Calcolo differenziale Test di autovalutazione

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1 Test di autovalutazione 1. Sia f : R R una funzione derivabile in 0 tale che f(0) = f (0) = 0. Si consideri la funzione g(x) = f(x). Allora, necessariamente sin x (a) lim g(x) = 0 (b) lim g(x) = 1 (c) lim g(x) = + (d) lim g(x) = π 2. Data f(x) = 2x x, si può affermare che (a) f non è continua su R (b) f ha un punto di minimo (c) esiste un intervallo in cui f è negativa (d) poiché f(1) = f( 1 3 ) = 1, esiste un punto c ( 1 3, 1) in cui f (c) = 0 3. Data la funzione si può affermare che f(x) = { 3x se x 0, 3x 2 se x > 0, (a) f (x) = 3, x R (b) la derivata laterale destra di f(x) in x = 0 vale -3 (c) esiste c R tale che f(c) = 1 (d) la funzione f è definita su R\{0} 4. La derivata prima della funzione f(x) = (a) f (x) = sinx x ln(2x) e x sin 2 x + e x sin x 2 cosxln(2x) + 2e x cosx sin 3 x (b) f (x) = ( 1 + x e x ) sin 2 x (ln(2x) e x )2 sinx sin 4 x (c) f (x) = ( 1 + 2x e x ) sin 2 x (ln(2x) e x )2 sin x cosx sin 4 x (d) f (x) = ( 1 + 2x e x ) sin 2 x (ln(2x) e x )2 sin x sin 4 x è la funzione

2 5. Sia f continua sull intervallo [ 1, 1] tale che f( 1) = f(0) = f(1) = 0. Allora: (a) se f C (2) (( 1, 1)) allora esiste almeno un punto c ( 1, 1) in cui f (c) = 0 (b) f è necessariamente derivabile in ( 1, 1) (c) se f( 1 2 ) > 0 allora f(1 2 ) < 0 (d) esiste un intervallo [a, b] ( 1, 1) in cui f è strettamente decrescente. 6. La funzione f(x) = x 3 x (a) non ha punti di minimo (b) è continua e derivabile (c) è pari (d) ha un punto di massimo assoluto 7. È data la funzione f(x) = [1 + ln(3x)]e x. Allora (a) f ( ) 1 3 = 2e 1/3 (b) f (1) = 0 (c) f (1) = ( 23 ) ln 3 e 1 (d) f ( 1 3) = 0 8. Sia f : [0, + ) R una funzione continua tale che f(0) = 5, f(1) = 3 e f(x) = 1. Allora, necessariamente lim x + (a) f ammette esattamente uno zero (b) f ammette almeno due zeri (c) f(x) è derivabile in x = 1 (d) f(x) > 0, x < 1 2

3 Data la funzione f(x) di grafico il grafico della funzione derivata f (x) è: (a) (b) (c) (d) 10. Sia f : R R una funzione derivabile. Allora la funzione g(x) = f(x) (a) non è mai derivabile (b) è derivabile se e solo se f(x) 0, x R (c) se f (0) = 0, allora g(x) è derivabile (d) se f(x) non ha zeri, allora g(x) è derivabile 11. Sia data la funzione f(x) = ex x 1. Allora (a) non ha asintoti orizzontali (b) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle in [2, 5] (c) è derivabile in x 0 = 0 (d) è continua in x 0 = 0

4 12. Sia data la funzione f(x) = arctan 1. Allora x (a) coincide con g(x) = π arctanx 2 (b) ha un punto di minimo assoluto (c) si può prolungare per continuità su R (d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange nell intervallo [1, 2]

5 1. Sia f : R R una funzione derivabile in 0 tale che f(0) = f (0) = 0. Si consideri la funzione g(x) = f(x). Allora, necessariamente sin x (a) lim g(x) = 0 (b) lim g(x) = 1 (c) lim g(x) = + (d) lim g(x) = π RISPOSTA ESATTA: (a) Risulta lim g(x) = lim f(x) sin x = lim f(x) x := f (0) = 0.

6 2. Data f(x) = 2x x, si può affermare che (a) f non è continua su R (b) f ha un punto di minimo (c) esiste un intervallo in cui f è negativa (d) poiché f(1) = f( 1) = 1, esiste un punto c ( 1, 1) in cui f (c) = RISPOSTA ESATTA: (b) La funzione f(x) è continua su R perché somma di funzioni continue. Dunque (a) è falsa. Si ha f(x) = { 3x se x < 0, x se x 0. Pertanto f(x) è sempre positiva, e ha un punto di minimo assoluto in x = 0. Dunque (b) è vera mentre (c) è falsa. La risposta (d) è falsa, perché, non si può applicare il Teorema di Rolle in quanto f(x) non è derivabile in x = 0 e non esiste nessun punto c ( 1 3, 1) in cui f (c) = 0.

