Metodo delle coordinate. Rette nel piano. Mauro Saita. Versione provvisoria. Novembre 2015.

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1 . Rette nel piano. Versione provvisoria. Novembre Indice 1 Cartesio ( ). 2 2 Lo spazio vettoriale R Prodotto scalare. Distanza Proiezione di un vettore lungo un altro. Angoli Rette nel piano 6 4 Approfondimento: rette e piani nello spazio 7 5 Esercizi 14 0 File tex: metodo delle coordinate 2011.tex 1

2 1 Cartesio ( ). Sia π il piano della geometria euclidea (costituito da punti geometrici ) e R 2 l isieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali, cioè R 2 = {(x, y) x R, y R} L idea su cui si fonda la geometria analitica consiste nell identificare i punti del piano π con le coppie ordinate di numeri reali. Per fare questo occorre dapprima fissare un sistema di riferimento (ortogonale) in π, cioè occorre: - fissare un punto O detto origine del sistema di riferimento; - fissare due rette ortogonali incidenti in O dette rispettivamente asse delle ascisse e asse delle ordinate; - stabilire su entrambi gli assi un orientamento e un unità di misura. Fissato un sistema di riferimento xoy in π esiste una corrispondenza biunivoca: R 2 F π che ad ogni coppia ordinata (x, y) di numeri reali associa un punto P del piano π. Esercizio 1.1. Servendosi di una figura, descrivere la funzione R 2 F π. Qual è il punto del piano associato alla coppia ordinata (x, y) di numeri reali? Spiegare. D ora in poi se, ad esempio, si scrive P = (2, 7) si intende indicare l unico punto del piano che (nel sistema di riferimento prescelto) ha esattamente quelle coordinate. Punti del piano e vettori spiccati dall origine. Fissato un sistema di riferimento xoy nel piano π, la coppia ordinata P = (x, y) di numeri reali può essere interpretata geometricamente come vettore spiccato dall origine. Quindi, a seconda delle necessità potremo pensare R 2 come un insieme di punti del piano ordinario, oppure, come un insieme di vettori spiccati dall origine; solo il contesto ci dirà qual è l interpretazione migliore. 2 Lo spazio vettoriale R 2 In R 2 = {(x, y) x R, y R} le seguenti due operazioni Somma di vettori. Siano P = (p 1, p 2 ) e Q = (q 1, q 2 ) due vettori spiccati dall origine. Chiamiamo somma di P e Q il vettore P + Q = (p 1 + q 1, p 2 + q 2 ) 2

3 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Sia P = (p 1, p 2 ) un vettore spiccato dall origine e k un numero reale. Allora chiamiamo moltiplicazione del vettore P per il numero k il vettore kp = (kp 1, kp 2 ) Esercizio 2.1. Verificare che per l operazione somma di vettori appena definita in R 2 valgono le seguenti proprietà 1. La somma è commutativa: per ogni V, W in R 2 V + W = W + V 2. La somma è associativa: per ogni U, V, W in R 2 (U + V ) + W = U + (V + W ) 3. Esiste un vettore in R 2, il vettore nullo 0, che è elemento neutro rispetto all operazione di somma, nel senso che V + 0 = V per ogni vettore V. 4. Per ogni vettore V R 2 esiste un vettore, l opposto di V, denotato V, che sommato a V dà il vettore nullo: V + ( V ) = 0. Diremo allora che R 2, con l operazione di somma, è un gruppo abeliano. Esercizio 2.2. Convincersi con esempi opportuni che la somma di vettori sopra definita coincide con la somma di vettori introdotta in fisica per mezzo della regola del parallelogramma. Esercizio 2.3. Verificare che per ogni V, W in R 2 e per ogni h, k R valgono le seguenti proprietà h(kv ) = (hk)v (h + k)v = hv + kv h(v + W ) = hv + hw 1V = V Riassumendo, abbiamo introdotto in R 2 due operazioni: la somma di due vettori spiccati dall origine e la moltiplicazione di un vettore per un numero reale. Per queste due operazioni valgono le proprietà elencate negli esercizi 2.1 e 2.3. R 2 costituisce uno spazio vettoriale reale. 3

