Esercitazione di Analisi Matematica II

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1 Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica di R 3. b) Calcolare il polinomio caratteristico di f, gli autovalori di f ed una base per ogni suo autospazio. c) Stabilire se esiste una base di R 3 formata da autovettori di f, ed in caso affermativo, costruire una matrice P invertibile ed una matrice D diagonale che verificano la relazione P 1 AP = D. Esercizio 2 Sia data l applicazione lineare L : R 3 R 3 definita da: L(x, y, z) = (2x + 3y z, 2x + 5y 3z, x + 2y z). i) Stabilire per quale valore di k il vettore (1, 3, k) appartiene all immagine di L; ii) per il valore di k trovato, determinare le controimmagini del vettore (1, 3, k). end 1 Vettori nel piano e nello spazio Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel piano, allora questo si può identificare con R 2, l insieme delle coppie ordinate di numeri reali. Dato un punto A = (x, y) ad esso è associato il vettore v = OA. Viceversa, ad ogni vettore v è associata un unica freccia che ha come primo estremo l origine e come secondo estremo un punto A = (x, y). In questo modo è possibile identificare il punto A di coordinare (x, y) con il vettore posizione OA. Potremo allora scrivere v = (x, y) invece di v = OA. I numeri x, y si dicono componenti scalari di v. Si noti che (dal teorema di Pitagora) v = lunghezza di OA = x 2 + y 2. D altra parte, presi due punti P = (a, b) e Q = (c, d) nell ordine, essi individuano il vettore di componenti scalari x = c a, y = d b quindi possiamo scrivere P Q = (c a, d b); OA e P Q rappresentano lo stesso vettore le cui componenti scalari sono x = c a e y = d b. La somma e il prodotto per uno scalare si fanno componente per componente. Se infatti u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) allora si ha che u ± v = (x 1 ± x 2, y 1 ± y 2 ) e tu = (tx 1, tx 2 ). 1

2 Queste operazoni sono fondamentali perché permettono di eseguire le operazioni sui vettori per via analitica e non basandosi su costruzioni geometriche. I vettori i = (1, 0) e j = (0, 1) sono diretti come gli assi coordinati, hanno lunghezza unitaria (sono versori) e sono ortogonali tra di loro. Inoltre ogni vettore si può esprimere nel seguente modo v = (x, y) v = x i + yj. Si vedrà in seguito che questo significa che ogni vettore del piano può essere espresso come combinazione lineare dei versori i e j. I versori i e j si dicono versori fondamentali del piano. 2 Vettori nello spazio Analogamente, se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio tridimensionale, con origine nel punto O di riferimento, questo si può identificare con l insieme R 3 delle terne ordinate (x, y, z) di numeri reali. Di solito si sceglie una terna di assi ortogonali in modo che l orientazione sia destrorsa, cioè se indice e medio della mano destra puntano rispettivamente nel verso positivo degli assi x e y, allora il pollice punta nel verso positivo dell asse z. La distanza tra due punti P = (a, b, c) e Q = (a, b, c ) si introduce come P Q = (a a ) 2 + (b b ) 2 + (c c ) 2 (diagonale di un parallelepipedo). Il vettore v = P Q ha componenti scalari x = (a a ), y = (b b ), z = (c c ) e coincide con il vettore OA vettore posizione del punto A = (x, y, z). Si può scrivere allora v = (x, y, z) invece che v = OA. La lunghezza di v coincide con la lunghezza di P Q, cioè v = x 2 + y 2 + z 2. I vettori i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) sono versori (cioè hanno lunghezza unitaria), sono mutuamente ortogonali e sono diretti nel verso positivo dei 3 assi. Inoltre ogni altro vettore si può scrivere nella forma v = x i + yj + zk. I versori i, j, k si dicono versori fondamentali nello spazio. Anche in questo caso le operazioni di somma e prodotto per uno scalare si possono eseguire componente per componente. 3 Prodotto scalare Dati due vettori v e w nel piano o nello spazio, il loro prodotto scalare o prodotto interno denotato con v w o v, w è dato per definizione dalla formula v w = v w cos α dove α è l angolo compreso tra i due vettori (si considera 0 α π). Il prodotto scalare di due vettori è un numero reale. Elenchiamo ora le principali proprietà del prodotto scalare: è commutativo: v w = w v; è distributivo rispetto alla somma u (v + w) = u v + u + w; 2

