Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz

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1 Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta. 1. Le due funzioni f(x) = ln(x 2 4) e g(x) = ln(x 2) + ln(x +2) (a) coincidono (b) assumono gli stessi valori se x>2 (c) hanno entrambe dominio (2, + ) (d) hanno dominio (, 2) (2, + ) (e) sono due scritture diverse della stessa funzione 2. La funzione f(x) =e 2lnx (a) coincide con la funzione g(x) =x 2, x R + (b) coincide con la funzione g(x) =x 2, x R (c) coincide con la funzione g(x) = 2x, x R (d) coincide con la funzione g(x) =e ln(x2), x R (e) coincide con la funzione g(x) =e 2 x, x R + 3. La funzione f(x) =e 3lnx è uguale alla funzione (a) f(x) =x 3, x IR (b) f(x) =e ln(3x) (c) f(x) =xe 3 (d) f(x) =x 3, x (0, + ) (e) f(x) =3x, x IR 4. Siano f(x) =lnx e g(x) =e x. Allora (a) f(g(x)) = x, x IR (b) f(g(x)) = x, soloperx (0, + ) (c) x IR,f(g(x)) = g(f(x)) (d) x IR tale che f(g(x)) = g(f(x)) (e) f(x), g(x), f(g(x)) sono definite x IR 5. Siano f(x) =e x e g(x) =lnx. Allora (a) f(g(x)) = e x ln x (b) f(g(x)) = x, x IR (c) x IR,f(g(x)) = g(f(x)) (d) f(g(x)) = x, x (0, + ) (e) x IR tale che f(g(x)) = g(f(x)) 6. Siano f(x) =x 2 e g(x) = x. Allora (a) g(f(x)) = x, x IR (b) f(g(x)) = x (c) g(f(x)) = f(g(x)), x IR (d) f(g( 1)) = 1 (e) g(f(x)) = x, x IR c 2011 Politecnico di Torino 1

2 7. Siano f(x) =sinx e g(x) =M(x) (funzione mantissa 1 ). Allora (a) (f g)(x) è periodica di periodo 2π; (b) (g f)(x) è periodica di periodo 2π; (c) Im (f g) =[ 1, 1] (d) Dom (f g) =(0, + ) (e) Im (f g) =[0, 1] 8. Siano f(x) = M(x) (funzione mantissa) e g(x) =cosx. Allora (a) Im (f g) =[0, cos 1] (b) Im (g f) =(cos1, 1] (c) g f è periodica di periodo 2π; (d) f g è periodica di periodo 1; (e) Im (f g) = [cos 1, 0] 9. Siano date le tre funzioni f(x) =sinx, g(x) =[x] (funzione parte intera 2 ), h(x) =signx (funzione segno 3 ). Allora (a) la funzione h f non è periodica (b) le funzioni h g f e g f coincidono x IR; (c) la funzione h g f non è periodica; (d) (h g f)(π) = 1. (e) Im (h g f) è {0, 1} 10. Sia f :IR\{0} IR; f(x) = 1 x. (a) La funzione è suriettiva (b) f( 2) <f( 1) e f(1) <f(2) la funzione è strettamente crescente in IR \{0} (c) Poichè la funzione è iniettiva, allora è strettamente monotona (d) La funzione è monotona (e) La funzione è iniettiva, ma non monotona in IR \{0} 11. L immagine della funzione ( f(x) =sin π ) sign(x 2 x +1) è (a) IR (b) [-1, 1] (c) {1} (d) {0} (e) {0, 1} 12. Sia f(x) = ln( x 1). Allora (a) dom (f) =IR,Im(f) =[0, + ] (b) dom (f) =IR,Im(f) =[0, 1] (c) dom (f) =(, 1) (1, + ), Im (f) =[0, + ) (d) dom (f) =IR,Im(f) = IR (e) dom (f) =[ 1, 1], Im (f) =IR 1 La funzione mantissa è definita come M(x) =x [x], dove [x] è la parte intera di x. 2 La funzione parte intera [x] è definita come il piu grante intero x. 3 La funzione segno è definita come sign x =1sex>0, sign x = 1 sex<0, mentre sign 0 = 0. c 2011 Politecnico di Torino 2

