DIARIO DELLE LEZIONI DI ALGEBRA I Canale Dl-Pa A.A

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DI ALGEBRA I Canale Dl-Pa A.A Lunedì 5 Marzo Introduzione alla teoria degli insiemi: nozioni e notazioni fondamentali. Criterio di uguaglianza tra insiemi. Unione, intersezione e differenza di due o più insiemi. L insieme vuoto. Leggi di De Morgan. L insieme delle parti di un insieme dato. Prodotto cartesiano di due o più insiemi. Definizione di relazione tra due insiemi. Definizione di funzione (dal punto di vista del suo grafico). Dominio e codominio. Insieme immagine di un sottoinsieme del dominio. Antiimmagine di un sottoinsieme del codominio. Restrizione di una funzione. Martedì 6 Marzo Esempi di funzione: la funzione opposta, la funzione costante, la funzione identica, l immersione, la funzione caratteristica. Definizione di iniettività e suriettività. Biezioni. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti. Caratterizzazione dell iniettività e suriettività mediante l antiimmagine di un elemento del codominio. Composizione di funzioni: associatività. Composizione di funzioni iniettive (suriettive) è iniettiva (suriettiva). Teorema di caratterizzazione delle funzioni biettive e definizione della funzione inversa. Giovedì 8 Marzo Composizione di funzioni biettive è biettiva e determinazione dell inversa di g f. Equipotenza tra N e Z. L essere equipotenti tra insiemi finiti ed infiniti: osservazioni. Definizione di relazione d equivalenza e relazione d ordine e d ordine totale. Esempi. Definizione di classe di equivalenza di un elemento x rispetto ad una relazione di equivalenza. Definizione di classe di equivalenza. Lunedì 12 Marzo Definizione di partizione. Una relazione di equivalenza su di un insieme genera una partizione. L insieme quoziente. Rappresentanti di una classe di equivalenza e sistema di rappresentanti. Teorema sull esistenza di una 1

2 biezione tra l insieme delle equivalenze e quello delle partizioni di un insieme dato. La congruenza modulo un intero. L equivalenza definita mediante l uguaglianza delle immagini ( f ). La proiezione di un insieme sul quoziente. Enunciato del Teorema principale che lega equivalenze e funzioni e suo corollario. Martedì 13 Marzo Dimostrazione del Teorema principale ed applicazioni. Esercizi. Introduzione della definizione di cardinalità. Definizione di insieme numerabile. Giovedì 15 Marzo Definizione di sull insieme Card delle cardinalità. Teorema di Schroeder- Bernstein (senza dimostrazione). (Card, ) è un insieme totalmente ordinato. Un insieme infinito contiene sempre un sottoinsieme numerabile. Un sottoinsieme di un insieme numerabile è finito o numerabile. N è la più piccola delle cardinalità non finite. L unione di un numero finito o di un infinità numerabile di insiemi numerabili è numerabili: la diagonale di Cantor. La cardinalità di Z, Q e A B. Teoremi di Cantor: A < P(A), N < R. Lunedì 19 Marzo Conclusione della dimostrazione dei Teoremi di Cantor. Esercizi sulle cardinalità. L ipotesi del continuo. I numeri interi. Assiomi di Peano. Principio di induzione. Principio di induzione forte. Principio del buon ordinamento. Esercizi usando il principio di induzione. Martedì 20 Marzo Equivalenze tra principio d induzione, induzione forte e buon ordinamento. Cenni sulla costruzione di Z. Definizione di struttura algebrica. Semigruppo, monoide, gruppo e gruppo abeliano. Esempi. Definizione di sottostruttura e sottogruppo. Il sottogruppo degli elementi invertibili di un monoide. Definizione di anello, dominio, corpo e campo. Struttura moltiplicativa dell anello. Esempi. Divisori dello zero. Un dominio è privo di divisori dello zero. Cancellazione in un dominio. 2