4 2.1 Prodotto scalare. Distanza. Definizione 2.4. Siano X = (x 1, x 2 ) e Y = (y 1, y 2 ) due vettori di R 2. Chiamiamo prodotto scalare di X e Y il numero X Y = (x 1 y 1 + x 2 y 2 ) (X Y si legge: X scalare Y ) Esercizio 2.5 (Proprietà del prodotto scalare.). Verificare che per il prodtto scalare valgono le seguenti proprietà 1. Bilinearità. Per ogni fissato X, Y, Z R 2 e per ogni k R, (X + Y ) Z = (X Z) + (Y Z) e X (Y + Z) = (X Y ) + (X Z) kx Y = k(x Y ) e X ky = k(x Y ) 2. Simmetria. Per ogni X, Y in R 2 X Y = Y X 3. Definita positività. Per ogni X 0 X X > 0 Definizione 2.6 (Lunghezza di un vettore). La lunghezza di un vettore X di R 2 è il numero reale X = X X = x x2 2 Un vettore X R 2 si dice unitario se X = 1. Definizione 2.7 (Distanza tra due punti). La distanza d(x, Y ) fra due punti X, Y R 2 è il numero d(x, Y ) = X Y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 Definizione 2.8 (Vettori ortogonali). Per ogni X, Y R 2, diciamo che X e Y sono ortogonali se X Y = Proiezione di un vettore lungo un altro. Angoli. Definizione 2.9. Sia W un vettore non nullo di R 2. La proiezione ortogonale P W (V ) del vettore V lungo W è P W (V ) = V W W W W (2.1) Si noti che se il vettore W è unitario ( W W = 1), la proiezione di V lungo W si scrive più semplicemente: P W (V ) = (V W ) W ( W unitario) (2.2) 4

5 Esempio. Cerchiamo la proiezione ortogonale di V = (0, 1) sul vettore W = (1, 1). Abbiamo: V W = 1, W W = 2. Quindi: P W (V ) = V W W W W = 1 2 (1, 1) = (1 2, 1 2 ) Teorema 2.10 ( Teorema di Pitagora). Siano X e Y vettori di R 3. Se X e Y sono ortogonali, allora X + Y 2 = X 2 + Y 2 Dimostrazione. X + Y 2 = (X + Y ) (X + Y ) = X X + 2(X Y ) + Y Y = X 2 + 2(X Y ) + Y 2 = X 2 + Y 2 se X Y = 0 Il teorema seguente generalizza il fatto che in ogni triangolo rettangolo un cateto ha lunghezza minore o uguale a quella dell ipotenusa: Proposizione Siano W e X due vettori di R 2 e P W (X) la proiezione ortogonale di X su W. Allora P W (X) X (2.3) Dimostrazione. Scriviamo X = P W (X) + (X P W (X)). I due vettori P W (X) e X P W (X) sono ortogonali (perchè?). Per il teorema di Pitagora 2.10 Si deduce allora che P W (X) X. X 2 = P W (X) 2 + X P W (X) 2 Citiamo senza dimostrazione il seguente importante Teorema 2.12 (Disuguaglianza di Schwarz). Per tutti i vettori X, Y di R 3 vale la disuguaglianza X Y X Y (2.4) Definizione 2.13 (coseno di un angolo). Siano V, W R 2, entrambi diversi dal vettore nullo. Si definisce coseno dell angolo α formato da V e W il numero cos α = V W V W Esempio. Trovare il coseno dell angolo α formato dai vettori X = (1, 0) e Y = (1, 1). Soluzione. cos α = X Y X Y = = 2 5

