( ) ( ) ( ) = = =, allora a causa della PROP6 anche ( ) Pertanto la unzione radice quadrata è derivabile in R * e risulta R * : ( ) ( ) = 8

9 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Derivate delle unzioni elementari ( ) ( ) n R n n > n n n n R a a log a R e > loga loga log α > e log a log a α α R sen cos R cos sen π kπ tg k Z cos kπ cotg k Z sen < < arcsen R arctg < < arccos 9

10 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Si noti che, in conseguenza delle ormule della tabella precedente e della regola di derivazione delle unzioni composte, si ha ad esempio: D n n ( ( ) ) = n( ( ) ) ( ), Da ( ) ( ) a log a ( ) =, D n ( ) = n n ( ) n ( ) α α, D( ( ) ) = ( ( ) ) ( ) α, Dsen Dtg Darcsen Derivate di ordine superiore ( ) = cos ( ) ( ), D cos ( ) sen ( ) ( ) ( ) = ( ), D cot g ( ) cos ( ) ( ) = ( ), Darctg ( ) ( ) =, = ( ), sen ( ) = ( ) Si pone la seguente DEF5- Sia : X R derivabile (in X) Se la unzione derivata prima di è a sua volta derivabile in un punto X, allora si dice che è volte derivabile in, la derivata di in si chiama derivata seconda (o di ordine ) di in e si denota con uno dei simboli " ( ( ) ) d, ( ), D ( ), ( ) d " OSS- Per quanto detto sopra si ha dunque ( ) D ( ) = E abbastanza naturale deinire per ricorrenza la derivabilità ( e quindi la derivata) di ordine maggiore di di una unzione Si dirà che una unzione è derivabile n volte in un punto se n è derivabile n- volte in X e la derivata (n-)-sima di è a sua volta derivabile in ; in tal n caso la derivata di in si chiama derivata n-sima di in e si denota con uno dei simboli n ( n ) n d ( ), D ( ), ( ) n d Si dice, poi, che una unzione è indeinitamente derivabile in un punto se, per ogni n N *, è n- volte derivabile in Ad esempio si ha che la unzione esponenziale e è indeinitamente derivabile in R e risulta * n n N : D e = e Analogamente sono indeinitamente derivabili in R le unzioni seno e coseno CONVENZIONE- Se ( ) : X R è una unzione qualunque, si pone per ogni X ( ) ( ) ( ) = e si chiama derivata di ordine di in

11 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Punti di minimo e massimo relativi Si rammenta che se ƒ: X R, il minimo di ƒ (se esiste) è un valore ƒ( ) tale che per ogni X risulti ( ) ( ) : esso si denota con min ( ) Analogamente il massimo di ƒ (se esiste ) è un X valore ) tale che per ogni X risulti ) ( ) : esso si denota con ma ( ) ( ( Si noti che di punti di X tali che ( ) risulti il minimo (risp massimo) di ƒ ne possono esistere più di uno: essi prendono il nome di punti di minimo(risp massimo) assoluto per ƒ Nella deinizione che segue si vanno a deinire punti di minimo o di massimo di tipo più debole rispetto ai precedenti DEF 6 Se ƒ: X R e se X, si dice che è un punto di minimo (risp massimo) relativo per ƒ, e che ( ) è un minimo (rispmassimo) relativo per, se esiste un intorno I di tale che ) ( Ι X ) { }: ( ) ( ) ( risp ( ) ( )) Il punto si dice di minimo (risp massimo) relativo proprio per se le disuguaglianze in ) risultano strette OSS3- E evidente che un punto di massimo (risp minimo) assoluto per è anche di massimo (risp minimo) relativo per, ma non viceversa Dalla DEF6 consegue banalmente la seguente X PROP7- Sia : X R ed X Se esiste un δ > tale che ] δ ] X è crescente (risp decrescente), e [, δ [ X è decrescente (risp crescente), allora è un punto di massimo (risp minimo) relativo per Teorema di FERMAT Sia : [ a, b] R derivabile in ] a,b[ e sia un punto di = minimo o massimo relativo per Allora ( ) Dim- Supponiamo che sia un punto di minimo relativo per Allora, essendo anche ] a, b[, esiste un δ > tale che ] δ, δ [ [ a, b] e ) ] δ, δ [: ( ) ( ) Da ) consegue ( ) ( ) ) ] δ, [ : e ( ) ( ) 3) ], δ [:

12 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Ora essendo derivabile in ed essendo δ X δ X, si ha che è derivabile a sinistra e a destra in e risulta ( ) = s ( ) = d ( ) D altra parte per un teorema di conronto (cr PROP, cap III) dalla ) consegue che s e dalla 3) che d ( ) Dunque ( ) = ( ) Si pone la seguente DEF7- Se una unzione è derivabile in per e se ( ) =, il punto dicesi stazionario COR- Se [ a, b] a, b e se è un punto di minimo o di massimo relativo per, allora è un punto stazionario per : R è derivabile in ] [ OSS4-Si noti che non è sempre vero che un punto stazionario per una unzione sia di minimo o di massimo relativo per la stessa Ad esempio è un punto stazionario per la unzione 3 ( ) = ma non e né di minimo né di massimo relativo per perché, essendo < per ogni < < per ogni > strettamente crescente, risulta ( ) ( ) Un teorema del calcolo dierenziale ricco di applicazioni è il seguente Teorema di LAGRANGE Sia [ a, b] ed ( ) ( ) : R continua in [ a, b] e derivabile in ] b[ Allora esiste un punto c ] a, b[ tale che ( b) ( a) = ( c)( b a) a, OSS5- Il teorema di Lagrange ha una interpretazione geometrica che passiamo a descrivere ( b) ( a) Se a b, la tesi del teorema si può scrivere = () c Ora il primo membro di b a questa uguaglianza è il coeiciente angolare della retta passante per gli estremi A e B del graico di, mentre () c è il coeiciente angolare della tangente al graico nel punto P = ( c, () c ) Il teorema di Lagrange, dunque, aerma che esiste almeno un (e non necessariamente uno solo) punto del graico nel quale la tangente è parallela alla congiungente gli estremi del graico B A P a c b

13 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Applicazioni del teorema di Lagrange ) = E ben noto che il graico di è una parabola Considerati a,b R con a < b e c a, b tale Sia ( ) considerata la restrizione di all intervallo [ b] a,, per il teorema di Lagrange esiste ] [ b a a b che = c cioè c = Dunque ogni corda AB della parabola è parallela alla tangente b a nel punto di ascissa uguale alla media aritmetica delle ascisse dei punti A e B B A a c b cb Sia ( ) ) = E ben noto che il graico di è una iperbole Risulta derivabile in ogni e si ha ( ) = Dunque se < a < b, applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di all intervallo [ a, b] si ha che esiste c ] a, b[ tale che b a = cioè =, oppure b a c ab c c = ab Dunque ogni corda AB dell iperbole (con A e B appartenenti ad uno stesso ramo dell iperbole ) è parallela alla tangente nel punto di ascissa uguale alla media geometrica delle ascisse di A e B A a c b B 3

14 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Conseguenze del teorema di Lagrange Teorema di ROLLE Sia [ a, b] : R continua in [ a, b], derivabile in ] b[ ( a) = ( b) Allora esiste un punto c ] a, b[ tale che () c = a, e tale che PROP8- Sia [ a, b] Allora si ha: : R continua in [ a, b] e derivabile in ] b[ ( = ) ) ] a, b[ : ( ) ( ) ) ] a, b[ : ( ) ( ) 3) ] a, b[ : ( ) 4) ] a, b[ : ( ) ( è costante) ( è crescente) ( è decrescente) a, ( > ) ( è strettamente crescente) ( < ) ( è strettamente decrescente) 5) ] a, b[ : ( ) Dim- Proviamo ad esempio la ) Supponiamo che per ogni ] a, b[ risulti ( ) = Siano, [ a,b] con < Considerata la unzione [, ], esiste c ], [ tale che ( ) ( ) = ( c)( ) Poiché per ipotesi () c = si ha anche ( ) ( ) =, cioè ( ) = ( ) per il teorema di Lagrange Ciò dimostra che è costante E ben noto, poi, che se è costante allora la derivata di è nulla in ogni elemento di [ a, b] La dimostrazione di ), 3), 4) e 5) è analoga alla precedente PROP9- ( Condizione suiciente per i minimi e massimi relativi) Sia : [ a, b] R e sia ] a, b[ Sia continua in e derivabile in [ a, b] { } ( ) > ( risp < ) per ogni [ a, [ Se risulta ( ) < ( risp > ) per ogni ], b] allora è un punto di massimo (risp minimo) relativo proprio per PROP- Sia [ a, b] Allora si ha e : R derivabile volte in ] a, b[ " ( ( ) =, ( ) < ) ( è un punto di massimo relativo proprio per ) 4

