MATEMATICA DEL DISCRETO (Informatica) Docenti BONZINI e TURRINI esercizi di preparazione alla prova di metà corso

Transcript

1 MATEMATICA DEL DISCRETO (Informatica) Docenti BONZINI e TURRINI esercizi di preparazione alla prova di metà corso NOTA - Negli esercizi che seguono verranno adottate le seguenti notazioni: il simbolo Z denoterà l insieme dei numeri interi relativi; il simbolo Q denoterà l insieme dei numeri razionali; il simbolo R denoterà l insieme dei numeri reali; il simbolo Z n denoterà l insieme delle classi di resti modulo n; il simbolo A[x] denoterà l insieme dei polinomi nell indeterminata x a coefficienti in A; il simbolo A q [x] denoterà l insieme dei polinomi di A[x] di grado minore o uguale a q; il simbolo B(X) denoterà l insieme delle relazioni sull insieme X; il simbolo E(X) denoterà l insieme delle relazioni di equivalenza sull insieme X; il simbolo O(X) denoterà l insieme delle relazioni d ordine sull insieme X; il simbolo F(X) denoterà l insieme delle applicazioni dell insieme X in sè; il simbolo id X o id denoterà l applicazione identica di X in sè; per R, R B(X) il simbolo R R denoterà il prodotto della relazione R per la relazione R (con notazione funzionale, ovvero prima R e poi R.) per R B(X) e a X il simbolo R(a) denoterà l insieme dei b X tali che arb. se f è un applicazione definita in X, ρ f E(X) denoterà la relazione di equivalenza indotta da f, ovvero la relazione definita da aρ f b se e solo se f(a) = f(b). 1

2 1)Sia X = Q e si consideri la relazione ρ su X definita da aρb m Z tale che a = b + 2m. i) Si determini ρ( 1 2 ); ii) si stabilisca se 1 2 ρ 1 3 ; iii) si stabilisca se ρ è di equivalenza, ed, in caso affermativo, quante sono le classi di equivalenza determinate da ρ. 2) Sia X l insieme delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti razionali e si consideri la relazione in X definita da AρB se e solo se la prima colonna di A è uguale alla prima colonna di B. i) Si stabilisca se ρ determina una partizione di X ed, in caso affermativo, quanti sono gli insiemi ( della partizione; ) 1 0 ii) Si determini ρ( ) ) Si consideri l insieme X = Z \ {0} e la relazione ρ B(X) così definita aρb ab > 0. Si dica, giustificando brevemente la risposta, se le seguenti affermazioni sono i) ρ B(X); ii) ρ O(X); iii) ρ E(X); iv) ρ ρ 1 = id; v) ρ(2) = ρ(5); vi) ρ definisce una partizione di X in due sottoinsiemi. e 4) Sia X = {1, 2, 3, 4} e siano ρ la relazione che definisce la partizione di X nei sottoinsiemi {1, 2, 4} e {3} ( ) α = Si dica, giustificando brevemente la risposta, se le seguenti affermazioni sono 2

3 i) ρ è simmetrica; ii) α è simmetrica; iii) α è transitiva; iv) ρ ρ = ρ; v)α α = id; vi)ρ α F(X); vii)ρ α E(X). 5) Sia X = {2, 4, 6, 8, 20, 28} Z e sia ρ la relazione in X definita da aρb a divide b. i) Si stabilisca se ρ O(X); ii) si determini, se esiste, il massimo di ρ; iii) si determini, se esiste, il minimo di ρ; iv) si determinino Inf{20, 6} e Sup{6, 4}; v) si disegni il grafico di ρ. 6) Sia X l insieme delle matrici reali quadrate di ordine 2 e φ : X X definita da φ(a) = A A t, ove denota il prodotto riga per colonna e A t la matrice trasposta di A. Sia ρ φ la relazione di equivalenza indotta da φ. Si dica, giustificando brevemente la risposta, se le seguenti affermazioni sono i) φ è iniettiva; ii) φ( è suriettiva; ) ( ) iii) ρ 1 1 φ ; ( ) 1 ( iv) ρ φ ( ) = { ) } 7) Sia X = {1, 2, 3, 4, 5} e sia α = ( i) Si stabilisca se α è un applicazione iniettiva e se è un applicazione suriettiva; ii) si determinino le classi di equivalenza della relazione ρ α ; ). 3

