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1 Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme delle coppie di numeri reali R 2 si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di un piano euclideo in cui sia stato fissato un sistema di coordinate cartesiane. Il linguaggio di R 2 si trasferisce a π e viceversa, per cui si parla, ad esempio, di circonferenza, cerchio, rettangolo in R 2. L insieme delle terne di numeri reali R 3 si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di uno spazio euclideo in cui sia stato fissato un sistema di coordinate cartesiane. Il linguaggio di R 3 si trasferisce a Σ e viceversa per cui si parla, ad esempio, di sfera, parallelepipedo, distanza in R 3. Grandezze scalari e grandezze vettoriali Una grandezza scalare é una grandezza che puó essere individuata da un numero che ne esprime la misura rispetto a una grandezza presa come unitá. Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, l area, la lunghezza, il volume. Una grandezza vettoriale é una grandezza che viene individuata da un numero reale (che ne esprime la misura) una direzione un verso e puó essere rappresentata tramite un segmento orientato. esempi Spostamento di un punto lungo una traiettoria. Forza applicata a un punto materiale. Velocitá di un punto p(t) mobile. Sia Σ uno spazio euclideo e sia S l insieme dei segmenti orientati di Σ. In S si definisce una relazione di equivalenza R per cui due segmenti orientati pq e p 1 q 1 sono equivalenti se hanno stessa lunghezza, stessa direzione e stesso verso. La relazione R é detta relazione di equipollenza. Chiameremo vettore geometrico, individuato da un segmento orientato pq, e scriveremo v= pq, la classe di equivalenza di pq secondo R, cioé l insieme costituito da pq e da tutti i segmenti 1

2 orientati ad esso equipollenti. Diremo direzione, verso, norma (o modulo) di un vettore la direzione, il verso, la lunghezza di un qualunque segmento orientato che lo individua. L insieme dei vettori geometrici, cioé l insieme quoziente S/R, viene denotato col simbolo V Σ e si chiama spazio vettoriale geometrico a tre dimensioni. Relazioni fra vettori, rette, piani I vettori v e w si dicono paralleli se hanno stessa direzione. equiversi se hanno stessa direzione e stesso verso. perpendicolari se lo sono due segmenti orientati che li rappresentano. Un vettore v e una retta r si dicono paralleli se hanno la stessa direzione. Un vettore v e un piano π si dicono paralleli se π é parallelo a un segmento orientato che rappresenta v. I vettori v e w si dicono complanari se sono paralleli a uno stesso piano. Operazioni fra vettori Con le grandezze scalari si opera sommandole e sottraendole con le ordinarie regole dell algebra. Con le grandezze vettoriali si opera sommandole e sottraendole con la regola del parallelogramma. Somma dei vettori u= pq e v= qs é il vettore denotato con u+v individuato dal segmento orientato ps Prodotto di un vettore u per uno scalare λ é il vettore denotato con λu di modulo λ u, stessa direzione di u, verso uguale o opposto a seconda che lo scalare sia positivo o negativo. Se lo scalare é 0 o u = 0 si pone λu=0. Struttura dello spazio vettoriale geometrico Lo spazio V Σ ha la struttura di spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma di vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare. Lo Spazio vettoriale geometrico a una dimensione V R segmenti orientati giacenti su una retta. Lo Spazio vettoriale geometrico a due dimensioni V Π segmenti orientati giacenti in un piano. si costruisce in modo analogo partendo dai si costruisce in modo analogo partendo dai 2

3 Basi di uno spazio vettoriale geometrico Poichè uno spazio vettoriale geometrico ha la struttura di spazio vettoriale, si puó parlare in V Σ di: - combinazione lineare di vettori, - vettori linearmente dipendenti, - vettori linearmente indipendenti, - base di V Σ, - componenti di un vettore rispetto a una base. E importante osservare che: Due vettori non nulli sono paralleli se e solo se sono linearmente dipendenti. Tre vettori non nulli e non paralleli sono complanari se e solo se sono linearmente dipendenti. Se in Σ viene introdotto un sistema di riferimento cartesiano i versori i,j,k degli assi x,y,z costituiscono una base di V Σ e le componenti di un vettore v rispetto a tale base si dicono componenti cartesiane di v. Due vettori non nulli sono linearmente dipendenti, e quindi paralleli, se e solo se la matrice costituita dalle loro componenti cartesiane ha rango minore di 2. Tre vettori non paralleli sono linearmente dipendenti, e quindi complanari, se e solo se la matrice costituita dalle loro componenti cartesiane ha rango minore di 3. Prodotto scalare di due vettori geometrici Per definire il prodotto scalare é necessaria la nozione di angolo determinato da due vettori. Ricordiamo che: - Angolo determinato da due semirette s 1 e s 2 di origine o in un piano π é l angolo convesso di lati s 1 e s 2. - Angolo determinato da due semirette s 1 e s 2 di origine o nello spazio é l angolo convesso di lati s 1 e s 2 giacente nel piano individuato dalle due semirette ( se le semirette hanno la stessa direzione si considera un qualunque piano che le contiene.) -Angolo determinato da due semirette s 1 e s 2 di origini diverse nello spazio é l angolo convesso di lati s 1 e s 2 semirette parallele ed equiverse a s 1 e s 2 rispettivamente e aventi la stessa origine. Possiamo dare le definizioni: 3

