Richiami sui numeri complessi per il corso di Fondamenti di Automatica

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1 Richiami sui numeri complessi per il corso di Fondamenti di Automatica Augusto Ferrante September 28, Numeri complessi: definizione Si consideri l insieme R 2 delle coppie ordinate di numeri reali. Su tale insieme si considerino due operazioni binarie interne (cioè operazioni che a coppie di elementi di R 2 associano un terzo elemento ancora interno all insieme R 2 ): 1. Somma, che verrà indicata con il simbolo + C e che associa agli elementi (a, b) R 2 e (c, d) R 2 l elemento (a, b) + C (c, d) = (a + c, b + d) R 2 (1.1) 2. Prodotto, che verrà indicato con il simbolo C e che associa agli elementi (a, b) R 2 e (c, d) R 2 l elemento (a, b) C (c, d) = (ac bd, ad + bc) R 2 (1.2) È facile verificare che le due operazioni sopra definite rendono l insieme R 2 un campo (cioè un corpo commutativo) dove l unità è l elemento (1, 0) R 2 lo zero è l elemento (0, 0) R 2. 1

2 Definizione 1.1 Il campo complesso che verrà indicato con C è per definizione la terna (R 2, + C, C). I numeri complessi sono quindi gli elementi dell insieme R 2 con le operazioni di somma e prodotto sopra definite. 1.1 Notazione È immediato verificare che il sottoinsieme R di R 2 definito da R := {(a, 0) : a R}, costituito da coppie il cui secondo elemento è nullo, è isomorfo a R. Infatti, la relazione χ : R R che associa a ciascun numero reale a R il numero complesso χ(a) := (a, 0) R, è ovviamente biunivoca. Inoltre, la relazione χ commuta con le operazioni di somma e prodotto in R e in R : χ(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + C (b, 0) = χ(a) + C χ(b) χ(a b) = (a b, 0) = (a, 0) C (b, 0) = χ(a) C χ(b) Ciò significa che se si identificano i numeri reali con il sottoinsieme R dei numeri complessi, allora le operazioni di somma e prodotto complesse sono consistenti con le consuete operazioni di somma e prodotto in R. Pertanto, da questo momento in poi si potranno indicare i numeri complessi del sottoinsieme R con il solo numero reale corrispondente, si indicherà cioè con a il numero complesso (a, 0). Inoltre si elimineranno i pedici C da somma e prodotto e si utilizzeranno solo i simboli + e (sia per somma e prodotto in R sia per somma e prodotto in C). Si consideri ora il numero complesso j definto da j := (0, 1) detto unità immaginaria. È immediato verificare che j 2 = 1. (1.3) Inoltre qualunque numero complesso del tipo (0, b) si può rappresentare come il prodotto di j per il numero reale b: (0, b) = j b = jb. 2

3 Con la notazione introdotta è immediato verificare che per ogni (a, b) R 2, si ha (a, b) = a + jb. (1.4) La notazione a secondo membro risulta particolarmente comoda perché in tal modo somma e prodotto tra numeri complessi si comportano i modo consistente con la somma e prodotto di polinomi a coefficienti reali nell indeterminata j pur di tener conto della (1.3): (a, b) + (c, d) = a + jb + c + jd = a + c + j(b + d) = (a + c, b + d) (1.5) (a, b) (c, d) = (a+jb) (c+jd) = ac+j(bc+ad)+j 2 bd = ac bd+j(bc+ad) = (ac bd, bc+ad). (1.6) In conclusione, da questo momento si indicherà il numero complesso (a, b) nella forma a+jb dove j gode della proprietà (1.3). Con questa notazione somme e prodotti fra numeri complessi si potranno eseguire con le solite regole di somma e prodotto fra polinomi. 2 Parte reale, parte immaginaria, coniugio Definizione 2.1 Dato il numero complesso s = a+jb, si dice parte reale di s, e si indica con Re(s), il numero reale a: Re(a + jb) := a. Si dice parte immaginaria 1 di s, e si indica con Im(s), il numero reale b: Im(a + jb) := b. Si dice coniugato di s, il numero complesso, indicato con s, definito da s = a + jb := a jb. 1 Nella letteratura matematica scritta in italiano si usava definire coefficiente dell immaginario il numero reale b e riservando l espressione parte immaginaria per la quantità jb. Qui si segue invece la tendenza più moderna coerente con il termine inglese imaginary part con cui si denota appunto il numero reale b. 3