6 Esercizio Dimostrare che la funzione norma : R 2 R soddisfa la seguente proprietà: X + Y X + Y (Disuguaglianza triangolare) (2.5) Soluzione. Poiché i termini a primo e secondo membro della 2.5 sono non-negativi, la 2.5 equivale a X + Y 2 ( X + Y ) 2 che, facendo i conti, si scrive X 2 + 2(X Y ) + Y 2 X X Y + Y 2 Quest ultima disuguaglianza è vera per la disuguaglianza di Schwarz (si confrontino i termini di mezzo). 3 Rette nel piano Una retta parametrizzata nel piano R 2 è una funzione R r R 2 t (a 1 + lt, a 2 + mt) A = (a 1, a 2 ) è un punto della retta (corrispondente al valore t = 0 del parametro) e V = (l, m) è un vettore non nullo parallelo alla retta; chiameremo un tale V vettore di direzione della retta. Si scrive anche { x1 = a 1 + lt (3.1) x 2 = a 2 + mt t R Diremo che 4.1 sono equazioni parametriche per la retta r. In forma vettoriale si scrive anche, in modo più compatto, P = A + tv t R dove P = (x 1, x 2 ). In linea di principio, è bene distinguere la funzione R r R 2, che abbiamo chiamato retta parametrizzata, dalla sua immagine, cioè dall insieme dei punti r(t) = A + V t nel piano, ottenuti al variare del parametro t in R. Distinguere i due concetti è importante, ad esempio, in cinematica: la funzione R r R 2 è (la legge oraria di) un moto rettilineo uniforme, di velocità vettoriale V, passante per A all istante t = 0; invece la sua immagine Im (r) = {P R 2 P = A + V t, t R } è la traiettoria (o orbita) del moto. Naturalmente, una stessa traiettoria può essere percorsa in infiniti modo diversi. In termini geometrici: una retta, intesa come insieme di punti dello spazio, può essere parametrizzata in infiniti modi diversi. Esempi 1) Equazioni parametriche per la retta passante per P 0 = (3, 5) e con vettore di direzione 6

7 V = (1, 2, ) sono: { x = 3 + t y = 5 + 2t t R 2) Equazioni parametriche per l asse delle x sono: { x = t t R y = 0 3) Equazione parametrica, in forma vettoriale, per la retta che passa per i due punti distinti A e B è : X = A + (B A)t, t R In componenti, se A = (a 1, a 2 ), B = (b 1, b 2 ), equazioni parametriche sono: { x = a1 + (b 1 a 1 )t t R y = a 2 + (b 2 a 2 )t (Spiegare facendo una figura). Rette parallele. Due rette r e r di equazioni parametriche r : { x = x0 + lt y = y 0 + mt t R r : { x = x 0 + l u y = y 0 + m u u R (3.2) sono parallele se e solo se i loro vettori di direzione (l, m) e (l, m ) sono proporzionali, cioè se esiste un numero reale k per il quale l = kl, m = km Rette ortogonali. Due rette r e r di equazioni parametriche r : { x = x0 + lt y = y 0 + mt t R r : { x = x 0 + l u y = y 0 + m u u R (3.3) sono ortogonali se e solo se i loro vettori di direzione (l, m) e (l, m ) sono ortogonali, cioè se e solo se l l + m m = 0 4 Approfondimento: rette e piani nello spazio Una retta parametrizzata nello spazio R 3 è una funzione R r R 3 t (a 1 + lt, a 2 + mt, a 3 + nt) 7

8 A = (a 1, a 2, a 3 ) è un punto della retta (corrispondente al valore t = 0 del parametro) e V = (l, m, n) è un vettore non nullo parallelo alla retta; chiameremo un tale V vettore di direzione della retta. Si scrive anche x 1 = a 1 + lt x 2 = a 2 + mt t R (4.1) x 3 = a 3 + nt Diremo che 4.1 sono equazioni parametriche per la retta r. In forma vettoriale si scrive anche, in modo più compatto, P = A + tv t R dove P = (x 1, x 2, x 3 ). Esempi 1) Equazioni parametriche per la retta passante per P 0 = (3, 5, 7) e con vettore di direzione V = (1, 2, 1) sono: x = 3 + t y = 5 + 2t z = 7 t t R 2) Equazioni parametriche per l asse delle x sono: x = t y = 0 z = 0 t R 3) Equazione parametrica, in forma vettoriale, per la retta che passa per i due punti distinti A e B è : X = A + (B A)t, t R In componenti, se A = (a 1, a 2, a 3 ), B = (b 1, b 2, b 3 ), equazioni parametriche sono: x = a 1 + (b 1 a 1 )t y = a 2 + (b 2 a 2 )t t R z = a 3 + (b 3 a 3 )t (Dare una spiegazione convincente). 4) Le due rette di equazioni parametriche: x = 2 + t y = 4 + 3t z = 1 + 7t t R e x = 2t y = 6t t R z = 5 14t sono parallele. I loro vettori di direzione, rispettivamente V = (1, 3, 7) e V = ( 2, 6, 14) sono proporzionali. Equazione cartesiana di un piano nello spazio 8

