Aritmetica 2009/10 Compitino 3/11/ x 16 mod 23 3x 2 mod 5

Transcript

1 Aritmetica 2009/10 Compitino 3/11/ Trovare le soluzioni intere del sistema 4 x 16 mod 23 3x 2 mod 5 Esempio risoluzione: Cerchiamo di riportarci ad un sistema di congruenze lineari. Calcoliamo l ordine di 4 in Z 23: gli ordini possibili sono 1, 2, 11, 22. Abbiamo: (23) 4 11 = (4 2 ) (23) A questo punto: 4 x 16 (23) 4 x 16 0 (23) 4 2 (4 x 2 1) 0 (23) Ovvero 4 x 16 (23) se e solo se x 2 è un multiplo dell ordine di 4 in Z 23. Cioè il sistema di partenza è equivalente a: x = 2 (11) 3x 2 (5) Da questo si ottiene moltiplicando per l inverso di 3 in Z5 ovvero 2 la seconda congruenza: x = 2 (11) x 4 (5) Che per il teorema cinese del resto ha un unica soluzione modulo 55. Tale soluzione è 24 e dunque: x 24 (55)

2 2. Trovare una fattorizzazione in irriducibili su Q[x] del polinomio f = x 6 + 2x 5 2x 3 + 6x 4. Esempio risoluzione: Non è possibile applicare Eisenstein in quanto l unico primo che divide tutti i coefficienti del polinomio tranne quello direttivo è 2, ma 2 2 divide il termine noto. Il criterio di Eisenstein è dunque inutilizzabile (f(x) potrebbe comunque essere irriducibile). Le possibili radici razionali di f(x) vanno ricercate nell insieme ±1, ±2, ±4} Facendo i conti si trova che 2 è effettivamente radice del polinomio dunque x + 2 divide f(x): f(x) = (x + 2) (x 5 2x 2 + 4x 2) Ora (x + 2) è irriducibile in quanto di grado 1, mentre (x 5 2x 2 + 4x 2) è irriducibile su Q[x] in quanto si può applicare Eisenstein con p = 2. Quindi: f(x) = (x + 2) (x 5 2x 2 + 4x 2) È la fattorizzazione in irriducibili cercata. 2

3 3. Trovare una fattorizzazione in irriducibili su Z3[x] del polinomio g = x 6 + x 5 x + 1. Esempio risoluzione: g(x) non ha radici in Z3 infatti: g(0) = 1 g(1) = 2 g(2) = 2 Cerchiamo di vedere se ha fattori multipli. Il polinomio derivata è g (x) = 2x 4 1 Calcoliamo il massimo comun divisore tra g(x) e g (x): g(x) = g (x) 2x 2 + 2x + 2x 2 + x + 1 q 1 (x) r 1 (x) g (x) = r 1 (x) (x 2 + x 1) Dunque r 1 (x) = G.C.D.(g(x), g (x)) = 2x 2 + x + 1 è un fattore multiplo di g(x). A questo punto abbiamo due casi possibili visto il grado di g(x): g(x) = r 3 1(x). g(x) = r 2 1(x) h(x) con G.C.D.(r 1 (x), h(x)) = 1. In ogni caso x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (2x 2 + x + 1) 2 divide g(x). Possiamo perciò eseguire la divisione e vedere se il fattore che rimane è r 1 (x) stesso o un fattore primo con r 1 (x): g(x) = r 2 1(x) (x 2 2) Dunque la fattorizzazione in irriducibili di g(x) in Z3[x] è: g(x) = (2x 2 + x + 1) 2 (x 2 + 1) 3

