Altri esercizi assegnati negli esoneri degli scorsi anni

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1 Altri esercizi assegnati negli esoneri degli scorsi anni Esercizi sul principio di induzione 1. Utilizzando il principio di induzione si dimostri che, per ogni numero naturale positivo n, risulta: Esercizi sui numeri complessi (2n 1) = (2n)! 2 n n!. 1. È assegnato il numero complesso z = 2 2i. Determinare in forma trigonometrica i numeri complessi z 3/4 e z 4/3 e disegnarli nel piano di Argand-Gauss. Esercizi sulle applicazioni tra insiemi 1. Sia f : R R 2 l applicazione così definita, z R: f : R R 2 z (z 2, z 3 ) Stabilire, motivando le risposte, se f è iniettiva e/o suriettiva. 2. Date le seguenti funzioni α e β, di dominio e codominio Z, definite al modo seguente: si chiede di: α(x) = 2x + 3 β(x) = { x se x è pari x se x è dispari (a) verificare se tali funzioni sono iniettive o suriettive; (b) calcolare i prodotti operatori α β e β α e verificare se questi sono funzioni iniettive o suriettive. 3. Sia f : Q Q l applicazione così definita: f(x) = 2 x 1 2, x Q. (a) Verificare che f è biunivoca. (b) Esprimere f come composizione di tre applicazioni biunivoche non identiche g i : Q Q, in modo che f = g 1 g 2 g 3. Calcolare f 1 1, g i [i = 1, 2, 3] e verificare che f = g 3 g 2 g 1 1. Esercizi sulle relazioni di equivalenza 1. Sia I un sottoinsieme dell anello Z e sia ρ I la relazione su Z definita come segue: n, m Z nρ I m n m I Dire quali tra i seguenti sottoinsiemi definiscono una relazione di equivalenza:

2 (a) I 1 = N (b) I 2 = (3) = {3k : k Z} (c) I 3 = (4, 6) = {4k + 6h : k, h Z} (d) I 4 = {k Z : 2 k 2} In caso affermativo verificare che la relazione di equivalenza ρ I è compatibile con le operazioni di Z e determinare l insieme quoziente Z/ρ I. 2. Nell insieme Q[X] dei polinomi a coefficienti razionali si introduce la seguente relazione ρ: f, g Q[X], f ρ g i termini noti di f e g hanno la stessa parte intera. [Nota. La parte intera [x] di un numero reale x è il massimo intero n tale che n x.] (a) Verificare che ρ è una relazione di equivalenza su Q[X]. (b) Descrivere le classi di equivalenza modulo ρ dei polinomi X e X + X 2. (c) Verificare che l insieme quoziente Q[X] / è in corrispondenza biunivoca con Z. Esplicitare una biiezione tra i due ρ insiemi. Esercizi sulle congruenze 1. Ripetendo, con le opportune modifiche, la dimostrazione dell esistenza di infiniti numeri primi si dimostri che esistono infiniti numeri primi della forma 4n Determinare il minimo numero naturale n del tipo: tale che: (a) a 0 = 7 n = a 0 + a a a , 0 a i 9 (b) 2a 0 + 2a 1 + 2a 2 + 2a 3 = 3k per qualche k Z (c) a 0 a 1 + a 2 a 3 = Determinare, se possibile, l insieme delle soluzioni del seguente sistema: 3x 6 mod x 3 mod 7 x 1 mod 4 4. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi di congruenze: x 1 mod 2 x 2 mod 5 x 5 mod 6 x 5 mod 12, { x 4 mod 6 { x 3 mod 6 x 7 mod 9, x 7 mod 9, determinandone, per ciascun sistema ammissibile, tutte le soluzioni modulo il prodotto dei moduli. Controllare, facendo la verifica, l esattezza dei risultati ottenuti. 2