3 Giovedì 22 Marzo Divisione col resto in Z. Esistenza ed unicità del mcd tra interi. Identità di Bezout. Condizioni necessarie e sufficienti affinchè due interi siano coprimi. Teorema dell algoritmo euclideo ed applicazione. Definizione di numero primo. Proprietà semplici del mcd e dei primi. Lunedì 26 Marzo Lemma di Euclide. Preparazione al Teorema fondamentale dell aritmetica. Dimostrazione del Teorema. Osservazioni e conseguenze. Esercizi sulle strutture algebriche: sottogruppi e sottogruppi normali, sottoanelli. Martedì 27 Marzo P è infinito. Introduzione all aritmetica congruenziale. Compatibilità della congruenza modulo m con le operazioni di somma e moltiplicazione. Divisione col resto per numeri grandi. Operazioni in Z/ m. Z/ m è un anello. Gli elementi invertibili di Z/ m : caratterizzazione. Condizioni necessarie e sufficienti affinchè Z/ m sia un campo e un dominio. La funzione di Eulero. Gruppi ciclici. Esempi: (Z/ m, ˆ+) e (Z, +). I generatori di (Z/ m, ˆ+). Lunedì 2 Aprile (I) Teorema di Eulero-Fermat. Piccolo Teorema di Fermat. Teorema di Wilson. Applicazioni. Equazioni congruenziali. Condizioni necessarie e sufficienti e soluzioni di un equazione congruenziale. Sistemi di equazioni congruenziali. Teorema Cinese del Resto. Lunedì 2 Aprile (II) Esercizi sulle congruenze ed i sistemi di equazioni congruenziali. Criteri di divisibilità. 3

4 Martedì 3 Aprile Dimostrazione del Teorema Cinese del resto. Introduzione alla teoria degli anelli. Definizioni di omomorfismi tra strutture. Strutture isomorfe. Esempi. Sottoanelli e ideali. Esempi. Gli ideali di Z. L immagine di un anello è un sottoanello. Il nucleo di un omomorfismo. f è iniettiva se, e solo se, Kerf = {0}. Giovedì 12 Aprile Sottostrutture generate. Ideale generato. Generatori di ideali. Ideali principali. Anelli di tipo finito. Domini a ideali principali. Esempi. Gli ideali di un corpo. Descrizione dell ideale generato da un numero finito di elementi in un anello commutativo unitario. Costruzione del gruppo quoziente (rispetto ad un sottogruppo normale) e dell anello quoziente (rispetto ad un ideale). L epimorfismo canonico. Teorema di fattorizzazione. Teorema di isomorfismo per anelli. Lunedì 16 Aprile Teorema di corrispondenza per gli anelli fattoriali. Antiimmagine di un ideale ed immagine di un ideale tramite un epimorfismo. Corollari. I sottoanelli di Z/Zm. Esercizi. Martedì 17 Aprile Ideali primi e massimali. Teorema di caratterizzazione di ideali primi e massimali. Gli ideali massimali di Z. Esercizi sul teorema di isomorfismo per anelli, ideali primi e massimali. Giovedì 19 Aprile Il campo dei quozienti di un dominio. Costruzione del campo dei quozienti. Per ogni dominio esiste a meno di isomorfismi un unico campo dei quozienti. La proprietà universale del campo dei quozienti e precisazione sull unicità. L anello dei polinomi: definizione. Un polinomio come successione finita. Ampliamento di un anello A[z]. Elemento algebrico e trascendente. Estensione di A N fin con l elemento x := (0, 1, 0,..., 0,...). 4