9 Nello spazio R 3 si consideri un piano π, il punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) appartenente al piano π e il vettore (non nullo) V = (a, b, c) ortogonale a π. Allora un punto X = (x, y, z) dello spazio R 3 appartiene a π se e solo se il vettore X P 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ) è ortogonale a v = (a, b, c), cioè se e solo se il prodotto scalare v (X P 0 ) è nullo: (x, y, z) appartiene a π v (X P 0 ) = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 Diremo allora che l equazione cartesiana del piano passante per P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e ortogonale al vettore non nullo v = (a, b, c) è a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (4.2) Eliminando le parentesi, l equazione 4.2 si scrive sotto la forma: ax + by + cz + d = 0 (4.3) Si tratta di una equazione di primo grado in x, y, z, con (a, b, c) (0, 0, 0). Naturalmente ogni altra equazione del tipo (ka)x + (kb)y + (kc)z + (kd) = 0, con k 0, rappresenta ancora lo stesso piano π. Viceversa, ogni equazione del tipo 4.3, con a, b, c non tutti e tre nulli, rappresenta un piano; precisamente (supposto ad esempio c 0) rappresenta il piano ortogonale a (a, b, c) e passante per il punto (0, 0, d ). (Verificarlo). c Il piano di equazione ax + by + cz + d = 0 contiene l origine (diremo anche: passa per l origine ) se e solo se d = 0. Riassumendo: si consideri una funzione R 3 f R, f(x, y, z) = ax + by + cz + d, con (a, b, c) (0, 0, 0). Una tale funzione si dice affine. Allora l insieme degli zeri di f, denotato f 1 (0), cioè l insieme f 1 (0) = {(x, y, z) R 3 f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0} è un piano in R 3 ; si dice che ax + by + cz + d = 0 è una equazione cartesiana del piano. Attenzione: qui si usa la notazione f 1 (0) per denotare la controimmagine di 0 (zero) tramite f, cioè l insieme dei punti (x, y, z) dello spazio per i quali f(x, y, z) = 0; il simbolo usato non denota la funzione inversa di f (che non è mai invertibile). Esempi 1) Il piano passante per il punto P 0 = (2, 1, 7) e ortogonale al vettore v = (3, 2, 5) ha equazione 3(x 2) + 2(y 1) + 5(z 7) = 0, ossia 3x + 2y + 5z 43 = 0. 2) Il piano passante per l origine e ortogonale a (1, 1, 1) ha equazione: x + y + z = 0: 3) Il piano yz ha equazione x = 0. 9

10 4) Il piano passante per il punto P 0 = (0, 0, 5) e ortogonale a (0, 0, 1) (quindi p arallelo al piano xy) è z 5 = 0. Piani paralleli. Due piani π : ax + by + cz + d = 0, π : a x + b y + c z + d = 0 sono paralleli se e solo se i vettori (a, b, c), (a, b, c ) (ortogonali a π e π, rispettivamente) appartengono alla stessa retta, cioè se e solo se esiste un numero k per il quale a = ka, b = kb, c = kc Se tale condizione è verificata e inoltre d = kd, allora π e π sono (paralleli e) coincidenti; se invece d kd, sono paralleli distinti. Rette parallele. Due rette r e r di equazioni parametriche x = x 0 + lt x = x r : y = y 0 + mt r 0 + l t : y = y 0 + m t z = z 0 + nt z = z 0 + n t (4.4) sono parallele se e solo se i loro vettori di direzione (a, b, c) e (a, b, c ) sono proporzionali, cioè se esiste un numero λ per il quale a = ka, b = kb, c = kc In modo equivalente, due rette r e r sono parallele, se: 1) sono complanari (cioè esiste un piano che le contiene entrambe); 2) sono coincidenti, oppure non hanno punti in comune. Piani ortogonali. Due piani π : ax + by + cz + d = 0, π : a x + b y + c z + d = 0 sono ortogonali se e solo se i vettori (a, b, c), (a, b, c ) sono ortogonali, cioè se e solo se a a + b b + c c = 0 Rette ortogonali. Due rette r e r di equazioni parametriche x = x 0 + lt x = x r : y = y 0 + mt r 0 + l t : y = y 0 + m t z = z 0 + nt z = z 0 + n t (4.5) sono ortogonali se e solo se i loro vettori di direzione (l, m, n) e (l, m, n ) sono ortogonali, cioè se e solo se l l + m m + n n = 0 10