4 4. Sia K S 5 il sottoinsieme delle permutazioni di 1, 2, 3, 4, 5} che lasciano fisso 1. (a) Dimostrare che K è sottogruppo di S 5. (b) Considerata f : K K che associa ad ogni k in K l elemento k (35) dimostrare che f(k) = K e dire se f è omomorfismo di gruppi da K in K. Esempio risoluzione: Per mostrare che K è sottogruppo di S 5, essendo K non vuoto e S 5 finito, basta dimostrare che è chiuso per composizione. È facile osservare che la composizione di due permutazioni che lasciano fisso 1 continua a lasciare fisso 1 1 L applicazione f non è un omomorfismo da K in K in particolare perché f(id) = (35) e noi sappiamo che un omomorfismo di gruppi manda l identità del gruppo-dominio nell identità del gruppo-codominio. Che l applicazione f sia surgettiva lo possiamo mostrare in tanti modi: per esempio osservando che se σ e α sono in K allora: σ (35) f(σ) = α (35) σ = α f(α) In quanto essendo S 5 un gruppo vale la legge di cancellazione (tutti gli elementi sono invertibili). Perciò f è iniettiva ma essendo tra insiemi finiti della stessa cardinalità questo implica f surgettiva. Si poteva provare direttamente la surgettività notando che per ogni σ K: ( ) σ = 1 σ(2) σ(3) σ(4) σ(5) La permutazione α: α = Appartiene a K e f(α) = σ. ( σ(2) σ(5) σ(4) σ(3) ) 1 Se è chiuso per composizione, non vuoto e finito (in quanto sottoinsieme di un finito) allora esiste k K ed inoltre esistono m, n Z con m > n tali che: k m = k n Allora k m n è l identità ed appartiene a K, così come k m n 1 che è l inverso di k. Infine che sia associativa segue dal fatto che lo è in S 5 e dunque a maggior ragione lo è in K. 4

5 5. Siano dati i gruppi A = A 4, B = Z 24, C = Z 13, D = Z2 Z2 Z3 ed E = Z 9 Z 4. Determinare le relazioni di isomorfismo di gruppo tra di essi, giustificando perché due gruppi non siano isomorfi e viceversa esplicitando gli isomorfismi tra gruppi isomorfi. Ricorda che A 4 e il sottogruppo di degli elementi di S 4 generati da un numero pari di trasposizioni, Esempio risoluzione: A è un sottogruppo di S 4 non abeliano quindi non può essere isomorfo a nessuno degli altri in quanto B, C, D, E sono tutti abeliani. Per questo proviamo a sfruttare il teorema di struttura e scrivere a quali prodotti diretti di gruppi ciclici sono isomorfi 2 : (a) B = (Z8) (Z3) Ora Z 3 è un gruppo di due elementi ed è dunque isomorfo a Z2, mentre è facile provare che tutti gli elementi di Z 8 hanno ordine uno (l identità 1) o due (3, 5, 7) quindi è un gruppo di 4 elementi non ciclico ovvero è isomorfo a Z2 Z2. Concludendo per la transitività degli isomorfismi: B = Z2 Z2 Z2 (b) C sappiamo che è ciclico (è uno Z p con p primo) con 12 elementi, perciò C = Z12. In particolare non è isomorfo a B (hanno cardinalità diverse). (c) D è già scritto come prodotto diretto di gruppi ciclici e in particolare abbiamo che non è isomorfo a B (cardinalità diverse) e nemmeno a C che è ciclico. Mentre l ordine massimo di un elemento in D è 6. (d) Z 9 è ciclico di 6 elementi (basta osservare che 2 ha ordine 6 in Z 9) e quindi è isomorfo a Z6. Z 4 ha due elementi e dunque è isomorfo a Z2, perciò: E = Z2 Z2 Z3 Dunque l unico isomorfismo λ che sussiste è quello tra E ed D proviamo ad esplicitarlo. Basta definire λ su un insieme di generatori di E (che non è ciclico ma generato da due elementi) per esempio (2, 1) e (1, 3) e mandare questi elementi in elementi dello stesso ordine e nello stesso tempo fare in modo che il sottogruppo generato da λ(2, 1) e quello generato da λ(1, 3) abbiano come unica intersezione l identità. Un esempio è dato dunque da: λ(2, 1) = (0, 1, 1) λ(1, 3) = (1, 0, 0) 2 Per far questo sfruttiamo il teorema cinese del resto: Zm Zn = Zm n (m, n) = 1 e l osservazione che se H, T sono due anelli allora: (H T ) = H T 5