Esercizi sulle funzioni

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1 Esercizi sulle funzioni Esercizio. Siano f, g : R R definite da x x g ln x. Determinare le funzioni composte f g e g f, specificandone gli insiemi di definizione. Def(f) = [, ], Def(g) = (0, + ). f g : [ e, e] R, (f g) ln x (ln x). (ln x) 0 iff x [ e, e]. (g f) : [, ] R, (g f) ln(x x ). x x > 0 per i valori di x per cui è soddisfatto il seguente sistema x ( x )( x + ) 0 Cioè se e solo se x (, ). Esercizio. Sia f : R R definita da: { x x + in cui è un parametro reale. Dire se f è una funzione da R in R e, in caso affermativo, dire per quali valori del parametro reale f è (i) totale; (ii) iniettiva; (iii) suriettiva. Per i valori del parametro per cui f è invertibile, determinare la funzione inversa di f. f è una funzione da R in R, indipendentemente dai valori che assume il parametro. L unico problema riguardo l univocità di f si incontra in x = 0. Tuttavia si osserva che { f(0) = e quindi f è effettivamente una funzione di R in R. (i) Def(f) = R, indipendentemente da, quindi f è totale, per ogni R.

2 (ii) se = 0, f non è iniettiva, infatti f () = R +. se < 0, f non è iniettiva, infatti f (0) = {, }. se > 0, f è iniettiva, infatti - siano x, x > 0, x + è iniettiva; - siano x, x < 0, x è iniettiva; - siano, x > 0 e x < 0. Supponiamo, per assurdo, che x = x +, da cui x = x, che contraddice x > 0. (iii) Se 0 f non è suriettiva. Se > 0, f è suriettiva, l inversa è x, x f x, x Esercizio 3. Sia f : R R definita da: { (x ) x ln x x Dire se f è una funzione da R in R e, in caso positivo, dire se f è totale, iniettiva, suriettiva. Esiste l inversa di f? In caso affermativo, trovare f. f è una funzione poichè (x ) = 0 = ln x, inoltre è totale. f è inoltre iniettiva, infatti per x (x ) è iniettiva e positiva, mentre, per x, ln x è iniettiva e negativa. La suriettività di f la mostriamo esibendo l inversa di f e mostrando che il suo insieme di definizione è tutto R. { x, f e x, Esercizio. Siano f, g : R R definite da x x g e x. Determinare le funzioni composte f g e g f, specificandone gli insiemi di definizione. Def(f) = (, 0] [, + ). Def(g) = R. h (g f) e k (f g) e x x x ( e x Esercizio 5. Sia f : R R definita da: e Def(h) = (, 0) (, + ) ), Def(k) = (0, + ). { (x ) x ln x x Dire se f è una funzione da R in R e, in caso positivo, se f è totale, iniettiva, suriettiva. Esiste l inversa di f? In caso affermativo, travare f. Sololuzione f è una funzione poiché soddisfa la proprietà di univocità, infatti f è definita in due intervalli non disgiunti che hanno in comune in punto x =. Nei due intervalli x < e x > f è una funzione poiché è definita da funzioni,

3 per cui l unico punto in cui controllare l univocità è x = e in tale punto si ha che ( ) = 0 = ln. f è totale (poichè il suo insieme di definizione è R), è suriettiva dal momento che per x f è definita da un arco di parabola che assume solamente valori negativi e che si annula solo in x =, che è anche il vertice di tale parabola; per x f è definita dalla funzione logaritmo che è positiva e assume tutti i valori positivi per x > e si annulla solo per x =. Inoltre f è iniettiva, dal momento che le due funzioni che la definiscono nei due intervalli x e x, sono iniettive nei due intervalli, nulle in x = e (x ) è negativa in x < e ln x è positiva per x >. Di conseguenza f ammette inversa: { f x e x Esercizio 6. Sia f : R R definita da: { x x Dire se f è una funzione da R in R e, in caso positivo, dire se è totale, iniettiva, suriettiva. Esiste l inversa di f? In caso affermativo trovare f. Per x > 0 e per x < 0 f è certamente univa, poiché le due componenti x e x sono univoche. Quindi l unico punto in cui controllare l univocità è il punto x = 0. Ora x x=0 = 0 = x e quindi f è univoca. x=0 f è totale, poiché Def(f) = R. Inoltre f è suriettiva, infatti le due componenti di f lo sono. Infine f è anche iniettiva, infatti: siano x, x 0 tali che f(x ) = f(x ), cioè x = x ed essendo x, x 0 deve essere x = x ; se x, x 0 si procede con in precedenza; se invece x e x sono discordi, prendiamo ad esempio x > 0 e x < 0 allora f(x ) > f(x ) dal momento che il membro di sinistra è positivo mentre quello di destra è negativo. Poichè f è totale, iniettiva e suriettiva f è invertibile e la sua inversa è { f x x Esercizio 7. Sia f : R R definita da: Al variare di R, dire quando. f è una funzione da R in R; { e x x 3 +. f è suriettiva, e quando non lo è determinare Im(f); 3. f è totale;. f è iniettiva; 5. f è biettiva. 6. Infine determinare l inversa di f ove possibile.. f è funzione per ogni R, infatti l unico punto in cui si deve controllare l univocità è x = 0 e f (0) = indipendentemente da. 3