4 Si invita il lettore a dimostrare le seguenti proprietà. Se s, s 1, s 2 sono numeri complessi, si ha: 1. s = s 2. s 1 + s 2 = s 1 + s 2 3. s 1 s 2 = s 1 s 2 4. (1/s) = 1/s s 0 5. s = s s R 6. Re(s) = s+s 2 7. Im(s) = s s 2j 8. s s = [Re(s)] 2 + [Im(s)] 2 3 Rappresentazione cartesiana e rappresentazione polare I numeri reali si possono considerare come il sottoinsieme di C costituito dai numeri complessi a parte immaginaria nulla. Inoltre, così come si rappresentano i numeri reali come punti di una retta (la retta reale), i numeri complessi si rappresentano come punti di un piano cartesiano (piano complesso o piano di Gauss). Precisamente il numero a + jb viene rappresentato dal punto di ascissa a e ordinata b. In questo modo la retta reale coincide con l asse delle ascisse mentre i punti nell asse delle ordinate rappresentano i numeri puramente immaginari ossia quelli a parte reale nulla (si noti che lo zero è l unico numero che è sia reale sia puramente immaginario). La scrittura di un numero complesso s nella forma a + jb ne mette in evidenza parte reale e parte immaginaria ossia le coordinate cartesiane del corrispondente punto nel piano di Gauss; per questa ragione si parla di rappresentazione cartesiana del numero complesso s. Una rappresentazione alternativa che risulta particolarmente utile è quella che mette in evidenza le coordinate polari del punto che rappresenta s e precisamente: il modulo di s che viene indicato con s ed è la distanza del punto s dall origine degli assi. 4

5 Dal Teorema di Pitagora risulta immediato che s C si ha: s = [Re(s)] 2 + [Im(s)] 2 (3.1) e l argomento o fase di s che viene indicato con arg(s) ed è l angolo (con segno) compreso tra il semiasse reale positivo e il segmento che unisce l origine degli assi cartesiani con il punto s. È facile verificare che s C si ha: ( ) arctan Im(s) Re(s) > 0 Re(s) arg(s) = sign(im(s)) π 2 ) Re(s) = 0 π + arctan Re(s) < 0 ( Im(s) Re(s) (3.2) dove sign( ) è la funzione segno che vale 1, 0 o 1 a seconda che il suo argomento sia positivo, nullo o negativo. Osservazione. Si noti che la formula precedente assegna convenzionalmente il valore 0 all argomento del numero complesso 0 per il quale l angolo relativo non è definito. Si noti anche che l argomento di un numero complesso è stato definito a meno di multipli interi di 2π; la formula (3.2) produce un valore dell argomento compreso tra π 2 e 3 2 π: naturalmente a questo valore si può aggiungere un arbitrario multiplo intero di 2π. Le formule (3.1) e (3.2) permettono di calcolare modulo e fase di un numero complesso a partire dalla conoscenza di parte reale e parte immaginaria. Utilizzando le note proprietà dei triangoli rettangoli risulta immediato invertire tali relazioni e ottenere parte reale e parte immaginaria di un numero complesso in funzione di modulo e fase. Precisamente, s C si ha: Re(s) = s cos(arg(s)) (3.3) e Im(s) = s sin(arg(s)). (3.4) Pertanto, indicando con ρ e ϑ modulo e fase di un numero complesso s = a + jb, si può scrivere s = a + jb = s cos(arg(s)) + j s sin(arg(s)) = ρ[cos(ϑ) + j sin(ϑ)]. (3.5) 5

6 La scrittura s = ρ[cos(ϑ) + j sin(ϑ)] mette in evidenza modulo e fase (e cioè le coordinate polari) di s e pertanto è chiamata rappresentazione polare. Nel prossimo paragrafo si vedrà una seconda forma di rappresentazione polare. I C b ρ = s ϑ = arg(s) a s = a + jb R Figure 1: Rappresentazione cartesiana e polare di un numero complesso nel piano di Gauss. 3.1 Esponenziali complessi Si vuole ora definire l esponenziale complesso ossia la quantità e s con s C. La definizione dovrà essere consistente con la corrispondente definizione nel caso reale. Si richiede cioè che, nel caso in cui s sia un numero complesso a parte immaginaria nulla (ossia un numero reale) il suo esponenziale coincida con il consueto esponenziale reale. Il seguente risultato sarà utile allo scopo: Proposizione 3.1 Sia a R. Allora la serie a i i=0 converge assolutamente al numero i! reale e a. In formule: a i i! = ea a R (3.6) i=0 Analogamente, si ha: ( 1) i a 2i (2i)! = cos(a) i=0 i=0 ( 1) i a 2i+1 (2i + 1)! = sin(a) (3.7) 6

