I VETTORI DELLO SPAZIO

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1 I VETTORI DELLO SPAZIO Riferimento cartesiano ortogonale nello spaio Bisogna assegnare nello spaio un punto O (detto origine e tre rette per esso a due a due perpendicolari e orientate in modo concorde col triedro (pollice, indice e medio della mano destra e fissare su di esse la stessa unità di misura. Corrispondena biunioca fra i punti dello spaio e le terne ordinate di numeri reali relatii P (,, P=(,, P(,, Il ettore applicato in O è uguale al segmento orientato OP, con P O, = OP, ed è indiiduato da tre elementi: 1. direione. erso 3. modulo uguale alla retta indiiduata dai punti O e P; indicato dalla freccia, a da O a P; lunghea del segmento OP (numero reale non negatio. Il ettore nullo 0 è uguale al segmento OO, il cui modulo è ero, mentre la direione e il erso sono indeterminati. Due ettori applicati in O sono uguali se e solo se hanno la stessa direione, lo stesso erso e lo stesso modulo. E possibile definire nell insieme dei ettori applicati in O una o più operaioni in modo da aere strutture algebriche. 1

2 Somma fra ettori (+ : V 0 V 0 V 0 Direioni dierse Se, hanno direioni dierse, + si definisce con la regola del parallelogramma (in d. m..; + = + (proprietà commutatia; + < + Stessa direione stesso erso Se, hanno la stessa direione e lo stesso erso, + si definisce come il ettore aente la stessa direione e lo stesso erso, e aente come modulo la somma dei moduli; + = + (somma dei moduli Stessa direione erso opposto Se, hanno la stessa direione, erso opposto e moduli diersi, + si definisce come il ettore aente la stessa direione dei ettori dati, erso uguale a quello di modulo maggiore e modulo uguale alla differena dei moduli; + = - se > (differena dei moduli OR = OQ + OP Stessa direione, erso opposto, moduli uguali se, hanno la stessa direione, erso opposto e moduli uguali, si pone + = 0 Il ettore nullo è l elemento neutro rispetto all addiione nell insieme dei ettori applicati in O, giacché è + 0 = 0 + = Viene naturale cercare per ogni ettore quel ettore che sommato ad esso dia il ettore 0. Chiameremo opposto di (esso è unico se è + = + = 0 = - (stessa direione, stesso modulo, erso opposto. Somma di tre o più ettori La somma tra ettori gode della proprietà associatia, cioè: +(+ = (++,,. Ne segue che nel sommare tre o più ettori, essi si possono raggruppare a piacere.

3 Osseraione 1. L insieme V 0 (ettori applicati in O con l operaione binaria chiusa (+ : V 0 V 0 V 0, soddisfacente le proprietà: a associatia; b commutatia; c elemento neutro; d V 0 il suo simmetrico. è un gruppo abeliano (V 0, +. Differena di ettori Dati due ettori e, il ettore +(- si chiama differena di e, e si indica con -. Prodotto di un numero reale a per un ettore ( : R V 0 V 0 con a R, V 0 Siano un ettore e a R. Dicesi prodotto di a per il ettore denotato col simbolo a, così definito: - se 0 e a 0, a è il ettore di: modulo a, (alore assoluto di a per modulo di direione uguale a quella di ; erso uguale a quello di se a > 0, opposto di se a < 0; - se = 0 oppure a = 0 è a = 0. Osseriamo che - = (-1, e che -(a = (-a per ogni a R e per ogni ettore. Valgono inoltre a,b R e, V 0 le seguenti regole di calcolo: (ab = a (b ; (a + b = a + b ; a ( + = a + a ; 1 =. Le suddette proprietà permettono di semplificare le operaioni doe compaiono somma (+ di ettori e prodotti di reali per ettori. Osseraione. Il gruppo abeliano (V 0, + con il prodotto esterno ( : R V 0 V 0 soddisfacente le precedenti regole di calcolo è uno spaio ettoriale su R. 3

