ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008

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1 LGER VETTORILE

2 DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento che congiunge i punti e, orientato (arbitrariamente) da a

3 DEFINIZIONE DI VETTORE (2) Segmento Segmento orientato

4 DEFINIZIONE DI VETTORE (3) Si dice che due segmenti orientati (,) e (C,D) sono equipollenti se il quadrilatero DC è un parallelogramma (oppure se = C e = D; in questo caso (,) e (C,D) sono in realtà lo stesso segmento orientato) D D C C

5 DEFINIZIONE DI VETTORE (4) Notiamo che, se i segmenti orientati (,) e (C,D) sono equipollenti, allora anche i segmenti orientati (,C) e (,D) sono equipollenti (infatti anche CD è un parallelogramma) D C D C

6 DEFINIZIONE DI VETTORE (5) L applicazione di E in E che ad un segmento orientato associa un segmento equipollente si chiama traslazione. Possiamo immaginare la traslazione come un trasporto. d esempio il segmento orientato (,), viene trasportato in (C,D) mantenendo fissa la sua lunghezza e il suo orientamento. Tutti i punti del segmento subiscono lo stesso spostamento C D

7 DEFINIZIONE DI VETTORE (6) Consideriamo adesso l insieme S di tutti i possibili segmenti orientati costruiti con coppie di punti di E Si chiama vettore, e si indica con, il sottoinsieme di S di tutti i segmenti orientati equipollenti ad (,) Il vettore si rappresenta graficamente mediante una freccia orientata da a vettore

8 DEFINIZIONE DI VETTORE (7) Poiché tutti i segmenti orientati appartenenti ad una classe di equivalenza sono equipollenti tra loro, per rappresentare un vettore possiamo utilizzare indifferentemente uno qualunque di essi. Si dice che ogni segmento orientato rappresenta il vettore a cui appartiene Esempio 1: i segmenti orientati equipollenti (,), (C,D) ed (E,F), mostrati per illustrare la proprietà di transitività, rappresentano tutti lo stesso vettore: = CD = EF Esempio 2: I segmenti orientati (G,H) e (K,J) non sono equipollenti, quindi GH KJ G H K J

9 DEFINIZIONE DI VETTORE (8) Un vettore è caratterizzato in modo univoco da tre proprietà: Direzione: è la direzione del fascio di rette parallele sulle quali giacciono i segmenti orientati rappresentanti del vettore. La direzione è ben definita perché tutti i segmenti orientati rappresentanti di un dato vettore sono paralleli D C

10 DEFINIZIONE DI VETTORE (9) Verso: è l orientamento dei segmenti orientati rappresentanti del vettore. nche il verso del vettore è ben definito perché gli orientamenti dei segmenti orientati rappresentanti del vettore sono coerenti E F C D

11 DEFINIZIONE DI VETTORE (10) Modulo: è la lunghezza dei segmenti orientati rappresentanti del vettore, ovvero la distanza tra due punti di un segmento orientato. nche il modulo del vettore è ben definito perché le lunghezze dei segmenti orientati rappresentanti del vettore sono uguali = = distanza tra e = lunghezza del segmento D C

12 DEFINIZIONE DI VETTORE (11) Osservazioni L insieme dei vettori V è diverso dallo spazio euclideo tridimensionale E. In altri termini, un vettore non è un elemento dello spazio euclideo tridimensionale. Lo spazio euclideo tridimensionale è servito per costruire l insieme dei vettori, ma è distinto da quest ultimo. Una volta costruiti i vettori, possiamo fare astrazione del metodo usato per costruirli. In particolare, li considereremo indipendenti dai segmenti orientati, e semplicemente caratterizzati dalle loro tre proprietà: modulo, direzione, e verso.

13 DEFINIZIONE DI VETTORE (12) Osservazioni (fine) vremmo potuto costruire i vettori partendo da uno spazio euclideo di dimensione diversa, ad esempio il piano euclideo. vremmo ottenuto l insieme dei vettori definiti sul piano euclideo, di dimensione 2. llo stesso modo potremmo definire i vettori sullo spazio euclideo di dimensione 4. L insieme dei vettori ha la stessa dimensione dello spazio euclideo usato per definirli.

