Prodotto scalare. Piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

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1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria Prodotto scalare in R n. Piani nello spazio. 19 Dicembre 2016 Indice 1 Prodotto scalare nello spazio Riassunto delle proprietà del prodotto scalare nello spazio Coordinate cartesiane ortogonali Il prodotto scalare in coordinate cartesiane Angolo tra due vettori Prodotto scalare standard in R n Proiezione di un vettore lungo un vettore in R n Il teorema di Pitagora La disuguaglianza di Schwarz Angolo tra due vettori in R n Piani nello spazio Equazione vettoriale e equazione cartesiana di un piano nello spazio Equazione di un piano in forma normale Distanza di un punto da un piano Fascio di piani Pag. 1

2 1 Prodotto scalare nello spazio 1.1 Riassunto delle proprietà del prodotto scalare nello spazio Ricordiamo che nello spazio tridimensionale, fissata un unità di misura delle lunghezze, si definisce il prodotto scalare fra due vettori nel modo seguente: Definizione 1.1. Il prodotto scalare di due vettori a, b è il numero (positivo, negativo o nullo) dato da a b = a b cos ϑ (Definizione intrinseca di prodotto scalare) dove a, b denotano le lunghezze di a, b e ϑ è l angolo compreso tra di essi. Si noti che, in particolare, il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale al quadrato della sua lunghezza: a a = a 2 (Quadrato della lunghezza) Definizione 1.2. Due vettori a, b si dicono ortogonali se a b = 0 (Vettori ortogonali) Teorema 1.3 (Proiezione di un vettore lungo un altro vettore). ( ) a b P b a = b (Proiezione di a lungo b) b b In particolare, se u è unitario ( u = 1): P u a = (a u) u (Proiezione lungo un vettore u unitario) a P u a u Figura 1: Il vettore P u a = (a u) u è la proiezione ortogonale di a lungo il vettore unitario u. Teorema 1.4 (Bilineare simmetrico). Il prodotto scalare è bilineare simmetrico: a b = b a (1.1) (λa) b = λ (a b) (1.2) (a 1 + a 2 ) b = a 1 b + a 2 b (1.3) Pag. 2

3 1.2 Coordinate cartesiane ortogonali Introduciamo nello spazio tridimensionale un sistema di coordinate cartesiane ortogonali. z e 3 = (0, 0, 1) 0 e 1 = (1, 0, 0) e 2 = (0, 1, 0) y x Figura 2: Base canonica in R 3 e assi cartesiani ortogonali. Ricordiamo che questo significa fissare: 1) un punto O come origine; 2) una base ortonormale di vettori e 1, e 2, e 3 : ciascuno di questi tre vettori ha lunghezza unitaria e, a due a due, sono ortogonali tra loro: { 1, se i = j e i e j = δ ij = (1.4) 0, se i j Ogni punto X dello spazio si identifica con il vettore X che ha come primo estremo l origine e come secondo estremo il punto X. Se il vettore X si scrive X = xe 1 + ye 2 + ze 3 (1.5) identifichiamo X con la terna ordinata delle sue coordinate cartesiane (x, y, z), e scriviamo Ad esempio, avremo: X = (x, y, z) e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1), (1.6) Lo spazio R 3 delle terne ordinate di numeri reali diventa allora un modello per lo spazio tridimensionale; esattamente come succede in dimensione due, dove un modello per il piano della geometria è R 2. Le tre rette, tra loro ortogonali, passanti per l origine e dirette come e 1, e 2, e 3 si chiamano assi coordinati (oppure, asse x, asse y, asse z). Pag. 3