3 5. Trovare tutte le soluzioni del sistema: 6 13 x 6 3 mod 8 x 5 mod 3 2x 11 mod 7 6. Determinare, se esistono, i valori di a Z per cui il seguente sistema ammette soluzione: 6421x 7 mod x 3 mod 7 3x a mod 8 per tali valori calcolare le soluzioni stesse. Esercizi sugli anelli di polinomi 1. Si consideri, al variare di α in Z 3, l anello K α = Z 3 [x]/(x 2 + αx + 2) ovvero l anello quoziente dell anello dei polinomi a coefficienti in Z 3 rispetto alla congruenza modulo il polinomio x 2 + αx + 2. Si dica per quali valori di α in Z 3 l anello K α risulta essere un campo e per quali no; se K α non è un campo si determini in esso una coppia di divisori dello zero. 2. Stabilire, motivando la risposta, quali tra i seguenti anelli sono campi e quali no. K 1 = Q[x]/(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) K 2 = Z 2 [x]/(x 3 + x 2 + x + 1) K 3 = C[x]/(x 4 2πx 2 + π 2 + 1) K 4 = Z 7 [x]/(x 3 2) Stabilire inoltre quali fra tali anelli contengono divisori dello zero e, in questo caso, indicare esplicitamente una coppia di divisori delli zero. 3. Fattorizzare in irriducibili i seguenti polinomi e f(x) = x 5 + x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 2 g(x) = x 4 + x 3 x 2 + x 2 Calcolarne il M.C.D. e il m.c.m. e determinare due polinomi r(x) e s(x) tali che M.C.D.(f(x), g(x)) = f(x)r(x) + g(x)s(x) e due polinomi h(x) e k(x) tali che m.c.m.(f(x), g(x)) = f(x)h(x) e m.c.m.(f(x), g(x)) = g(x)k(x) 3

4 4. Dire, giustificando la risposta, se esiste l inverso della classe [x 2 + 3x + 2] (o [x 2 + 3x + 2]) nei seguenti anelli di classi di congruenza: R[x]/(x 4 x 3 + 2x 2 x + 1), Z 5 [x]/(x 4 x 3 + 2x 2 x + 1). Nel caso in cui esista calcolare tale inverso. 5. Si consideri l anello di polinomi Z 3 [X]. (a) Verificare che i due polinomi f = X 2 + 1, g = X 2 + 2X + 2 Z 3 [X] sono irriducibili. (b) Determinare gli elementi dei due campi Z 3 [X] / (f), Z 3 [X] / (g) e scrivere la tavola moltiplicativa del secondo. (c) Verificare che tali campi sono isomorfi, esplicitando un isomorfismo tra essi. 6. In Z 5 [X] è assegnato il polinomio f = X 6 + X 5 + X 4 + 3X 3 + X 2 + X + 1. (a) Verificare che f è prodotto di due polinomi irriducibili di grado 3. (b) Determinare la cardinalità dell anello Z 5 [X] / (f) eventuale divisore dello zero. (c) Determinare la classe del polinomio (f X 1) 4 ed indicarne un in Z 5 [X] / (f). 7. Si verifichi la riducibilità dei seguenti polinomi rispettivamente negli anelli Z[x], Q[x], R[x], C[x]: f(x) = x 4 + 4x , g(x) = 3x 2 + 9x + 12, s(x) = x 4 10x Considerati i seguenti polinomi: h(x) = 3x 2 + 9x + 3, k(x) = 3x 2 + 9x + 6. f(x) = x 5 x 4 + 3x 3 3x 2 + 2x 2 g(x) = x 6 x 5 + 3x 4 2x 3 + x 2 2 si verifichi se l elemento g(x) è o meno invertibile nell anello Q[x]/ (f(x)). Se l elemento g(x) è invertibile se ne determini l inverso, in caso contrario si trovi un elemento non nullo h(x) tale che g(x) h(x) = Considerati i seguenti polinomi: f(x) = x 4 + x 3 + 2x 4 g(x) = x 6 + x 5 + x 4 + 4x 3 5x 2 + 4x 6 si verifichi se l elemento g(x) è o meno invertibile nell anello Q[x]/ (f(x) ). Se l elemento g(x) è invertibile se ne determini l inverso, in caso contrario si trovi un elemento non nullo h(x) tale che g(x) h(x) = Ricordando le definizioni e le proprietà dei polinomi ciclotomici, fattorizzare in irriducibili in Z[x] il polinomio x

