COMPITO DI ALGEBRA TRENTO, 13 GENNAIO 2016

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1 COMPITO DI ALGEBRA TRENTO, 13 GENNAIO 2016 Istruzioni: (1) Questo compito consiste di sei facciate e ventidue esercizi. (2) Risolvete tutti gli esercizi seguenti. (3) Giustificate, possibilmente in modo conciso ed esauriente, le risposte che date: (a) dovete dimostrare solo quello che vi chiediamo esplicitamente di dimostrare; (b) ma se fate uso di un risultato, citatelo esplicitamente. Esercizio 1. Si definisca la relazione di congruenza modulo n sugli interi. Per ogni a Z, sia [a] = { x Z : x a (mod n) } la sua classe di congruenza. Si mostri che [a] = { a + n t : t Z }. (Attenzione! Non ci si può appellare a risultati generali sulle relazioni di equivalenza, occorre usare direttamente la definizione.) Esercizio 2. Si dia la definizione di elementi invertibili e 0-divisori in un anello commutativo con unità. Si enunci la caratterizzazione degli elementi invertibili e 0-divisori in Z/nZ, per n 2. Si consideri n = 841. Per ognuna delle classi [a] = [217], [348] Z/nZ, si dica se [a] è invertibile (esibendo in tal caso come prova l inverso), oppure se [a] è un divisore dello zero (esibendo in tal caso come prova un elemento [b] [0] tale che [a][b] = [0]). Si calcoli anche il minimo comune multiplo fra 841 e 217, e fra 841 e 348, spiegando quale formula si usa. (Attenzione! In questo esercizio è obbligatorio usare l algoritmo di Euclide esteso, e riportare tutti i passaggi.) Esercizio 3. Si dica se i seguenti sistemi di congruenze sono risolubili, spiegando perché. Qualora un sistema abbia soluzione, le si trovino tutte, giustificando la risposta. x 1 (mod 217) x 11 (mod 217) x 15 (mod 203) x 24 (mod 203) (Attenzione! In questo esercizio è obbligatorio usare il metodo visto a lezione.)

2 2 COMPITO DI ALGEBRA Esercizio 4. Si enunci il criterio di divisibilità per 7, dandone un cenno di dimostrazione. Si consideri il numero decimale a = 14376x, ove x è una cifra decimale incognita. Si trovi x, se esiste, in modo che a sia divisibile per 2, 3, 4, 7, 9, 11. (Intendo per uno alla volta, non necessariamente per tutti contemporaneamente.) Esercizio 5. (1) Si enunci il Primo Teorema di Isomorfismo per gli Anelli, nella prima forma. (2) Si enunci il Teorema Cinese dei Resti, come isomorfismo fra due anelli. (3) Si utilizzi il Primo Teorema di Isomorfismo per gli Anelli per dimostrare il Teorema Cinese. (Non c è bisogno di dimostrare che il prodotto diretto di anelli è un anello.) (4) Usando il Teorema Cinese, si mostri che se gcd(m, n) = 1, allora ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). (Qui ϕ è la funzione di Eulero.) Esercizio 6. Sia F un campo. Si mostri che se I { 0 } è un ideale dell anello dei polinomi F [x], allora I = (f) = { fz : z F [x] }, ove f 0 è un polinomio di grado minimo fra gli elementi di I. Esercizio 7. Si consideri il seguente schema RSA. Alice pensa i numeri primi p = 19 e q = 53, e calcola n = pq. Fatelo anche voi. Notate che 26 2 n < 26 3, dunque con questo n si possono cifrare coppie di lettere, e così faremo nel seguito. Ogni lettera viene prima trasformata in un numero p i fra 0 e 25, secondo lo schema A 0, B 1,... Z 25, e poi di ogni coppia di lettere si fa un unico numero compreso fra 0 e n: spiegate come. Alice calcola ϕ(n) (fatelo anche voi, spiegando come fate), e sceglie r = 535. Verificate che sia (r, ϕ(n)) = 1, e calcolate s, t tali che rs + ϕ(n)t = 1. Alice comunica r, n a Bob, che dopo un po le manda il messaggio Decifratelo. [97, 152, 861]. Esercizio 8. Si dia la definizione di elementi primi e irriducibili in un dominio. Partendo dall eguaglianza 6 = 2 3 = (1 + 5) (1 5), si mostri che 1 5 è irriducibile, ma non primo, in Z[ 5]. Si mostri che 6 e 2 (1 5) non hanno un massimo comun divisore in Z[ 5]. Esercizio 9. Si scriva il numero primo 281 come somma di due quadrati. (Attenzione! Si usi l algoritmo esposto a lezione, illustrandone i passaggi.)