15 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Si pone la seguente " ( ( ) =, ( ) > ) ( è un punto di minimo relativo proprio per ) DEF8- Sia : [ a, b] R derivabile Si dice che è convessa (risp concava) se ( ) ), [ a, b] : ( ) ( ) ( )( ) risp ( ) ( ) ( )( ) Se è convessa (risp concava) si dice anche che volge la concavità verso l alto (risp verso il basso) OSS6- La ) della DEF8 ha la seguente interpretazione geometrica Intanto diciamo che un punto P = (, ) è al di sopra (risp al di sotto) di una retta di equazione = m q se m q (risp o m q ) Allora ricordando che se [ a, b], la retta tangente in P = (, ( )) alla curva di equazione = ( ) ha equazione = ( ) ( )( ), la ) signiica che la curva di equazione = ( ) è al di sopra (risp sotto) della tangente alla stessa in un qualunque punto () ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) () convessa concava PROP- (Condizione necessaria e suiciente per la convessità e concavità) a, b a, b Allora si ha Sia : [ ] derivabile volte in [ ] " ) ( [ a, b] : ( ) ) " ) [ a, b] : ( ) ( è convessa) ( ) ( è concava) Nella deinizione seguente si espone il concetto di punto di lesso DEF9- Sia : [ a, b] R derivabile ed ] a, b[ Se esiste un intorno ] δ δ [ che [ δ, ] sia convessa (risp concava), ed dice che è un punto di lesso per ƒ [, ], di tale sia concava (risp convessa), si δ 5

16 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII PROP- Sia :[ a, b] R derivabile volte in ] a, b[ ( ) = PROP3- Sia :[ a, b] R derivabile volte in [ a, b] e sia ] a, b[ ] δ, δ [ di tale che [ δ ]: ( ) ( risp ( ) ) e, [ ]: ( ) ( risp ( ) ) δ, allora è un punto di lesso per ƒ Asintoti Si pone la seguente Se è un punto di lesso per, allora Se esiste un intorno DEF- Sia X R X risp X Si dice che la retta di equazione = è un asintoto verticale a sinistra (risp a destra) per ƒ se lim ( ) = ± ( ) risp lim = ± : e sia ( ) = ha la retta = come asintoto verticale sia a sinistra che a destra in quanto lim = e lim = Esempi- ) La unzione ( ) 6

17 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII ) La unzione ( ) log = ha la retta = come asintoto verticale solo a destra in quanto lim log = Si dà anche la seguente DEF- Sia X e sia X ( risp X ) : R Si dice che la retta di equazione = m q è un asintoto a destra (risp a sinistra) per ƒ se risulta Se = ( ) ( ( ) m q) = risp lim ( ( ) m q) lim = m l asintoto si dice orizzontale, altrimenti si dice obliquo OSS7- Si noti che la quantità ( ) m q che compare nella DEF è la distanza tra il punto del graico di ƒ di ascissa e il punto dell asintoto avente la stessa ascissa lim m q = signiica che, al tendere di a, tale Pertanto la condizione ( ( ) ) distanza tende a, ossia il punto del graico (, ( ) ) all asintoto quando tende a m q ƒ() si avvicina indeinitamente = ƒ() PROP4- Sia : X R e sia X Allora sono equivalenti le seguenti proposizioni: a) la retta di equazione = m q è un asintoto a destra per ƒ, ( ) b) lim = m, lim ( ( ) m) = q PROP5- Sia : X R e sia X Allora sono equivalenti le seguenti proposizioni: a) la retta di equazione = q è un asintoto orizzontale a destra per ƒ, 7