4 Componenti di un ettore Nello spaio fissiamo un sistema di coordinate cartesiane O, e consideriamo i ettori applicati in O. Se =OP, le coordinate (a, b, c del punto P si chiamano le componenti di e si indicano con,,. a =, b =, c = Due ettori si dicono uguali se e solo se hanno le componenti ordinatamente uguali. = =, =, = Modulo di un ettore Il modulo di un ettore note le sue componenti è: = ( + ( + ( Versori fondamentali I ettori le cui componenti sono (1, 0, 0, (0, 1, 0, (0, 0, 1 hanno modulo 1 e sono chiamati ersori fondamentali del sistema di coordinate O. Essi si indicano con i, j, k. Chiaramente sono a due a due ortogonali e indiiduano il sistema di riferimento. Per ogni ettore non nullo esiste un unico ersore aente la stessa direione e lo stesso erso di : questo ersore è, si chiama ersore associato a e si denota con il simbolo ers. Teorema di scomposiione Una delle più importanti utiliaioni dei ersori fondamentali è data dal teorema sulla scomposiione di ogni ettore secondo tre rette non complanari e a due a due ortogonali. Se O è un sistema di riferimento cartesiano e i, j, k sono i ersori fondamentali, per ogni ettore applicato in O si ha: 4 = i + j + k doe,, sono le componenti di, e inoltre tale decomposiione è unica. I ettori OP, OP, OP, sono unici per la regola del parallelepipedo. Ogni ettore =OP si può scomporre (in modo unico nella somma di un ettore aente la direione dell asse, di un ettore aente la

5 direione dell asse, di un ettore aente la direione dell asse e questi tre ettori si ottengono moltiplicando ordinatamente i ersori fondamentali per le componenti di. = i + j + k I ettori i, j, k sono detti anche i componenti del ettore (da non confondersi con le componenti del ettore, che sono numeri. Somma di ettori e prodotto di un numero per un ettore Il precedente teorema permette di proare quanto segue: se = i + j + k, = i + j + k ed a R si ha: + = ( + i + ( + j + ( + k; a = (a i +(a j +(a k. Cioè le componenti di + si ottengono sommando nell ordine le componenti di e di, e le componenti di a si ottengono moltiplicando per a le componenti di. Vettori paralleli Due ettori non nulli, si dicono paralleli ( e si scrie // se hanno la stessa direione. Si proa che // t R * con t 0, tale che = t, cioè: = t, = t, = t. Se // t = se e hanno lo stesso erso se e hanno erso oposto Angolo di due ettori Siano =OP e =OQ due ettori non nulli e non paralleli. L angolo (conesso, non orientato e compreso tra 0 e π in O del triangolo POQ si chiama angolo formato da e e si denota col simbolo. Se e sono non nulli, poniamo: = 0 e hanno stessa direione e stesso erso; = π e hanno stessa direione e erso opposto; = π e sono ortogonali. 5

6 Prodotto scalare di due ettori Siano e due ettori. Il prodotto scalare di e denotato col simbolo, è il numero reale così definito: π > 0 0 < π = numero reale = cos = 0 = π < 0 < π = 0 Inoltre, se = 0, allora si ha uno dei tre casi = 0 Proprietà del prodotto scalare Per ogni,, V, a R. 1. (a = a( = (a (associatia;. = (commutatia; 3. ( + = + (distributia. Diciamo che due ettori e sono ortogonali quando = 0. Poiché V è 0 = 0, ne segue che il ettore nullo 0 è ortogonale a ogni ettore. Si ha: 1. i j = i k = j k = 0;. i i = j j = k k = = ossia = Prodotto scalare mediante le componenti Tenendo conto delle precedenti proprietà è possibile esprimere il prodotto scalare di due ettori mediante le loro componenti, si ha: = + + Angolo di due ettori mediante le componenti dei ettori Se, sono due ettori non nulli dalla definiione di prodotto scalare si ha: cos = da cui passando alle componenti: cos = ( + ( + ( + + ( + ( + ( Se i ettori e sono ortogonali ( segue + + = 0. 6