4 1.3 Il prodotto scalare in coordinate cartesiane Teorema 1.5. In coordinate cartesiane ortogonali, il prodotto scalare di due vettori a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) è dato da a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (1.7) Dimostrazione Usando la bilinearità, la simmetria e le (1.4), si ha: a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) (1.8) 3 = a i b j e i e j (1.9) = = i,j=1 3 a i b j δ ij (1.10) i,j=1 3 a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (1.11) i=1 1.4 Angolo tra due vettori Sappiamo che il prodotto scalare di due vettori non nulli a, b è espresso, in forma geometrica intrinseca (cioè, indipendente dalle coordinate), da a b = a b cos ϑ (1.12) dove a, b denotano le lunghezze di a, b e ϑ è l angolo compreso tra di essi. Dunque cos ϑ = a b a b (1.13) In coordinate cartesiane ortogonali, se a = (a 1, a 2, a 3 ) e b = (b 1, b 2, b 3 ), la (1.13) si scrive: cos ϑ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a a a2 3 b b b2 3 (1.14) 1.5 Prodotto scalare standard in R n Nello spazio tridimensionale R 3, dove sono familiari dalla geometria le nozioni di lunghezza, angolo e coseno di un angolo, abbiamo definito il prodotto scalare standard a b = a b cos ϑ (1.15) e abbiamo poi dimostrato che, in coordinate cartesiane ortogonali, se a = (a 1, a 2, a 3 ) e b = (b 1, b 2, b 3 ), il prodotto scalare si scrive a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (1.16) Pag. 4

5 Per analogia con R 3, anche nello spazio n-dimensionale R n (n intero positivo qualunque) delle n-ple ordinate dei numeri reali si definisce il prodotto scalare standard. In questo caso, l approccio sarà, almeno inizialmente, puramente algebrico. Definizione 1.6. Il prodotto scalare standard (o prodotto interno, o prodotto scalare euclideo) in R n a ogni coppia a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) di vettori di R n associa il numero reale (Si legge a scalare b o a interno b.) a b = a 1 b a n b n (1.17) Si dimostra facilmente che il prodotto scalare standard in R n è bilineare simmetrico, cioè soddisfa le seguenti proprietà. 1. Bilinearità (ossia, linearità in entrambi gli argomenti): Per ogni a, b, c R n, per ogni λ R, a (b + c) = a b + a c a (λb) = λ(a b) (a + b) c = a c + b c (λa) b = λ(a b) 2. Simmetria: Per ogni a, b R n, 3. Positività (o definita positività): Per ogni a non nullo in R n, a b = b a a a > Proiezione di un vettore lungo un vettore in R n Teorema 1.7 (Proiezione di un vettore lungo un altro). Sia b R n un vettore non nullo. Ogni vettore a R n si scrive in modo unico come con a parallelo a b e a ortogonale a b. Si ha: a = a + a (1.18) a = a b b b b (1.19) e, di conseguenza, a = a a b b b b (1.20) Pag. 5

6 a a a b Figura 3: Il vettore a è la proiezione ortogonale di a lungo b, o componente di a lungo b. Dimostrazione Il nostro obiettivo è di trovare un vettore a che sia parallelo a b, cioè multiplo di b, e tale che la differenza a a sia ortogonale a b. Ora, un multiplo tb (t R) del vettore b ha la proprietà che a tb è ortogonale a b se e solo se ossia (a tb) (b) = 0 a b t(b b) = 0 Quest ultima è un equazione di primo grado in t, la cui unica soluzione è t = a b b b (Si noti che b b 0, perché b 0). Sostituendo tale valore di t, troviamo che la proiezione ortogonale di a lungo b è data da 1.19: Allora, per differenza, avremo la 1.20: a = a b b b b (1.21) a = a a = a a b b b b (1.22) Si noti che se, in particolare, il vettore u è unitario, cioè u u = 1, allora la proiezione a di a lungo u è data dalla formula più semplice: a = (a u) u (Se u = 1). (1.23) Si osservi anche che, sostituendo al posto di b un suo qualunque multiplo (non nullo) λb (λ R), la proiezione a non cambia. Infatti, a λb λb λb λb = a b b b b Dunque, la proiezione a si puøvedere come la proiezione di a lungo la retta orientata vettore b. del 1.7 Il teorema di Pitagora Teorema 1.8 (Teorema di Pitagora). Se a, b R n sono ortogonali, allora a + b 2 = a 2 + b 2 (1.24) Pag. 6