7 La (3.6) suggerisce la seguente definizione Definizione 3.1 Sia s C. L esponenziale complesso e s è definito da: e s := i=0 s i i!. (3.8) La Proposizione 3.1 garantisce che la precedente definizione sia consistente con l esponenziale reale. Inoltre si può dimostrare che la serie a secondo membro della (3.8) converge per ogni s C e pertanto l esponenziale è ben definito per ogni s C. Infine, si può dimostrare che per ogni s 1, s 2 C si ha e s 1+s 2 = e s 1 e s 2. Sia ora ϑ reale. Si vuole calcolare e jϑ. Si ha: e jϑ (jϑ) i = = 1 + jϑ ϑ2 i! 2! j ϑ3 3! + ϑ4 4! + (3.9) i=0 Si possono riarrangiare i termini della sommatoria in due gruppi uno composto di numeri reali e uno di numeri puramente immaginari. Si ha così ] e jϑ = 1 [ϑ ϑ2 2! + ϑ4 4! ϑ6 6! + + j ϑ3 3! + ϑ5 5! + = e quindi, tenendo conto della (3.7), i=0 ( 1) i ϑ2i 2i! + j ( 1) i ϑ 2i+1 (2i + 1)! i=0 (3.10) e jϑ = cos(ϑ) + j sin(ϑ) (3.11) Confrontando quest ultima espressione con la (3.5) si ottiene la seguente espressione che rappresenta un arbitrario numero complesso s come prodotto del suo modulo per l esponenziale di jϑ: s = ρe jϑ ; con ρ := s e ϑ := arg(s). (3.12) 7

8 La (3.12) è una forma alternativa (e più comune) di rappresentazione polare del numero complesso s. Dalla (3.11) consegue immediatamente che e jϑ = cos( ϑ) + j sin( ϑ), ossia e jϑ = cos(ϑ) j sin(ϑ). (3.13) Quest ultima e la (3.11) sono le celebri formule di Eulero. Combinando assieme la (3.11) e la (3.13) si ottengono le formule cos(ϑ) = ejϑ + e jϑ 2 sin(ϑ) = ejϑ e jϑ 2j (3.14a) (3.14b) che permettono di esprimere seno e coseno come combinazioni lineari di esponenziali immaginari. Siano s 1 = ρ 1 e jϑ 1 e s 2 = ρ 2 e jϑ 2. È immediato verificare che s 1 s 2 = ρ 1 ρ 2 e jϑ 1 e jϑ 2 = ρ 1 ρ 2 e j(ϑ 1+ϑ 2 ). (3.15) Analogamente, se s 2 0 s 1 /s 2 = (ρ 1 /ρ 2 )e jϑ 1 e jϑ 2 = (ρ 1 /ρ 2 )e j(ϑ 1 ϑ 2 ). (3.16) Queste relazioni si possono esprimere con le seguenti regole: Nel prodotto di numeri complessi, il modulo del prodotto è pari al prodotto dei moduli dei fattori e l argomento del prodotto è pari alla somma degli argomenti dei fattori. Nel rapporto di numeri complessi, il modulo del rapporto è pari al rapporto dei moduli e l argomento del rapporto è pari alla differenza fra l argomento del numeratore e quello del denominatore. Sia n N. In modo analogo al calcolo del prodotto si può calcolare la potenza n-esima di un numero complesso s = ρe jϑ : s n = ρ n e jnϑ. (3.17) 8