11 Piano e retta ortogonali. Un piano e una retta π : ax + by + cz + d = 0 x = x 0 + lt r : y = y 0 + mt z = z 0 + nt (4.6) sono ortogonali tra loro se e solo se il vettore (a, b, c), ortogonale a π, e il vettore di direzione (l, m, n) della retta r sono multipli, cioè se e solo se esiste un numero h per il quale a = h l, b = h m, c = h n Piano e retta paralleli. Un piano e una retta π : ax + by + cz + d = 0 x = x 0 + lt r : y = y 0 + mt z = z 0 + nt (4.7) sono paralleli tra loro se e solo se il vettore (a, b, c), ortogonale a π, e il vettore di direzione (l, m, n) della retta r sono ortogonali, cioè se e solo se a l + b m + c n = 0 Vediamo ora quali sono le possibili posizioni reciproche di due rette nello spazio (tridimensionale). Abbiamo già visto che due rette r e r si dicono parallele se hanno la stessa direzione, cioè se i loro vettori di direzione sono multipli tra loro. Due rette r e r nello spazio R 3 si dicono sghembe se non sono complanari, cioè se non esiste nessun piano che le contiene entrambe. Due rette r e r nello spazio si dicono incidenti se la loro intersezione r r è un punto (cioè se hanno esattamente un punto in comune). Riassumendo: se due rette nello spazio hanno la stessa direzione, sono parallele; se invece non hanno la stessa direzione, ci sono due casi possibili: sono incidenti se la loro intersezione è un punto, sono sghembe se la loro intersezione è vuota. Esempi. 1) Le due rette x = 2 + t r : y = 7 + 2t z = t x = 1 2t r : y = 3 4t z = 1 + 2t sono parallele. Infatti i loro vettori di direzione, rispettivamente v = (1, 2, 1) e v = ( 2, 4, 2), sono proporzionali tra loro (si ha v = 2v). 2) I due piani π : x + y z + 7 = 0, π : 2x + 2y 2z + 3 = 0 (4.8) 11

12 sono paralleli e distinti. Sono paralleli, perché i vettori (a, b, c) = (1, 1, 1) e (a, b, c ) = (2, 2, 2), rispettivamente ortogonali a π e π, sono proporzionali tra loro: (a, b, c ) = 2(a, b, c); sono paralleli distinti, perché (1, 1, 1, 7) e (2, 2, 2, 3) non sono proporzionali. 3) I due piani π : x + 2y + 4z + 1 = 0, π : 2x + 3y 2z + 7 = 0 sono ortogonali. Infatti i vettori (a, b, c) = (1, 2, 4) e (a, b, c ) = (2, 3, 2) sono ortogonali tra loro (il loro prodotto scalare è zero). 4) Il piano e la retta π : x + y + 3z + 1 = 0 x = t r : y = 1 3 t z = 1 + t sono ortogonali tra loro perché il vettore (a, b, c) = (1, 1, 3), ortogonale a π, è multiplo del vettore di direzione (l, m, n) = ( 1 3, 1 3, 1) della retta r. (4.9) Siano π e π due piani nello spazio, di equazioni ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0, rispettivamente. Se non sono paralleli tra loro, la loro intersezione π π = r è una retta dello spazio; un punto (x, y, z) dello spazio appartiene a r se e solo se soddisfa il sistema r : { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 (4.10) Le (4.10) sono le equazioni cartesiane della retta r. Naturalmente, esistono infinite coppie di piani la cui intersezione è r; quindi una stessa retta si può rappresentare come sistema di equazioni cartesiane in infiniti modi diversi. Un piano π nello spazio può anche essere descritto in forma parametrica, nel modo seguente. Siano V = (v 1, v 2, v 3 ) e W = (w 1, w 2, w 3 ) due vettori (spiccati dall origine) paralleli a π e sia P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto di π. Allora il piano π è l insieme dei punti X = (x, y, z) del tipo X = P 0 + tv + uw al variare dei parametri t, u in R. Infatti, l insieme di punti {tv + uw, t, u R} è il piano π 0 passante per l origine e parallelo a π; se si trasla tale piano π 0 del vettore OP 0, si ottiene il piano π. In componenti, le equazioni parametrciche del piano π si scrivono x = x 0 + v 1 t + w 1 u π : y = y 0 + v 2 t + w 2 u t, u R z = z 0 + v 3 t + w 3 u (4.11) Esempi 1) L asse delle x è intersezione del piano di equazione z = 0 (il piano xy) e del piano di equazione y = 0 (il piano xz). Quindi equazioni cartesiane per l asse delle x sono { y = 0 z = 0 12