18 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII b) ( ) = q lim OSS8- Le proposizioni 4 e 5 si enunciano in modo analogo per asintoti a sinistra Esempi π π = arctg Poiché lim arctg = e lim arctg =, si ha che la π retta di equazione = è un asintoto orizzontale a destra per ƒ mentre la retta di equazione π = è un asintoto orizzontale a sinistra per ƒ (crprop5) ) Sia ( ) ( ) = Risulta lim = mentre lim ( ( ) ) = lim = Pertanto per ± ± ± la PROP4 la retta di equazione = è un asintoto obliquo sia a destra che a sinistra per ƒ ) Sia ( ) Punti angolosi - Cuspidi Si pone la seguente DEF- Sia : X R continua in X ma non dotata di derivata in Se ƒ è dotata di derivata sinistra e di derivata destra in, se queste sono distinte ed una almeno di esse è inita, allora si dice che il punto P = (, ( )) è un punto angoloso per ƒ Se, invece, le due derivate a sinistra e a destra di ƒ in esistono e sono una uguale a e l altra uguale a, allora il punto P = (, ( )) si chiama cuspide o punto cuspidale per ƒ Esempi ) La unzione ( ) = ha un punto angoloso nello in quanto risulta ( ) = ( ) ) La unzione ( ) = ha una cuspide nello in quanto s ( ) lim = lim =, ( ) = lim = lim = = d s = d Punto angoloso Cuspide 8

19 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII I teoremi di L Hôpital Enunciamo due teoremi che risultano utili nel calcolo dei limiti che si presentano nelle orme indeterminate o Primo teorema di L Hôpital- Sia un estremo di un intervallo aperto X e siano, g : X R due unzioni assoggettate alle condizioni: ) e g sono derivabili; ) X : g ( ) ; lim = lim g = 3) ( ) ( ) ; ( ) 4) esiste il lim g ( ) ( ) Allora esiste anche il lim g( ) ( ) ( ) lim lim g( ) g ( ) = e risulta Secondo teorema di L Hôpital- Sia un estremo di un intervallo aperto X e siano due unzioni assoggettate alle condizioni:, g : X R ) e g sono derivabili; X : g ) ( ) ; 3) lim ( ) = lim g( ) = ( cioè e g sono ininite in ); ( ) 4) esiste il lim g ( ) ( ) Allora esiste anche il lim e risulta g( ) ( ) ( ) lim = lim g( ) g ( ) Esempi sen ) Si calcoli il lim Tale limite si presenta nella orma indeterminata 3 e si veriicano le ipotesi ) e ) del primo teorema di L Hôpital Si passa, allora, a calcolare il limite nello del rapporto delle derivate del numeratore e del denominatore, ossia il cos lim Poiché tale limite esiste ed è uguale a si conclude che anche 3 6 sen lim = 3 6 9

20 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII log sen ) Si calcoli il lim Tale limite si presenta nella orma indeterminata e si log veriicano le ipotesi ) e ) del secondo teorema di L Hôpital Si calcola allora il cos lim sen log sen = Dunque esiste anche il lim ed è uguale ad log Studio del graico di una unzione Per descrivere il graico di una unzione reale ƒ conviene raccogliere tutte le inormazioni utili allo scopo In linea di massima conviene attenersi al seguente schema: ) determinazione dell insieme di deinizione di ƒ; ) eventuale parità, disparità o periodicità di ƒ; 3) determinazione delle intersezioni del graico di ƒ con gli assi e studio del segno di ƒ; 4) calcolo dei limiti di ƒ nei punti del derivato dell insieme di deinizione non appartenenti all insieme stesso: conseguente determinazione degli asintoti verticali, orizzontali ed obliqui; 5) calcolo della derivata della ƒ e di eventuali punti angolosi o di cuspide; 6) studio della monotonia di ƒ mediante lo studio della disequazione ( ) > ; determinazione di eventuali punti di minimo o massimo relativi mediante la risoluzione dell equazione = ; ( ) 7) calcolo della derivata seconda della ƒ; 8) studio della convessità, concavità e di eventuali lessi della ƒ mediante la risoluzione della > e della equazione ( ) = ; disequazione ( ) 9) disegno approssimativo del graico della ƒ