5 Lunedì 30 Aprile Grado di un polinomio non nullo, coefficiente direttore e termine noto. Divisibilità tra polinomi. Polinomi irriducibili. Grado della somma e del prodotto tra polinomi. Se A è un dominio, allora A[x] è dominio e U(A[x]) = U(A). Anello dei polinomi in più variabili. La proprietà euclidea dei polinomi monici e sua estensione al caso di anello dei polinomi a coefficienti in un campo. Giovedì 3 Maggio Definizione di funzione euclidea e di dominio euclideo (DE). Esempi: (Z, ), (C[x], δ), gli interi di Gauss ed i suoi elementi invertibili. C campo se, e solo se, δ è funzione euclidea su C[x]. Definizione di dominio ad ideali principali (DIP). Z[x] non è DIP. DE implica DIP. C[x] è DIP. I generatori di un ideale J di C[x] e descrizione dell anello quoziente C[x]/J. J è massimale se, e solo se, J è primo se, e solo se, J è generato da un polinomio irriducibile. Lunedì 7 Maggio Criteri di irriducibilità per i polinomi. Se C è un campo ogni polinomio di grado 1 è irriducibile. Polinomi irriducibili in Q[x], ma non in Z[x]. Irriducibilità in Z[x] implica irriducibilità in Q[x]. Criterio di Eisenstein. Criterio di traslazione. Criterio di irriducibilità di un polinomio di grado 2 o 3 a coefficienti in un campo. Possibili radici in Q di un polinomio a coefficienti in Z. Teorema di riduzione modulo un primo. Divisibilità in un dominio. Elementi primi, irriducibili ed associati e loro interpretazioni in termini di ideali generati. a primo implica a irriducibile ed equivalenza in un dominio a ideali principali. Definizione di dominio atomico e di dominio a fattorizzazione unica (DFU). Esempi. Martedì 8 Maggio Anello quoziente e relazioni in un anello. Imporre la relazione a = 0 in un anello. Esercizi. Estensione di un anello. L anello dei polinomi e la soluzione universale all estensione di un anello. Estensione di un anello con la radice di un polinomio monico e non monico: differenze. Esercizi. Estensione di un anello con l aggiunta di un inverso di un elemento. Il caso in cui si aggiunge l inverso di un divisore dello zero non banale. Esercizi. 5

6 Giovedì 10 Maggio Domini a fattorizzazione unica: fissare gli irriducibili. A è DFU se, e solo se, A è atomico e ogni p A irriducibile è primo. Condizione delle catene ascendenti per gli ideali (principali) di un anello. Anello a condizione massimale per i suoi ideali (principali). A verifica la condizione delle catene ascendenti se, e solo se, è a condizione massimale per i sui ideali se, e solo se, è di tipo finito. Se A è DIP, allora A è a condizione massimale per i suoi ideali e ogni irriducibile è primo. A è DFU se, e solo se, A è a condizione massimale per i suoi ideali principali e ogni p A irriducibile è primo. DIP implica DFU. Teorema di Ruffini. Teorema di Cauchy. Teorema fondamentale dell Algebra (senza dimostrazione). Lunedì 14 Maggio Contenuto di un polinomio a coefficienti interi e polinomi primitivi. Decomposizione (unica) di un polinomio a coefficienti razionali nel prodotto di un numero razionale positivo e di un polinomio primitivo. Lemma di Gauss e suo corollario. Divisibilità tra polinomi in Z[x] ed in Q[x]: relazioni. Dimostrazione dell irriducibilità in Q[x] di un polinomio (a coefficienti interi) di grado 1 irriducibile in Z[x]. Gli elementi irriducibili di Z[x]. f irriducibile in Z[x] implica f elemento primo di Z[x]. Z[x] è DFU. Martedì 15 Maggio Dimostrazione del fatto che Z[x] è DFU. MCD tra elementi di un dominio. L MCD è una classe di equivalenza rispetto alla relazione di associato. Esistenza dell MCD nei DFU. L MCD nei DIP. Elementi coprimi. Terema dell algoritmo euclideo per trovare un elemento dell MCD nei DE. Dimostrazione del criterio di Eisenstein. Z[ 10] non è DFU. Giovedì 17 Maggio Esercizi. Introduzione dei primi di Gauss. Un numero primo p o è primo di Gauss o è il prodotto di due primi di Gauss complessi e coniugati. Se π è un primo di Gauss, allora o ππ è un numero primo, o è il quadrato di un numero primo. 6