7 Dimostrazione a + b 2 = (a + b) (a + b) = a b + 2 a b + b b = a 2 + b La disuguaglianza di Schwarz Teorema 1.9 (Disuguaglianza di Schwarz). Per tutti i vettori a, b in R n vale la disuguaglianza a b a b (1.25) (A sinistra, a b denota il valore assoluto del numero reale a b; a destra, a b denota il prodotto della lunghezza di a per la lunghezza di b.) Se a = (x 1,..., x n ) e b = (y 1,..., y n ), la disuguaglianza (1.25) si scrive: n x i y i = n x 2 n i yi 2 Prima dimostrazione (della disuguaglianza di Schwarz (1.25)). i=1 Se b = 0, la disuguaglianza (1.25) è ovvia, perché entrambi i membri sono zero. Supponiamo allora b diverso dal vettore nullo. Si consideri la funzione q(t) della variabile reale t (i vettori a, b sono fissi) definita da Facendo i conti, otteniamo: i=1 q(t) = a + tb 2 i=1 q(t) = a + tb 2 = (a + tb) (a + tb) = (a a) + 2 (a b) t + (b b) t 2 = a 2 + 2(a b) t + b 2 t 2 Vediamo allora che q(t) è un trinomio di secondo grado in t. Del resto q(t) 0 per ogni t R, perché q(t) = a + tb 2 è il quadrato di una norma. Allora, come è ben noto, il discriminante del trinomio q(t) deve essere minore o uguale a zero: (a b) 2 a 2 b 2 0 Questa disuguaglianza equivale alla disuguaglianza (1.25). Seconda dimostrazione (della disuguaglianza di Schwarz (1.25)). Se b = 0 la disuguaglianza (1.25) è ovvia, perché entrambi i membri sono zero. Supponiamo allora b 0. Scriviamo a = a + a con a multiplo di b e a ortogonale a b. Per il teorema di Pitagora, Pag. 7

8 a 2 = a 2 + a 2 a 2 ( ) = a b 2 b b b = a b b b = a b 2 b 2 2 b 2 Moltiplicando per b 2 si ha la tesi Angolo tra due vettori in R n Nel piano ordinario, o nello spazio ordinario, dove la nozione di angolo tra due vettori è già nota per via geometrica, il prodotto interno (il prodotto scalare standard) è dato, come è noto, dal prodotto della lunghezza di a, per la lunghezza di b, per il coseno dell angolo da essi individuato: a b = a b cos ϑ (1.26) La disuguaglianza di Schwarz permette di definire l angolo tra due vettori nello spazio R n. Si procede nel modo seguente. Dalla disuguaglianza di Schwarz (1.25) segue che, se a e b sono entrambi non nulli, il valore assoluto del rapporto è minore o uguale a 1, vale a dire Poiché la funzione a b a b 1 a b a b 1 [0, π] è invertibile, esiste un unico ϑ in [0, π] tale che cos [ 1, 1] cos ϑ = a b a b (1.27) Di conseguenza, esiste un unico angolo ϑ soddisfacente 0 ϑ π, tale che cos ϑ = a b a b (1.28) Tale angolo si chiama l angolo tra a e b. Con questa definizione di angolo tra due vettori, l uguaglianza a b = a b cos ϑ (1.29) vale in un qualunque spazio vettoriale euclideo (di qualunque dimensione, anche infinito-dimensionale). Pag. 8

9 2 Piani nello spazio 2.1 Equazione vettoriale e equazione cartesiana di un piano nello spazio Vediamo come trovare un equazione che rappresenti un piano P nello spazio. Sia n = (a, b, c) un qualunque vettore non nullo ortogonale al piano P e sia X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto (qualunque) appartenente al piano. Un punto X = (x, y, z) appartiene al piano P se, e solo se, il vettore X X 0 è ortogonale a n. Dunque l equazione del piano P è, in forma vettoriale, n (X X 0 ) = 0 (2.1) n X 0 X X 0 X P n O Figura 4: Un punto X appartiene al piano P passante per il punto X 0 e ortogonale al vettore n se, e solo se, il vettore X X 0 è ortogonale a n. In coordinate cartesiane ortogonali, l equazione vettoriale (2.1) del piano P si scrive Facendo i conti, l equazione (2.2) si scrive dove si è posto d = ax 0 by 0 cz 0. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (2.2) ax + by + cz + d = 0 (2.3) Riassumiamo. Ogni piano P è rappresentato da un equazione di primo grado in x, y, z ax + by + cz + d = 0 (2.4) dove almeno uno dei tre coefficienti a, b, c è diverso da zero. La (2.4) si chiama equazione cartesiana del piano. Il vettore non nullo v = (a, b, c) ha una interpretazione geometrica: è un vettore ortogonale al piano P. Pag. 9