3 , (tv) w = t(v w); v v = v 2 ; v è perpendicolare a w se e soltanto se v w = 0. In termini di componenti: in R 2, siano v = x 1 i + x2 j e w = y 1 i + y2 j; allora si ha v w = x 1 y 1 + x 2 y 2. Invece in R 3, se v = x 1 i + x2 j + x 3 k e w = y 1 i + y2 j + y 3 k allora si ottiene 4 Prodotto vettoriale v w = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Dati v e w il prodotto vettoriale v w è un vettore caratterizzato dalle seguenti proprietà: 1) lunghezza: v w = v w sin α, dove 0 α π è l angolo formato dai due vettori. La lunghezza del vettore rappresenta l area del parallelogramma costruito sui due vettori v e w; 2) v w è perpendicolare al piano di v e w; 3) v, w, v w rappresenta una terna destrorsa. Elenchiamo ora le principali proprietà del prodotto vettoriale: è anticommutativo: v w = w v; è distributivo rispetto alla somma: u (v + w) = u v + u w; (tv) w = t (v w); v v = 0; v è parallelo a w se e soltanto se v w = 0. A livello di componenti: se v = x 1 i + x2 j + x 3 k e w = y 1 i + y2 j + y 3 k allora v w = (x 2 y 3 x 3 y 2 ) i + (x 3 y 1 x 1 y 3 )j + (x 1 y 2 x 2 y 1 )k. Usando la nozione di determinante di una matrice (sviluppando simbolicamente secondo la prima riga) si ottiene (alternativamente si può usare la regola di Sarrus) i j k v w = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y = i x 2 x 3 y 2 y 3 j x 1 x 3 y 1 y 3 + k x 1 x 2 y 1 y 2. 3 Notiamo dunque che la condizione di parallelismo espressa tra le proprietà precedenti può essere interpretata in termini matriciali nel modo seguente: i j k v w = 0 se e soltanto se il determinante della matrice x 1 x 2 x 3 = 0 se e soltanto se ogni determinante y 1 y 2 y 3 delle sottomatrici 2 2 della precedente catena di uguaglianze è uguale a zero se e soltanto se v e w sono paralleli. 3

4 5 Prodotto misto Se u, v, w sono tre vettori nello spazio tridimensionale, il loro prodotto misto è definito dal numero reale u (v w). Le parentesi sono inutili perché la scrittura è univoca (non si potrebbe fare (u v) w perché il prodotto scalare tra due vettori dà uno scalare a cui non si può applicare il prodotto vettoriale per un terzo vettore). Il prodotto misto non varia permutando ciclicamente i 3 vettori: u v w = w u v = v w u. Geometricamente il valore assoluto del prodotto misto dei tre vettori u, v, w rappresenta il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori. L area di base è data da v w mentre l altezza è data dalla componente di u nella direzione v w perpendicolare alla base. Quindi una conseguenza importante di questa interpretazione geometrica è data da: u v w = 0 u, v, w sono complanari. Infatti, se il prodotto misto dei tre vettori u, v, w è nullo, allora significa (per una proprietà del prodotto scalare) che u è ortogonale a v w e pertanto giace nel piano individuato da v e w, da cui la complanarità dei tre vettori. A livello di componenti, se u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (x 1, x 2, x 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) allora si ha: u v w = u 1 (x 2 y 3 x 3 y 2 ) + u 2 (x 3 y 1 x 1 y 3 ) + u 3 (x 1 y 2 x 2 y 1 ). In termini matriciali, questa scrittura può essere interpretata come u 1 u 2 u 3 u v w = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3. Il modulo del determinante rappresenta il volume del parallelepipedo costruito sui vettori u, v, w. Poiché a sua volta il volume del parallelepipedo è nullo se e soltanto se i 3 vettori che lo generano sono complanari, si ha anche che il determinante 3 3 della precedente matrice è nullo se e soltanto se le sue righe (o colonne) sono 3 vettori complanari. In seguito vedremo che questo significa che i tre vettori sono linearmente dipendenti. Geometria nello spazio Esercizio 3 Stabilire se le rette: r : (x, y, z) = (1 + 2t, 1 + 2t, 2 + 2t) sono parallele. s : (x, y, z) = ( 2 + u, 2 + u, u) u R Esercizio 4 Verificare se le rette 1 + 2t r = 3t e 2 t s = 1 + 4t 4 t 2 t t R sono complanari. 4