9 Dalla relazione precedente si può ricavare la seguente regola Nella potenza n-esima di un numero complesso s, il modulo è pari alla potenza n-esima del modulo di s e l argomento è pari all argomento di s moltiplicato per n. 3.2 Radici n-esime complesse Sia s = ρe jϑ un numero complesso fissato. Si desidera risolvere l equazione nell incognita z C. z n = s (3.18) Ciò significa calcolare tutti i numeri complessi z che soddisfano tale relazione. Si indichino con ρ z e ϑ z rispettivamente modulo e argomento di z. Poiché due numeri complessi coincidenti devono avere lo stesso modulo è evidente che ρ z = n ρ ossia tutte le soluzioni della (3.18) hanno il medesimo modulo e questo è pari alla radice n-esima del modulo di s. Rimane da imporre che primo e secondo membro della (3.18) abbiano il medesimo argomento 2. Nell imporre questo vincolo bisogna tenere presente che l argomento è definito a meno di multipli interi di 2π. Pertanto, non si deve imporre nϑ z = ϑ ma Quest ultima ammette le soluzioni nϑ z = ϑ + k2π, k = 0, ±1, ±2,... (3.19) ϑ z = ϑ + k2π, k = 0, ±1, ±2,... (3.20) n però solo n di tali soluzioni corrispondono ad argomenti diversi. Infatti, a valori di k che differiscono per multipli interi di n corrispondono valori di ϑ z che differiscono per multipli interi di 2π e che pertanto individuano il medesimo argomento. In conclusione, la (3.18) ammette esattamente n soluzioni z 0, z 1,..., z n 1 che hanno tutte il medesimo modulo ρ zk = n ρ, k = 0, 1,..., n 1, e i cui argomenti sono ϑ zk = ϑ n + k 2π, k = 0, 1,..., n 1. (3.21) n 2 Questo vicolo va imposto nel caso in cui ρ > 0. Si ricordi infatti, che se ρ = 0, l argomento non è definito. In tal caso, l unica soluzione della (3.18) è z = 0. 9

10 Queste n soluzioni vengono chiamate radici n-esime complesse di s. È facile vedere che, nel piano complesso, esse sono disposte ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza centrata nell origine e di raggio pari a ρ zk = n ρ. Esercizio. Si calcolino le radici complesse terze quarte e quinte di 1, 1, j, 1 + j. Esercizio. Si dimostri che quando s è reale e la sua (unica!) radice n-esima reale esiste, essa è una delle n radici n-esime complesse di s. 4 Polinomi in s In questa sezione si considerano polinomi nell indeterminata complessa s e a coefficienti complessi, ossia oggetti del tipo P (s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0, a i C. (4.22) Senza perdita di generalità, se n > 0 si assumerà a n 0 (invece, nel caso n = 0 in cui il polinomio si riduce ad una costante complessa, tale costante può anche essere nulla). Gli a i si dicono coefficienti del polinomio P (s). Se a n = 1 il polinomio si dice monico. Definizione 4.1 Dato un polinomio P (s) non nullo rappresentato dalla (4.22), il numero naturale n si dice grado di P (s) e si indica con deg(p (s)). 3 Definizione 4.2 Un numero complesso z si dice zero del polinomio P (s) se P (z) = 0. Come è noto, se z è uno zero del polinomio P (s) allora P (s) è divisibile per s z ossia P (s) ammette la rappresentazione P (s) = (s z)p 1 (s), (4.23) dove P 1 (s) è un polinomio tale che deg(p 1 (s)) = deg(p (s)) 1. 3 Di solito il grado del polinomio nullo non viene definito oppure viene convenzionalmente posto al valore. 10

11 Definizione 4.3 Sia z uno zero del polinomio P (s). Si dice molteplicità di z (come zero di P (s)) il massimo valore di ν per il quale (s z) ν divide P (s) ossia tale che P (s) ammette la rappresentazione P (s) = (s z) ν P 1 (s), (4.24) dove P 1 (s) è un polinomio. In particolare, uno zero semplice è uno zero di molteplicità unitaria ossia un numero complesso z tale che P (s) = (s z)p 1 (s), (4.25) dove P 1 (s) è un polinomio che non ha z tra i suoi zeri. Uno zero di molteplicità pari a 2 o zero doppio è un numero complesso z tale che dove P 1 (s) è un polinomio che non ha z tra i suoi zeri. P (s) = (s z) 2 P 1 (s), (4.26) Esercizio. Si indichi con P (i) (s) la derivata i-esima di P (s) ossia P (i) (s) = di ds i P (s). 1. Si dimostri che z è uno zero semplice di P (s) se e solo se P (z) = 0 e P (1) (z) Si dimostri che z è uno zero doppio di P (s) se e solo se P (z) = P (1) (z) = 0 e P (2) (z) Più in generale si dimostri che z è uno zero di molteplicità ν di P (s) se e solo se P (z) = P (1) (z) =... = P (ν 1) (z) = 0 e P (ν) (z) 0. Continuità degli zeri di un polinomio Un risultato molto importante sancisce che gli zeri di un polinomio sono funzioni continue dei coefficienti. In altre parole se i coefficienti di un polinomio variano con continuità i corrispondenti zeri del polinomio descrivono curve continue nel piano complesso. Ciò è reso rigoroso dal seguente teorema. Teorema 4.1 Sia dato un polinomio P (s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0. Siano z i, i = 1, 2,..., m i suoi zeri e ν i le corrispondenti molteplicità. Si indichi con I(z, r) 11