14 OPERZIONI TR VETTORI Nell insieme dei vettori possiamo definire delle operazioni analoghe a quelle che si possono effettuare tra numeri reali: Somma e differenza di due vettori Prodotto di un vettore per un numero reale Prodotto scalare di due vettori Prodotto vettoriale

15 SOMM DI DUE VETTORI (1) Consideriamo due vettori e C. La somma di questi due vettori è il vettore C che è definito dalla relazione: C = + C dove il simbolo + indica la somma vettoriale Il vettore somma va dalla coda del primo vettore alla punta del secondo C

16 SOMM DI DUE VETTORI (2) Come si sommano i vettori e DE? D E

17 SOMM DI DUE VETTORI (3) Effettuo prima la traslazione del segmento orientato (D,E) sul segmento orientato (,F) D F E

18 SOMM DI DUE VETTORI (4) Si noti che F = DE, quindi + DE = + F = F D F E

19 SOMM DI DUE VETTORI (5) Un altra possibilità è di effettuare la traslazione di (D,E) su (,H) D E H

20 SOMM DI DUE VETTORI (6) Poi si trova il punto G tale che GH sia un parallelogramma D G E H

21 SOMM DI DUE VETTORI (7) Si noti che (,G) è equipollente a (,H) e quindi è equipollente a (D,E) D G E H

22 SOMM DI DUE VETTORI (8) Quindi, poiché G = DE, + DE = + G = G D G E F

23 SOMM DI DUE VETTORI (9) Questo metodo di somma dei vettori è detto regola del parallelogramma G F

24 SOMM DI TRE VETTORI (1) Possiamo estendere la definizione di somma di due vettori a tre o più vettori? Come si sommano tre vettori e CD e EF? Dati questi tre vettori vi sono due possibilità: calcolare ( + CD) + EF oppure + (CD + EF)

25 SOMM DI TRE VETTORI (2) Si può dimostrare che la somma vettoriale è associativa, ovvero: ( + CD) + EF = + (CD + EF) Per indicare la somma dei tre vettori, CD e EF possiamo semplicemente scrivere: + CD + EF (senza parentesi)

26 SOMM DI TRE VETTORI (3) In pratica, per costruire il vettore + CD + EF possiamo procedere in questo modo: effettuiamo la traslazione di CD C G F D E

27 SOMM DI TRE VETTORI (4) poi effettuiamo la traslazione di EF H G F E

28 SOMM DI TRE VETTORI (5) infine, la somma dei vettori, CD e EF si ottiene indifferentemente costruendo ( + CD) + EF oppure + (CD + EF) H G H G

29 SOMM DI TRE VETTORI (6) Si noti che la somma di tre vettori si ottiene, analogamente alla somma di due vettori, unendo la coda del primo vettore della somma con la punta dell ultimo H G Questo risultato si generalizza alla somma di un numero qualsiasi di vettori

30 LTRE PROPRIET DELL SOMM VETTORILE (1) La somma vettoriale è commutativa: + CD = CD + questa proprietà discende immediatamente dalla regola del parallelogramma Esiste un elemento neutro, il vettore nullo 0, tale che: + 0 = 0 + = il vettore nullo è un vettore nel quale la punta coincide con la coda; ad esempio, se e sono punti dello spazio euclideo, = = 0 Verifichiamo che tale vettore ha la proprietà richiesta: + = da cui: + 0 = + = da cui: 0 + =

31 LTRE PROPRIET DELL SOMM VETTORILE (2) Per ogni vettore esiste il vettore opposto ( ) tale che: + ( ) = 0 ( ) + = 0 Il vettore opposto di è il vettore, infatti: + = = 0 + = = 0

32 DIFFERENZ DI DUE VETTORI (1) La differenza dei vettori e CD si indica con CD ed è il vettore che, sommato a CD dà C D

33 DIFFERENZ DI DUE VETTORI (2) Per costruire il vettore CD effettuiamo prima la traslazione del segmento orientato (C,D) nel segmento orientato (E,) in modo che E = CD E C D

34 DIFFERENZ DI DUE VETTORI (3) Osserviamo ora che E + E =, ma E = CD, da cui segue E + CD = Quindi E è il vettore differenza: E = CD E C D