21 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Esempi Si disegni il graico G della unzione ( ) = La unzione è deinita per tutte le X =,, L eventuale intersezione con l asse (questa esiste se X come nel nostro caso) si ottiene ponendo = in ( ) e calcolando il corrispondente valore ( ) Risulta ( ) =, dunque, G Le eventuali intersezioni con l asse si ottengono risolvendo l equazione il punto ( ), per cui l insieme di deinizione è ] [ ] [ ( ) = Nel nostro caso si ha = e siccome tale equazione (che è equivalente a = ) non ha soluzioni, si conclude che G non interseca l asse Si calcolano, ora, gli eventuali asintoti orizzontali calcolando i limiti di ƒ in e Poiché lim = e lim =, (ovvero tali limiti non sono reali), non esistono asintoti orizzontali Si vede, dunque, se esistono asintoti obliqui andando a calcolare il lim Poiché ± ( ) lim = ± e lim ( ( ) ) = lim = ± ± = è un asintoto obliquo sia a sinistra che a destra per ƒ, allora la retta di equazione ( ) Si vede, poi, se esistono asintoti verticali andando a calcolare il lim ( ) ed il lim ( ) Poiché risulta lim = e lim =, allora la retta di equazione = è asintoto verticale sia a sinistra che a destra per ƒ Si ha poi ( ) ( ) = = ( ) ( ) Si risolve l equazione ( ) =, cioè = = 3 e = e si ottengono le due soluzioni 3 Questi due punti sono potenziali punti di minimo o massimo relativo per > Risulta ƒ Per riconoscere se lo sono realmente si va a studiare la disequazione ( ) ( ) > ( < 3) ( 3 ) < ovvero, riportando in un graico nel quale si disegnino con tratto continuo gli intervalli in cui la > è soddisatta e con tratto discontinuo altrove, risulta disequazione ( ) ( ) > 3 3

22 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Si ha, dunque, che ƒ è crescente nell intervallo ], 3 ] e nell intervallo [ 3, [, ed è decrescente nell intervallo[ 3, [ e nell intervallo ], 3 ] Pertanto (cr PROP7) il punto 3 è di massimo relativo per ƒ mentre il punto 3 è di minimo relativo per ƒ 6 Risulta poi ( ) =, dunque ( ) > >, cioè ƒ è convessa nell intervallo ], [ ( ) 3 e concava nell intervallo ], [ 3-3 =

23 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII Si disegni il graico della unzione ( ) = e Risulta X = ],[ ], [ Si ha poi = ( ) = del graico appartenente agli assi Si ha poi ( ) > >, dunque l origine (,) è l unico punto, dunque G è al di sopra dell asse sul semiasse positivo, e al di sotto su quello negativo Si ha poi lim e = ( ) e =, e = ( ) e = lim lim e = = in quanto lim = e lim e =, - lim e = ( ) = in quanto lim = e lim e = Pertanto non esistono asintoti orizzontali, mentre esiste un asintoto verticale a destra ed è la retta di equazione = Per vedere se esistono asintoti obliqui occorre calcolare il e, si va a calcolare il lim e si ha lim e e = e e e = lim e = e e = e = e lim Pertanto la retta di equazione e Risultando e lim lim e = e, e = e e lim = e e Poiché tale limite è uguale ad = e e è un asintoto obliquo a destra per ƒ In modo analogo si dimostra che la stessa retta è anche asintoto obliquo a sinistra Calcoliamo ora la derivata prima Risulta 3 ( ) = e e = e = ( ) ( ) e ( ) e quindi 3

24 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII 3± ( ) = = Si ha poi < < e, quindi ( ) > < < 5 Graicamente risulta ( ) > Pertanto il punto è un punto di massimo relativo per ƒ mentre è un punto di minimo relativo per ƒ Si ha poi 3 ( ) = e ( ) 4 e, quindi, ( ) = = Poiché risulta ( ) < < allora per la PROP3 il punto è di lesso per ƒ 4

25 C Boccaccio Appunti di Analisi Matematica CAP VII e = ee 5