4 iii) si stabilisca se si ha α 3 = α. 8) Sia X = {a, b, c, d, d} e sia ρ la relazione in X la cui matrice associata è M ρ = i) Si stabilisca se ρ ρ = ρ;; ii) si stabilisca se ρ E(X) e, in caso affermativo, si determini la classe di equivalenza di d; iii) si stabilisca se ρ O(X) e, in caso affermativo: se ne disegni il diagramma di Hasse, si determinino gli eventuali massimo e minimo, si determinino Inf{a, b, d} e Sup{a, b}. 9)Sia X = {a, b, c, d, e} e sia R la relazione su X così definita R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, b), (e, e)} i) Si costruisca la matrice associata ad R. ii) R è riflessiva iii) R è antisimmetrica iv)r è transitiva v)r è un applicazione da X a X. 10) Sia Q l insieme dei numeri razionali e si consideri l applicazione così definita: i) Si stabilisca se g è iniettiva. ii) Si stabilisca se g è suriettiva. g : Q Q Q g(x, y) = x 2 + y 2. 4

5 11)Si consideri il grafo G il cui insieme dei vertici è {a, b, c, d, e, f, } e la cui lista di lati è {a, b} {a, f} {b, c} {b, f} {c, e} {d, e} {d, f} Si dica, giustificando brevemente la risposta, se le seguenti affermazioni sono i) il grafo G è semplice; ii) il grafo G è regolare; iii) il grafo G è connesso; iv) il grafo G ammette un circuito euleriano. 12) Sia A = {2, 4, 5, 20, 100} Z e si consideri la relazione d ordine R in A definita da nrm se e solo se n divide m. i) Indicare le coppie in relazione. ii) Quanti sono i vertici e quanti gli spigoli del diagrama di Hasse di R? iii) Stabilire se esiste un massimo e se esiste un minimo per la relazione R. 13) Sia A = {a, b, c, d, e} e sia R la relazione su A così definita R = {(a, a), (a, d), (b, a), (b, c), (c, d), (d, a), (d, e)} i) R è riflessiva ii) R è simmetrica iii) R è antisimmetrica iv)r è transitiva v)r è un applicazione da A a A. 14) Sia A = {a, b, c, d, e} e sia R la relazione su A così definita R = {(a, a), (a, c), (a, e), (b, b)(b, c), (c, c), (c, e), (d, c), (d, d), (d, e), (e, e)} i) Stabilire se R è una relazione d equivalenza ed in caso affermativo elencare gli elementi della classe di equivalenza di b. 5

6 ii) Stabilire se R è una relazione d ordine ed in caso affermativo elencare gli spigoli del relativo diagramma di Hasse che hanno un vertice in c. 15) Sia Q l insieme dei numeri razionali e si consideri l applicazione così definita: f : Q Q Q Q f(x, y) = (xy, x). i) f 1 (1, 0) è l insieme vuoto. ii) f(0, 8) = (0, 0). iii) f 1 (0, 0) = {(0, 0)}. iv) f è iniettiva. v) f è suriettiva. 16) Sia Z l insieme dei numeri relativi e si consideri la relazione R in Z definita come segue: nrm se e solo se n m ove t denota il valore assoluto del numero intero t. i) R è riflessiva ii) R è simmetrica iii) R è antisimmetrica iv)r è transitiva 17) Sia A = {a, b, c, d}, e si consideri la relazione R in A la cui matrice associata è 1 1 A = i) È possibile completare la matrice A in modo che R risulti una relazione d ordine? ii) È possibile completare la matrice A in modo che R risulti una relazione d equivalenza? 6

7 18) Si risolva il seguente sistema lineare x +y = 1 x +z = 2 3x +y +2z = 6 19)Al variare del parametro reale k, si discuta la risolubilità del seguente sistema lineare : x 2y = 3 (k 1)x +3y = 3 x +3y = k 3 20)Al variare del parametro reale k, si discuta la risolubilità del seguente sistema lineare : { (k 2 4)x +ky = 2 (k + 2)x +2y = k )Si determini la scrittura in base 8 del numero che in base 5 si scrive 4412; ovvero si completi: ( ) 5 = ( ) 8 22) Calcolare: ( ) 2 + ( ) 2 ( ) 2 (1 0) 2 (1 2 0) 3 (1 2) 3 7