3 13. Il dominio della funzione è: (a) IR [ ) 5 (b) 4, + (c) [1, + ) (d) (, 1) ( ) 3 (e) 2, Il dominio della funzione è: f(x) =arcsin ( x +1 x 1 ) f(x) = ln( 3 x x 3 ) (a) IR (b) (, 1) (c) (, 1] (d) [0, 1] (e) (0, 1) 15. Siano f(x) eg(x) due funzioni dispari e invertibili. Allora la funzione cos f(x)+sin(f(x)g(x)) è (a) pari e invertibile (b) pari e non invertibile (c) dispari e non invertibile (d) nè parinèdispari (e) dispari e invertibile VERO o FALSO 1. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false 4 (a) c.n.s. affinché una funzione sia invertibile è che sia strettamente monotona (b) c.s. affinché una funzione non sia invertibile èchesiapari (c) c.n.s. affinché una funzione sia invertibile è che sia dispari (d) tutte le funzioni invertibili in un intervallo sono ivi strettamente monotone (e) c.s. affinché una funzione non sia invertibile è che sia periodica (f) la funzione f :IR\{0} IR, definita da f(x) = 1,nonèsuriettiva x (g) la funzione f(x) = 1 x è monotona, strettamente decrescente nel suo dominio (h) esiste il massimo dell insieme A = {tan x : π 2 <x π} (i) x<3 x 2 < 9 (l) esiste il massimo dell insieme A = {sin x : x (0,π]} (m) esiste il minimo dell insieme A = { 7n 38 : n IN} (n) se A IR e sup A = 3 allora 2 A (o) se A IR e sup A = 3 allora 3 / A 4 Nel seguito, c.n.s sta per condizione necessaria e sufficiente, mentrec.s. sta per condizione sufficiente. c 2011 Politecnico di Torino 3

4 2. Data la funzione f(x) =(x 1) 2, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: a) f(x) è monotona crescente b) f(x) > 0, x R c) f(x) è una funzione pari d) f(2) = f(0) e) f(x) > 8, x R f) f(x) nonè monotona in [0, + ) g) f(x) 0, x R h) f(x) è inferiormente itata RISPOSTE AI QUESITI Item n Risposta b a d a d a b b b e d c b e b RISPOSTE AI VERO o FALSO Esercizio 1 Item n a b c d e f g h i l m n o Risposta F V F F V V F V F V V F F Esercizio 2 Item n a b c d e f g h Risposta F F F V V V V V c 2011 Politecnico di Torino 4

5 Funzioni e loro proprietà. Limiti Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta. 1. La funzione f(x) =(x +2)ln(x +2) sin πx ha dominio: (a) ( 2, + ) (b) Z (c) (d) ( 2, 0) (e) {x Z : x 1} 4x 1 2. Il sin x sin 1 x (a) vale 4 (b) vale + (c) (d) vale 0 (e) vale 1 3. La successione a n =(2+sinn)n (a) converge (b) diverge (c) è indeterminata (d) si annulla infinite volte (e) n, n a n n 4. Della funzione f(x) =(1+sinx)x si può direche: (a) ha infiniti zeri (b) f(x) = x (c) im(f) =(0, + ) (d) f(x) =0 (e) esiste f(x) 5. Sia f : IR IR tale che ɛ >0 K>0: x (7 K, 7) risulta f(x) < ɛ. Allora, sicuramente: (a) f(x) =0 x 7 (b) f(x) =0 x 7 (c) f(x) = x 7 (d) f(x) =0 (e) f(x) = x 7 6. Sia f : IR IR tale che f(x) =1 ; allora: (a) A>0 B : x >Brisulta 1 A<f(x) 1 (b) ɛ >0 δ :sex< δ allora 1 <f(x) 1+ɛ (c) ɛ >0 δ : x>δrisulta 1 <f(x) 1+ɛ (d) ɛ >0 δ: se1 ɛ<f(x) 1+ɛ allora x>δ (e) x>10 10 risulta f(x) 1 < c 2011 Politecnico di Torino 1