5 11. Ricordando le definizioni e le proprietà dei polinomi ciclotomici, fattorizzare in irriducibili in Z[x] il polinomio x Esercizi sui campi 1. Sia (K, +, ) un campo con m elementi e sia k K tale che k r = 1. Ricordando le proprietà dell ordine di un elemento in un gruppo finito e l identità di Bézout dimostrare che k d = 1 dove d = (m 1, r). 2. Esprimere, se possibile, l elemento (1+ 3 2) 10 nella forma a 0 +a 1 (1+ 3 2)+ a 2 ( ) 2, a i Q, e nella forma b 0 + b b 2 3 4, b i Q. 3. Esprimere, se possibile, l elemento (1+ 3 3) 10 nella forma a 0 +a 1 (1+ 3 3)+ a 2 ( ) 2, a i Q, e nella forma b 0 + b b 2 3 9, b i Q. Esercizi sugli interi di Gauss 1. Fattorizzare i seguenti interi di Gauss: z = 7 + i w = 1 + 8i u = 1 + 7i determinarne poi il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo; scrivere inoltre le tre identità di Bézout per il massimo comun divisore relativo alle tre coppie (z, w), (z, u), (w, u). 2. Fattorizzare i seguenti interi di Gauss: z = 1 8i w = 1 + 7i u = 8 i determinarne poi il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo; scrivere inoltre le tre identità di Bézout per il massimo comun divisore relativo alle tre coppie (z, w), (z, u), (w, u). Esercizi sui gruppi ciclici 1. Determinare tutti i sottogruppi del gruppo G = (Z 27, +); scrivere esplicitamente, giustificando tutti i passaggi, almeno un automorfismo non banale di G. 2. Verificare che l applicazione α :Z 6 Z 9 definita ponendo α( 1) = 6 e, di conseguenza, α(ñ) = α(n 1) = 6n, è un omomorfismo di gruppi. Determinarne il nucleo e l immagine; applicare il teorema di omomorfismo. 3. Verificare che, definendo β :Z 6 Z 9 al modo seguente: β( 1) = 2 e, di conseguenza, β(ñ) = β(n 1) = 2n, quello che si ottiene non solo non è un omomorfismo di gruppi, ma neppure un applicazione (ovvero β non è ben definita). 4. Costruire il gruppo (H, ) degli automorfismi del gruppo (Z 5, +) e il gruppo (K, ) degli automorfismi del gruppo (Z 8, +); verificare che H = K. Verificare inoltre se H e K sono isomorfi. 5. Dimostrare che i gruppi (C 6, ) e (Z 6, +) sono isomorfi e determinare tutti gli isomorfismi che possono essere stabiliti fra tali gruppi. 5

6 6. Generalizzare l esercizio precedente al caso dei gruppi (C n, ) e (Z n, +), n Z. 7. Determinare tutti i sottogruppi del gruppo Z 18 le relative unioni e intersezioni, disegnare il reticolo di tali sottogruppi. Verificare inoltre se esistono coppie di sottogruppi H e K tali che risulti: Z 18 /H = K. Esercizi sui gruppi di permutazioni 1. Date le seguenti permutazioni: Si chiede di: ( σ = ( τ = (a) scrivere ognuna di esse come prodotto di cicli disgiunti e, se possibile, come prodotto di trasposizioni in almeno due modi diversi (b) determinare per entrambe l ordine e l inversa (c) dire se sono di classe pari o dispari (d) verificare se sono coniugate (e) calcolare i due prodotti σ τ e τ σ (f) verificare che le due permutazioni σ τ e τ σ sono coniugate e dimostrare che questo accade per ogni coppia di permutazioni. 2. Scrivere le seguenti permutazioni di (S 9, ) come prodotto di cicli disgiunti, stabilirne la classe (pari o dispari), determinarne l ordine e l inversa: ), ), σ = (3452) (24987) (159) Inoltre: τ = (12) (3765) (21) (9876) (a) detta σ = (3452) (24987) determinare una permutazione x che risolva l equazione x σ = σ. (b) Scrivere, se possibile, σ come prodotto di 11 trasposizioni e τ come prodotto di 2 trasposizioni. (c) Determinare quali sono gli elementi di S 9 di ordine sei e classe pari. (d) Calcolare i due prodotti (σ τ) e (τ σ) e stabilire se questi due prodotti sono elementi tra loro coniugati. 3. Stabilire, motivando le risposte, se i gruppi S 6 e S 7 contengono un sottogruppo H ciclico di ordine 12 e/o un sottogruppo K non ciclico di ordine 12. In caso affermativo esplicitare gli elementi di tali sottogruppi. 6

