DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA. (41 ore complessive di lezione)

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1 DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA DOCENTE: SANDRO MATTAREI (41 ore complessive di lezione) Prima settimana. Lezione di martedí 22 febbraio 2011 (due ore) Rappresentazione di numeri interi e reali rispetto a una base arbitraria b. Conversione da base b a base 10. Conversione da base 10 a base b. Complessità computazionale: operazioni bit. Complessità dell addizione (e della sottrazione) e della moltiplicazione. La notazione O maiuscola. Lezione di mercoledí 23 febbraio 2011 (un ora) Numeri periodici in base b. Seconda settimana. Lezione di martedí 1 marzo 2011 (due ore) L algoritmo di Karatsuba per la moltiplicazione. Cenno alla Fast Fourier Transform. Complessità della divisione con resto. Complessità della conversione fra basi diverse. Complessità del calcolo del fattoriale. Algoritmi a tempo polinomiale. L algoritmo di Euclide e la sua complessità. Lezione di mercoledí 2 marzo 2011 (un ora) Ulteriori osservazioni sulla complessità dell algoritmo di Euclide. L algoritmo di Euclide esteso e la sua complessità. Terza settimana. Lezione di martedí 8 marzo 2011 (due ore) Cenni alle frazioni continue. Gli invertibili nell anello degli interi modulo m. Calcolo di inversi modulo m e risoluzione di congruenze. Loro complessità. Il Teorema cinese dei resti. Dimostrazione non costruttiva (mediante il lemma dei cassetti) e dimostrazione costruttiva. Risoluzione di sistemi di congruenze. La funzione di Eulero e come si calcola. 1

2 2 DOCENTE: SANDRO MATTAREI Lezione di mercoledí 9 marzo 2011 (un ora) Equivalenza computazionale fra la fattorizzazione di n = pq ed il calcolo della sua funzione di Eulero. Algoritmo di Bombelli per estrarre le radici quadrate di numeri interi o reali (quello imparato alla scuola media). Complessità della fattorizzazione negli interi usando il metodo delle divisioni per tentativi. Quarta settimana. Lezione di martedí 15 marzo 2011 (due ore) Il Teorema di Eulero-Fermat. Il Piccolo Teorema di Fermat (con tre dimostrazioni: con i gruppi, per induzione, combinatoria con le collane di perline ). Il teorema dei numeri primi (enunciato e discussione, inclusa la forma equivalente sull n-esimo primo). Teorema di Dirichlet sui primi contenuti in una progressione aritmetica (enunciati). Dimostrazione elementare dell esistenza di infiniti primi 1 (mod m). Divisori primi di numeri della forma a n 1. Divisori primi di numeri della forma 1 + a + a a q 1. Caso speciale del teorema di Dirichlet: per q primo, esistono infiniti primi 1 (mod q). Lezione di mercoledí 16 marzo 2011 (un ora) Primi di Mersenne e di Fermat. Quinta settimana. Lezione di martedí 22 marzo 2011 (due ore) Rafforzamento del teorema di Eulero-Fermat, nel caso speciale in cui n = pq. Esponente di un gruppo. La funzione di Carmichael. L ordine del prodotto di due elementi di un gruppo: se essi commutano e hanno ordini coprimi, allora il loro prodotto ha ordine il prodotto degli ordini. Lezione di mercoledí 23 marzo 2011 (un ora) Risultato piú generale sull ordine del prodotto di due elementi in un gruppo commutativo. Sesta settimana. Lezione di martedí 29 marzo 2011 (due ore) Ogni sottogruppo moltiplicativo finito di un campo è ciclico. Esempi di calcolo di un generatore. Generatori di un campo finito. La congettura di Artin. Lezione di mercoledí 30 marzo 2011 (un ora) Primi passi verso la determinazione della struttura del gruppo U(Z/p α Z): esso ha un elemento di ordine p 1.