35 DIFFERENZ DI DUE VETTORI (4) In alternativa, la differenza dei vettori e CD si può ottenere effettuando prima la traslazione del segmento orientato (C,D) nel segmento orientato (,F) in modo che F = CD C D F

36 DIFFERENZ DI DUE VETTORI (5) La differenza dei vettori e CD in questo caso è data dal vettore F C D F

37 DIFFERENZ DI DUE VETTORI (6) Verifichiamo che F = E E Infatti, poiché F = E, EF è un parallelogramma e quindi E = F C D F

38 DIFFERENZ DI DUE VETTORI (7) Confronto tra somma e differenza dei vettori e C (DC è un parallelogramma) D C + C = D C = C

39 PROPRIET DELL DIFFERENZ (1) La differenza di due vettori non è commutativa, cioè C C C C = C C C = C = C

40 PROPRIET DELL DIFFERENZ (2) C = + C = + ( C) D C E Scegliamo il punto D in modo che (,D) sia equivalente a (C,) e costruiamo il vettore E = + D osserviamo che (,E) è equivalente ad (,D) e quindi anche a (C,) Quindi (,E) è equivalente a (C,) Quindi: E = C = C E = + D = + C Da cui segue che: C = + C

41 MOLTIPLICZIONE PER UN NUMERO RELE (1) Sia un vettore, e a un numero reale. Si definisce prodotto di per a, e si scrive: D = a, il vettore D tale che: il punto D giace sulla retta che passa per i punti e D = a per a > 0 e D sono paralleli per a < 0 e D sono antiparalleli La moltiplicazione di un vettore per un numero reale si indica di solito coll espressione moltiplicazione per uno scalare. Il termine scalare indica un numero reale in contrapposizione ad un vettore che è un oggetto dotato di direzione e verso D D

42 MOLTIPLICZIONE PER UN NUMERO RELE (2) Proprietà della moltiplicazione per uno scalare: siano e CD due vettori e a e b due scalari; valgono le seguenti proprietà: Inoltre: 1 = a ( + CD) = a + a CD (a+b) = a + b (ab) = a (b ) Se a = 0, allora a = 0 Se a = 1, allora a = =

43 COORDINTE DI UN PUNTO NELLO SPZIO EUCLIDEO (1) ssi Cartesiani: un sistema ortonormale di assi cartesiani nello spazio euclideo tridimensionale è costituito da tre rette a due a due ortogonali che si intersecano in un punto detto origine. Ognuna di esse è orientata secondo un verso positivo arbitrario mediante un segmento orientato di lunghezza unitaria. z y 1 O 1 1 x

44 COORDINTE DI UN PUNTO NELLO SPZIO EUCLIDEO (2) Nel caso del piano euclideo, un sistema ortonormale è costituito da due rette ortogonali ed è definito in modo analogo y O 1 1 x Nel caso della retta il sistema cartesiano è definito dalla scelta dell origine e del segmento di lunghezza unitaria O 1 x

45 COORDINTE DI UN PUNTO NELLO SPZIO EUCLIDEO (3) Si chiama misura algebrica di un segmento (,) sulla retta, dotata di un sistema cartesiano, la lunghezza del segmento stesso con il segno + o con il segno a seconda che il verso del segmento sia concorde (parallelo) o discorde (antiparallelo) con il verso positivo della retta. Esempio: C O 1 misura algebrica di (,) positiva misura algebrica di (,C) negativa x Si chiama ascissa di un punto P sulla retta la misura algebrica del segmento (O,P), dove O è l origine della retta. L ascissa di P si indica di solito con x P x O 1 P

46 COORDINTE DI UN PUNTO NELLO SPZIO EUCLIDEO (4) Sia P un punto dello spazio euclideo e siano P x, P y e P z le sue proiezioni ortogonali sugli assi cartesiani P y P y P x O 1 1 x x P = ascissa di P = misura algebrica di (O, P x ) y P = ordinata di P = misura algebrica di (O, P y ) z P = quota di P = misura algebrica di (O, P z ) coordinate del punto P rispetto al sistema cartesiano (O,x,y,z)

47 COORDINTE DI UN PUNTO NELLO SPZIO EUCLIDEO (5) Sia P un punto del piano euclideo e siano P x e P y le proiezioni ortogonali di P sugli assi cartesiani z P z P y P y O P x x Si chiama ascissa del punto P la misura algebrica del segmento (O, P x ) e si indica con x P. Si chiama ordinata del punto P la misura algebrica del segmento (O, P y ) e si indica con y P.