13 2) La retta dello spazio, bisettrice del primo e terzo quadrante del piano xy, ha equazioni cartesiane { x y = 0 z = 0 3) Equazioni parametriche per il piano passante per P 0 = (1, 2, 5) e parallelo ai vettori v = (2, 5, 7) e w = (1, 0, 3) sono: x = 1 + 2t + u y = 2 + 5t t, u R z = 5 + 7t + 3u 13

14 5 Esercizi Esercizio 5.1. Vero o Falso? Motivare le risposte per iscritto, sul quaderno. 1. V F Se A = ( 2 3, 1) e Se B = (+ 5 3, 2) allora A + B = ( 7 3, 3) 2. V F Se A = ( 5 2, 0) e Se B = ( 2 3, 1) allora 2A + 3B = (3, 3) 3. V F I vettori A = (2, 5) e B = (6, 15) sono paralleli. 4. V F Se A = (2, 3) e B = ( 4, 5) allora A B = 23. (A B = prodotto scalare di A e B). 5. V F I vettori A = ( 3, 2) e B = (4, 6) sono ortogonali. 6. V F La lunghezza del vettore A = (3, 4) è A = V F Siano A = ( 1, 3) è B = (+2, 2). La distanza d(a, B) = A B = V F Il punto P = ( 1, 2) appartiene alla retta r di equazioni parametriche { x = 2 3t y = 1 t 9. V F Le rette r e s rispettivamente di equazioni parametriche r : { x = t y = t t R s : { x = 2 3u y = 1 + 2u u R sono parallele. 10. V F Le rette r e s rispettivamente di equazioni parametriche r : { x = 1 3 t y = t t R s : { x = 2 6u y = u u R sono ortogonali. Esercizio 5.2. Siano X = (x 1, x 2 ) e Y = (y 1, y 2 ) due vettori di R 2. Scrivere: a) il prodotto scalare X Y ; b) la norma di X e il coseno dell angolo tra X e Y (supponendo X, Y 0); c) l espressione della distanza di X da Y. Esercizio 5.3. Quando due vettori X = (x 1, x 2 ) e Y = (y 1, y 2 ) di R 2 di dicono ortogonali? Stabilire per quali eventuali valori di h R i vettori (2 h, 1) e ( 1, 1 + h) sono ortogonali. 14

15 Esercizio 5.4. Scrivere tutti i vettori che sono multipli del vettore (1, 1) e che hanno lunghezza 1. Esercizio 5.5. Trovare le equazioni parametriche per la retta r che contiene i punti A = (1, 0) e B = (2, 4). Esercizio 5.6. Si considerino i punti A = (1, 4) e B = ( 2 3, 2). parametriche dell asse del segmento AB. Scrivere le equazioni Esercizio 5.7. Le rette r e s di equazioni parametriche r : { x = t y = 2 + t t R s : { x = 2 2u y = u u R sono incidenti? In caso affermativo, trovare le coordinate del punto di intersezione. Esercizio 5.8. Trovare i punti di intersezione della retta r di equazioni parametriche con gli assi cartesiani. { x = 5t y = 2 3t Da equazioni parametriche a equazioni cartesiane (e viceversa): il caso di rette in R 2 Esercizio 5.9. Trovare un equazione cartesiana per la retta di equazioni parametriche { x = 1 3t y = 2 + t Esercizio Trovare equazioni parametriche per la retta r di equazione cartesiana: 2x 7y + 1 = 0 15