7 Lunedì 21 Maggio Se p P, p è un prodotto di due primi di Gauss complessi e coniugati se, e solo se, p = a 2 + b 2 se, e solo se, x 2 p 1 ha soluzioni se, e solo se, p è pari o p 4 1. I numeri primi che sono di Gauss sono quindi tutti e soli quelli congrui a 3 (mod 4). Introduzione ai moduli. Definizione di modulo su di un anello commutativo unitario. Esempi: gli spazi vettoriali, i gruppi abeliani (ed equivalenza tra gruppi abeliani e Z-moduli). Un anello R come R-modulo. Il modulo R n. Sottomoduli ed omomorfismi di R- moduli. R-moduli isomorfi. I sottomoduli banali ed i sottomoduli dell Rmodulo R. Im(f) e Ker(f): caratterizzazione dell iniettività e suriettività per mezzo di questi sottomoduli. Moduli quoziente ed epimorfismo canonico. Teorema di isomorfismo per i moduli e Teorema di corrispondenza per i moduli quoziente. Martedì 22 Maggio I sottomoduli N N e N +N. Teorema del parallelogramma e Teoremi di isomorfismo. Combinazione lineare di elementi di un modulo. Sottomodulo generato da un insieme. Sistemi di generatori e basi. Moduli finitamente generati. Fissati m 1,..., m n elementi di un R-modulo M e l omomorfismo di R-moduli f : R n M, (a 1,..., a n ) a 1 m a n m n, determinazione di condizioni necessarie e sufficienti affinchè m 1,..., m n sia un sistema di generatori e/o base. Definizione di modulo libero. Un modulo è libero se, e solo se, ha una base. Il rango di un modulo libero. Matrici associate ad un omomorfismo di R-moduli. Determinanti di matrici intere. Giovedì 24 Maggio Matrici a coefficienti in un anello commutativo unitario: determinante e condizioni necessarie e sufficienti per l invertibilità. Il rango di un modulo libero è ben definito. Estrazione da un insieme di generatori di un modulo di una base e completamento di un sistema linearmente indipendente ad una base: differenze col caso degli spazi vettoriali. Basi di un modulo libero. Lunedì 28 Maggio Cambiamento di coordinate e matrici di passaggio tra basi. Operazioni elementari sulle matrici. Teorema di diagonalizzazione di matrici intere 7

8 e corollario. Interpretazioni delle matrici di passaggio come cambiamento di base nel dominio e codominio. Se R è DIP, i sottomoduli di un R- modulo finitamente generato sono finitamente generati. Teorema principale sui sottomoduli di un modulo libero di rango n. Martedì 29 Maggio Dimostrazione del teorema principale. Somma e somma diretta di sottomoduli. Moduli ciclici: caratterizzazione. I gruppi ciclici. Moduli non liberi: relazioni tra gli elementi di un modulo. Vettori di relazione. Insieme completo di relazione. Conucleo di un omomorfismo di R-moduli. Presentazione di un R-modulo e matrice di presentazione. Giovedì 31 Maggio Presentazione di un modulo finitamente generato su di un DIP. Cambiamento di matrice di presentazione: operazioni elementari. Teorema di classificazione dei moduli finitamente generati su di un DIP. Dimostrazione nel caso di moduli su di un DE. Lunedì 4 Giugno Prodotto diretto di moduli e somma diretta di sottomoduli: relazioni. Versione moltiplicativa del Teorema di struttura dei moduli finitamente generati su DIP. Esercizi. Martedì 5 Giugno (I) Prodotto diretto interno e prodotto diretto esterno di gruppi. Relazioni. Somma diretta e prodotto diretto di anelli. Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati: decomposizione in gruppi ciclici ed in gruppi ciclici di ordine potenza di un primo. Generalizzazione del Teorema cinese del resto. Unicità della decomposizione. Definizione di fattorizzazione ammissibile di un intero n > 1. Il numero di gruppi abeliani finiti di ordine n non isomorfi coincide col numero delle fattorizzazioni ammissibili di n. Definizione di partizione di un intero n 1. Lunghezza della partizione. Dato n = p n 1 1 pn h h il numero delle fattorizzazioni ammissibili di n è esattamente P (n 1 ) P (n h ), dove P (n j ) è il numero delle partizioni di n j. Quindi 8

9 è esat- il numero dei gruppi abeliani non isomorfi di ordine n = p n 1 1 pn h h tamente P (n 1 ) P (n h ). Martedì 5 Giugno (II) Esercizi sui gruppi abeliani finiti. Giovedì 7 Giugno Esercizi sui gruppi abeliani finiti e sull ordine degli elementi in tali gruppi. Il numero degli elementi dello Z-modulo Z[i]/I, dove I è un ideale principale. 9