6 7. Il ite x 0 (x sin πx + x2 cos 1x + ex2 ) (a) vale 1 (b) vale 0 (c) (d) vale + (e) vale Il ite x 0 1 sin(π cos x) (a) vale + (b) vale (c) (d) vale 0 (e) vale 1 9. Si consideri la definizione di ite, in termine di ɛ, δ, nel caso particolare del x 0 x 3 = 0. Possiamo dire che, per ogni ɛ>0 quella condizione risulta verificata prendendo (a) δ = ɛ 3 (b) δ = ɛ (c) δ = 3 ɛ (d) δ = ɛ +1 (e) δ = 3 ɛ Il dominio della funzione f(x) =log(2 x x)è: (a) (1, 4) (b) [0, + ) (c) (0, 2) (d) [0, 2] (e) [0, 1) 11. Sia f(x) = x +5. Allora f 1 ([1, 2)) è: (a) ( 7, 6] [ 4, 3) (b) [ 7, 6] [ 4, 3] (c) ( 7, 3) (d) ( 7, 6) ( 4, 3) (e) [ 7, 3] 12. Tra le seguenti relazioni, indicare quale è anche una funzione (definita su qualche sottoinsieme non vuoto di R, a valori reali): a) x 2 + y 2 + x =0 b) x 2 + y 2 = 1 c) (x +2y) 2 =3 d) x =4x 2 +9y 2 e) x 2 +2x y =0 c 2011 Politecnico di Torino 2

7 13. La funzione f(x) =1+ 1 x 2 è: a) iniettiva b) monotona sul suo dominio c) itata sul suo dominio d) inferiormente itata sul suo dominio e) superiormente itata sul suo dominio 14. Sia f(x) =e x2 1. L insieme f 1 ([1, 3)) è: a) [ 1+log3, 1) (1, 1 + log 3] b) ( log 4, 1] [1, log 4) c) ( 1+log3, 1] [1, 1 + log 3) d) [ 1+log3, 1] [1, 1 + log 3] e) [ log 4, 1) [1, log 4] 15. Sia f(x) =sinx + x, g(x) =e x. Allora, f(g(x)) è: a) x +sine x b) e x+sin x c) e sin x + e x d) e x +sine x e) sin(e x + x) 16. Sia f(x) =e x + x +1,g(x) = x 1. Allora f(g(x)) è uguale a: a) e x + x b) e x 1 + x 1 c) e x 1 + x 1 +1 d) e x 1 + x +1 e) e x 1 + x Sia f(x) =x e g(x) =x 2.Siah(x) =f(g(x)). Allora, h([4, 5]) è: a) [ 5, 2] [2, 5]] b) (16, 25) c) [4 3, 5 3 ] d) [16, 25] e) [2, 5] 18. Se f(x) =3x + 2 allora: a) f 1 (x) = x b) f 1 (x) =2x +3 c) f 1 (x) = x d) f 1 (x) =3x 2 e) non esiste 19. L equazione 2 x =(x 1) 2 ha: a) 2 sole soluzioni b) 2 soluzioni nell intervallo [ 2, 2] c) una sola soluzione d) 3 soluzioni nell intervallo [ 2, + ) e) una sola soluzione nell intervallo (, 1) c 2011 Politecnico di Torino 3

8 20. Il dominio della funzione f(x) = 4 x 2 3 x è: a) (, 3] {0} [3, + ) b) ( 3, 3) c) (, 3] [3, + ) d) [ 3, 3] e) (, 3) {0} (3, + ) 21. Il dominio della funzione f(x) = 2 log(x 3) log(x +1)è: a) (0, + ) b) ( 1, + ) c) ( 1, 3) d) (3, + ) e) ( 1, + ), x Se ɛ>0 esiste un intorno destro di 2 tale che per ogni x in tale intorno si ha che 4 ɛ<f(x) 4, allora sicuramente: a) f(x) =4 x 2 b) f(x) = 2 x 4 c) f(x) =4 x 2 d) non esiste f(x) x 2 e) f(x) =4 x Se A>0 esiste un intorno di x = 3 tale che per ogni x in tale intorno, con x 3,sihachef(x) 2+A <0, allora: a) f(x) = b) (f(x)+2)=+ c) (f(x) 3) = x 2 d) (2 f(x)) = e) f(x) =2 A 24. Sia f : R R tale che f(x) < 0 per ogni x R. Allora a) f(x) =0 b) f(x) < 0 c) f(x) 0 d) se esiste il ite f(x) =l allora l<0 e) se esiste il ite f(x) =l allora l 0 c 2011 Politecnico di Torino 4

