ISTITUZIONI DI MATEMATICA I. (prof. M.P.Cavaliere) NUMERI COMPLESSI E EQUAZIONI

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1 ISTITUZIONI DI MATEMATICA I (prof. M.P.Cavaliere) NUMERI COMPLESSI E EQUAZIONI I numeri complessi Anche se il campo reale è sufficientemente ricco per la maggior parte delle applicazioni, tuttavia le equazioni del tipo x 2 = a con a < 0 non hanno soluzione in R. Occorre quindi allargare ancora il campo dei numeri introducendo i numeri complessi. Definiamo insieme dei numeri complessi, denotato con C, il prodotto cartesiano R R con le seguenti operazioni: (a,b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a,b)(c, d) = (ac bd, ad + bc). Si verifica che con tali operazioni C è un campo, che non può essere ordinato perché in un campo ordinato il quadrato di un elemento non nullo è sempre positivo. Possiamo identificare il numero reale a con la coppia (a, 0), in questo modo risulta R C; se inoltre si conviene di scrivere i invece che (0,1) si vede che per ogni elemento (a,b) C risulta (a, b) = (a, 0) + (0,b) = (a,0) + (b, 0)(0,1) e quindi ogni elemento di C si può scrivere (a, b) = a + ib. Il numero reale a si dice parte reale di z = a+ib e il numero reale b si dice parte immaginaria di z e si denotano rispettivamente Re(z) e Im(z). Si definisce per ogni numero complesso z = a + ib il coniugato di z come Proprietà del coniugato: 1) z = z, z C. 2) z + w = z + w, z, w C. 3) zw = z w, z, w C. 4) z = z z R. z = a ib, Si definisce per ogni numero complesso z = a + ib la norma di z come N(z) = zz = a 2 + b 2. È chiaro che N(z) è un numero reale positivo o nullo e inoltre vale N(z) = 0 z = 0. 1

2 2 ISTITUZIONI DI MATEMATICA I Quindi se z è un numero complesso non nullo, dalla relazione zz = N(z) si ottiene che z ha un inverso che è 1 z = z N(z) = a N(z) + i b N(z). Proprietà della norma: N(zw) = N(z)N(w), z,w C. Non sempre si ha N(z + w) = N(z) + N(w). Definiamo il modulo di un numero complesso z come Allora valgono le seguenti proprietà z = N(z). 1) z è un numero reale positivo o nullo. 2) z = 0 z = 0. 3) zw = z w, z,w C. 4) z + w z + w, z,w C (disuguaglianza triangolare). 5) z =valore assoluto di z se z è un numero reale. Ogni numero complesso si può visualizzare come un punto del piano reale (piano di Argand-Gauss). Se z = a + ib, il punto che lo rappresenta è il punto di coordinate (a,b), il coniugato è il simmetrico di z rispetto all asse x e z è la lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti a e b e quindi rappresenta la distanza del punto z dall origine degli assi. Definiamo per ogni numero complesso z = a + ib l argomento di z come l angolo compreso tra l asse delle ascisse e il segmento che congiunge il punto P = (a, b) con l origine. Si conviene di assegnare come verso di rotazione quello antiorario e di definire l argomento a meno di multipli di 2π nel senso che due angoli che differiscano per multipli di 2π sono considerati eguali. Allora indicando con ρ il modulo del numero complesso z e con θ il suo argomento si ha: z = ρ(cosθ + isenθ) da cui si ricava z = ρ(cos( θ) + isen( θ)) e z 1 = ρ 1 (cos( θ) + isen( θ)). Con questa notazione trigonometrica, dati due numeri complessi e w = σ(cosα + isenα), il loro prodotto diventa z = ρ(cosθ + isenθ) zw = (ρ(cosθ + isenθ))(σ(cosα + isenα)) = ρσ(cos(θ + α) + isen(θ + α)). Ne segue: 1) Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli. 2) L argomento del prodotto è la somma degli argomenti. Inoltre mentre la potenza è z w = ρ (cos(θ α) + isen(θ α)), σ z n = ρ n (cos nθ + isen nθ). Data la equazione x n = z ove n è un numero intero positivo e z un numero complesso, si possono trovare le n radici distinte di questa equazione nel modo seguente:

3 ISTITUZIONI DI MATEMATICA I 3 ponendo z = σ(cosα + isenα) e x = ρ(cosθ + isenθ) si ha ρ n (cos nθ + isen nθ) = σ(cosα + isenα) da cui { ρ = n σ θ = (α + 2kπ)/n, k = 0,...,n 1. Quindi le n radici n-esime di un numero complesso z si possono visualizzare nel piano di Gauss (quello in cui sull asse x si rappresenta la parte reale e sull asse y il coefficiente della i) come i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio n z. A partire dalla prima, posta sulla retta per l origine che forma con l asse x un angolo θ = α/n, dove 0 α < 2π è l argomento di z, le altre si ottengono ruotando ogni volta di 2π/n. Esempio: Determiniamo le radici terze di (1 + i) 4. Anzitutto scriviamo in forma trigonometrica (1 + i) = 2(cos π 4 + isen π 4 ). Elevando alla quarta si ha: (1 + i) 4 = ( 2) 4 (cos4 π 4 + isen4π ) = 4(cosπ + isenπ) = 4. Allora le radici 4 terze saranno della forma x k = 3 4(cos π+2kπ + isen π+2kπ ) e precisamente: 3 3 x 0 = 3 4(cos π 3 + isenπ 3 ) =3 4( i 3 2 ), x 1 = 3 4(cos 3π 3 + isen3π 3 ) = 3 4, x 2 = 3 4(cos 5π 3 + isen5π 3 ) =3 4( 1 2 i 3 2 ). Un ulteriore tipo di rappresentazione dei numeri complessi è quella che si chiama la forma esponenziale, in cui si sfruttano le proprietà della funzione esponenziale per rendere piú facili i calcoli. Essa è basata sulla seguente definizione (che ha giustificazioni teoriche) introdotta da Eulero ( ): e iθ = cosθ + isenθ e quindi z = z e iargz. Usando le proprietà formali delle potenze si ha, se z = x + iy, e z = e x e iy = e x (cosy + iseny) Inoltre, dalle definizioni date si ricavano immediatamente le formule di Eulero: senx = eix e ix 2i cosx = eix + e ix. 2 { e iθ = cosθ + isenθ Infatti, poiché e iθ, sottraendo le due equazioni = cos( θ) + isen( θ) = cosθ isenθ si ottiene la la prima e sommandole la seconda. Esercizi: 1) Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi (ove occorre passando attraverso la formula trigonometrica): 1 i 2+i (2 + 2i) 100 ( 3 + i) 20 ( 12 2i) 10 2) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: (2 7i)(5 + 3i) 1+i 5 1+i i 217

4 4 ISTITUZIONI DI MATEMATICA I i(cos π 4 + isen π 4 ) (cos 3 2 π isen 3 2 π) 3) Calcolare le radici n-esime di z dove: a)n = 3, z = i; b)n = 4, z = 16; c)n = 4, z = 3 i; 4) Provare che 1 + e iπ = 0 5) Rappresentare sul piano i seguenti sottoinsiemi di C. A = {z C : z(1 z) R} B = {z C : Re(z 4 ) = 0} C = {z C : N(z + 1) > 2} D = {z C, z = 1 2 } E = {z C, z = z 2 } F = {z C, zz = 0} G = {z C, z = 1 e (1 + 2i)z R} H = {a + ib C, ab 0} 6) Risolvere in C le equazioni: z = 1 z x 3 = cos π 3 sen π 6 z 5 + i sen( π 7 ) = cos( π 7 ) z4 + 5z = 0 Cenni sulle equazioni algebriche Dati a 0,a 1,...,a n in un campo K (nel nostro caso K = R oppure K = C) possiamo considerare il polinomio f(x) = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n. Se a n 0 si dice che il polinomio f(x) ha grado n e si scrive δf = n. L equazione: a 0 + a 1 x + a 2 X a n x n = 0 si dice equazione polinomiale (o algebrica) di grado n. I numeri a 0,a 1,...,a n si dicono coefficienti di f (in particolare a n si dice coefficiente direttivo) e X si dice indeterminata. I numeri z tali che f(z) = 0 si dicono soluzioni (o radici) dell equazione algebrica f(x) = 0 o anche zeri o radici del polinomio f(x). Se K è il campo dei numeri complessi vale il seguente importante teorema provato da Gauss nella sua tesi di laurea (1799), di cui omettiamo la dimostrazione. Teorema fondamentale dell algebra. Ogni equazione algebrica ha almeno una radice complessa. Dati due polinomi a coefficienti in un campo K, f(x) = a 0 +a 1 X +a 2 X 2 + +a n X n e = b 0 + b 1 X + b 2 X b s X s, possiamo definire una somma e un prodotto nel modo seguente: f(x) + = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )X + (a 2 + b 2 )X (a i + b i )X i +... f(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )X + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )X ( i a j b i j )X i +... j=0