10 Viceversa, sia ax + by + cz + d = 0 (2.5) una qualunque equazione di primo grado in x, y, z, con almeno uno dei tre coefficienti a, b, c non nullo. Dimostriamo che l insieme delle soluzioni dell equazione (2.5), cioè l insieme dei punti X = (x, y, z) in R 3 le cui coordinate soddisfano (2.5), è un piano nello spazio. Infatti, sia X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto (qualunque) dello spazio le cui coordinate soddisfino l equazione (2.5): ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0 (2.6) (Un tale punto X 0 esiste sicuramente. Ad esempio, se c 0, basta dare a x un valore arbitrario x 0, a y un valore arbitrario y 0, e poi ricavare il valore z 0 di z risolvendo l equazione ax 0 + by 0 + cz + d = 0.) Da questa uguaglianza ricaviamo d = ax 0 by 0 cz 0. Sostituendo questo valore di d in (2.5), possiamo scrivere l equazione (2.5) come oppure, in forma vettoriale, come a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (2.7) v (X X 0 ) = 0 (2.8) dove v = (a, b, c) e X P 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ). Quest ultima equazione (2.8) ha un evidente significato geometrico: rappresenta il luogo dei punti X dello spazio per i quali il vettore X X 0 è ortogonale al fissato vettore v. Dunque, anche l equazione (2.5), equivalente a (2.8), rappresenta un piano: precisamente il piano passante per X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e ortogonale al vettore v = (a, b, c). Riassumendo: Ogni piano nello spazio R 3 si rappresenta con un equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0 (2.9) dove almeno uno dei coefficienti a, b, c non è nullo. Viceversa, ogni equazione di questo tipo rappresenta un piano. Il vettore v = (a, b, c) le cui componenti sono i coefficienti di x, y, z, è ortogonale al piano di equazione ax + by + cz + d = 0. Si noti un caso particolare. Se il piano P passa per l origine, nelle equazioni (2.1) e (2.2) possiamo scegliere P 0 = O; quindi l equazione di un piano passante per l origine è, in forma vettoriale n X = 0 (2.10) e, in forma cartesiana, ax + by + cz = 0 (2.11) Pag. 10

11 n O X P Figura 5: Sia P un piano passante per l origine; sia n = (a, b, c) vettore non nullo ortogonale a P. Allora un punto X = (x, y, z) appartiene al piano P se, e solo se, X n = 0. Questa equazione vettoriale si legge, in coordinate cartesiane ortogonali: ax + by + cz = 0. Quest ultima è dunque l equazione cartesiana di un piano passante per l origine. 2.2 Equazione di un piano in forma normale Sia P un piano, non passante per l origine, di equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0 (d 0) (2.12) A meno di moltiplicare il primo membro per 1, possiamo suppporre d < 0. Ricordiamo che n = (a, b, c) è un vettore ortogonale al piano. Se normalizziamo n (cioè lo dividiamo per la sua lunghezza n ), otteniamo il vettore unitario (cioè di lunghezza 1) ˆn = n n = ( a a 2 + b 2 + c, 2 b a 2 + b 2 + c 2, c a 2 + b 2 + c 2 ) (2.13) Le componenti di ˆn, date da (2.13), sono i coseni degli angoli ε 1, ε 2, ε 3 che ˆn forma con i vettori e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) (i versori degli assi coordinati). Infatti, usando la formula che esprime l angolo fra due vettori unitari, cos ε 1 = ˆn e 1 = a a 2 + b 2 + c 2, cos ε 2 = ˆn e 2 = b a 2 + b 2 + c 2, cos ε 3 = ˆn e 3 = c a 2 + b 2 + c 2 (2.14) Se dividiamo entrambi i membri dell equazione (2.12) per n = a 2 + b 2 + c 2 otteniamo allora l equazione (che ovviamente rappresenta ancora lo stesso piano P) ossia a a 2 + b 2 + c 2 x + b a 2 + b 2 + c 2 y + c a 2 + b 2 + c 2 z + d a 2 + b 2 + c 2 = 0 (2.15) cos ε 1 + y cos ε 2 + z cos ε 3 = δ (2.16) dove si è posto δ = d/ a 2 + b 2 + c 2. La (2.16) si chiama equazione del piano in forma normale. In forma vettoriale, l equazione in forma normale (2.16) si scrive X ˆn = δ (2.17) L equazione (2.17) esprime il fatto che per tutti i punti X che appartengono al piano P, e soltanto per essi, la proiezione Pˆn X = (X ˆn) ˆn è data da Pˆn X = (X ˆn) ˆn = δ ˆn (2.18) Pag. 11