12 il cerchio aperto (nel piano complesso) di raggio r centrato in z. Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se b i a i < δ i = 1, 2,..., n, allora per ogni i = 1, 2,..., m, il polinomio P 1 (s) := b n s n + b n 1 s n b 1 s + b 0 ha ν i zeri (contati con la loro molteplicità) in I(z i, ε). Teorema fondamentale dell algebra e rappresentazioni di polinomi a coefficienti complessi Il seguente risultato garantisce che ogni polinomio non costante ammette zeri in C. Esso è noto come Teorema fondamentale dell algebra. Teorema 4.2 Sia P (s) un polinomio a coefficienti complessi e sia deg(p (s)) 1. Allora esiste z C tale che P (z) = 0. Esercizio. Si dimostrino i seguenti corollari. Corollario 4.1 Dato un polinomio di grado n descritto dalla (4.22) esistono n numeri complessi z i, i = 1, 2..., n (non necessariamente distinti) tali che P (s) = a n (s z 1 )(s z 2 ) (s z n ) = a n n (s z i ). (4.27) Nella (4.27), raggruppando fra di loro gli z i coincidenti (e supponendo, senza perdita di generalità, che gli z i tutti diversi fra loro siano i primi m) si ottiene P (s) = a n (s z 1 ) ν 1 (s z 2 ) ν2 (s z m ) νm = a n m (s z i ) ν i. (4.28) dove si sono messi in evidenza, oltre che gli zeri z i del polinomio anche le loro molteplicità ν i. I due casi estremi sono: (1) ν i = 1 i. In tal caso m = n e tutti gli zeri hanno molteplicità unitaria e (2) ν 1 = n. In tal caso m = 1 e P (s) ha un solo zero di molteplicità pari a n. 12

13 Corollario 4.2 La somma delle molteplicità degli zeri di un polinomio P (s) è pari al grado di P (s). La rappresentazione (4.22) mette in evidenza i coefficienti di P (s), le (4.27) e (4.28) ne mettono in evidenza gli zeri. La (4.28) mette in evidenza anche le moteplicità degli zeri di P (s). Oltre a tali rappresentazioni vi è un ulteriore forma che mette in evidenza i reciproci degli zeri non nulli. Precisamente, a partire dalla (4.28) si considerino i seguenti due casi: 1. P (s) ha uno zero nell origine ossia uno degli z i è nullo. Senza perdita di generalità si assuma che sia il primo: z 1 = 0. Allora Si osservi che (s z i ) ν i = ( z i ) ν i P (s) = a n s ν 1 m (s z i ) ν i. (4.29) i=2 ( 1 s z i ) νi = ( zi ) ν i (1 + τ i s) ν i dove si sono definiti gli opposti dei reciproci degli zeri τ i := 1/z i. Definendo inoltre la costante complessa b n := a n m i=2 ( z i) ν i, si ottiene agevolmente la P (s) = b n s ν 1 m (1 + τ i s) ν i (4.30) i=2 che mette in evidenza lo zero nell origine con la sua molteplicità e gli opposti dei reciproci degli zeri non nulli. 2. P (s) non ha uno zero nell origine ossia P (0) 0. In tal caso con passaggi del tutto analoghi al caso precedente si ottiene P (s) = b n con τ i := 1/z i e b n := a n m ( z i) ν i. m (1 + τ i s) ν i (4.31) Si vede facilmente che, rinominando opportunamente i simboli, le rappresentazioni (4.30) e (4.31) si possono vedere come casi particolari della seguente rappresentazione valida per 13