4 . È semplice notare che se > 0 f non è suriettiva, infatti x 3 +, mentre e x (0, ], quindi tutti i valori y (, + ) non stanno nell immagine di f. Quindi se > 0 allora Im(f ) = (, ]. Se = 0 allora f è la funzione costante che non è suriettiva e Im(f ) = {}. Se < 0 f non è suriettiva poiché f > 0 per ogni x R e quindi Im(f ) = [, + ). Riassumendo (, ] se x > 0 Im(f) = se x = 0 (0, + ) se x < 0 3. f è totale dal momento che Def(f ) = R indipendentemente da.. È semplice provare che se x, x R sono concordi, f è iniettiva. Siano, ad esempio, x, x > 0 tale che f(x ) = f(x ), cioè e x = e x se e solo se x = x. Analogamente si provano i casi x, x < 0 e x = x = 0. La cosa è più delicata se x e x sono discordi. Assumiamo che x > 0 e x < 0 tali che f(x ) = f(x ), cioè e x = x 3 + e cioè è vero se e solo se x = ln(x 3 + ) Ricordiamo che x 0 e quindi deve essere x 3 + < e x 3 + > 0. La prima disuguaglianza è verificata se e solo se > 0. Restringiamoci, quindi al caso > 0. In tal caso la seconda disuguaglianza è verificata se e solo se 3 < x < 0. Quindi f è iniettiva se e solo se > f non è mai biettiva. 6. f è invertibile solamente per > 0 e ln x se x (0, ] f 3 x se x > 0 Esercizio 8. Siano f, g : R R definite da ln x x g e x. Determinare le funzioni composte f g e g f, specificandone gli insiemi di definizione.. Def(f) = (, 0) (, + ); Def(g) = [0, + ).. f g : [ln, + ) R, (f g) ln e x ex ; (g f)(x) non è mai definita. Esercizio 9. Date le seguenti funzioni f(x) e g(x) di R in R, determinare per ciascuna l insieme di definizione, l immagine, dire se sono, totali, iniettive, suriettive e biettive. Se le funzioni risultano iniettive calcolare l inversa (sull immagine). Quindi calcolare e dire dove sono definite h := f g e k := g f. a. x, g x 3; b. x, g x ; b. x 5, g x ;

5 c. x+ x, g x ; d. x, g x ; e. x +, g 3x ; Esercizio 0. Date le funzioni f : [0, + ) R, x + e g : R \ {0} R, g iniettive e in caso affermativo, determinare le inverse sull imagine. x+, dire se sono Esercizio. Data la funzione di R in R, x 3 x 3 determinare insieme di definizione e immagine. Dire se f è iniettiva e iniettiva, suriettiva e biettiva. In caso di risposta f sia iniettiva, determinare l inversa di f. Esercizio. Data la funzione di R in R, x x 7 per x x per < x x x + per x determinare insieme di definizione e immagine. Disegnare f(x). Dire se f è iniettiva, suriettiva e biettiva. In caso di risposta f sia iniettiva, determinare l inversa di f. Esercizio 3. Sia f : R R definita da: { x e x Dire se f è una funzione da R in R e, in caso positivo, dire se è totale, iniettiva, suriettiva. Esiste l inversa di f? In caso affermativo trovare f. Esercizio. Siano f, g : R R definite da x g e x. Determinare le funzioni composte f g e g f, specificandone gli insiemi di definizione. Esercizio 5. Sia f : R R, { 3x se e x se Dire se f è una funzione di R in R, e in caso positivo, dire se f è totale, iniettiva o suriettiva. Esiste la funzione inversa di f? In caso affermativo, trovare f. Esercizio 6. Siano f, g : R R definite da [ ln + x3 ] x, g e x Determinare Def(f), Def(g), Im(f) e Im(g). Inoltre determinare f g e g f dove sono definite. Esercizio 7. Siano ϕ : A B e ψ : B C due funzioni. Si dimostri che:. se ψ ϕ è suriettiva allora ψ è suriettiva;. se ψ ϕ è iniettiva allora ϕ è iniettiva. Questo l ho fatto in aula. 5