12 dove δ è positivo. Il numero δ è la distanza del piano dall origine, come è spiegato nella figura qui sotto. H X P ˆn ϑ O Figura 6: Sia ˆn il vettore unitario, spiccato dall origine, ortogonale al piano P e che punta verso P. Sia H il punto in cui la semiretta di ˆn interseca P. Poniamo OH = δ; allora δ è la distanza del piano dall origine. Un punto X appartiene al piano P se, e solo se, la proiezione Pˆn X = (X ˆn) ˆn è uguale al vettore OH = δˆn, ossia se, e solo se, X ˆn = δ. Abbiamo così dimostrato: La distanza del piano ax + by + cz + d = 0 dall origine, è il valore asoluto di d(o, P) = d (2.19) a 2 + b 2 + c Distanza di un punto da un piano Teorema 2.1. Nello spazio, riferito a un sistema di coordinate cartesiane, la distanza del punto Z = (z 1, z 2, z 3 ) dal piano P di equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0 (2.20) è data da: d(z, P) = az 1 + bz 2 + cz 3 + d (2.21) a 2 + b 2 + c 2 Dimostrazione Poniamo n = (a, b, c) e ˆn = n n = ( a a 2 + b 2 + c, 2 L equazione di P in forma normale è a a 2 + b 2 + c 2 x + b a 2 + b 2 + c 2 y + b a 2 + b 2 + c 2, c a 2 + b 2 + c 2 z + c a 2 + b 2 + c 2 ) (2.22) d a 2 + b 2 + c 2 = 0 (2.23) Pag. 12

13 o, in forma vettoriale, X ˆn δ = 0 (2.24) dove δ = d/ a 2 + b 2 + c 2. Sia ora X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto (qualunque) appartenente a P. Pertanto, X 0 soddisfa X 0 ˆn δ = 0 (2.25) La figura mostra che: Il valore assoluto del prodotto scalare (Z X 0 ) ˆn (2.26) è uguale alla distanza d(z, P) del punto Z dal piano P. Dunque, la distanza d(z, P) del punto Z dal piano P è data da d(z, P) = (Z X 0 ) ˆn = Z ˆn X 0 ˆn = Z ˆn δ L espressione finale Z ˆn δ è il valore che il primo membro dell equazione normale (2.24) assume quando si sostituisce al posto di X il punto Z = (z 1, z 2, z 3 ). Dunque d(z, P) = a a 2 + b 2 + c z b a 2 + b 2 + c z c a 2 + b 2 + c z d (2.27) a 2 + b 2 + c 2 = az 1 + bz 2 + cz 3 + d (2.28) a 2 + b 2 + c 2 n Z Z = (z 1, z 2, z 3 ) ˆn X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) Y Z P Figura 7: Il punto del piano P a distanza minima dal punto Z è l intersezione Z del piano P con la retta passante per Z e ortogonale a P. Infatti, se Y è un qualunque altro punto di P, nel triangolo rettangolo ZZ Y, l ipotenusa ZY è piú lunga del cateto ZZ. Per calcolare la distanza d(z, P) non è peró necessario trovare il punto Z, proiezione di Z sul piano P. Infatti, se X 0 è un qualunque punto appartenente a P, la distanza d(z, Z ) è uguale al valore assoluto del prodotto scalare (Z X 0 ) ˆn, perché questo prodotto scalare è la lunghezza (con segno) della proiezione del vettore Z P 0 lungo il vettore unitario ˆn. Pag. 13