7 Altri esercizi sui gruppi { ( ) } a 0 1. Sia T = M = tali che a, b, c Z b c 4 e M è invertibile. Calcolare T e dimostrare che T è un gruppo non commutativo esplicitando il prodotto generico di due elementi. Calcolare il quadrato dell elemento generico, l inverso dell elemento generico e, in base a questo, determinare gli ordini degli elementi; in particolare dire quanti sono gli elementi di ordine due. Facoltativo: studiare la struttura di T, i suoi sottogruppi, etc. 2. Costruire tutti gli omomorfismi possibili di dominio il gruppo di Klein K = {u, a, b, c : a 2 = b 2 = c 2 = u e a b = c} e codominio il gruppo (Z 4, +). 3. Si consideri il gruppo (U 42, ) degli invertibili di Z 42 e si verifichi, con il minimo numero possibile di passaggi, se esso è ciclico o no. Si verifichi inoltre che tale gruppo è prodotto diretto di due suoi sottogruppi H e K, esplicitando l isomorfismo α : H K U Scrivere gli elementi del gruppo C 4 delle radici quarte dell unità e gli elementi del gruppo U(Z 10 ), formato dagli elementi invertibili di Z 10. Stabilire se i due gruppi sono isomorfi tra loro e, in caso affermativo, indicare esplicitamente tutti i possibili isomorfismi. 5. Determinare la struttura dei gruppi (U 22, ) e (U 42, ) scrivendoli, se possibile, come prodotto diretto di due opportuni sottogruppi. Verificare inoltre se è possibile determinare un omomorfismo non banale di dominio U 22 e codominio U 42 ed un omomorfismo non banale di dominio U 42 e codominio U 22. In caso di risposta affermativa esplicitare uno di tali omomorfismi. 6. Sia (G, ) un gruppo e sia g 0 G. Si ponga: C(g 0 ) := { g G : g 0 g = g g 0 } [C(g 0 ) è detto centralizzante di g 0 ]. (a) Verificare che C(g 0 ) è un sottogruppo di G. (b) Verificare che C(g 0 ) contiene il sottogruppo g 0 generato da g 0. (c) Considerato il gruppo diedrale del quadrato D 4 = ϕ, ρ: ϕ 4 = ρ 2 = 1, ρ ϕ = ϕ 3 ρ, determinare i sottogruppi C(ϕ) e C(ρ). 7. Si consideri l anello Z 15 delle classi resto modulo 15. (a) Costruire il reticolo dei sottogruppi del gruppo (U 15, ) degli elementi invertibili di Z 15. 7

8 (b) Verificato che tale gruppo possiede tre sottogruppi di ordine 2, costruire i tre quozienti relativi a tali sottogruppi e verificare se sono tra loro o meno isomorfi. In caso affermativo descrivere esplicitamente un isomorfismo. 8. Si consideri il gruppo G = (U 15, ) degli invertibili di (Z 15, +) e se ne determinino i sottogruppi. Verificare se nel gruppo A 4 delle permutazioni pari su 4 elementi esiste un sottogruppo di ordine quattro isomorfo a qualcuno dei sottogruppi di G e, in caso affermativo, esplicitare un tale isomorfismo. 9. Si consideri il gruppo G = (U 16, ) degli invertibili di (Z 16, +) e se ne determinino i sottogruppi. Verificare se nel gruppo A 4 delle permutazioni pari su 4 elementi esiste un sottogruppo di ordine quattro isomorfo a qualcuno dei sottogruppi di G e, in caso affermativo, esplicitare un tale isomorfismo. 10. Si consideri il gruppo G = (U 50, ) degli invertibili di (Z 50, +). Stabilire se si tratta di un gruppo ciclico e, in questo caso, trovare tutti i possibili generatori. Stabilire se esistono e, in tal caso, quanti sono i sottogruppi di G di ordine 5, 6, 7. Trovare almeno un automorfismo di G diverso dall identità. 11. Si consideri il gruppo G = (U 27, ) degli invertibili di (Z 27, +). Stabilire se si tratta di un gruppo ciclico e, in questo caso, trovare tutti i possibili generatori. Stabilire se esistono e, in tal caso, quanti sono i sottogruppi di G di ordine 5, 6, 7. Trovare almeno un automorfismo di G diverso dall identità. 12. Costruire il gruppo quoziente Z 18 / < 9 > calcolandone l ordine; verificare che esso è ciclico e trovarne i sottogruppi. Infine, partendo dalla proiezione canonica: π : Z 18 Z 18 / < 9 > stabilire la biiezione, indotta da π, fra l insieme S dei sottogruppi di Z 18 contenenti < 9 > e l insieme S dei sottogruppi di Z 18 / < 9 >. Calcolare π(< 6 >) ed applicare il primo teorema di isomorfismo determinando un elemento H S tale che π(< 6 >) = π(h) = H/ < 9 >. Costruire poi un quoziente non banale di Z 18 / < 9 > ed applicare il secondo teorema di isomorfismo verificando che tale quoziente è isomorfo ad un opportuno quoziente di Z 18. 8