14 tutti i polinomi: p P (s) = b n s ν (1 + τ i s) ν i, (4.32) dove ν = 0 se P (0) 0. Se invece P (0) = 0, ν > 0 è la molteplicità dello zero nell origine di P (s). 4.1 Polinomi a coefficienti reali Si considereranno ora i polinomi nell indeterminata s a coefficienti reali. Naturalmente, essendo questi un caso particolare di polinomi a coefficienti complessi, continuano a valere tutti i risultati fino ad ora enunciati. In particolare, tutti i polinomi a coefficienti reali possono essere rappresentati da ciascuna delle formule (4.22), (4.27), (4.28) e (4.32). Tuttavia, tali formule non rappresentano solo i polinomi a coefficienti reali. Nel seguito si individueranno espressioni analoghe che però rappresentano tutti e soli i polinomi a coefficienti reali. L analoga della (4.22) è ovviamente la P (s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0, a i R. (4.33) Per ottenere l analoga della (4.28) si utilizza il seguente risultato. Lemma 4.1 Dato un polinomio P (s) a coefficienti reali, sia z R uno zero a parte immaginaria non nulla di P (s). Allora, anche z è zero di P (s) e la sua molteplicità è la medesima di quella di z. Esercizio. Si dimostri il lemma precedente. Siano r e c rispettivamente il numero di zeri reali e di coppie di zeri complessi coniugati. Per semplicità di notazioni risulta conveniente distinguere gli zeri reali da quelli non reali. 14

15 Si indichino quindi con z i, i = 1,..., r gli zeri reali e con ζ i, ζ i, i = 1,..., c, le coppie di zeri complessi coniugati (a parte immaginaria non nulla). La (4.28) si particolarizza allora nella P (s) = a n Si definiscano ora i parametri reali ω i := r (s z i ) ν i c [(s ζ i )(s ζ i )] µ i. (4.34) ζ i ζi = ζ i > 0, e ξ i := (ζ i + ζ i ) 2ω i = 2Re(ζ i) 2ω i = Re(ζ i) ω i (4.35) dove si ha 1 < ξ i < 1 perchè ω i = ζ i = [Re(ζ i )] 2 + [Im(ζ i )] 2. Si osservi che (s ζ i )(s ζ i ) = s 2 (ζ i + ζ i )s + ζ i ζi = s 2 + 2ξ i ω i s + ω 2 i (4.36) che, sostituita nella (4.34) fornisce l espressione P (s) = a n r (s z i ) ν i c (s 2 + 2ξ i ω i s + ωi 2 ) µ i, a n, z i, ξ i, ω i R, ω i > 0, 1 < ξ i < 1 (4.37) Rimane così dimostrato che, al variare dei parametri reali a n, z i, ξ i, ω i e delle molteplicità ν i, µ i N, la (4.37) rappresenta tutti e soli i polinomi a coefficienti reali. Inoltre, in questa rappresentazione, se ω i > 0 e 1 < ξ i < 1 allora z i sono gli zeri reali di P (s) e ω i sono i moduli degli zeri non reali di P (s). Rimane da dare un significato ai parametri ξ i. Ricordando le (4.35) e (3.3) si ha: ξ i = Re(ζ i) ω i = ζ i cos(arg(ζ i )) ω i = cos(arg(ζ i )) = cos(ϕ i ). (4.38) dove si è definito ϕ i := π arg(ζ i ). ϕ i ha pertanto il significato di angolo compreso fra il segmento che unisce lo zero ζ i con l origine del piano complesso e il semiasse reale negativo. In conclusione ξ i hanno il significato dell opposto del coseno dell argomento degli zeri non reali di P (s) oppure del coseno degli angoli ϕ i. Da ultimo, per ottenere un formula analoga alla (4.32) ma che rappresenti tutti e soli polinomi a coefficienti reali, si tratta di fare i seguenti passaggi. A partire dalla rappresentazione (4.37) si consideri il solo fattore a n r (s z i) ν i relativo agli zeri reali. Con 15

16 gli stessi passaggi che hanno permesso di passare dalla (4.28) alla (4.32) si può ottenere la a n r p (s z i ) ν i = ˆb n s ν (1 + τ i s) ν i dove τ i = 1/z i sono gli opposti dei reciproci degli zeri reali di P (s) e ˆb n è un parametro reale. A questo punto, raccogliendo gli ω 2 i dai fattori della seconda produttoria nella (4.37) si ottiene la P (s) = b n s ν p (1 + τ i s) ν i c ( ) µi s 1 + 2ξ i + s2, (4.39) ω i ωi 2 dove b n, τ i, ξ i, ω i sono tutti parametri reali. In particolare, b n = ˆb c n ω2µ i i R. Inoltre, ω i > 0 e 1 < ξ i < 1 sono gli stessi parametri che appaiono nella (4.37) (e quindi hanno la stessa interpretazione in termini degli zeri di P (s)). 16