3 DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA 3 Settima settimana. Lezione di martedí 5 aprile 2011 (due ore) Se p è un primo dispari, 1 + p ha ordine p α 1 modulo p α. Il numero 5 ha ordine 2 α 2 modulo p α. Lezione di mercoledí 6 aprile 2011 (un ora) Conclusione della dimostrazione nel caso p = 2. L ordine modulo p α di 1 + pa, in generale. Ottava settimana. Lezione di martedí 12 aprile 2011 (due ore) Il gruppo U(Z/p α Z) è ciclico se p > 2, mentre è prodotto diretto di due gruppi ciclici, di ordini 2 e 2 α 2, se p = 2. L esponente di U(Z/nZ). Se g è una radice primitiva modulo p, allora almeno uno fra g e g(1 + p) (o, equivalentemente, uno fra g e g + p) è una radice primitiva modulo p α. Se g è una radice primitiva modulo p 2 allora è anche una radice primitiva modulo p α per ogni α. Lezione di mercoledí 13 aprile 2011 (un ora) Cenni all isomorfismo di (1 + pz)/p α Z su pz/p α Z dato dal logaritmo. Il logaritmo discreto (in un campo finito). Tabelle di logaritmi discreti. Nona settimana. Lezione di martedí 19 aprile 2011 (due ore) La crittografia in generale. Esempi di crittografia a chiave segreta: mappe affini su Z/N Z. Analisi di frequenza. Altri esempi di crittografia a chiave segreta: mappe affini su Z/N k Z; mappe affini su (Z/NZ) k. Lezione di mercoledí 20 aprile 2011 (un ora) La crittografia a chiave pubblica. Firme autenticate. Il metodo RSA. Generalizzazione del teorema di Eulero-Fermat nel caso in cui n è libero da quadrati. Sua falsità altrimenti. Decima settimana. Lezione di mercoledí 27 aprile 2011 (un ora) Dimostrazione della generalizzazione del teorema di Eulero-Fermat. Varie osservazioni sul metodo RSA: basta che le chiavi e e d siano inverse modulo [p 1, q 1]; necessità di avere P C; firme autenticate nel metodo RSA. Undicesima settimana. Lezione di martedí 3 maggio 2011 (due ore) Scoprire la chiave privata d del metodo RSA è difficile quanto fattorizzare n: un algoritmo probabilistico per fattorizzare n = pq conoscendo un multiplo di [p 1, q 1]. Calcolo di potenze modulo m, complessità dei vari metodi. L algoritmo eleva al quadrato e moltiplica.

4 4 DOCENTE: SANDRO MATTAREI Lezione di mercoledí 4 maggio 2011 (un ora) Il logaritmo discreto. Lo scambio di chiavi di Diffie-Hellmann. Il metodo di Massey-Omura. Dodicesima settimana. Lezione di martedí 10 maggio 2011 (due ore) Il metodo di El-Gamal. Algoritmo di Silver-Pohlig-Hellman per il calcolo del logaritmo discreto in un campo finito: il caso speciale di un primo di Fermat; il caso generale. Radici dell unità in un campo finito. Resti quadratici modulo p. Il simbolo di Legendre. Lezione di mercoledí 11 maggio 2011 (un ora) La proposizione di Eulero sul simbolo di Legendre. Proprietà fondamentali del simbolo di Legendre. Il valore di (2/p) (senza dimostrazione). La legge di reciprocità quadratica di Gauss (senza dimostrazione). Tredicesima settimana. Lezione di mercoledí 18 maggio 2011 (un ora) Applicazioni della legge di reciprocità quadratica: modulo quali primi p il numero 3 è un resto quadratico; modulo quali primi ha soluzioni una congruenza quadratica. Quattordicesima settimana. Lezione di martedí 24 maggio 2011 (due ore) 5 è una radice primitiva modulo ogni primo di Fermat diverso da 5. Criterio di Pépin per la primalità dei numeri di Fermat. Simbolo di Jacobi, e suo utilizzo. Radici quadrate modulo p: alcuni casi speciali. Lezione di mercoledí 25 maggio 2011 (un ora) Algoritmo di Tonelli e Shanks per l estrazione di radici quadrate modulo p. Quanto costa trovare un non-resto quadratico modulo p, in senso probabilistico e in senso deterministico; applicazione della stima di Polya-Vinogradov h a=1( a p) 2 p log p (nel caso speciale del carattere quadratico modulo p). Quindicesima settimana. Lezione di martedí 31 maggio 2011 (due ore) Test (probabilistici) di primalità. Pseudoprimi. Numeri di Carmichael e loro caratterizzazione. Pseudoprimi di Eulero e test di Solovay-Strassen. Pseudoprimi forti e test di Miller-Rabin. Perché (p 1, q 1) deve essere piccolo nel metodo RSA.

5 DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA 5 Lezione di mercoledí 1 giugno 2011 (un ora) Fattorizzazione: il metodo p 1 di Pollard. Conseguenza per la scelta dei primi p e q nel metodo RSA.