5 Esercizio 5 Stabilire se le rette: sono ortogonali. r : (x, y, z) = (3 + t, 3 + t, 2 2t) s : (x, y, z) = (1 + u, 1 + u, u) u R Esercizio 6 Determinare gli eventuali punti di intersezione delle rette: r : (x, y, z) = (t, 1 + 2t, 2t) s : (x, y, z) = (1 u, 3 + u, 2 + u) u R. Esercizio 7 Determinare gli eventuali punti di intersezione delle rette r : (x, y, z) = (t, 1 + 2t, 2t) 1 s : (x, y, z) = ( u, 2 + u, 1 u) u R. 2 v R, sono sghembe, determinare la retta t perpen- Esercizio 8 Dopo aver verificato che le rette 1 t 1 r = t s = 1 + v 3 + 2t 1 v dicolare ed incidente sia ad r che ad s. Esercizio 9 Determinare la retta r passante per il punto A(8, 9, 2) e che interseca l asse delle y e la retta s di equazione: 1 + t s = 2t. 3 3t Esercizio 10 Dati i punti A(1, 2, 3) e B(2, 4, 5), determinare le equazioni parametriche della retta AB, dopo aver calcolato il versore versab. Determinare quindi le coordinate del punto D, di intersezione della retta AB con il piano zx. Calcolare poi la distanza AD. Esercizio 11 Calcolare l equazione del luogo dei punti (x, y) per cui la distanza di (x, y) da (0, 2) sia pari alla distanza di (x, y) dall asse delle x. Esercizio 12 Calcolare l equazione cartesiana della retta passante per P (1, 1, 1) e ortogonale al piano di equazione 2x + y z = 1. Esercizio 13 Dati i punti A(3, 0, 0), B(0, 8, 0), C(0, 0, 3) e la retta determinare: r = (t, 2t, 4t), 5

6 a) una equazione vettoriale del piano π passante per i punti A, B, C. b) la posizione della retta r rispetto al piano π; c) una equazione vettoriale del piano π 1 passante per r e perpendicolare a π; d) l equazione cartesiana della retta r 1 intersezione del piano π con il piano π 1. Esercizio 14 Considerati i punti A(1, 1, 1), B(2, 1, 0) e C(3, 0, 1): a) determinare l equazione del piano π che li contiene. b) Sia D( 1, 2, 3). Verificare che D non appartiene al piano π. c) Calcolare la distanza fra il punto D ed il piano trovato al punto a). 6 Curve regolari Esercizio 15 Verificare che il Folium di Cartesio { x = t(t 1) y = t(t 1)(2t 1) t (, + ) è una curva regolare. Esercizio 16 Verificare che l elica cilindrica x = 2 sin t y = 2 cos t z = 2t t (0, 4π) è una curva regolare. Calcolare la retta tangente alla curva in corrispondenza del punto P determinato per t = π 2. 6