3 COMPITO DI ALGEBRA 3 Esercizio 10. (1) Sia F un campo, a F [x]. Si mostri che sono equivalenti: (a) a è una unità in F [x]; (b) grado(a) = 0; (c) a è una costante non nulla, cioè a F. (2) Questo risultato vale ancora se al posto di un campo prendiamo Z? Esercizio 11. (1) Si dia la definizione di dominio euclideo. (2) Si mostri che in un dominio euclideo gli irriducibili sono primi. Esercizio 12. Sia A un dominio in cui gli irriducibili sono primi. Si mostri che se i p i, q i sono irriducibili, e p 1 p 2... p n = q 1 q 2... q m, allora n = m, e a meno di riordinare i q i, si ha che p i è associato a q i per ogni i. Esercizio 13. Alice e Bob giocano a testa o croce per telefono. (1) Alice pensa i due numeri primi p = 19 e q = 59 (che siano primi ve lo diciamo noi, ma dovete verificare che siano entrambi congrui a 3 modulo 4), calcola N = p q, e trasmette N a Bob. (2) Bob le comunica b = 843. (3) Si mostri come fa Alice a trovare le quattro radici quadrate di b modulo N, e le si trovino effettivamente. (4) Si spieghi come prosegue il gioco. In particolare, si mostri come fa Bob, se ha vinto, a dimostrare ad Alice di aver vinto, cioè facendo vedere che è in grado di trovare p e q.

4 4 COMPITO DI ALGEBRA Esercizio 14. Si consideri α = C. (1) Si trovi un polinomio monico f Q[x] di grado 4 di cui α è radice. (2) Si mostri che Q[α] : Q 4. (3) Si mostri che 3 Q[α]. (4) Si mostri che K = Q[ 3] Q[α]. (5) Si mostri che 7 Q[α]. (6) Si mostri che K[ 7] Q[α]. (7) Si mostri che Q[ 3] : Q = 2. (8) Si mostri che K[ 7] : K = 2. (9) Si deduca dai due punti precedenti che K[ 7] : Q = 4. (10) Si mostri che K[ 7] = (Q[ 3])[ 7] = Q[α]. (11) Si mostri che Q[α] : Q = 4. (12) Si mostri che f è il polinomio minimo di α su Q. Esercizio 15. Sia F 3 = Z/3Z = { 0, 1, 1 } il campo con 3 elementi. (1) Si mostri che i polinomi monici e irriducibili di grado 2 in F 3 [x] sono tutti e soli i seguenti: f 1 = x 2 + x 1, f 2 = x 2 x 1, f 3 = x (2) Si costruisca un campo E = F 3 [α] con 9 elementi, ove α è radice di f 1. (3) Si mostri che ogni elemento di E si scrive in modo unico nella forma a 0 + a 1 α, per a 0, a 1 F 3. (4) Si calcolino le potenze di α, costruendo la tabella del logaritmo discreto. (5) Si trovino in E tutte le radici di f 1, f 2, f 3. Esercizio 16. (1) Si enunci il Lemma di Eisenstein. (2) Si mostri che il polinomio è irriducibile in Z[x]. x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

5 COMPITO DI ALGEBRA 5 Esercizio 17. Sia n 3 un intero. Si consideri il gruppo delle permutazioni su Ω = Z/nZ = { 0, 1, 2,..., n 1 } D n = { f a,b : b Z/nZ, a { 1, 1 } }, ove f a,b : x ax + b. (1) Si mostri che f 1, 1 ha periodo n. (2) Si mostri che ogni f 1,b ha periodo 2, per b Z/nZ. (3) Si mostri che D n non è commutativo. (4) Si calcoli f 1,0 f 1, 1 e se ne dica il periodo. Esercizio 18. Sia V = F n lo spazio delle n-ple sul campo F = Z/2Z. Per a, b V, si ponga la distanza (di Hamming) fra a e b pari a d(a, b) = { i : a i b i } (Sto usando la solita convenzione che a = [a 0, a 1,..., a n 1 ], cioè che la componente i-sima di un vettore a è a i.) Si mostri che per a, b, c V. d(a, b) d(a, c) + d(c, b). Esercizio 19. Sia F 2 = Z/2Z = { 0, 1 } il campo con due elementi. (1) Mostrate che il polinomio f = x 3 + x + 1 F 2 [x] è irriducibile in F 2 [x]. (2) Sia α una radice di f. Costruite la tabellina del logaritmo discreto nel campo F [α], ovvero calcolate le potenze di α come combinazioni lineari di 1, α, α 2. (3) Costruite una matrice di controllo di parità e una matrice del codice di Hamming che ha per parametro f. (4) Codificate e decodificate [0, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 0], [0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1]. Dunque per codificare occorre far vedere come fa il mittente ad associare ad un vettore di F 4 2 (che contiene i bit di informazione) una parola del codice, che è un elemento di F 7 2, aggiungendo quindi i bit di controllo. E per decodificare occorre far vedere come fa il ricevente a decidere se i vettori ricevuti sono parole del codice o no, e a ricostruire in ogni caso cosa ha trasmesso il mittente, assumendo che ci sia stato al più un errore.

6 6 COMPITO DI ALGEBRA Esercizio 20. Sia G un gruppo, e sia H un sottogruppo di G. relazione su G data da at b se e solo se ba 1 H. (1) Si mostri che T è una relazione di equivalenza. (2) Per a G, si dica chi è la sua classe di equivalenza. Si consideri la Esercizio 21. Sia G = a un gruppo ciclico di ordine n. Si mostri che G ha uno e un solo sottogruppo di ordine m, per ogni divisore m di n. Esercizio 22. Si enunci il Terzo Teorema di Isomorfismo per anelli.