4 - L angolo determinato da due vettori u e v, denotato con ûv, é l angolo determinato da due semirette orientate equiverse a u e v rispettivamente. - Il prodotto scalare di due vettori non nulli u e v é il numero reale u v = u v cos(ûv). Se uno dei vettori é nullo si pone il prodotto scalare uguale a 0. - Il prodotto scalare é nullo se i vettori sono ortogonali. - Il prodotto scalare é dato dal modulo di uno dei due vettori per la componente scalare dell altro nella direzione e verso del primo. - Il prodotto scalare di due vettori é uguale alla somma dei prodotti delle componenti cartesiane dei due vettori. Lo spazio euclideo Σ come uno spazio vettoriale Fissato un punto o in Σ, per ogni punto p si considera il segmento orientato op e quindi il vettore geometrico u = op. La corrispondenza che a p fa corrispondere u= op definisce una corrispondenza biunivoca fra Σ e V Σ che ci permette definire delle operazioni che strutturano lo spazio euclideo Σ come uno spazio vettoriale. Operazioni in Σ - Somma di due punti p e q é il punto s soddisfacente alla condizione che op + oq = os e scriveremo p + q = s - Prodotto di un punto p per uno scalare λ é il punto q soddisfacente alla condizione che λ op = oq. - Opposto di un punto p é il punto q tale che oq = ( 1) op e scriveremo q = p. - Differenza di due punti p e q é il punto s tale che os = op + ( 1) oq. Lo spazio euclideo Σ ha la struttura di spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma di due punti e di prodotto di un punto per uno scalare. Conseguenze della struttura vettoriale in Σ : - i punti vengono chiamati vettori, - si definisce norma di p come p = op. - si definisce il prodotto scalare di due punti p e q come p q = op oq. - due punti p e q si dicono linearmente dipendenti se lo sono i vettori v = op e w = oq cioé se i punti o, p e q sono allineati, - tre punti p, q, s sono linearmente dipendenti se lo sono i vettori v = op e w = oq k = os 4

5 cioé se i punti o, p, q, s sono complanari, - tre punti p, q e p giacciono su una stessa retta se q p e p p giacciono su una stessa retta per o cioé se q p e p p sono linearmente dipendenti, - quattro punti q, p,q e p giacciono su una stessa piano se q p, q p e p p giacciono su uno stesso piano per o cioé se q p, q p e p p sono linearmente dipendenti, - se in Σ é fissata una terna di assi cartesiani, i punti (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) costituiscono una base di Σ. Equazioni vettoriali ed equazioni scalari di rette, segmenti e piani Equazione di una retta per o - L equazione vettoriale di una retta per o e q é p = λ q, perché p appartiene alla retta per o e q se i vettori v = op e w = oq sono paralleli cioé se p e q sono linearmente dipendenti. - Le equazioni scalari (parametriche) di una retta per o e q, se p = (x i ), e q = (q i ), i = 1, 2, 3, sono Equazione di una retta per due punti x i = λ q i, λ R. - L equazione vettoriale di una retta per p 1 e p 2 é p p 1 = λ (p 2 p 1 ), λ R, in quanto i punti p, p 1, e p 2 appartengono a una stessa retta r se p p 1 e p 2 p 1 appartengono alla parallela a r per o. - Le equazioni scalari (parametriche) di una retta per i punti p 1 e p 2, se p = (x i ), p 1 = (p 1 ) i e p 2 = (p 2 ) i,, i = 1, 2, 3, sono x i x 1 i = λ (x 2 i x 1 i ), λ R. Equazione di un piano per p 1, p 2 e o - L equazione vettoriale di un piano per p 1, p 2 e o é p = α p 1 + β p 2, α, β R, 5