5 ISTITUZIONI DI MATEMATICA I 5 L insieme dei polinomi con tali operazioni si denota K[X]. Osserviamo che il prodotto di due polinomi ha come grado la somma dei gradi, infatti se δf = n e δg = s il termine di grado massimo di fg è a n b s X n+s, quindi δ(fg) = n + s. Inoltre vale il seguente teorema di cui non diamo la dimostrazione : Teorema di divisibilità dei polinomi. Dati due polinomi f(x) e a coefficienti in un campo K, con 0, esistono due polinomi q(x) e r(x) (detti rispettivamente quoziente e resto) tali che: f(x) = q(x) + r(x) con δr < δg oppure r = 0. Esempio: Siano f(x) = X 5 + X 4 + 2X 3 1, = X 2 2, allora X 5 +X 4 +2X 3 1 X 2 2 X 5 +2X 3 +X 4 +4X 3 1 X + X 2 + 4X + 2 X 4 +2X 2 4X 3 +2X 2 1 4X 3 +8X +2X 2 +8X 1 2X X + 3 cioè f(x) = (X 3 + X 2 + 4X + 2) + (8X + 3). In particolare se = X a si ha f(x) = (X a)q(x) + r dove r è una costante (infatti δr < δ(x a) = 1 per cui δr = 0). Allora se calcoliamo f(a) risulta f(a) = (a a)q(a) + r = 0 + r = r, perciò f(x) = (X a)q(x) + f(a). Abbiamo dimostrato quindi il seguente teorema: Teorema di Ruffini. Dato un polinomio f(x), se f(a) = 0 allora f(x) = (X a)q(x). Dal teorema fondamentale dell algebra e dal teorema di Ruffini segue allora che Proposizione. Ogni polinomio f(x) = a 0 +a 1 X+a 2 X 2 + +a n X n a coefficienti complessi si può scomporre nel modo seguente: f(x) = a n (X z 1 )(X z 2 ) (X z n ), z 1,..., z n C Dimostrazione. Per induzione sul grado n di f. Se n = 0 la tesi è vera; sia n > 0 e supponiamo la tesi vera per n 1. Per il teorema fondamentale dell algebra f ha almeno una radice z, quindi per il teorema di Ruffini f = (X z)g, dove g è un polinomio di grado n 1. Applicando a g l ipotesi induttiva si ha dunque la tesi. Si ha inoltre:

6 6 ISTITUZIONI DI MATEMATICA I Teorema. Sia f(x) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + +a n X n un polinomio a coefficienti reali. Se z C\R è uno zero di f, allora anche z lo è. Dimostrazione. Se f(z) = 0 si ha a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n = 0, quindi considerandone i coniugati si ha ( ) a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n = 0. Ma 0 = 0 e a i = a i per ogni i = 0,...,n perché sono numeri reali, quindi tenendo conto delle proprietà del coniugato ( ) diventa a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n = 0. Ne segue che f(z) = 0. Osserviamo che (X z)(x z) = X 2 (z + z)x + zz è un polinomio a coefficienti reali, quindi dalla proposizione e dal teorema precedente segue che ogni polinomio a coefficienti reali si può scomporre in fattori (a coefficienti reali) di primo o secondo grado (a seconda che le sue radici siano reali o complesse). Ne segue che: Corollario. Ogni polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha almeno una radice reale. Dimostrazione. Abbiamo già osservato che un polinomio f a coefficienti reali si scompone in prodotto di polinomi di primo o secondo grado (e il grado di f è la somma dei gradi dei singoli fattori). Quindi se f ha grado dispari almeno uno dei fattori è di primo grado ed ha quindi una radice che è anche radice di f. Se un polinomio a coefficienti reali ha grado pari invece o non ha radici reali o ne ha in numero pari. Quanto al problema di determinare tali radici, un equazione algebrica di primo grado ax + b = 0 ha un unica soluzione z = b a. Un equazione algebrica di secondo grado ax 2 + bx + c = 0 ha due soluzioni z i = b + d i i = 1,2, dove d 1,d 2 sono le due radici complesse di = b 2 4ac, 2a quindi l equazione ha soluzioni reali se e solo se 0 (distinte se > 0, coincidenti se = 0), altrimenti ha due radici complesse coniugate. Anche per risolvere le equazioni di terzo e quarto grado esiste una formula (piú complicata) in cui intervengono somma, prodotto e estrazione di radice, mentre si dimostra che tale formula non esiste in generale per le equazioni di grado 5 (ovviamente per certe equazioni algebriche particolari può esserci, per esempio per quelle del tipo X n = y le cui soluzioni sono le radici n-esime di y). Esercizi: 1) Determinare le radici complesse dei seguenti polinomi: a) x 3 1 b) (x + 1) 4 + i c) x 2 + 2x + 2ix + i + 1 d) x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 e) x 8 x 7 + x 6 x 5 + x 4 x 3 + x 2 x + 1 2) Scomporre in fattori di primo e secondo grado i seguenti polinomi in R[x]. a) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 b) x 4 2 c) x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 3) Determinare un polinomio f(x) di grado 4 tale che f(1 + i) = 0 = f( 1 1+2i ).

7 Osservazione: ISTITUZIONI DI MATEMATICA I 7 f(x) Se si ha un rapporto di polinomi, col grado di f(x) minore di quello di, la scomposizione in fattori irriducibili di primo e secondo grado del denominatore permette di come somma di frazioni piú semplici. Vediamolo con un esempio: scrivere f(x) La frazione X X (X 3 X 2 +X 1) = (X 1)(X 2 +1) si può scrivere come somma di frazioni A (X 1) + BX+C (X 2 +1). Per calcolare A,B,C basta fare il comun denominatore ed eguagliare il numeratore a quello della frazione di partenza, ricordando che due polinomi sono uguali se hanno uguali i coefficienti dei termini dello stesso grado. Risulta A(X 2 + 1) + (BX + C)(X 1) = X, da cui (A + B)X 2 + (C B)X + A C = X, quindi A + B = 0, C B = 1, A C = 0 e dunque A = C = 1 2, B = 1 2. Si osservi che se il denominatore è di secondo grado non piú riducibile nel prodotto di due fattori di primo grado, è necessario che il numeratore sia posto di primo grado (il grado di un possibile generico resto della divisione è 1, anche se poi il coefficiente di X può risultare nullo), altrimenti possono non esserci soluzioni (se avessimo posto B = 0 non avremmo trovato C e A tali che X (X 1)(X 2 +1) = f(x) A (X 1) + C (X 2 +1) ). Nel caso in cui nella frazione il grado del numeratore sia maggiore di quello del denominatore, dividendo f(x) per si ottiene f(x) = q(x)+r(x) con δr < δg oppure r = 0 e quindi ci si può ridurre al caso precedente, ponendo f(x) r(x) = q(x) + e ragionando su r(x). Esercizi: 1) Calcolare il resto della divisione di f(x) per dove: f(x) = 3X 2 5X + 2 e = 2X 2 + 2; f(x) = 2X 5 5X + 3 e = X + 2; 2) Scrivere come somma di frazioni con denominatore non riducibile le frazioni seguenti: 1 x 2 2x 3 ; x 4 + 3x 3 + x 1 x 3 ; + x x 5 1 x ; x x 3 x ; x x 4 x