9 VERO o FALSO Dire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false (con [x] si indica la funzione parte intera, mentre M(x) denota la funzione matissa): (a) L espressione f(x) =(x 1) ln(x 1) sin πx definisce una successione [ ] [ ] 2 (b) π arctan x 2 = π arctan x (c) [x 2 4]=[(x 2 4)] x 2 x 2 (d) M(x 2 )=M( x 2 ) x 1 x 1 (e) sign (f) x 1 sign ( x 2 ) 9 x 2 =sign +9 ( x 2 ) 9 x 2 =sign +9 ( ( x 1 x 2 ) 9 x 2 +9 x 2 ) 9 x 2 +9 (g) L equazione sin n =0, con n N ammette una sola soluzione (h) L equazione sin x =0, con x R ammette una sola soluzione (i) La successione a n =(sinn +2)n, con n N è indeterminata (l) (m) (n) (o) (sin x +1)x non esiste (sin x +2)x non esiste sin n n + n =1 n + n sin n (p) x 0 M(cos x) =0 (q) non esiste x π/3 M(cos x) =1 2 RISPOSTE AI QUESITI Quesito numero Risposta e c b a c a a a c e a e a c d Quesito numero Risposta c d a b a d e a e RISPOSTE AI VERO o FALSO Affermazione numero a b c d e f g h i l m n o p q Risposta V F F F F V V F F V F F V F V c 2011 Politecnico di Torino 5

10 14. Sia f : IR IR tale che f(x) = 1, allora: (a) B : x domf, x>b 1 2 <f(x) < 3 2 (b) ɛ >0 δ : x domf, 1 <f(x) < 1+ɛ (c) δ : ɛ >0, x domf, x>δ 1 ɛ<f(x) < 1+ɛ (d) ɛ >0 δ : x domf, 1 ɛ<f(x) < 1+ɛ x>δ (e) x>10 10 domf f(x) 1 < Data la funzione f(x) =e ecos x, allora necessariamente: (a) è una funzione itata (b) non è periodica (c) sup f= e (d) im f =[0, + ) (e) f(x) =+ cos ex 16. Data la funzione f(x) =e (a) im f =[e 1,e] (b) è periodica (c) è ilitata (d) inf f =0 (e) si annulla infinite volte VERO o FALSO Per ognuna di queste affermazioni dire se è vera oppure falsa: (a) se f(x) è decrescente su [ 1, 1] allora f(x) è crescente (b) se f(x) eg(x) sono crescenti allora f(x)g(x) è una funzione crescente (c) se f(x) eg(x) sono crescenti allora f(x) è una funzione crescente g(x) (d) se f(x) è crescente allora f( x) è crescente (e) se f(x) è decrescente allora f(x) non è necessariamente decrescente (f) se f(x) è crescente allora f 3 (x) è crescente (g) se f(x) è crescente allora f 2 (x) non è crescente (h) se n N, 1 ɛ<a n < 1+ɛ allora la successione (a n ) tende a 1 (i) una successione a n è itata se ɛ >0 tale che n N si ha a n <ɛ (l) una successione a n è definitivamente positiva se n N,a n > 0 (m) ogni successione definitivamente positiva è regolare (n) ogni successione definitivamente positiva o è regolare oppure è itata (o) se ɛ >0, n N, 1 ɛ<a n < 1+ɛ, allora la successione (a n ) tende a 1 c 2011 Politecnico di Torino 3

11 RISPOSTE AI QUESITI Item n Risposta c d d e a c a e a e e d c a a a Risposte VERO o FALSO Item n a b c d e f g h i l m n o Risposta V F F F V V F F V F F F V c 2011 Politecnico di Torino 4