7 3. Data la funzione si può affermare che f(x) = { 3x se x 0, 3x 2 se x > 0, (a) f (x) = 3, x R (b) la derivata laterale destra di f(x) in x = 0 vale -3 (c) esiste c R tale che f(c) = 1 (d) la funzione f è definita su R\{0} RISPOSTA ESATTA: (d) La funzione è derivabile in ogni punto x R, tranne che in x = 0 (dove non è continua), e si ha f (x) = 3, x R \ {0}. Quindi (d) è vera e (a) è falsa. La risposta (c) è falsa, perché f(x) ha un salto in x = 0 e im f = (, 2) [0, + ). Pertanto f non assume il valore -1. La (b) è errata, perché non esiste la derivata laterale destra in x = 0; infatti f(x) f(0) 3x 2 lim = lim + x 0 + x =.

8 4. La derivata prima della funzione f(x) = (a) f (x) = sinx x ln(2x) e x sin 2 x + e x sin x 2 cosxln(2x) + 2e x cosx sin 3 x (b) f (x) = ( 1 + x e x ) sin 2 x (ln(2x) e x )2 sinx sin 4 x (c) f (x) = ( 1 + 2x e x ) sin 2 x (ln(2x) e x )2 sin x cosx sin 4 x (d) f (x) = ( 1 + 2x e x ) sin 2 x (ln(2x) e x )2 sin x sin 4 x RISPOSTA ESATTA: (a) Infatti: è la funzione f (x) = ( 2 2x + e x ) sin 2 x (ln(2x) e x )2 sin x cosx sin 4 x = ( 1 x + e x ) sin x (ln(2x) e x )2 cosx sin 3 x = sin x x + e x sin x 2 cosxln(2x) + 2e x cosx sin 3. x

9 5. Sia f continua sull intervallo [ 1, 1] tale che f( 1) = f(0) = f(1) = 0. Allora: (a) se f C (2) (( 1, 1)) allora esiste almeno un punto c ( 1, 1) in cui f (c) = 0 (b) f è necessariamente derivabile in ( 1, 1) (c) se f( 1 2 ) > 0 allora f(1 2 ) < 0 (d) esiste un intervallo [a, b] ( 1, 1) in cui f è strettamente decrescente. RISPOSTA ESATTA: (a) Infatti, se la funzione f è derivabile in ( 1, 1), per il Teorema di Rolle, essendo f( 1) = f(0) esisterà un punto x 1 ( 1, 0) in cui f (x 1 ) = 0; analogamente, essendo f(0) = f(1) esisterà un punto x 2 (0, 1) in cui f (x 2 ) = 0. Poiché f (x 1 ) = f (x 2 ), se f è derivabile due volte in ( 1, 1), applicando il Teorema di Rolle ad f sull intervallo [x 1, x 2 ] si troverà un punto c (x 1, x 2 ) ( 1, 1) in cui f (c) = 0. La funzione f(x) = sin(πx) fornisce un controesempio che mostra la falsità della (b) e della (c). La (d) è falsa: si consideri la funzione f(x) identicamente nulla.

10 6. La funzione f(x) = x 3 x (a) non ha punti di minimo (b) è continua e derivabile (c) è pari (d) ha un punto di massimo assoluto RISPOSTA ESATTA: (c) Infatti f( x) = ( x) 3 ( x) = x 3 + x = x 3 x = f(x) Poiché si ha f(x) 0 e f(x) = 0 se x = 0 oppure x = ±1, i punti x = 0, x = ±1 sono tre punti di minimo (assoluto). Dunque (a) è falsa. La funzione non ha invece punti di massimo assoluto, in quanto non è limitata superiormente. Dunque la (d) è falsa. (b) è falsa: f(x) è continua (perché composizione di funzioni continue); però f non è derivabile nei punti x = 0, x = ±1: questi sono tre punti angolosi.

11 7. È data la funzione f(x) = [1 + ln(3x)]e x. Allora (a) f ( ) 1 3 = 2e 1/3 (b) f (1) = 0 (c) f (1) = ( 23 ) ln 3 e 1 (d) f ( 1 3) = 0 RISPOSTA ESATTA: (a) È sufficiente calcolare f (x) = 1 x e x e x [1 + ln(3x)] = e x [ 1 x 1 ln(3x) ] ( ) 1 da cui si ha f (1) = e 1 ( ln3) e f = 2e 1/3. 3 Pertanto le risposte (b), (c) e (d) sono false mentre la risposta (a) è vera.