14 In modo del tutto analogo, si dimostra che, nel piano R 2, la distanza del punto Z = (z 1, z 2 ) dalla retta r di equazione ax + by + c = 0 è data da d(z, r) = az 1 + bz 2 + c (2.29) a 2 + b Fascio di piani Fissata, nello spazio tridimensionale, una retta r, l insieme dei piani P dello spazio che contengono r (nel senso che r P) si dice fascio di piani di sostegno la retta r. Proposizione 2.2. Sia r una retta dello spazio tridimensionale, di equazioni cartesiane r : { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 (2.30) I piani del fascio di sostegno r sono esattamente quelli la cui equazione è del tipo: λ (ax + by + cz + d) + µ (a x + b y + c z + d ) = 0 (2.31) dove λ e µ sono numeri arbitrari (non entrambi nulli). Dimostrazione. 1) Dimostriamo che ogni piano 1 di equazione cartesiana (2.31) appartiene al fascio il cui sostegno è la retta r. A questo scopo, sia P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) un punto qualunque della retta r: ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0, a x 0 + b y 0 + c z 0 + d = 0 Allora, per ogni λ, µ, anche λ (ax 0 + by 0 + cz 0 + d) + µ (a x 0 + b y 0 + c z 0 + d ) = 0 Quindi tutti i piani (2.31) contengono P 0. Poiché P 0 è un punto arbitrario della retta r, si conclude che ogni piano del tipo (2.31) include la retta r. 2) Dimostriamo che se un piano P appartiene al fascio di sostegno r (cioè, r P), allora ha equazione del tipo (2.31). A questo scopo, fissiamo un punto P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) che appartenga al piano P, ma non alla retta r, consideriamo un generico piano di equazione (2.31) e imponiamo la condizione λ (ax 1 + by 1 + cz 1 + d) + µ (a x 1 + b y 1 + c z 1 + d ) = 0 (2.32) che esprime l appartenenza del punto P 1 al piano (2.31). Ora si vede subito che questa equazione, nelle incognite λ, µ, ha sempre infinite soluzioni, che sono tutte proporzionali 2 tra loro e quindi individuano uno stesso piano che, contenendo sia la retta r che il punto P 1, non puó che coincidere con il piano assegnato P. 1 L equazione (2.31), che si puó scrivere (λa + µa )x + (λb + µb )y + (λc + µc )z + (λd + µd ) = 0 rappresenta effettivamente un piano, perché è di primo grado in x, y, z e non si puó avere λa + µa = λb + µb = λc + µc = 0, perché altrimenti i piani ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0 sarebbero paralleli, il che è escluso. 2 Almeno uno dei due coefficienti A = ax 1 + by 1 + cz 1 + d e B = a x 1 + b y 1 + c z 1 + d è diverso da zero (altrimenti il punto P 1 apparterrebbe a r). Quindi le soluzioni (λ, µ) dell equazione Aλ + Bµ = 0 sono tutti i multipli della coppia (B, A). Pag. 14

15 Esempio cartesiane Cerchiamo un equazione cartesiana per il piano che contiene la retta r di equazioni { x y = 0 r : (2.33) x + y + 8z 1 = 0 e che passa per il punto P = (0, 1, 1). L equazione del fascio di sostegno r è λ(x y) + µ(x + y + 8z 1) = 0, λ, µ R P = (0, 1, 1) Il passaggio per il punto P = (0, 1, 1) impone la condizione λ(0 1) + µ( ) = 0, ossia λ + 8µ = 0 le cui soluzioni sono tutti i multipli della coppia ordinata (8, 1). Quindi un equazione del piano cercato è 8(x y) + (x + y + 8z 1) = 0 ossia 9x 7y + 8z 1 = 0 Pag. 15

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