6 perché tre punti appartengono a uno stesso piano per o se e solo se sono linearmente dipendenti. - Le equazioni scalari di un piano per p 1, p 2 e o, se p = (x i ), p 1 = (p 1 ) i e p 2 = (p 2 ) i, i = 1, 2, 3, sono x i x 1 i = λ (x 2 i x 1 i ). Equazione di un piano per p 1, p 2 e p 3 - L equazione vettoriale di un piano per p 1, p 2 e p 3 é p p 1 = α (p 2 p 1 ) + β (p 3 p 1 ), α, β R, in quanto i punti p, p 1, p 2 e p 3 appartengono a uno stesso piano π se e solo se p p 1 p 3 p 1 e p 2 p 1 appartengono al piano passante per o e parallelo a π. - Le equazioni scalari di un piano per p 1, p 2 e p 3, se p = (x i ), p 1 = (p 1 ) i e p 2 = (p 2 ) i, i = 1, 2, 3 é x i = p 1 i + α p 2 i + β p 3 i, α, β R. Prodotto vettoriale di due vettori geometrici Per definire il prodotto vettoriale sono necessarie le nozioni di verso positivo in uno spazio euclideo e di terna di vettori orientata positivamente. Se x, y, z sono tre semirette non complanari di origine o, dicesi triedro di origine o e spigoli x, y, z l intersezione dei tre semispazi di origine il piano determinato da due semirette e contenente la terza. Se β é il triedro sopra definito,la quaterna (β, x, y, z) dicesi triedro orientato di sostegno β. Due triedri orientati (β, x, y, z) e (β, x, y, z ) si dicono concordi se, sovrapposto il piano contenente le semirette x, y con quello contenente x,y, le semirette z e z si trovano nello stesso semispazio. La relazione di concordanza é una relazione di equivalenza. Le classi di equivalenza sono solo due e diconsi versi. Se si fissa un verso lo si dice positivo. Un triedro dicesi orientato positivamente se appartiene alla classe del verso positivo. Nello spazio fisico si individua un verso destrorso (pollice, indice e medio della mano destra) e un verso sinistrorso (pollice, indice e medio della mano sinistra). Una terna di vettori (u, v, w) linearmente indipendenti si dice di verso positivo se é di verso positivo il triedro di origine un punto qualunque e di spigoli tre semirette parallele e concordi con u, v, w. 6

7 Due terne di vettori linearmente indipendenti si dicono concordi se sono entrambe orientate positivamente o entrambe negativamente. Dati due vettori non nulli e non paralleli u e v si dice prodotto vettoriale il vettore u w soddisfacente alle seguenti condizioni: - é perpendicolare al piano individuato da u e v, - ha norma data da u v sen û v, - la terna (u, v, u v) é di verso positivo. Utilizzando le nozioni di prodotto vettoriale e prodotto scalare si puó dare un altra espressione dell equazione vettoriale di un piano passante per i punti p 1, p 2, p 3. Si ha [(p 2 p 1 ) (p 3 p 1 )] (p p 1 ) = 0 Spazio vettoriale numerico Dato uno spazio euclideo Σ, in cui sia fissato un sistema di coordinate cartesiane, se facciamo corrispondere a ogni punto p di Σ la terna delle sue coordinate otteniamo una corrispondenza fra Σ e R 3. Diremo che R 3 viene geometricamente rappresentato con l insieme dei punti di Σ e trasferiremo in R 3 il linguaggio di Σ e, quindi, parleremo di sfera, parallelepipedo, distanza in R 3. Poiché in Σ cé anche una struttura vettoriale é possibile trasferire anche a R 3 questa struttura. Gli elementi di R 3 saranno chiamati punti se si fa riferimento alla strttura geometrica, vettori se si fa riferimento alla struttura vettoriale. R 3 é uno spazio vettoriale, detto spazio vettoriale numerico a 3 dimensioni, rispetto alle seguenti operazioni: - Somma di due elementi x = (x, y, z) e x = (x, y, z ) di R 3 é l elemento x + x = (x + x, y + y, z + z ). - Prodotto di un elemento x = (x, y, z) per uno scalare λ é l elemento λ x = ( λ x, λ y, λ z). - Norma di un elemento x = (x, y, z) é il numero x = x 2 + y 2 + z 2. - Prodotto scalare di due elementi x = (x, y, z) e x = (x, y, z ) di R 3 é il numero reale x x = xx + yy + zz. - Una base di R 3 é costituita dai vettori e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1). Piú in generale, se n é un numero naturale, l insieme R n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x i R, i = 1,...n} é uno spazio vettoriale, detto spazio vettoriale numerico a n dimensioni, con le seguenti operazioni: 7

8 - Somma di due elementi x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) di R n é l elemento x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). - Prodotto di un elemento x = (x 1,..., x n ) per uno scalare λ é l elemento λ x = ( λ x 1,..., λ x n ). Ricordiamo che: - Norma di un elemento x = (x 1,..., x n ) é il numero x = x x2 n. - Prodotto scalare di due elementi x e y di R n é il numero reale x y = x 1 y x n y n. - Una base di R n é costituita dai vettori e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,.., 0),..., e n = (0, 0,.., 0, 1). - Se v R n é un vettore e x o R n é un punto, la retta per x o di direzione v é l insieme cosí definito {x R n : x = x o + t v, t R}. - La sfera aperta (rispettivamente chiusa) di centro x o R n e raggio r > 0 é l insieme {x R n : x x o < r} (rispettivamente {x R n : x x o r}). - Il parallelepipedo aperto (rispettivamente chiuso) di centro x R n e semidimensioni d 1,..., d n é l insieme {y R n : y i x i < d i i = 1,..., n} (rispettivamente {y R n : y i x i d i i = 1,..., n}). 8

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