12 8. Sia f : [0, + ) R una funzione continua tale che f(0) = 5, f(1) = 3 e f(x) = 1. Allora, necessariamente lim x + (a) f ammette esattamente uno zero (b) f ammette almeno due zeri (c) f(x) è derivabile in x = 1 (d) f(x) > 0, x < 1 2 RISPOSTA ESATTA: (b) Applicando il Teorema di esistenza degli zeri ad f sull intervallo [0, 1], si deduce che deve certamente esistere uno zero di f(x) per un valore x = c 1, con 0 < c 1 < 1; inoltre, considerando l intervallo [1, + ), si trova che deve esistere un altro zero x = c 2, con c 2 > 1: infatti, poiché lim x + f(x) = 1, sicuramente esiste M > 0 tale che, x > M, sia f(x) > 0, e dunque si troverà un secondo zero c 2, con 1 < c 2 < M. Dunque (a) è falsa e (b) è vera. La risposta (c) è falsa: si pensi a una funzione che ha un punto angoloso in x = 1. Anche la risposta (d) è falsa: è sufficiente considerare una funzione che passi per A=(0, 5) e per B=(1, 3), e diventi negativa per valori di x minori di 1 2. La funzione { 8(x 1) 2 3 se 0 x < 1 f(x) = 1 4 se x 1 x fornisce un controesempio che mostra la falsità di (c) e (d): infatti è continua su [0, + ), f(0) = 5, f(1) = 3 e lim f(x) = 1; inoltre ha un un punto x + ( ) 3 angoloso in x = 1, ed è negativa nell intervallo 1,

13 Data la funzione f(x) di grafico il grafico della funzione derivata f (x) è: (a) (b) (c) (d) RISPOSTA ESATTA: (b) Dal grafico assegnato si osserva che f(x) è dispari, e pertanto f (x) è pari; dunque le risposte (a) e (c) sono da scartare. Si osserva inoltre che la retta tangente al grafico di f(x) in x = 0 ha coefficiente angolare positivo, e quindi f (0) > 0; pertanto (b) è esatta mentre (c) è errata.

14 10. Sia f : R R una funzione derivabile. Allora la funzione g(x) = f(x) (a) non è mai derivabile (b) è derivabile se e solo se f(x) 0, x R (c) se f (0) = 0, allora g(x) è derivabile (d) se f(x) non ha zeri, allora g(x) è derivabile RISPOSTA ESATTA: (d) Poiché f(x) è derivabile, è anche continua su R, e dunque, se f(x) non ha zeri, può essere solo o f(x) < 0 oppure f(x) > 0, qualunque sia x R. Nel primo caso si ha g(x) = f(x) = f(x), mentre nel secondo caso si ha g(x) = f(x); in entrambi i casi, essendo f(x) derivabile, lo è anche g(x). Dunque (d) è vera, mentre (a) è falsa. Anche (b) è falsa, in quanto (come visto sopra) g(x) può essere derivabile anche se f(x) < 0, x R. La funzione (c). f(x) = cos x fornisce un controesempio che confuta la risposta

15 11. Sia data la funzione f(x) = ex x 1. Allora (a) non ha asintoti orizzontali (b) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle in [2, 5] (c) è derivabile in x 0 = 0 (d) è continua in x 0 = 0 RISPOSTA ESATTA: (d) La (a) è errata in quanto orizzontale sinistro. La risposta (b) è errata in quanto f(2) f(5). lim f(x) = 0 e dunque y = 0 è un asintoto x f è continua in x 0 = 0 in quanto lim f(x) = lim f(x) = f(0) = 1. + Per vedere se f è derivabile calcoliamo la derivata di f, tenendo conto che e x, se x < 0, x 1, x 1 f(x) = e x, se x 0, x 1, x 1 e pertanto f (x) = xe x (x + 1) 2, se x < 0, x 1, e x (x 2), se x > 0, x 1. (x 1) 2 Poiché lim + f (x) = 2, mentre lim f (x) = 0, f non è derivabile in x 0 = 0.

16 12. Sia data la funzione f(x) = arctan 1 x. Allora (a) coincide con g(x) = π 2 arctanx (b) ha un punto di minimo assoluto (c) si può prolungare per continuità su R (d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange nell intervallo [1, 2] RISPOSTA ESATTA: (d) Il dominio di f è R \ {0}. Inoltre: { arctan 1 π x = arctanx, se x < 0, 2 π arctan x, se x > Dunque (a) è falsa. Anche (c) è falsa, perché lim f(x) = π 2, mentre lim f(x) = π ; pertanto non esiste lim f(x), e x = 0 non è un punto di + 2 discontinuità eliminabile. La (b) è falsa, perché inf f = π, ma non esiste nessun punto x domf per 2 cui f(x) = π. 2 La (d) è vera, in quanto f(x) è continua e derivabile nell intervallo [1, 2].