48 COMPONENTI DI UN VETTORE (1) y Caso del piano euclideo y y O x x x x x - x Si chiama componente x del vettore, e si indica con X la misura algebrica del segmento ( x, x ). Osserviamo che X =x -x Si chiama componente y del vettore, e si indica con y la misura algebrica del segmento ( y, y ). Osserviamo che y =y -y x

49 COMPONENTI DI UN VETTORE (2) Nel caso di vettori in tre dimensioni si ha un analoga definizione per la componente z: z =z -z Si può fare riferimento ad un vettore mediante sue componenti rispetto ad un sistema di assi cartesiani: x x y y z z =! E importante osservare che, mentre il vettore è definito in modo univoco dai punti e, le componenti di dipendono dalla scelta del sistema di assi cartesiani. Se si cambiano gli assi cartesiani, cambiano anche le componenti del vettore.

50 COMPONENTI DI UN VETTORE (3) Possiamo verificare che le componenti di un vettore, una volta fissato il sistema di assi cartesiani, non dipendono dal particolare segmento orientato che usiamo per rappresentare il vettore. y D C x x D x C x x x = misura algebrica di ( x, x ) = misura algebrica di (D x, C x ) = DC x

51 SOMM DI VETTORI MEDINTE COMPONENTI (1) Siano e C due vettori C = + C y y C y C Dalla definizione di componente abbiamo: x = x -x ; C x = x C -x ; C x = x C -x x + C x = (x -x ) + (x C -x ) = x C -x Quindi: C x = x + C x y x x C x x nalogamente: C y = y + C y, C z = z + C z

52 MOLTIPLICZIONE PER UNO SCLRE y C = a (caso a>1) C y y C Osserviamo che y (,C (,C ) x ) y y = = (, ) (, ) x x y y C x = a x x C x x Quindi C x = a x C y = a y nalogamente, per un vettore in tre dimensioni C z = a z.

53 ESEMPIO Esempio: Le componenti dei vettori bidimensionali e C rispetto ad un certo sistema di assi cartesiano sono: 7 = 12 4 C = 2 Calcolare + C, - C, 3C: + C - C 3C = + = = = = = ( 4) 4 3* = 3 = 2 3* 2 12 = 6

54 RELZIONI TR COMPONENTI E MODULO DI UN VETTORE (1) Siano u e v due vettori e siano u = u e v = v i loro moduli v y y v u x = u cosα v x = v cosβ u y = u senα v y = v senβ u y β α u x v x u x Dall espressione delle componenti e dall esame della figura (triangolo rettangolo) si vede che: u 2 = u x2 + u y 2 da cui u = u = u x2 + u y 2

55 RELZIONI TR COMPONENTI E MODULO DI UN VETTORE (2) Per un vettore di tre dimensioni si ha un espressione analoga: u = u = u x2 + u y2 + u z 2 Esempio: sia u = 3 calcolare u -4 u = u x2 + u y 2 = (-4) 2 = 5

56 VETTORI UNITRI E VETTORI DI SE (1) Sia v un vettore, si dice che v è unitario se v = v = 1 ssieme ad un sistema di assi cartesiani, si considerano dei vettori particolari: sono i vettori paralleli (stessa direzione e stesso verso) agli assi cartesiani. In tre dimensioni questi vettori si indicano di solito con i, j, k z x k 1 O j 1 1 i y

57 VETTORI UNITRI E VETTORI DI SE (2) Consideriamo un punto P e le sue proiezioni ortogonali P x, P y e P z sugli assi cartesiani OP x = OP x i O i P x con relazioni analoghe per gli altri assi bbiamo quindi: OP = OP x i + OP y j + OP z k e per un generico vettore v = v x i + v y j + v z k Tra i vettori unitari i, j, k valgono le seguenti relazioni: i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = 0