8 23)Si consideri la seguente matrice reale: A = i) det(a 2 ) = 1; ii) la matrice A non ammette inversa; iii) la matrice A ammette inversa A 1 e la seconda riga di A 1 è [0 1 1] iv) la matrice A ammette inversa A 1 e la seconda riga di A 1 è [1 0 1] 24) a) Si determini la decomposizione in fattori irriducibili del polinomio in R[x] e in Q[x]. c(x) = 4x 3 4x 2 + 3x 3, b) Si determinino quoziente e resto della divisione di c(x) per x in R[x]. 25) Siano A e B due matrici quadrate di ordine 3. Si indichino con A 1, A 2, A 3 le colonne di A. i) det(ab) = det(ba) ii) det( 2A) = 2det(A) iii) det(a B) = det(a) det(b) iv) det((a 3, A 1, A 2 )) = det(a) v) car(a) = 3 se e solo se det(a) 0. 26) Siano A e B due matrici quadrate di ordine 3. Si dica giustificando brevemente la risposta se le seguenti affermazioni sono i) car(2a) = 2car(A) ii) car(2a) = car(a) iii) se car(a) = car(b) = 3, allora car(ab) = 3. 8

9 27) In R [x] si considerino i polinomi a(x) = x 3 +6x 2 +11x+6 e b(x) = 3x+3. Si dica, giustificando brevemente la risposta, se le seguenti affermaziono sono a) b(x) è un polinomio irriducibile in R [x]. b) a(x) ammette radici doppie in R. 28)Sono dati in Q[x] i polinomi e f(x) = x 4 + x 3 x 2 2x 2, g(x) = x 2 + k. I) Si determini il valore di k per cui f(x) risulta divisibile per g(x). II) Si determini una scomposizione di f(x) in fattori irriducibili. 29) Si considerino le seguenti matrici reali: 2 3 A = B = ( ) i)ab è una matrice a 4 righe e 3 colonne ii) AB = BA iii) la matrice trasposta di A è la matrice A t A t =

10 iv) la caratteristica (rango) di A è uguale a quello di B. 30) In R[x] si considerino i polinomi con k R f k (x) = 5x 2 kx + 5, g(x) = x 3 7x a) Si determinino i valori di k per i quali f k è riducibile in R[x]. b) Nel caso k = 26, si determinino quoziente e resto della divisione di g per f k. 31) Si determini la decomposizione in fattori irriducibili di in R[x] e Q[x]. 4x 4 9, 32) Siano A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 8}. Quanti sono i sottoinsiemi di A B costituiti da due numeri dispari e due numeri pari? 33)Al variare del parametro reale k, si discuta la risolubilità del seguente sistema lineare : x +2y = k 3x +2y = 2 2x y = k 34) Costruire un grafo semplice, connesso, non euleriano, con 6 vertici. 35)Si consideri il grafo G il cui insieme dei vertici è {a, b, c, d, e, f, } e la cui lista di lati è 10

11 {a, b} {a, d} {a, d} {a, f} {b, c} {d, e} {d, f}, i) Si disegni il grafo G; ii) si determini la matrice di adiacenza del grafo G; iii) si determini un albero contenuto in G e che contenga tutti i vertici di G. 36) Sia X = {a, b, c, d} e siano ρ e σ le due seguenti relazioni su X: ρ = {(a, a), (a, c), (a, d), (c, d, ), (d, b)} e σ = {(a, b), (b, d), (d, c)}. Si determini la matrice associata alla relazione prodotto σ ρ. 37) Determinare il coefficiente di a 3 in (3a 2) 5. 38) Calcolare il numero delle targhe automobilistiche formate da due lettere distinte di un alfabeto di 26 lettere, seguite da tre cifre distinte scelte tra 1, 2, 3, 4, 5 con l ultima cifra pari. 39) Disegnare l albero associato a ciascuna delle seguenti espressioni algebriche: [(1 + x) (2 y)] 5 [(a + 1)/2] 3; ((a b) c) d. 40)Al variare del parametro reale α, si discuta la risolubilità del seguente sistema lineare : x +y w = 0 y +z +w = 1 x +2y +z = α 11