7 Prodotto Vettoriale Siano, due ettori non nulli e non paralleli. Si chiama prodotto ettoriale di e, e si denota col simbolo il ettore aente modulo = sin. Esso è nullo in uno dei seguenti tre casi: 1. = 0;. = 0; 3. e hanno la stessa direione (paralleli, cioè = 0 o π. direione = quella ortogonale al piano indiiduato da e ; erso = quello di un osseratore con i piedi in O ede ruotare il ettore per sorapporsi al ettore nel erso antiorario dell angolo. Chiaramente tale prodotto non è commutatio, e si ha: i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = -k k j = -i i k = - j Proprietà del prodotto ettoriale Per ogni,, V 0, a R. 1. se e sono due ettori non nulli allora = 0 se e solo se // ;. (a = a (, (a = a ( ; 3. ( + = +, ( + = + (prop. distributia del prodotto rispetto alla somma; 4. Non ale la proprietà associatia. Ad esempio i (i j = i k = -j, mentre (i i j = 0 j = 0. 7

8 8 Prodotto ettoriale mediante le componenti Sfruttando alcune delle precedenti proprietà, è possibile esprimere il prodotto ettoriale dei due ettori mediante le rispettie componenti dei due ettori.si ha: = k j i +, che formalmente si può scriere: = ( ( ( k j i k j i + + =. Segue che e sono paralleli se e solo se: = = =,,. cioè (se nessuna delle componenti di è ero se e solo se = =. Prodotto misto Siano u,, tre ettori. Si chiama prodotto misto di u,,, e si denota u, il prodotto scalare tra il ettore u e il ettore, esso pertanto è un numero reale. Si ha: 1. u = 0 se almeno uno dei tre ettori è il ettore nullo 0, o se //;. Il prodotto misto di tre ettori non nulli è ero se e solo se i tre ettori sono complanari; 3. Il alore assoluto di u è uguale al olume del parallelepipedo che ha per lati i tre ettori. Prodotto misto mediante le componenti u = u u u Dalle proprietà dei determinanti segue che cambiando di posto due di tali ettori, il prodotto cambia di segno in corrispondena di un numero dispari di scambi, mentre non cambia in presena di un numero pari di scambi.

9 VETTORI LIBERI Un ettore libero è un segmento orientato libero di muoersi nello spaio sena cambiare lunghea, direione e erso. Un ettore libero si può pensare come l insieme di tutti i segmenti orientati concordemente aenti la stessa lunghea e giacenti su rette parallele o sulla stessa retta. Se AB è un segmento orientato da A a B, esso rappresenta un ettore libero, nel senso che esso è un elemento dell insieme V. Un altro segmento CD orientato da C a D rappresenta dunque lo stesso ettore libero se e solo se i due segmenti giacciono su rette parallele o sulla stessa retta, hanno la stessa lunghea, e sono orientati concordemente. Il ettore libero rappresentato dal segmento AB si denota col simbolo B-A o anche con le stesse notaioni dei ettori applicati. Considerato un ettore libero, per ogni punto R dello spaio esiste un ettore applicato in R che rappresenta il ettore libero. Ogni ettore libero si può scriere = P-O, doe O è un punto fissato dello spaio. Quindi a corrisponde il ettore OP applicato in O, e questa corrispondena è biunioca. Il modulo di un ettore libero è la lunghea di uno qualunque dei segmenti che lo rappresentano. Se = P-O si ha che = OP. Non si confonda P-O con OP. P-O è un ettore libero, mentre OP è il ettore applicato in O che lo rappresenta. Operaioni con ettori liberi È rimandata all analoga operaione fra ettori applicati rappresentanti i ettori liberi. 9

10 Componenti di un ettore libero Le componenti di un ettore libero sono uguali a quelle di un suo qualsiasi ettore rappresentante applicato. Se = B-A con A = ( 1, 1, 1 e B = (,, le componenti di sono e quindi = 1 ; = 1 = 1. = ( + ( + ( I ersori liberi di componenti (1, 0, 0, (0, 1, 0, (0, 0, 1 si denotano con i, j, k rispettiamente, come i corrispondenti ersori applicati, e si chiamano anche essi ersori liberi fondamentali, e per ogni ettore libero si ha il teorema di scomposiione: = i + j + k. 10