FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi proposti

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1 FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi proposti. Risolvere la disequazione x x +. è soddisfatta x IR ]. Disegnare i grafici di (a) y = x + x + 3 ; (b) y = x x ; (c) y = log 0 ( x + ). 3. Sia f(x) = x x; disegnare i grafici di f(x), f(x), f(x), f(x + ), f(x) Data la funzione f(x) = log( x ) + x determinare il dominio, discutere eventuali simmetrie e l iniettività. dom(f) =, ]; f pari; f non iniettiva ] 5. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: f(x) = log( x) log(x + ); g(x) = arcsin ( x x + ). ( ] ] ] dom(f) =,, dom(g) = 0, Sia f(x) = log( x ); determinare f ( (, 0] ). (, ], ) ] 7. Data la funzione f(x) = { x x se x 4 x se x > determinare la controimmagine dell intervallo (, ). f ( ( (, )) = ) 3, 7 ( ) ], 7 8. Verificare che la funzione f : R R definita da f(x) = x x non è invertibile. Individuare opportune restrizioni di f che siano invertibili e scrivere l espressione delle loro inverse. sono invertibili f = f (, ] : (, ] 5 4, + ), f = f :, + ) 5, + ) ;,+ ) 4 f (x) = 5 + x, f 4 (x) = x ] 4

2 9. Determinare il più grande intervallo su cui f(x) = x + x è invertibile, disegnandone il grafico. Scrivere l espressione della funzione inversa e disegnarne il grafico, specificandone dominio e immagine. f è invertibile su 0, ]. f : 0, ] 0, ], f (x) = x ] 0. Verificare che f(x) = (x + )(x x ), con dominio 0, ), è iniettiva. Determinare l immagine di f e la funzione inversa. Imf =, + ) ; f (x) = { +x se x, 3] x se x (3, + ) ]. Provare che le funzioni f(x) = x 3x + 3, x 3 e g(x) = 3 + x 3 4, x 3 4 sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f per risolvere l equazione f(x) = g(x). f(x) = g(x) x = 3 ]. Date le funzioni f(x) = x +, g(x) = e x, scrivere l espressione esplicita delle seguenti funzioni composte: g f, f g, f f, f g f. g f(x) = e x ; f g(x) = e x + ; f f(x) = (x + ) + ; f g f(x) = e x + ] 3. Date le funzioni f(x) = e x, g(x) = x x 4, h(x) = x, determinare la funzione composta h g f ed il suo dominio. h g f(x) = e x e x 4; dom(h g f) = log( + 5), + ) ]

3 4. Siano f(x) = x + x, g(x) = log 0 ( x). Disegnare i grafici di f e g. Determinare dominio ed immagine di g f e di f g. ( g f : ), + (, log 0 ] ( ) ; f g :, 9, + )] 4 5. Dire se i seguenti insiemi sono limitati superiormente o inferiormente e, in caso affermativo, specificarne estremo superiore, inferiore e eventuali massimo e minimo: a) A = { n n : n N+} ; b) B = { + ( )n n+ : n N}. L insieme A è limitato inferiormente, con min A = inf A = 0, ma non superiormente. Infatti la disequazione n > k, con k > 0, equivale a n n nk > 0, ed è soddisfatta per tutti gli n N + tali che n > k+ k +4. L insieme B è limitato sia inferiormente che superiormente, e si ha min B = inf B =, max B = inf B =. ] 6. Verificare che n k k! = (n + )!, n. k= Per n = la formula è vera. Supposta vera per n N +, si ha ( n+ n ) k k! = k k! + (n + )(n + )! = (n + )! + (n + )(n + )! k= k= = (n + )! + n + ] = (n + )!(n + ) = (n + )!. ] 7. Dimostrare la disuguaglianza di Bernoulli: ( + a) n + na, a >, n N. Per n = 0, la formula è vera. Supponiamo che sia vera per n N fissato. Essendo a > (a + ) > 0, si ha ( + a) n+ = ( + a) ( + a) n ( + a) ( + na) = + na + a + na = + (n + )a + na + (n + )a. ] 8. Dimostrare che un poligono convesso di n lati (n 3) ha d n = n(n 3) diagonali. Innanzitutto la formula vale per n = 3, 4, 5. Infatti un triangolo ha zero diagonali (d 3 = 0), un quadrilatero ne ha (d 4 = ), e un poligono di 5 lati ne ha 5 (d 5 = 5). Supponiamo che sia vera per n N fissato, e dimostriamo che vale per n +, cioè

4 che d n+ = (n+)(n+ 3). Sia dato un poligono P n+ di n + lati, e numeriamo gli n + vertici come V,..., V n, V n+. Possiamo allora considerare P n+ come l unione del poligono P n di n lati ottenuto congiungendo V con V n e del triangolo V V n V n+. Ne segue che d n+ sará la somma di d n (le diagonali di P n ) piú (cioè il segmento V V n, che è un lato di P n ma diventa una diagonale di P n+ ), più (n ) (che sono le diagonali che si possono tracciare dal vertice V n+ ). Dunque si ha d n+ = d n + + (n ) = n(n 3) + n = n n = (n+)(n ), come volevasi dimostrare. ] 9. Dimostrare che n! > 3 n n n 0, individuando il più piccolo valore n 0 N per cui la disuguaglianza vale. Procediamo per induzione. Il primo passo è individuare un indice iniziale n 0 per cui la disuguaglianza è vera. Si verifica facilmente che essa non vale per n = 0,,, 3, 4, 5, 6, mentre vale per n 0 = 7 perchè si riduce a 5040 > 87. Supponiamo ora che la disuguaglianza sia vera per n N fissato e vediamo se essa è vera per n +, cioè se (n + )! > 3 n+. Per l ipotesi induttiva si ha Quindi è sufficiente vedere se (n + )! = (n + )n! > (n + ) 3 n. (n + )3 n > 3 n+. Questa si riduce a n + > 3 e dunque è vera n 3. Quindi il secondo passo dell induzione, cioè l implicazione P (n) P (n + ), vale per n 3. Essendo la disuguaglianza vera per n = n 0 = 7, concludiamo che essa vale n 7. ] 0. Avvalendosi eventualmente delle operazioni di unione e intersezione, rappresentare graficamente i seguenti sottoinsiemi del piano R : (a) {(x, y) R : xy 0} (b) {(x, y) R : y x < 0} (c) {(x, y) R : y x 0, x < 0} (d) {(x, y) R : x y < 0} (e) {(x, y) R : y > x } (f) {(x, y) R : y < x 6x} (g) {(x, y) R : x(y x ) > 0} (h) {(x, y) R : y > x } (i) {(x, y) R : y < x } (j) {(x, y) R : x y < } (k) {(x, y) R : x < y < }

5 (l) {(x, y) R : (y x )(y x) 0} (m) {(x, y) R : y < /x} (n) {(x, y) R : xy < } (o) {(x, y) R : (p) {(x, y) R : y < /x} x < /y} (q) {(x, y) R : xy < } (r) {(x, y) R : x x < 0} (s) {(x, y) R : x y} (t) {(x, y) R : x + y > } (u) {(x, y) R : x 4 + y } (v) {(x, y) R : y x } (w) {(x, y) R : x, y } (x) {(x, y) R : y x x +, y > x} (y) {(x, y) R : x y } (z) {(x, y) R : y x }